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• JeniferSalazar

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FES. Electrones en un potencial periódico.

H =−

∑ l

h2 ∂2 − 2 M ∂u l2

∑ i

h2 ∂2 + 2m ∂ri2

e2

∑ r −r i< j

i

Separación del problema en dos, Estudio de los electrones en el potencial creado por los iones. Estudio de los iones Aproximación de Born-Oppenheimer.

Los iones se suponen estáticos. Modelo estático

Se considera la interacción de Coulomb, autoconsistencia. Aproximación monoelectrónica Iones en una red periódica, potencial periódico. Teorema de Bloch

Potencial iónico eliminado. Modelo de Sommerfeld (estadística de Fermi-Dirac).

Potencial iónico eliminado. Modelo de Drude (estadística de Maxwell-Boltzmann).

+ U (u, r ) + G (u) j

No es posible resolver este Hamiltoniano para un sistema de 1023 partículas: APROXIMACIONES

Eliminados grados de libertad electrónicos. Dinámica de fonones

Iones tratados clásicamente, energía de cohesión

Necesitamos considerar la interacción con los iones

Este modelo a pesar de dar algunos buenos resultados no da cuenta de varios comportamiento experimentales.

FES. Electrones en un potencial periódico.

FES. Electrones en un potencial periódico.



Potencial real que sufren los electrones

2

Ψ

La notación usada en este apartado es la siguiente: H(0) operador hamiltoniano y |0 y la función de onda antes de la traslación H( ) operador hamiltoniano y y la función de onda tras la traslación |0 = Ψ( ) y

= Ψ( + )

Ψ

FES. Electrones en un potencial periódico.

Teorema de Bloch

Es decir que la solución | es solución de la misma ecuación satisfecha por |0 . Analizamos como están ligadas estas dos soluciones. Hay dos opciones

Por tanto para cualquier función de onda que satisface la ecuación de Schrödinger existe un vector tal que una traslación de vector de red l equivale a multiplicar la función por un factor exp(i ) Cada función de estado distinta puede tener un vector de onda distinto, pero todas han de satisfacer esta ecuación. Esta condición es muy restrictiva y se debe a la invariancia traslacional de la red.

FES. Electrones en un potencial periódico.

Este es el teorema de Bloch para el que existen demostraciones rigurosas en la teoría de grupos

FES. Electrones en un potencial periódico.

Reducción a la primera Zona de Brillouin

FES. Electrones en un potencial periódico.

Reducción a la primera zona de Brillouin en 1D

Reducción a la primera zona de Brillouin en 2D

Electrones libres en el esquema reducido

FES. Electrones en un potencial periódico.

Recuento del número de estados. Condiciones de contorno cíclicas o de Bornvon Kármán

FES. Electrones en un potencial periódico.

Densidad de estados en el espacio recíproco

Paso de suma a integral

El número de vectores k permitidos (en la primera zona) coincide con el número de celdillas en el cristal. La densidad de estados permitidos en el espacio reciproco en V/8π3 (mismo resultado que vimos en electrones libres)

FES. Demostración alternativa del Teorema de Bloch

Se presenta a continuación una demostración directa del teorema de Bloch usando la ecuación de Schrödinger. (Ashcroft)

FES. Demostración alternativa del Teorema de Bloch

Estas ecuaciones son equivalentes a la ecuación de Schröndinger, una vez se ha asumido un potencial periódico. Son una conjunto de ecuaciones una por cada vector de la rede recíproca (K en la notación utilizada)

FES. Demostración alternativa del Teorema de Bloch

Por tanto recuperamos el teorema de Bloch, por el cual las funciones de onda compatibles con un sistema cristalino se pueden escribir como una onda plana multiplicada por una función periódica con la periodicidad de la red.