• Author / Uploaded
• Juan Martin Garcia

Citation preview

FACULTAD DE INGENIERÍA, ARQUITECTURA Y URBANISMO ESCUELA PROFESIONAL DE INGENIERÍA CIVIL Curso: Matemática II

Docente: Idrogo Burga, Edinzon Ciclo: III

Sección: A

Tema: Teorema de Green

Integrantes: -Agip Alvarado, Dayana -Bravo Cabanillas, Manuel -García Chumacero, Williams Raúl -Renilla Lau, Paula Alejandra -Salazar Pretel, Tatiana Marilú -Sandoval Bances Janaly -Tenorio De La Cruz Mónica

Pimentel – Perú

TABLA DE CONTENIDO INTRODUCCIÓN..................................................................................................3

TEOREMA DE GREEN........................................................................................4 SE DEFINE EN LO SIGUIENTE.......................................................................4 DEMOSTRACIÓN DEL TEOREMA DE GREEN PARA UNA REGIÓN SIMPLE:............................................................................................................5 EJERCICIOS DE APLICACIÓN........................................................................7 CONCLUSIONES...............................................................................................13 BIBLIOGRAFÍA...................................................................................................14

2

INTRODUCCIÓN El presente informe desarrolla la demostración y aplicación del teorema de Green, el cual es muy básico e importante porque nos facilita el cálculo de integrales de línea cuando tenemos una curva cerrada. En el informe se presentan cuatro ejercicios de aplicación con su respectivo desarrollo de forma clara y sencilla.

3

TEOREMA DE GREEN SE DEFINE EN LO SIGUIENTE Sea

∫ F . dr

Donde F=P ( x , y ) i+Q ( x , y ) j Sea C una curva simple cerrada, suave por tramos con orientación positiva en el plano, y sea D la región que delimita C. Si P y Q tienen derivadas parciales continúas sobre una región abierta que contiene a D, entonces:

DONDE:

= dx.dy NOTA:

Algunas veces, la notación se expresará así:

DONDE:

= Se usa para señalar que la integral de línea se calcula usando la orientación positiva de la curva cerrada C.

4

DEMOSTRACIÓN DEL TEOREMA DE GREEN PARA UNA REGIÓN SIMPLE: Observe que el teorema de Green estará demostrado si podemos demostrar que: 1)

2)

Demostraremos la ecuación 1 expresando D como una región del tipo I:

Donde g1 y g2 son funciones continuas. Esto nos permite calcular la integral doble del segundo miembro de la ecuación 1 como sigue:

3)

Donde del último paso se infiere del teorema fundamental del cálculo. Ahora calculamos el primer miembro de la ecuación 1 descomponiendo C como la unión de cuatro curvas C1, C2, C3 y C4 mostradas en la figura 3. Sobre C1 tomamos x como el parámetro y escribimos las ecuaciones paramétricas cuando:

5

POR TANTO:

Observe que C3 va de derecha a izquierda, pero -C3 va de izquierda a derecha, de modo que escribimos las ecuaciones paramétricas de -C3 como:

POR TANTO:

Sobre C2 o C4 (cualquiera de las cuales se podría reducir a sólo un punto), x es constante, de modo que dx = 0.

DONDE OBTENEMOS QUE: 6

Al comparar esta expresión con la de la ecuación 3, vemos que:

La ecuación 2 se puede demostrar casi de la misma manera al expresar a D como una región del tipo II. A continuación, al sumar las ecuaciones 1 y 2, obtenemos el teorema de Green.

EJERCICIOS DE APLICACIÓN 1. Evalúe

∫ c X 4 dx + xy dy

, donde C es la curva triangular que

consiste de los segmentos rectilíneos de (0, 0) a (1, 0), de (1,0) a (0, 1) y de (0, 1) a (0, 0).

La ecuación de una línea recta:

Y= ax + b

 Cuando X =1 y Y=0, reemplazamos en la ecuación de la recta Y= ax + b

0 = a (1) + b a+b=0



Cuando x=0 y y=1, reemplazamos en la ecuación de la recta

7

Y= ax + b

1 = a (0) + b b=1

Entonces obtenemos:

a= -1

y

b= 1

Reemplazamos en la ecuación de la recta

Y= -X + 1 Y= 1 – X

Derivamos:

P=

X

∂P ∂Y

= 0

∂Q ∂X

= Y

4

Q= XY

Aplicaremos el Teorema de Green:

1 1−x

=

∫∫ 0

y dy dx

0

8

Aplicaremos cambio de variable:

u= 1 – x du =

−dx dx

−du = 1

1 u2 ∫ 2 0

=

. −du

1

−1 u2 ∫ 2 0

=

du

3 0

[ ]

−1 u 2 3

=

=

1

[

3 −1 ( 1−x) 2 3

=

0

]

1

[ ]

−1 1 0− 2 3 1 6

2. Evalue

∮c

sin x (3y - e

circunferencia

x

2

+ y

2

) dx

+ (7x +

√ y 4 +1 ¿ dy

, donde C es la

=9.

