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LUIS FERNANDO GUZMÁN ALVAREZ 13628

Teorema de Green y Teorema de Stockes. UNIVERSIDAD DEL VALLE DE GUATEMALA FACULTAD DE INGENIERIA CAMPUS SUR Ing. Sergio Barrera Cálculo 4

Índice Tabla de contenido Introducción.................................................................................................................. 2 Objetivos...................................................................................................................... 2 Contenido..................................................................................................................... 3 Teorema de Green..................................................................................................... 3 Demostración del Teorema de Green.........................................................................3 Teorema de Stockes.............................................................................................. 6 Ejemplos...................................................................................................................... 9 GREEN.................................................................................................................. 9 STOKES.............................................................................................................. 14 Conclusiones.............................................................................................................. 20 Anexos....................................................................................................................... 21 e-grafía...................................................................................................................... 22

Introducción El teorema de Green para calcular integrales de línea y de superficies de forma sencilla siempre y cuando tengamos una curva cerrada, nos facilita mucho el cálculo, ahorramos

tiempo,

para

calcular

trabajo,

aplicable

a

campos

vectoriales.

Podemos evaluar integrales de línea como integrables dobles o viceversa. Todo en el plano y la extensión del teorema de Green a superficies en el espacio da lugar al teorema de Stokes donde es el equivalente a Green en el espacio; si C es una curva espacial y delimita a una cierta área, S es la superficie delimitada por la curva C.

Objetivos  

Entender cuándo y en donde podemos aplicar los teoremas. Saber cómo aplicarlas para simplificar el trabajo.

Contenido Teorema de Green Sea C una curva simple y cerrada, suave a trozos y orientada positivamente, y sea F(x;y) = (P;Q) un campo vectorial cuyas funciones coordenadas tienen derivadas parciales continuas sobre una región abierta que contiene a la región D acotada por C. Entonces:

Demostración del Teorema de Green Notase que el Teorema de Green quedará demostrado si se prueba que 1

y

2

Para demostrar la ecuación 1 expresemos D como una región tipo I:

donde

y

son funciones continuas. Esto permite calcular la doble integral del lado derecho de la

ecuación 1 como sigue: 3

donde en el último paso se sigue el teorema fundamental del cálculo. Ahora calculamos el lado izquierdo de la ecuación 1 descomponiendo curvas

,

,

y

como se muestra en la figura. en

escribimos las ecuaciones para-métricas como

como la unión de las cuatro

tomamos

como el parámetro y

y

. Entonces:

Observe que

va de derecha a izquierda, pero

podemos escribir las ecuaciones para-métricas de lo tanto:

va de izquierda a derecha, de modo que como

y

. Por

En

y

,

es constante, de modo tal que

y

Por lo tanto,

Comparando esta expresión con la de la ecuación 3, vemos que,

La ecuación 2 se puede probar en forma muy semejante al expresar D como una región tipo II. Entonces sumando las ecuaciones 1 y 2, obtenemos el Teorema de Green. El teorema de Green se cumple aún para regiones parte de la frontera esté orientada de modo que

que tengan uno o más hoyos, siempre que cada quede siempre a la izquierda cuando se sigue la

curva en su dirección positiva. Basta con descomponerla en regiones ordinarias.

Teorema de Stockes El teorema de Green nos dice que la integral de un campo vectorial F = L( x, y ) i + M( x, y ) j sobre una curva cerrada C, entonces

donde R es la región que tiene como frontera la curva C que pertenece al plano XY. Vamos a extender esta noción a una curva en el espacio (no necesariamente plana). Como es norma en este curso, vamos a entregar el teorema de Stokes para ver su aplicabilidad y luego daremos el esbozo de su demostración. Supongamos que tenemos una superficie S "abierta" cualquiera en el espacio (que no es cerrada), y cuyo perímetro es C (vea la Figura 1). Y supongamos que tenemos un campo vectorial F definido sobre C, entonces

(1) donde es el vector normal unitario a la superficie S (orientado según la "regla del tornillo" respecto de la orientación positiva de la curva C) Vamos a ver que la fórmula dada en (1) es es una extensión del teorema de Green. En efecto, supongamos que la superficie S es de tal forma que luce como lo indica la Figura 2. Si consideramos el campo vectorial F = L( x, y ) i + M( x, y ) j actuando sobre la curva C, entonces aplicando el teorema de Green Figura 1

(2) por otro lado, el rotacional de F es

Ahora observemos que el vector normal a la región R es k, y por otro lado

Figura 2 Por lo tanto la integral en (2) queda como

donde esta vez R hace el papel de la superficie y el vector normal a dicha superficie es justamente k. Y esta última fórmula es la que se conoce como el teorema de Green en su forma circulación-rotacional.

