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• Miguel Cojal Aguilar

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FACULTAD DE INGENIERÍA CARRERA PROFESIONAL DE INGENIERÍA CIVIL

Título de Investigación:

TEOREMA DE GREEN CON APLICACIÓN – CÁLCULO III Integrantes:

Cojal Aguilar, Carlos Iván Lezama López, Jhammar Alveiro Ocas Culqui, César Eduardo Crisologo Llico Edith Lisbeth Yajahuanca Acuña, Vinklinton Docente:

Lic. Christian Murga Tirado Cajamarca - Perú 2016

CALCULO III

INDICE 1.

INTRODUCCIÓN...................................................................................1

2.

OBJETIVOS..........................................................................................2 2.1. 2.2.

OBJETIVO GENERAL........................................................................................... 2 OBJETIVO ESPECÍFICO........................................................................................2

CAPITULO 1: MARCO TEÓRICO.....................................................................3 1.

EL TEOREMA DE GREEN...................................................................................3 1.1. Teorema de Green-Riemann..............................................................................4 1.2. Teorema de Green para regiones múltiplemente conexas..........................................5 1.3. Principio De Independencia De La Trayectoria......................................................5 2. INTEGRAL DE LINEA.........................................................................................7 CAPITULO 2: APLICACIÓN...........................................................................8 CAPITULO 3: EJERCICIOS RESUELTOS............................................................9 CONCLUSIONES.......................................................................................23 REFERENCIAS CONSULTADAS (BIBLIOGRAFIA)...............................................24 ANEXOS................................................................................................. 25

1. INTRODUCCIÓN En el presente trabajo se da a conocer el concepto y aplicación del teorema de Green así como también parte de la integral de line ya que el teorema de Green está relacionado

CALCULO III

con este. El teorema de Green nos dice que la integral de una función sobre un conjunto S = [a, b] es igual a una función relacionada (la anti-derivada) evaluada de cierta manera sobre la frontera de S, en esta caso solo consta de do puntos a y b este teorema da la relación entre una integral de línea alrededor de una curva cerrada simple C y una integral doble sobre la región plana D limitada por C. Mediante este trabajo se presentara como se desarrolla el teorema de Green del mismo modo, resolverán ejercicios relacionados a este, y finalmente se presentara una aplicación del teorema de Green. Para ello se ha seleccionado previamente bibliografía adecuada las cuales definen términos basados en el desarrollo de integrales, se exponen ecuaciones para resolver problemas de integrales de superficie y áreas. Esta síntesis presenta diferentes formas de resolver problemas de cálculo vectorial mediante el Teorema de Green.

2. OBJETIVOS. 2.1. Objetivo General. Analizar y explicar el teorema de Green 2.2. Objetivo Específico Definir los procesos y desarrollo del teorema de Green.

CALCULO III

Aprender las aplicaciones del teorema de Green. Resolver ejercicios relacionados al teorema de Green. Desarrollar un problema de aplicación del teorema de Green.

DESARROLLO DEL TEMA. CAPITULO 1: MARCO TEÓRICO. 1. EL TEOREMA DE GREEN. El teorema de Green relaciona la integral de línea de un campo vectorial sobre una curva plana con una integral doble sobre el recinto que encierra la curva.

CALCULO III

Este tipo de teoremas resulta muy útil porque, dados un campo vectorial y una curva cerrada simple sobre la cual hay que integrarlo, podemos elegir la posibilidad m as simple entre integrar el campo directamente sobre la curva o bien integrar la diferencia de sus derivadas parciales cruzadas sobre el recinto que delimita la curva (CAPITULO 11: EL TEOREMA DE GREEN, s.f.) Teorema: Sea C una curva cerrada simple regular a trozos, positivamente orientada, en el plano R2, y sea D la unión de la región interior a C. Sea F – (P, Q): D → R2 un campo vectorial de clase C1. Entonces se tiene que: 0

P dx+Q dy −¿∫ D

∂Q ∂P − ∂x ∂ y

0

∫¿ C

Nota Histórica. El teorema de Green toma su nombre del científico inglés autodidacta George Green (1793 – 1841) quien trabajo en la panadería de su padre desde los nueve años de edad y aprendió matemáticas por sí mismo por medio de libros de la biblioteca. En 1828 publico privadamente un ensayo titulado “An Essay on the Application of Mathematical Analysis to the Theories of Electricity and Magnetism” (Un ensayo sobre la aplicación del Análisis Matemático a las Teorías de la Electricidad y el Magnetismo) del que solo se imprimieron 100 copias, la mayor parte de las cuales fueron a parar a manos de sus amigos. El panfleto contenía un teorema que es equivalente a lo que hoy conocemos como el teorema de Green, pero no fue ampliamente conocido en aquella época. Finalmente, a los 40 años de edad, Green entro a la universidad de Cambridge pero murió cuatro años después de

