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• Neissa Castañeda

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TEOREMA DE BERNOULLI Y TEOREMA DE TORRICELLI

ING. HECTOR DUSSAN MORENO

ESCUELA DE AVIACIÓN DEL EJÉRCITO INGENIERÍA AERONÁUTICA MECÁNICA DE FLUIDOS BOGOTÁ 2018

CONTENIDO

1. 2. 3.

INTRODUCCIÓN ........................................................................................... 5 OBJETIVOS ................................................................................................... 6 MARCO TEÓRICO ........................................................................................ 7 3.1. TEOREMA DE BERNOULLI ....................................................................... 7 3.2. TEOREMA DE TORRICELLI .................................................................... 10 4. CONCLUSIONES ........................................................................................ 12 REFERENCIAS ..................................................................................................... 13 ANEXOS ................................................................................................................ 14

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LISTA DE IMÁGENES

Imagen 1: Deducción de la ecuación de Bernoulli. .................................................. 8 Imagen 2: Perfil alar. ................................................................................................ 9 Imagen 3: Presión vs Velocidad............................................................................... 9 Imagen 4: Líneas de flujo alrededor del ala de un avión. ....................................... 10 Imagen 5: Tubo de mercurio de Torricelli. ............................................................. 11 Imagen 6: Principio de Torricelli. ............................................................................ 11

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LISTA DE ANEXOS

Anexo 1: Dibujo inicial del perfil. ............................................................................ 14 Anexo 2: Simulación del comportamiento del perfil contra el viento ...................... 14 Anexo 3: Vista inferior del perfil sometido a prueba. .............................................. 15 Anexo 4: Perfil alar terminado. ............................................................................... 15

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1. INTRODUCCIÓN

En mecánica de fluidos, se estudian los comportamientos y propiedades de los fluidos compresibles y no compresibles, entre los que se encuentra con mayor importancia el aire, ya que este es el medio mas abundante en la tierra después del agua, y en el cual la gran mayoría, si no todos los elementos e encuentran inmersos, por lo cual se deben majear diferentes teorías y ecuaciones formuladas por físicos, como lo es la teoría de Bernulli o la de Torricelli, a las cuales se busca dar un entendimiento más sencillo a la practica que se les da a las mismas, entre ellas el vuelo de los aviones, en los cuales se muestra con la teoría de Bernulli la forma en la que el aire se comporta al entrar en contacto con el plano; o la demostración de cómo se mide la presión atmosférica utilizando un barómetro de mercurio, según lo explicado por Torricelli.

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2. OBJETIVOS OBJETIVO GENERAL Comprobar el funcionamiento de la ecuación de Bernoulli, por medio de un prototipo el cual representará el comportamiento del fluido estudiado. OBJETIVOS ESPECÍFICOS  Investigar el funcionamiento y la utilización del teorema para facilitar el estudio de la Mecánica de Fluidos.  Explicar experimentalmente la consistencia de dicha ecuación, y las diferentes fuerzas que actúan sobre ella.  Desarrollar la aplicación experimental, prototipo, modelo, simulación del principio de Bernoulli, en Mecánica de Fluidos, en lo posible con enfoque en Aeronáutica.

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3. MARCO TEÓRICO 3.1. TEOREMA DE BERNOULLI Fue expuesto por Daniel Bernoulli en su obra Hidrodinámica (1738) y expresa que en un fluido ideal (sin viscosidad ni rozamiento) en régimen de circulación por un conducto cerrado, la energía que posee el fluido permanece constante a lo largo de su recorrido. La energía de un fluido en cualquier momento consta de tres componentes: 1. Cinético: es la energía debida a la velocidad que posea el fluido. 2. Potencial gravitacional: es la energía debido a la altitud que un fluido posea. 3. Energía de flujo: es la energía que un fluido contiene debido a la presión que posee.1 La presión también puede variar; depende de la altura, al igual que en la situación estática y también de la rapidez de flujo. Podemos deducir una relación importante, llamada ecuación de Bernoulli, que relaciona la presión, la rapidez de flujo y la altura para el flujo de un fluido ideal. La ecuación de Bernoulli es una herramienta indispensable para analizar los sistemas de plomería, las plantas hidroeléctricas y el vuelo de los aviones.2 Para deducir la ecuación de Bernoulli, aplicamos el teorema del trabajo y la energía al fluido en una sección de un tubo de flujo. En la figura, consideramos el elemento de fluido que en algún instante inicial está entre las dos secciones transversales a y c. Los valores de la rapidez en los extremos inferior y superior son v1 y v2. En un pequeño intervalo de tiempo dt, el fluido que está en a se mueve a b, una distancia ds1= v1*dt, y el fluido que está inicialmente en c se mueve a d, una distancia ds2= v2*dt. Las áreas transversales en los dos extremos son A 1 y A2, como se indica. El fluido es incompresible, así que, por la ecuación de continuidad, el volumen de fluido dV que pasa por cualquier sección transversal durante el tiempo dt es el mismo. Es decir, dV= A1 ds1= A2 ds2.3

