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• Joel Orlando

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Bioingeniería

Cálculo Vectorial

2008

Teorema de Green

George Green  (julio de 1793, 31 de mayo de 1841)  fue un matemático británico cuyo  y trabajo influenció notablemente el  desarrollo de importantes  conceptos en física p

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Teorema de Green Relaciona una integral de línea  alrededor de una curva cerrada simple C y una integral doble sobre la  región plana D limitada por C.

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TERMINOLOGÍA 1.‐ CURVA CERRADA Y SIMPLE

C

Sea C una curva suave definida por una  p 2 función vectorial      : [a, b]            , R Se dice que es cerrada si:    (a)=     (b) Si además      es uno a uno en [a, b), C es  [ , ), cerrada y simple.

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2.‐ UNA  CURVA CERRADA  QUE NO ES SIMPLE

C es cerrada si:    (a)=     (b) No es uno a uno en [a, b), C se corta  a si misma C no es simple a si misma, C no es simple.

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3.‐ UNA  CURVA CERRADA Y  SIMPLE ORIENTADA  POSITIVA ( Sentido contrario a las agujas del reloj) POSITIVA ( Sentido contrario a las agujas del reloj)

4.‐ UNA  CURVA CERRADA Y SIMPLE ORIENTADA    NEGATIVA (Sentido Horario)

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Hipótesis del Teorema de Green • C: CURVA SUAVE  (O SUAVE A TROZOS),  CERRADA, SIMPLE Y  ORIENTADA POSITIVA ORIENTADA POSITIVA  EN EL PLANO.

•D: REGIÓN LIMITADA POR C •P  y Q  SON FUNCIONES DE DOS VARIABLES  INDEPENDIENTES: x, y DEFINIDAS EN UN CONJUNTO  ABIERTO A  ABIERTO  A QUE CONTIENE A LA REGIÓN QUE CONTIENE A LA REGIÓN

D Y CON  D  Y CON PRIMERAS DERIVADAS PARCIALES CONTINUAS EN A.  Tesis  del Teorema de Green

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Teorema de Green : DEMOSTRACIÓN PARA  UNA REGION SIMPLE QUE PUEDE DEFINIRSE  COMO TIPO I o II COMO TIPO I o II

Procedimiento: demostrar   primero 1, luego 2 para después primero 1, luego 2 para después  sumar 1

2

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Demostración de 1:

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Demostración de 1:

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Parametrización de C de C1: Parametrización de(‐C 2):

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Conclusión Primera  Parte

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Demostración de 2:

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CÁLCULO  DE LA INTEGRAL DOBLE

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CÁLCULO  DE LA INTEGRAL  DE LÍNEA  

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Conclusión Segunda Parte

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Conclusión Final Conclusión Final 1

2

De  1 y 2, sumando:  

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EXTENSIÓN  DE LA PRUEBA  A OTRAS     REGIONES 

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OTRAS REGIONES OTRAS    REGIONES 

Ejercicio  Propuesto: Verificar que se cumple el  teorema de Green en la región teorema de Green  en la región  dada, con a= 1, b=2, 

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PARA  OTRAS  REGIONES p El teorema de Green puede aplicarse a cualquier región que se pueda considerar como la unión de un número finito de regiones simples como las anteriormente tratadas.

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PARA  OTRAS  REGIONES

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Se Extiende a Regiones que no son  simplemente conexas

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APLICACIONES DEL TEOREMA DE GREEN  • CÁLCULO DE ÁREAS CÁLCULO DE ÁREAS

ÁREA:

• FACILITA EL CÁLCULO DE INTEGRALES  DE LÍNEA

• FACILITA EL CÁLCULO DE INTEGRALES DOBLES

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