CALCULO III

graduarse. En 1846 William Thompson (Lord Kelv n) encontró una copia del ensayo de Green, comprendió su importancia, y lo hizo reimprimir. (EEI, 2012) 1.1. Teorema de Green-Riemann. Sea R una región del plano simplemente conexa y acotada, y supongamos que C es la curva cerrada y simple que envuelve a la región R orientada en sentido positivo. Supondremos que la curva anterior es rectificable. Si P(x,y) y Q(x,y) son dos campos escalares definidos sobre R derivables y con derivadas parciales continuas, se verifica que: 0 ∂P P ( x , y ) dx+ Q( x , y )dy = − dxdy ∫ ∬ ∂Q ∂ x ∂Y c R 0

(

)

Como consecuencia de este teorema, podemos enunciar: 

Teorema: Sea un campo vectorial, F(x,y) = (P(x,y), Q(x,y)) derivable, con derivadas continuas, sobre la región R simplemente conexa y

acotada, y supongamos que 

∂P = ( ∂Q ∂x ∂ y)

en todo el conjunto R.

Entonces F(x,y) = (P(x,y), Q(x,y)) es un campo gradiente.

Ya sabíamos también que si F era un campo gradiente resultaba que

∂P = ( ∂Q ∂x ∂ y)

CALCULO III

1.2. Teorema de Green para regiones múltiplemente conexas. Sea un conjunto R del plano simplemente conexo y denominamos por C k, k=1,2,...n a “n” subconjuntos simplemente conexos contenidos en R. Supondremos que si C es la curva que envuelve a R y Ck la que envuelve a cada Rk, todas esas curvas son cerradas, regulares, simples y orientadas positivamente. En estas condiciones, si

T =R−¿ k=1 ¿ n R k

y admitimos que el campo

vectorial es derivable, con derivadas continuas, sobre la región T, se verifica que: 0

0

0

k=1 C k

T

n

∫ P ( x , y ) dx+ Q( x , y )dy −∑ ∫ P ( x , y ) dx +Q( x , y)dy=∬ ( ∂∂Qx − ∂∂YP ) dxdy c

1.3. Principio De Independencia De La Trayectoria. Sea f (z) una función analítica en todo punto de un dominio simplemente conexo D y sean z1 y z2 dos puntos de D. entonces, sí usamos contornos

x2

contenidos en D, el valor de

∫ f ( z ) dz x1

no dependerá del contorno utilizado

para ir de z1 a z2. Demostración. Sea D un dominio simplemente conexo y C 1 y C2 dos contornos en D sin intersección que van de z 1 a z2. Se tiene que los contornos C 1 y – C2 forman un contorno cerrado simple, que denominaremos C. Luego, por el teorema de Cauchy-Goursat.

CALCULO III 0

∫ f ( z ) dz=0 C

Pero: 0

0

0

∫ f ( z ) dz=∫ f ( z ) dz + ∫ f ( z ) dz C

C1

0

−C 2

0

¿∫ f ( z ) dz−∫ f ( z ) dz C1

C2

Por lo tanto, 0

0

∫ f ( z ) dz=∫ f ( z ) dz C1

C2

Lo cual indica que la integral desde z1 hasta z2 es así independiente del contorno seguido, en tanto ese contorno se encuentre dentro de D. Del principio de la independencia de la trayectoria podemos definir la primitiva de una función de variable compleja. Sea f(z) una función analítica en un dominio simplemente conexo D. Sea z0 en un punto de D. La función F(z) definida en D por: z

F ( z )=∫ f ( s ) ds +C1 z0

Donde C es una constante compleja, se denomina integral indefinida o primitiva de f. En realidad f(z) posee un número infinito de primitivas. Dichas primitivas difieren en valores constantes y son analíticas en D, y satisfacen: F ' ( z )=f ( z)

CALCULO III

Usamos la integral indefinida ∫f(z) dz para indicar todas las posibles primitivas de f(z). El valor de la constante correspondiente a una primitiva específica

z

∫ f ( s ) ds z0

queda determinado por el límite de integración inferior.