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Esquema para el desarrollo del principio de Bernoulli (Teorema de Bernoulli). Recuperado 17 noviembre 2018, de: http://www.guiasdeapoyo.net/guias/cuart_fis_e/Deduccion%20de%20bernoulli.pdf 2 Física Universitaria Sears y Semansky. Recuperado 17 noviembre 2018, de: http://fis.ucv.cl/docs/fis-133/textos/Fisica-Universitaria-Sears-Zemansky-12va-Edicion-Vol1.pdf 3 Ibíd.

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Imagen 1: Deducción de la ecuación de Bernoulli.

Ésta es la ecuación de Bernoulli, y dice que el trabajo efectuado sobre una unidad de volumen de fluido por el fluido circundante es igual a la suma de los cambios de las energías cinética y potencial por unidad de volumen que ocurren durante el flujo.4

donde: V = velocidad del fluido en la sección considerada. g = aceleración gravitatoria y = altura en la dirección de la gravedad desde una cota de referencia. P = presión a lo largo de la línea de corriente. ρ = densidad del fluido. Para aplicar la ecuación se deben realizar los siguientes supuestos: 

Viscosidad (fricción interna) = 0 Es decir, se considera que la línea de corriente sobre la cual se aplica se encuentra en una zona 'no viscosa' del fluido.

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Física Universitaria Sears y Semansky. Recuperado 17 noviembre 2018, http://fis.ucv.cl/docs/fis-133/textos/Fisica-Universitaria-Sears-Zemansky-12va-Edicion-Vol1.pdf

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de:

 

Caudal constante. Fluido incompresible - ρ es constante.

SUSTENTACIÓN EN EL ALA DE UNA AERONAVE Un perfil aerodinámico, es un cuerpo que tiene un diseño determinado para aprovechar al máximo las fuerzas que se originan por la variación de velocidad y presión cuando este perfil se sitúa en una corriente de aire. Un ala es un ejemplo de diseño avanzado de perfil aerodinámico.5

Imagen 2: Perfil alar.

El ala produce un flujo de aire en proporción a su ángulo de ataque (a mayor ángulo de ataque mayor es el estrechamiento en la parte superior del ala) y a la velocidad con que el ala se mueve respecto a la masa de aire que la rodea; de este flujo de aire, el que discurre por la parte superior del perfil tendrá una velocidad mayor (efecto Venturi) que el que discurre por la parte inferior. Esa mayor velocidad implica menor presión (teorema de Bernoulli).6

Imagen 3: Presión vs Velocidad.

Tenemos pues que la superficie superior del ala soporta menos presión que la superficie inferior. Esta diferencia de presiones produce una fuerza aerodinámica que empuja al ala de la zona de mayor presión (abajo) a la zona de menor presión (arriba), conforme a la Tercera Ley del Movimiento de Newton.7 La sustentación no se debe sólo al impulso del aire que incide bajo el ala; de hecho, la presión reducida en la superficie superior del ala es lo que más 5

Manual de Vuelo. Principios básicos. http://www.manualvuelo.com/PBV/PBV12.html 6 Ibíd. 7 Manual de Vuelo. Principios básicos. http://www.manualvuelo.com/PBV/PBV12.html

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Recuperado

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2018,

de:

Recuperado

17

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contribuye a la sustentación. (Esta explicación muy simplificada no considera la formación de vórtices; un análisis más completo los tendría en cuenta.) También podemos entender la fuerza de sustentación en términos de cambios de cantidad de movimiento. La figura 14.27a indica que hay un cambio neto hacia abajo en la componente vertical de la cantidad de movimiento del aire que fluye por el ala, correspondiente a la fuerza descendente que el ala ejerce sobre el aire. 8

Imagen 4: Líneas de flujo alrededor del ala de un avión.

3.2.