El teorema

de

Stokes en geometría

diferencial es

una

proposición

sobre

la integración de formas diferenciales que generaliza varios teoremas del cálculo vectorial. Se nombra así por George Gabriel Stokes (1819-1903), a pesar de que la primera formulación conocida del teorema fue realizada por William Thomson y aparece en una correspondencia que él mantuvo con Stokes .Sea S una superficie orientada y suave a segmentos, esta acotada por una curva frontera C suave a segmentos cerrada y simple cuya orientacion es positiva.

El Teorema de Stokes establece que el cálculo de la integral de línea del campo vectorial F en la dirección tangencial de la curva C, es igual a la integral sobre la superficie S de la circulación del campo F alrededor de la frontera, en la dirección de la componente normal unitaria a la superficie, siendo la curva C es una curva orientada positivamente, de tal manera que es la frontera de la superficie orientada positivamente S, En pocas palabras el teorema de Stokes en una definición física se utiliza para convertir una integral de curva a una integral de superficie.

Sea F un campo vectorial cuyas componentes tengan derivadas parciales continuas sobre una region abierta de r^3 que contiene a S encones el integral.

Ejemplos

GREEN

TEOREMA Sea C una curva simple y cerrada, suave a trozos y orientada positivamente, y sea F(x;y) = (P;Q) un campo vectorial cuyas funciones coordenadas tienen derivadas parciales continuas sobre una región abierta que contiene a la región D acotada por C. Entonces:

 Q P   dA   F· dr   Pdx  Qdy  x y  C C

  D

y=1-x

1 1

Ejemplos:

y

1) Transformación de una integral de línea en una de área.

x

4

dx  xydx

C

Evaluar , donde C es la curva triangular que une los puntos (0;0), (0;1) y (1;0), orientada positivamente. x SOLUCIÓN:

La gráfica indica la región encerrada por la curva C. Tenemos:

P 0 y Q Q( x; y )  xy  y x P( x; y )  x 4 

Por lo tanto:

x

C

4

1 1 x 1  Q P   dA    ydydx     0 0 0  x y 

dx  xydx    D

  16 1  x 

3 1 0



1 2

y2

 dx  1 1 1  x  2 dx  2

1 x 0



0

1 6

Nótese que si hubiéramos hecho la integral de línea habríamos tenido que hacer 3 integrales con las correspondientes parametrizaciones. 2) Determinación de un área mediante una integral de línea. Determine el área de la región limitada por la hipocicloide que tiene la ecuación vectorial y

r(t) = cos3t i + sen3t j , 0  t  2 SOLUCIÓN: De la parametrización de la curva tenemos: x = cos3t  x2/3 = cos2t y = sen3t  y2/3 = sen2t Sumando miembro a miembro tenemos:

1 -1

1

-1

x

x

y

2/3

2/3



 1 y   1 x



2 /3 3/ 2

1

 A



 1 x 2 / 3



1  1 x





3/2

2/ 3 3/ 2

1



dydx   2 1  x 2 / 3 1



3/ 2

dx

Este cálculo, ejecutado como integral de área, es muy complicado. El teorema de Green nos permite transformar esta integral en una de línea, usando como trayectoria la hipocicloide del enunciado y definiendo una función apropiada para la integración. Veamos:

A  1dA El área de una región D viene dada por

D

. Por lo tanto, para aplicar Green

Q P  1 x y

deberíamos encontrar funciones P, Q / . Un par de funciones sencillas que cumplen esta condición son P = 0, Q = x. Si recordamos la parametrización, escribimos: x = cos3t  dx = -3 cos2t sent dt y = sen3t  dy = 3 sen2t cost dt

Luego: 2 2  Q P   dA   Pdx  Qdy   cos 3 t 3 sen 2 t cos tdt  3 cos 4 t sen 2 tdt   0 0  x y  C

A    D

2

 3 cos 2 t 0



2 3 8 0



2 2  1  cos 2t  sen 2t sen 2 2t dt  3  dt   0 4 2 4  

2 3 8 0



(sen 2 2t  sen 2 2t cos 2t )dt 

 sen 4t sen 3 2t   1  cos 4t   sen 2 2t cos 2t  dt  83  12 t     2 8 6    

2

0

3   8

De esta manera contamos con una herramienta más para obtener el área de la región encerrada por una curva cerrada, que se suma al método en coordenadas polares visto en Análisis II y al cálculo por integral de área que ejecutamos cuando tenemos la expresión cartesiana de la curva. 3) Limitaciones en la aplicación del Teorema de Green. Dado F(x;y)= (P;Q) = (-y i + x j) / (x2 + y2) a) Calcular su integral de línea sobre el círculo x2 + y2 = 1

b) Calcular a).