2. INTEGRAL DE LINEA. En matemáticas, una integral de línea o curvilínea es aquella integral cuya función es evaluada sobre una curva. En el caso de una curva cerrada en dos dimensiones o del plano complejo, se llama también integral de contorno. Ejemplos prácticos de su utilización pueden ser: el cálculo de la longitud de una curva en el espacio, o también para el cálculo del trabajo que se realiza para mover algún objeto a lo largo de una trayectoria teniendo en cuenta campos de fuerzas (descritos por campos vectoriales) que actúen sobre el mismo. Integral curvilínea de un campo escalar Para f: R2 → R un campo escalar, la integral sobre la curva C (también llamada, integral de trayectoria), parametrizada como r(t) = x(t)i + y(t)j con t

[a, b], está definida como:

CALCULO III

√

2

2

x ( t ) , y (t ) [ x ' (t) ] + [ x '( t) ] dt ¿ f¿ b

f ( r ( t ))‖r ' ( t )‖dt=∫ ¿ a

b

fds=∫ ¿ a

0

∫¿ C

Dónde: r: [a, b] → C es una parametrización biyectiva arbitraria de la curva C de tal manera que r(a) y r(b) son los puntos finales de C. Las integrales de trayectoria son independientes de la parametrización r(t), porque solo depende de la longitud del arco, también son independientes de la dirección de la parametrización r(t).

CAPITULO 2: APLICACIÓN Se dejara caer una canica por una curva que viene modelada por la ecuación: la altura desde donde carera la canica es de un 1m. al igual que la distancia horizontal que corresponde a 1m. y = 50.022x6 - 183.23x5 + 251.02x4 - 159.86x3 + 48.355x2 - 7.1929x + 1.0037.

CALCULO III

Mediante el teorema de Green se determinara la distancia recorrida por la canica.

CAPITULO 3: EJERCICIOS RESUELTOS. 1. Calcularᶋ ydx−xdy , donde σ es da frontera del cuadrado [-1.1] x [-1.1] orientada en sentido cntario al de las agujas del reloj. Solución

CALCULO III

Por el tema de Green, si llamamos D al interior del cuadrado, entonces ∂Q ∂P ᶋ Pdx+Qdy=∬ D ∂ x − ∂ y dxdy

(

)

Como P ( x , y )= y ,Q ( x , y ) =−x , resultado en este caso, ❑

I =∬ −2 dxdy=−2∙ area ( D )=−8 D

2. Usar el teorema de Green para calcular σ

ᶋ ( y 2+ x 2 ) dx + x 4 dy , donde

es el perímetro de [ 0,1 ] x [ 0,1 ] en sentido positivo. Solución:

Como

P ( x , y )= y 2 + x 3 , Q ( x , y )=x 4 , entonces

De este modo, si Des el interior del cuadrado

∂Q ∂ P − =4 x 3−2 y ∂x ∂y

.

[ 0,1 ] x [ 0,1 ] , por el

teorema de Green, 0

1

1

I =∬ ( 4 x 3−2 y ) dxdy=∫ ( 4 x 3−2 y ) dy=∫ ( 4 x 3−1 ) dx=0 D

0

0

3 3 3 3 3. Sea F=(2 x − y , x + y ) .

a) Calcular ᶋF ds, donde σ sentido antihorario.

es la circunferencia unidad recorrida en

CALCULO III

b) Verificar el teorema de Green cuando σ

es la frontera de región

2 2 anular descrita por a ≤ x + y ≤b orientada en sentido positivo.

Solución: a) Si llamamos P(x, y) =

2 x 3 + y 3 , Q(x, y) =

x 3+ y3 , entonces

∂Q ∂ P 2 2 − =3 x +3 y . Por ∂x ∂y

el teorema de Green, x 2+ y 2 ≤1.

I =∬ D ( 3 x2 +3 y 2 ) dxdy ,

donde D es el circulo

Mediante un cambio a coordenadas polares, la integral

queda de la forma 2π

1

I =∫ dv=∫ 3 u2 .udu= 0

0

3π 2

b) Si aplicamos el teorema de Green, la situación es análoga a la del apartado (a), donde ahora la región D es la corona circular a ≤ x2 + y2 ≤ b .

