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• Patricio Astudillo

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MATEMÁTICAS APLICADAS TEOREMA DE GREEN

Bibliografía: 1. Matemáticas Avanzadas para Ingeniería – Kreyszig, 10ma edición, capítulo 10: 10.4 2. Cálculo – Larson, 9na edición, capítulo 15: 15.4 3. Cálculo – Stewart 7ma edición, capítulo 16: 16.4 4. Análisis Vectorial – Schaum, capítulo 6

Marzo 2018 – Agosto 2018

TEOREMA DE GREEN y y=g(x)

Las integrales de línea pueden transformarse en integrales dobles en una región donde la curva C es la frontera de esta región.

C2



C

C1 y=f(x) a

x b

Región de tipo I y C

d

 c

C1 x=p(y)

x=q(y) C2

x

Región de tipo II

Teorema de Green: Sea ℛ una región cerrada y acotada en el plano "𝑥 − 𝑦“. Sean 𝑀(𝑥, 𝑦) y 𝑁(𝑥, 𝑦) funciones que son continuas y tienen primeras derivadas 𝜕𝑀 𝜕𝑁 parciales 𝜕𝑦 y 𝜕𝑥 continuas en todo punto de algún dominio que contiene a la región, entonces:

 N M  R  x  y dA  C Mdx  Ndy

TEOREMA DE GREEN - APLICACIONES El teorema de Green es válido para una región que no es especial pero que se puede dividir en un número finito de estas. Teorema de Green para una curva suave a trozos: Evaluar la integral dada por la siguiente expresión a lo largo de la curva C mostrada en la figura:

 tan

1







x  y 2 dx  e y  x 2 dy

C

Teorema de Green para Regiones no Conexas: Determinar la integral de línea para la región definida por las siguientes expresiones: 2 xydx  x 2  2 x dy



2

C

2

x y  1 9 4 x2  y2  1

C





TEOREMA DE GREEN - APLICACIONES Algunas aplicaciones del teorema de Green se enuncian a continuación: Área de una Región: Para una región ℛ el área de la región limitada por una curva C, se determina mediante:

A

1 2

 xdy  ydx C

Área de una Región en coordenadas polares: Si se establece las transformaciones 𝑥 = 𝑟𝑐𝑜𝑠𝜃 y 𝑦 = 𝑟𝑠𝑒𝑛𝜃, entonces el área de la región se puede determinar como:

A

1 2

2 r  d

C

Laplaciano y derivadas direccionales: Para una función 𝑤(𝑥, 𝑦) continua y con primeras y segundas derivadas parciales continuas sobre un dominio en "𝑥 − 𝑦“ definida en una región ℛ como la del teorema de Green, entonces la siguiente expresión es verdadera:

w ds n C

2   wdA   R

TEOREMA DE GREEN - APLICACIONES Se puede expresar el teorema de Green en forma vectorial, así: Primera forma: El teorema de Green en forma vectorial se puede expresar de la siguiente manera:

 

y

 T



      F  kdA   F  dr

R



C

Segunda forma: Otra manera de representar el teorema de Green usando campos vectoriales es:

      BdA   B  nds R

C

 N

C

 B

x

TEOREMA DE GREEN - APLICACIONES y (1,1)

y 

x

2

C

y

‫ 𝑥 𝐶ׯ‬2 𝑦 + 𝑦 2 𝑑𝑥 + 𝑥 2 𝑑𝑦 siendo C la curva cerrada que limita la región definida por 𝑦 = 𝑥 y 𝑦 = 𝑥 2

x

Ejemplo 1: Comprobar el teorema de Green en el plano para la integral

x

Ejemplo 2: Determinar el área de la elipse descrita por las ecuaciones 𝑥 = 𝑎𝑐𝑜𝑠𝜃, 𝑦 = 𝑏𝑠𝑒𝑛𝜃. y r  3sen2

Ejemplo 3: Usando la integral de línea encontrar el área del lazo de la rosa de cuatro hojas 𝑟 = 3𝑠𝑒𝑛2𝜃.

C

x

TEOREMA DE GREEN - APLICACIONES 𝜕𝑤

Ejemplo 4: Evaluar la ‫𝑠𝑑 𝑛𝜕 𝐶ׯ‬, donde 𝑤 = 𝑒 𝑥 + 𝑒 𝑦 y C es la frontera del cuadrado 0 ≤ 𝑥 ≤ 2, 0 ≤ 𝑦 ≤ 2. y (2,2)

C

x