TEOREMA DE TORRICELLI

En el siglo XVII el hecho de que el vacío fuera parte del espacio era inconcebible, puesto que Aristóteles en reiteradas ocasiones intento verificar el peso del aire, pero debido a sus resultados sus pensamientos afirmaban que el vacío era una idea inconsistente. Luego de las investigaciones iniciadas por mentes de tan gran calibre como Galileo, Newton y Torricelli, hicieron un cambio en la mentalidad de los científicos de la época. Un discípulo de Galileo fue el encargado de cambiar el pensamiento sobre el vacío, el demostró que el aire es un fluido de carácter gaseoso, el cual nos rodea y ejerce una presión sobre nosotros. El aporte de este científico al mundo fue de gran impacto, debido a que muchos de los fenómenos que ocurrían en la naturaleza eran derivados de la presión atmosférica.9

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Física Universitaria Sears y Semansky. Recuperado 17 noviembre 2018, http://fis.ucv.cl/docs/fis-133/textos/Fisica-Universitaria-Sears-Zemansky-12va-Edicion-Vol1.pdf 9

de:

Principio Torricelli. Recuperado 19 noviembre 2018, de: https://hernanleon1002.wordpress.com/fisica-de-fluidos-y-termodinamica/segundo-corte/marcoteorico/165-2/

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Torricelli tomo un tubo y lo lleno con mercurio, lo giro y sumergió la boquilla del tubo, que estaba abierta, en un recipiente con más mercurio. El nivel de mercurio descendió algunos centímetros, lo cual dejo en el extremo un espacio sin mercurio, que se deduce es vacío. En el inicio del descubrimiento no se le daba la razón a la teoría de Torricelli, tuvieron que transcurrir unos años para que la sociedad reconociera que dicha teoría era cierta, debido al peso que operaba la atmosfera a la propia columna de mercurio.10

Imagen 5: Tubo de mercurio de Torricelli.11

El teorema de Torricelli es una aplicación directa del principio de Bernoulli y estudia el flujo de un líquido que está contenido en un recipiente. Este líquido se desplaza por un orificio hecho en dicho recipiente, el líquido se mueve atreves del orificio gracias a la fuerza de gravedad. El teorema de Torricelli nos permite hallar el caudal de salida del líquido que se desplaza por el orificio. “La velocidad de un líquido en una vasija abierta, por un orificio, es la que tendría un cuerpo cualquiera, cayendo libremente en el vacío desde el nivel del líquido hasta el centro de gravedad del orificio”.12 𝑣 = √2𝑔ℎ

Imagen 6: Principio de Torricelli.13

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Ibid. Recuperado 19 noviembre 2018, de: https://hernanleon1002.files.wordpress.com/2014/10/airpressure.jpg 12 Teorema de Torricelli. Recuperado 19 noviembre 2018, de: http://www.sanboni.edu.co/fisiclick/fisica/mecanica-de-fluidos/fluidos-en-movimiento/teorema-detorricelli/ 13 Ibid. 11

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4. CONCLUSIONES La puesta en práctica del teorema de Bernulli mediante el uso de un perfil alar, logró mostrar que la manera en la que reacciona el aire alrededor del elemento responde correctamente a lo planteado en el teorema, ayudando a comprender la sustentación de las aeronaves en vuelo, y el comportamiento de este en ciudades con diferentes alturas y temperaturas en las que varia el comportamiento del aire.

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REFERENCIAS      

Esquema para el desarrollo del principio de Bernoulli (Teorema de Bernoulli). Recuperado 17 noviembre 2018, de: http://www.guiasdeapoyo.net/guias/cuart_fis_e/Deduccion%20de%20bernoulli.pdf Física Universitaria Sears y Semansky. Recuperado 17 noviembre 2018, de: http://fis.ucv.cl/docs/fis-133/textos/Fisica-Universitaria-Sears-Zemansky-12va-Edicion-Vol1.pdf Manual de Vuelo. Principios básicos. Recuperado 17 noviembre 2018, de: http://www.manualvuelo.com/PBV/PBV12.html Principio Torricelli. Recuperado 19 noviembre 2018, de: https://hernanleon1002.wordpress.com/fisica-de-fluidos-y-termodinamica/segundo-corte/marcoteorico/165-2/ Recuperado 19 noviembre 2018, de: https://hernanleon1002.files.wordpress.com/2014/10/airpressure.jpg Teorema de Torricelli. Recuperado 19 noviembre 2018, de: http://www.sanboni.edu.co/fisiclick/fisica/mecanica-de-fluidos/fluidos-en-movimiento/teoremade-torricelli/

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ANEXOS Anexo 1: Dibujo inicial del perfil.

Anexo 2: Simulación del comportamiento del perfil contra el viento

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Anexo 3: Vista inferior del perfil sometido a prueba.

Anexo 4: Perfil alar terminado.

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