El cambio a coordenadas polares en este caso nos conduce a 2π

b

4 4 4 4 b −a 3 π (b −a ) I =∫ dv=∫ 3 u .udu=3 ∙2 π = 4 4 0 0 2

CALCULO III

Si queremos resolver la integral de forma directa, debemos descomponer la trayectoria en dos curvas: C 1 es la circunferencia exterior

x 2+ y 2 =b2 recorrida en sentido antihorario, y C2 la x 2+ y 2 =a2

circunferencia interior

recorrida en sentido horario. Si

parametrizamos ambas curvas como:

{

C 1= x=b cost 0≤ t ≤ 2 π y=b sen t

;

{

C 1= x =a cost 0 ≤ t ≤ 2 π y=−a sen t

Resulta, 0

0

I =∫ F ds+ ∫ F ds C1

C2

2π

∫ [ ( 2 b3 cos3 t−b3 sen3 t ) (−bsent )+(b3 cos 3 t +b3 sen 3 t )( bcost)] dt 0

2π

+∫ [ ( 2 a3 cos3 t−a3 sen3 t ) (−asent )+(a 3 cos 3 t +a3 sen3 t)(acost ) ] dt 0

2π

∫ [ ( b 4 +a 4 )( −2 sent cos 3 t +sen 3 t cost ) +( b4 −a4 )(cos 4 t+ sen4 t)] dt 0

4

¿

4

3 π (b −a ) 2

CALCULO III

4. Si C es una curva cerrada que limita una región D a la que se puede ( D)=¿ ∫ �D

aplicar el teorema de Green, probar que área

xdy=−¿

∫�D ydx Solución: ( D)=¿ ∬ D

Por definición, área

P ( x , y )=0, Q ( x , y )=x

, entonces

dxdy .

∂Q ∂ P − =1 y ∂x ∂y

Si elegimos

, por el teorema de

Green, area ( D )=∬ D dxdy=∬ D

∂P − dxdy= ∫ ( ∂Q ∂x ∂ y)

∂D

xdy .

Por otra parte, la elecci´on P(x, y) = −y, Q(x, y) = 0, tambi´en

conduce a la igualdad

∂Q ∂ P − =1 y , aplicando nuevamente el ∂x ∂y

teorema de Green, resulta que area ( D )=−∫ ∂ D ydx

Observación. Sumando los dos resultados obtenidos, llegamos también a la formula conocida

1 area ( D )= ∫ ∂ D xdy− ydx 2

CALCULO III 2

5. Calcular el área de la elipse

2

x y + =1. a2 b2

Solución Teniendo en cuenta el ejercicio anterior, podemos aplicar la formula A= ∫ ∂ D xdy .

Para ello, parametrizamos la frontera de la elipse por

las ecuaciones cost , 0 ≤t ≤2 π { x=b y=b sen t ,

De este modo, 2π

2π

I =∫ acost ∙ bcost dt=∫ 0

0

1+cos 2t ab dt= ∙2 π=πab . 2 2

6. Usar el teorema de Green para calcular la integral de línea

∮ c y 3 dx +( x 3 +3 x y 2 ) dy gráfica de

, donde C es el camino de (0,0) a (1,1) sobre la

3

y=x y de (1,1) a (0,0) sobre la gráfica y=x. SOLUCIÓN

dP − ) dxdy ∮ c y 3 dx +( x 3 +3 x y 2 ) dy=∬ R ( dQ dx dy

{

dQ =3 y 2 dy dQ Q=x 3+ xy =3 x 2+3 y 2 dx P= y 3

CALCULO III

∮ c y 3 dx + ( x 3 +3 x y 2 ) dy=∬ R ( 3 x 2 +3 y 2 )−3 y 2 dxdy ¿∬ R ( 3 x 2) dxdy 1

x

¿∫ (∫ 3 x 2) dy 0

x

3

1

¿∫ ( 3 x3 +3 x 5 ) dx 0

3 x4 x6 ¿ − 4 6

(

1

)

0

3 1 ¿ − 4 2

¿

1 4

x2 y2 + =1 a2 b2

7. Calcula el área de la elipse:

SOLUCION:

Podemos aplicar la fórmula: A=

∫ xdy dD

. (Aplicando teorema de gren)

Para ello, parametrizamos la frontera de la elipse por las ecuaciones X= a cos t Y= b sen t (0 ≤ t ≤ 2 π

)