 Q P   dA  x y 

  D

, donde D es la región encerrada por la curva del punto

c) Discutir si estos resultados están de acuerdo o no con el Teorema de Green.

SOLUCIÓN:

a) Parametricemos el círculo.

x  cos t  dx   sen tdt , 0  t  2 y  sen t  dy  cos tdt

 sen t   sen tdt  Pdx  sen 2 tdt 2 sen t  cos t cos t Q( x(t ); y (t ))   cos tdt  Qdx  cos 2 tdt 2 2 sen t  cos t P( x (t ); y (t )) 

2

Integrando tendremos, así:

 Pdx  Qdy   sen 2

C

0

2



t  cos 2 t dt  2

b) Haciendo los cálculos directamente en coordenadas cartesianas es:



Q x 2  y 2  x 2 x y2  x2   x  x2  y2 2  x2  y2 2 



P   x 2  y 2   (  y )2 y y2  x2     y  x2  y2 2  x 2  y 2  2 

 

 Q P  Q P  dA  0   0     x y  x  y  D 

c) Aparentemente estos resultados contradirían el Teorema de Green. Sin embargo, este último no es aplicable a la región en cuestión, dado que las funciones P y Q no tienen derivadas parciales continuas en el punto (0;0), que está contenido en la región.

4) Aplicación del teorema de Green a un problema físico sobre una región con agujeros. Determinar el momento de inercia de una arandela homogénea de radio interno a, radio externo b y masa M, respecto a uno de sus diámetros. SOLUCIÓN:

y

Determinaremos el momento de inercia respecto al diámetro colineal con el eje x. De Física sabemos que:

I x   y 2 dA

C2

D

a

b

x

Donde  es la densidad superficial de la arandela, supuesta constante dado que es homogénea.

C1 Esta región no es simplemente conexa pero, como se vio en la teoría, se puede extender el teorema de Green a este tipo de regiones con agujeros, siendo:

 Q P   dA   Pdx  Qdy   Pdx  Qdy  x y  C1 C2

  D

Por lo tanto podremos calcular la integral doble del momento de inercia como dos integrales. Para ello debemos encontrar funciones P, Q tales que:

 Q P     y 2 ; tomamos , por ejemplo : Q  0 ; P  13 y 3   x  y  

Aplicando Green con esta función tenemos:



  1 3 1 3  y dx  0 dy   y dx  0 dy      3  3  C1  C2 

I x   y 2 dA    D

Parametrizando estas curvas tenemos



3 3   13 y dx   13 y dx

C1

C2



(1)

 x  b cos t  dx  b sen t , 0  t  2  y  b sen t  dy  b cos t  x  a cos t  dx  a sen t C2  , 0  t  2  y  a sen t  dy  a cos t C1 

Reemplazando con esto en (1) tendremos:

Ix   



2

0

 13 b 3 sen 3 t (b sen t )dt  

0









  13 b 4  a 4  13  b 4  a 4 

1 4

b

2

2



2

0 2

0





1 3



a 3 sen 3 t (a sen t )dt    13 b 4  a 4 



sen 2 t 1  cos 2 t dt  13  b 4  a 4





2

0

 sen 2 t  

 1  cos t 1  cos 4t  4 4    dt  14  b  a   2 8  





1 4



2

0

sen 4 tdt 

sen 2 2t   dt  4 

b

2

 



 a 2  b 2  a 2 

 a2 M

Ésta es la manera estándar de expresar un momento de inercia: como el producto de una longitud o suma de longitudes al cuadrado por la masa del rígido.

STOKES Sea S una superficie orientada y suave a trozos, acotada por una curva C suave a trozos, cerrada y simple, cuya orientación es positiva. Sea F un campo vectorial cuyas componentes tienen derivadas parciales continuas sobre una región abierta en R3 que contiene a S. Entonces:

 F  dr   rot F  dS     F  dS C

S

S

PROBLEMAS RESUELTOS

1) Verificación del Teorema de Stokes. Verificar el teorema de Stokes para el campo vectorial F(x;y;z) = 3yi + 4zj - 6xk y la parte de la superficie paraboloidal z = 9 - x2 - y2 ubicada sobre el plano xy y orientada hacia arriba.