2 2 C: x + y ≤ 9 2 2 2 C: x + y ≤3 r=3

(0,3)

9

(-3,0)

(3,0)

(0,-3)

Coordenadas polares:

x= r cos θ

x= 3 cos θ

dA=r dr dθ

y= r sin θ

y= 3 sin θ

θ= [ 0,2 π ]

sin x P= 3y - e

Q= 7x +

r= [ 0.3 ]

√ y 4 +1

Derivamos: ∂P =3−0=3 ∂y

sin x

P= 3y –

e

Q= 7x +

√ y 4 +1

∂Q =7+0=7 ∂x

Luego aplicamos el Teorema de Green:

(7-3) dA

10

2π 3

∫∫ 4 r dr dθ

=

0

0

2π

=

∫ 92 dθ

4

0

2π

=

∫ y 2 dx+ 3 xy dy

3. Evalúe

c

18 ∫ dθ 0

2π

=

[ 18θ ]0

=

18(2�) 36 �

, donde C es el limite o frontera de la region

semianular D entre los circulos

x 2+ y 2 =1

y

x 2+ y 2 =4

en el

semiplano superior. 2

2

x + y =1 2

r =1 r=1

x 2+ y 2 =4 r 2=4 r=2

r ∈[1,2] θ ϵ[0, π ] D= {r , θ ∕ 1 ≤ r ≤ 2, 0 ≤θ ≤ π }

Teorema de Green 11

∫ y 2 dx+ 3 xy dy C

∬ D

[

]

∂ ∂ ( 2) ( 3 xy )− y dA ∂x ∂y

∬ (3 y−2 y )dA D

∬ y dA D

π 2

∫∫ ( r sen θ ) r dr dθ 0 1

π

2

∫ sen θ dθ∫ r 2 dr 0

1

[ ]

[ −cos θ ] π0 1 r 3 3

2 1

14 3 4. Determinación de un área mediante una integral de línea. Determine el área de la región limitada por la hipocicloide que tiene la ecuación vectorial r(t) = cos3t i + sen3t j , 0  t  2

y 1

Solución:

-1

1

-De la parametrización de la curva tenemos: x = cos3t  x2/3 = cos2t

x

-1

y = sen3t  y2/3 = sen2t -Sumando miembro a miembro tenemos:

12

x 2 / 3  y 2 / 3  1  y   1  x 2 / 3 

3/ 2

1

 A



 1 x 2 / 3



1  1 x





3/ 2

2/3 3/ 2

dydx   21  x 2 / 3  1

1

3/ 2

dx

-Este cálculo, ejecutado como integral de área, es muy complicado. El teorema de Green nos permite transformar esta integral en una de línea, usando como trayectoria la hipocicloide del enunciado y definiendo una función apropiada para la integración. Veamos:

A  1dA -El área de una región D viene dada por

D

. Por lo tanto, para aplicar Q P  1 x y

Green deberíamos encontrar funciones P, Q / . Un par de funciones sencillas que cumplen esta condición son P = 0, Q = x. Si recordamos la parametrización, escribimos: x = cos3t  dx = -3 cos2t sent dt y = sen3t  dy = 3 sen2t cost dt -Luego: 2 2  Q P   dA   Pdx  Qdy   cos 3 t 3sen 2 t cos tdt  3 cos 4 tsen 2 tdt   0 0  x y  C

A    D

2

 3 cos 2 t 0





2

3 8 0

2 2  1  cos 2t  sen 2t sen 2 2t dt  3  dt   0 4 2 4  

2 3 8 0



( sen 2 2t  sen 2 2t cos 2t )dt 

 sen 4t sen 3 2t   1  cos 4t  2 3 1  sen 2t cos 2t  dt  8  2 t     2 8 6    

2

0

3   8

CONCLUSIONES 

El teorema de Green es importante porque nos facilita el cálculo de integrales de línea.



El teorema de Green es sencillo de aplicar y resolver.



Contamos con el teorema de Green como una herramienta útil para obtener el área de la región encerrada por una curva cerrada, permitiendo transformar integrales de área a integrales de línea.

13

BIBLIOGRAFÍA 

Ejercicios aplicativos, Teorema de Green. Recuperado de https://www.youtube.com/watch?v=Fqn5js0gWRM.



Teorema de Green. Recuperado de www.mtm.ufsc.br/~daniel/sem1_05/pugeo/green

14