CALCULO III

De este modo: 2π

2π

A= ∫ a cos t . b cos t dt

= ab

o

2t dt ∫ 1+cos 2 0

=

ab . 2 π =πab 2

∫ ( x +2 ) ds , siendo C la curva dada por

8. . Calcular:

c

4 3 /2 1 2 r(t)=ti+ 3 t j+ 2 t k ,

0 ≤t ≤2

SOLUCION: 1 /2 De r”(t)=i+2 t j+tk,y

r ( t ) right rdline = ¿

z ( t ) right ] 2} [ x ( t ) right ] 2+ left [y (t ) ] 2+¿ = √¿

Se sigue que: 2

∫ ( x +2 ) ds = c

∫ ( t +2 ) √1+4 t+t 2 0

2

=

1+4 t +t ¿ 2 ( t +2 ) ¿ 2

1 ∫¿ 20 ≈ 15 .29

dt evaluado en 0 y 2

dt

√ 1+ 4 t +t2

CALCULO III

9. Mediante la fórmula de Green calcular la integral

donde Ces el circulo

∮ ( 2 x3 − y 3 ) dx+ ( x3 + y 3 ) dy c

x 2+ y 2 =1

Solución

∮ ( 2 x3 − y 3 ) dx+ ( x3 + y 3 ) dy c

{

3

P=2 x − y Q=x 3− y 3

∮ ( 2 x3 − y 3 ) dx+ ( x3 + y 3 ) dy c

3

=

=

⇒

{

∬ ( ∂∂Qx − ∂∂ Py ) D

dA

∂P =−3 y 2 ∂x ∂Q =3 x2 ∂y

∬ 3 ( x 2 + y 2 ) dA D

2 2 donde D: x + y ≤1

Pasando a coordenadas polares x=rcos θ , y=sen θ , 0 ≤θ ≤ 2 π y 0 ≤r ≤ 1.

∮ ( 2 x3 − y 3 ) dx+ ( x3 + y 3 ) dy c

=

∬ 3 ( x 2 + y 2 ) dA D

3 r 2 rdr 1

∫ ¿ dθ 0

=

¿ ¿

2π

∫¿ 0

CALCULO III

= 3 π 2 y=1-x

1

10. Transformación de una 1

integral de línea en

y

una de área. Evaluar

.

∫ X 4 dx+ xy dx

x

,

C

donde C es la curva triangular que une los puntos (0;0), (0;1) y (1;0),

orientada

positivamente.

Solución: La

gráfica

indica

P ( x , y )=X 4 →

dP =0 dy

la

región

encerrada

por

la

curva

C.

Tenemos:

CALCULO III

Q ( x , y )=xy →

dQ =y dx

Por lo tanto: dQ dx −dP (¿ )dA dy .

.

∫x C

4

dx + xy dx=∬ ¿ D

1 2 ¿

1 1−x ¿ 3∨1 = 0 6 1 −1 2 (¿ 1−x ) dx= ¿ 2 6 1

(¿ ¿ y ∨1−x )=∫ ¿ 0 0 2

1

ydydx=∫ ¿ 0

1− X

∫¿ 0 1

∫¿ 0

11. Mientras está bajo la acción de la fuerza

F ( xy )= y 3 i⃗ + ( x3 + x y 2 ) ⃗j una

partícula da una vuelta a la circunferencia de radio 3, usar el teorema de Green para hallar el trabajo realizado por

⃗ F .

SOLUCIÓN

CALCULO III

W =∫ ⃗ F .⃗ dr=∫ y 3 dx+ ( x3 + x y 2 ) dy=∬ 3 x 2 dxdy C

C

D

Pasando a coordenadas polares r=3, 0 ≤θ ≤ 2 2

2

3 r cos θr dr 3

∫ ¿ dθ 0

¿ ¿

2π

3 x dxdy=∫ ¿ 2

0

W =∬ ¿ D

2π

∫ (r 4 cos 2 θ)30 dθ 0

3 ¿ ¿ 4 2π

¿

3 ∫ (cos 2 θ) dθ 4 0

[

243 sen 2 θ ¿ θ+ 8 2

¿

243 π 8

2π

]

0

CALCULO III

12. El próximo ejemplo enseña cómo utilizar una integral de línea para hallar la masa de un muelle, en forma de hélice, de densidad variable. En la figura 14.11, téngase en cuenta que la densidad aumenta conforme la hélice asciende entorno al eje z.