SOLUCIÓN

z 9

Cálculo como integral de línea: La curva C es en este caso una circunferencia de radio 3 centrada en el origen sobre el plano xy. Podemos parametrizarla como:

 x  3 cos    y  3 sen   z0 

S

3

, 0    2 3 x

C

Con esta parametrización tenemos:

F() = 9sen i + 0j  18cos k

r´() = 3sen i + 3cos j + 0k

r´() = 27sen2

 F  dr   C



2

0

27 2

2 2  1  cos 2  F ( )  r ( )d    27 sen 2 d    27  d  0 0 2  

sen 2    2   

2

 27 0

Cálculo como integral de superficie: Primero evaluamos el rotacional.

i rot F  

x 3y

j

k    4i  6 j  3k y z 4z  6x

y

Ahora parametrizamos la superficie del paraboloide. Para eso observamos que su proyección sobre el plano xy es un círculo de radio 3 con centro en el origen. Parece lógico usar una parametrización basada en coordenadas cilíndricas:

 x  r cos  0r3  r ( r; )  y  r sen  , 0    2  z  9  r2 

El producto vectorial fundamental será:

i

j

cos 

sen 

 r sen 

r cos 

rr  r 

k  2r  2r 2 cos  i  2r 2 sen  j  r k 0

Vemos que la componente z de este vector es positiva. Por lo tanto la parametrización describe a una superficie con orientación positiva.

Usando entonces esta parametrización, tenemos:

 rot F  dS   rot F  (rr  r )drd   S



2

0

D



3r 2

2 3

2

0

3

 (8r 0

2

cos   12r 2 sen   3r )drd 

 27

0

Llegamos al mismo valor que cuando lo hicimos como integral de línea, verificando de esa manera el teorema de Stokes.

2) Transformación de una integral de superficie en otra más sencilla usando el Teorema de Stokes. Utilice el teorema de Stokes para evaluar la integral del rotacional del campo vectorial F(x; y; z) = xyzi + xyj + x2yzk sobre el dominio S consistente en la unión de la parte superior y de las cuatro caras laterales (pero no el fondo) del cubo con vértices (1; 1; 1), orientado hacia afuera.

1 1 z

1 x

SOLUCIÓN

La geometría descrita en el enunciado está representada en la figura. Se requiere calcular el flujo de rot F a través de todas las caras del cubo menos la de abajo. Observemos que esa región de integración está limitada por la curva orientada indicada en la figura; llamémosla C. (La orientación dada se corresponde con normales con la componente z mayor o igual que 0, que es lo necesario para que las normales apunten hacia el exterior del cubo.) El teorema de Stokes nos asegura que:

 (  F)  dS   F  dr S

C

,

lo cual en sí no implica una simplificación demasiado significativa, dado que en lugar de tener que parametrizar cinco superficies para evaluar la integral de flujo deberemos parametrizar cuatro segmentos de recta para calcular la integral de línea. Sin embargo, notemos que la curva C también delimita la superficie de la base del cubo, a la cual llamaremos S’. Puesto que el teorema de Stokes nos asegura que la integral del campo vectorial sobre una curva cerrada es igual al flujo de su rotacional sobre cualquier superficie limitada por ella, tenemos que:

 (  F)  dS   F  dr   (  F)  dS S

C

S'

con lo cual podemos integrar el rotor directamente sobre la superficie de la base. Parametrizando esta última tenemos, pues:

T(x; y) = (x(x; y); y(x; y); z(x; y)) = (x; y; -1), -1  x  1, -1  y  1

(1)

O

y su producto vectorial fundamental es:

i

j k

N  Tx  Ty  1 0 0  k 0 1 0

Notemos que esta normal apunta hacia arriba, que es precisamente el sentido en que debe apuntar de acuerdo a la regla de la mano derecha. Por otro lado el rotacional del campo escalar viene dado por:

i j   F  x y xyz xy

k   x 2 zi  ( xy  2 xyz) j  ( y  xz)k z x 2 yz

reemp. por la param. (1) 



x 2 i  ( xy) j  ( y  x)k

Por lo tanto la integral que buscamos será:

1

2    F  dS    F  NdS  ( x i  xyj  ( y  x)k )  kdS  S'

S'

S'

1



1 1

( y  x) dxdy  0

En este problema vemos que el teorema de Stokes permite no sólo transformar una integral de superficie en una de línea, sino también convertirla en otra integral de superficie de cálculo más sencillo. La selección de una u otra de estas opciones dependerá del problema particular.

2

3) Aplicación al concepto de circulación z de un campo. 12 Calcular la circulación del campo x de velocidades y de un fluido F(x;y;z) = (tan-1(x2); 3x; e3z tanz) a lo largo de la intersección de la esfera x2 + y2 + z2 = 4 con el cilindro x2 + y2 =1, con z > 0.

SOLUCIÓN:

La circulación de un campo es su integral a lo largo de una línea cerrada. Recordemos que la razón entre la circulación del campo de velocidades y el área de la superficie encerrada por la curva tiende a un cierto valor a medida que el radio de la curva tiende a 0; si este valor es nulo, entonces el fluido es irrotacional y un molinillo ubicado en ese punto límite no rotará. Prima facie vemos que el campo vectorial F tiene una ley bastante compleja, por lo que se puede anticipar que el cálculo de la circulación como integral de línea puede resultar asaz engorroso. Por lo tanto, vale la pena calcular el rotacional a ver si resulta una función matemáticamente más tratable. i rot F 



x tg 1 ( x 2 )

j

k   0i  0 j  3k y z 3z 3x e tg z



En efecto, se simplifican enormemente los cálculos al resultar el rotacional una función vectorial constante. Por el teorema de Stokes, podemos calcular la integral de línea de F sobre la curva dada como el flujo del rotor a través de la superficie grisada. Parametrizando esta última:

 x  r cos  0  r 1  r (r; )  y  r sen  , 0    2  z  4  r2 

Y hallando el producto vectorial fundamental:

rr  r 

i

j

cos 

sen 

 r sen 

r cos



k r 4r 0

2

r



4r

2

cos  i 

r 4  r2

sen  j  r k

Vemos que esta normal tiene componente z positiva, correspondiendo a una superficie positivamente orientada. con esto podemos calcular ahora:

 rot F  dS   rot F  (rr  r )drd   S

D

2

0

1

 3rdrd 3 0

Conclusiones Green sirve para calcular trabajo mecánico en el plano , cuando la trayectoria es una curva cerrada, tanto Green como stock nos calculan superficies acotadas, ambas son aplicaciones de integrales para la resolución de problemas matemáticos de aplicación.

Recomendación Las investigaciones nos enseñan pero siempre no caería mal un ejemplo en clase para despejar las dudas que quedan después de realizar la investigación un foro donde hablemos del tema.

Anexos Curvas de Jordan En lo que sigue vamos a trabajar con un tipo particular de caminos, que reciben el nombre de caminos simples. Intuitivamente un camino es simple cuando no tiene auto-intersecciones, es decir, un móvil que lo recorre no pasa dos veces por un mismo punto. Esto invita a decir que un camino γ : [a, b] → Rn es simple cuando γ es una función inyectiva, es decir, para s, t ∈ [a, b] con s < t no podría ocurrir que γ(s) = γ(t). Sin embargo un camino cerrado nunca podría verificar esta condición. Relajamos entonces la hipótesis de inyectividad, sólo para permitir que pueda ser γ(a) = γ(b). Por tanto, decimos que un camino γ : [a, b] → Rn es simple cuandocumple la siguiente condición: s, t ∈ [a, b] , s < t , γ(s) = γ(t) ⇒ s = a, t = b

(1)

A partir de ahora nos concentramos en el caso n = 2. La curva recorrida por un camino simple cerrado en R2 recibe el nombre de curva de Jordan. Así pues, una curva de Jordan es un conjunto Γ = {γ(t) : a ™ t ™ b} donde γ : [a, b] → R2 es un función continua, con γ(a) = γ(b), y verificando la condición (1). El siguiente teorema lleva el nombre del matemático francés C. Jordan (1838-1922), aunque la primera demostración enteramente correcta fue publicada en 1905 por el norteamericano O. Veblen (1880-1960).

Teorema de la Curva de Jordan. Si Γ es una curva de Jordan, su complemento R2 \ Γ es unión de dos dominios disjuntos, cuya frontera común es Γ; uno de ellos está acotado y recibe el nombre de región interior a Γ y el otro, no acotado, es la región exterior a Γ.

e-grafía Electromagnetismo: Electrostática: Teorema de Stokes www.answermath.com http://www.ing.uc.edu.ve/~amejias/Archivos_pdf/int_sup_tstokes.pdf www.ing.uc.edu.ve http://assig-camins.upc.es/camins/am/problemas/inicio.pdf assig-camins.upc.es http://www.fing.edu.uy/~jana/calc3_2011/clase16.pdf www.fing.edu.uy Teorema de Stokes, por WikiMatematica.org www.wikimatematica.org TEOREMA DE GREEN de Kristia prezi.com Aplicaciones de los teoremas de Green y Stokes. - Matemáticas - Todoexpertos.com www.todoexpertos.com

Aplicaciones Del Teorema De Green a La Ingenieri Civil Gratis Ensayos www.buenastareas.com

Teorema de Green, por WikiMatematica.org www.wikimatematica.org TEOREMA DE GREEN.docx es.scribd.com