Calcular la masa de un muelle que tiene la forma de la hélice circular 1 r(t)= √ 2 (costi+sentj+tk),

0 ≤t ≤6 π

Si la densidad del muelle viene dada por

ρ ( x , y , z )=1+ z ( figura 14.11 )

SOLUCIÓN r ( t ) right rdline = ¿

1 √(−sent ) 2+ ( cost ) 2+ (1 ) 2 =1 √2

La masa del muelle es: 6π

Masa=

∫ ( 1+ z ) ds c

=

∫ 0

(1+

t √ 2 ) dt

CALCULO III

Integrando y evaluando en 0 y 6 π

se tiene: ≈ 144 . 47

13. Utilice el Teorema de Green para calcular la integral

∮ ( y−x ) dx + ( 2 x− y ) dy C

,

donde C es la frontera de la región situada en el interior del rectángulo limitado por X=-5, X=5, Y=-3, Y=3 y en el exterior del cuadrado limitado por X=-2, x=1, Y=-1, Y=1

∮ ( y−x ) dx +( 2 x− y ) dy c

=

∬ ( 2−1 ) dA R

3

1

1

∫ dy dx−¿ ∫ ∫ dy dx =

−3

−1 −1 5

∫¿ −5

1

( 3−(−3 )) dx −¿ ∫ ( 1−(−1 ) ) dx =

−1 5

∫¿ −5

CALCULO III 5

1

= ∫ 6 dx−∫ 2 dx −5

−1

= ( 5− (−5 ) ) .6−2(1−(−1 )) =56

14. Aplicación del teorema de Green a un problema físico sobre una región con agujeros. Determinar el momento de inercia de una arandela homogénea de radio interno a, radio externo b y masa M, respecto a uno de sus diámetros. y

Solución: C2 a

b

x Determinaremos

el

momento

de

inercia

respecto al diámetro colonial con el eje x. De C1

Física sabemos que:

CALCULO III

Donde  es la densidad superficial de la arandela, supuesta constante dado que es homogénea. Esta región no es simplemente conexa pero, como se vio en la teoría, se puede extender el teorema de Green a este tipo de regiones con agujeros, siendo:

Por lo tanto, podremos calcular la integral doble del momento de inercia como dos integrales. Para ello debemos encontrar funciones P, Q tales que:

Aplicando Green con esta función tenemos:

(1) Parame trizando estas curvas tenemos

Reemplazando con esto en (1) tendremos:

CALCULO III

Ésta es la manera estándar de expresar un momento de inercia: como el producto de una longitud o suma de longitudes al cuadrado por la masa del rígido. 15. Calcular arctgx+ y (¿¿ 2)dx +¿

∫ 0¿

y

2

( e −x ¿ dy

c

Donde C es el camino que encierra la región anular de la figura 14.31

Solución: En coordenadas polares, R viene dada por 1≤ r ≤3

y 0 ≤θ ≤ π , Ademas

CALCULO III

͟ аN ͟ аM − θ+rsenθ ¿ аx аy =-2x-2y=-2(rcos

Así pues por el teorema de Green: arctgx+ y (¿¿ 2)dx +¿

∫ ❑¿

❑

y

2

( e −x ¿ dy =

∫ ❑∫ ❑ R

❑

c

−2 r ( cosθ+ seθ ) r dr dθ ¿ π

=

3

∫ ❑∫ ¿ 0

=

1

−104 3

-2(x+y) dA

CALCULO III

CONCLUSIONES 

Analizamos las Integrales de línea independiente de la trayectoria.



Explicamos el Teorema de Green.



Definimos integrales de línea.



Comparamos las diferentes definiciones de la bibliografía escogida.



Definimos los procesos y desarrollo del teorema de Green.



Resolvimos ejercicios y problemas usando ecuaciones las Integrales de línea independiente de la trayectoria y a la vez los Teoremas de integrales de línea entre ellos el Teorema de Green.



Aprendimos los métodos existentes para resolver las Integrales de línea independiente de la trayectoria.



Aprendimos las aplicaciones de este tipo de integrales de línea.

CALCULO III

REFERENCIAS CONSULTADAS (BIBLIOGRAFIA)  Integrales de línea. Teorema de Green, José Antonio Vallejo  http://es.wikipedia.org/wiki/Integral_de_l%C3%ADnea  https://es.khanacademy.org/math/multivariable-alculus/line_integrals_topicntegrales de línea, ISABEL MARRERO, Departamento de Análisis Matemático  http://www.uantof.cl/facultades/csbasicas/Matematicas/academicos/emartinez/calculo3/l ineavec/lineavec.html  CAPITULO 11: EL TEOREMA DE GREEN. (s.f.). Obtenido de https://eva.fing.edu.uy/pluginfile.php/117590/mod_resource/content/1/cap11-green.pdf  EEI. (8 de Febrero de 2012). Demostración y aplicaciones del teorema de Green . Obtenido de http://torricelli.uvigo.es/web_de_E.Faro/Calculo_II/Apuntes_files/clase_08.pdf

CALCULO III

ANEXOS

Modela a escala de la curva para aplicar el teorema de Green.