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Universidad Autónoma de Nuevo León Facultad de Ingeniería Mecánica y Eléctrica

Teoría Electromagnética II

M.C. Catarino Alor Aguilar 2 de Junio de 2011

TEORIA ELECTROMAGNETICA 2 TEMARIO

 CAPITULO 1 LEY DE AMPERE

   

CAPITULO 2 LEY DE BIOT-SAVART CAPITULO 4 FUERZA MAGNETICA CAPITULO 5 BOBINAS, INDUCTORES Y SOLENOIDES CAPITULO 6 DEDUCCION DE LAS ECUACIONES DE MAXWELL  CAPITULO 7 ECUACIONES DE ONDA EN ESPACIO VACIO  CAPITULO 8 ECUACIONES DE ONDA  CAPITULO 9 CONDICIONES DE FORNTERA

Ley de Ampere – Ley de Biot- Savart Corriente, conducción, convención de densidad lineal de corriente a través de un conductor. Antes de analizar la ley de Ampere, aremos un paréntesis acerca del comportamiento del flujo de los electrones a través de un conductor.

Esto va estar en función de una velocidad de corrimiento la cual estará en función de la movilidad de electrones según el material del cual está hecho dicho conductor, por lo tanto es necesario tomar en cuenta lo siguiente:

U= velocidad de corrimiento (m/seg) µ= Movilidad de electrones (M2/ volts * seg) Densidad lineal de corriente mediante convención Para obtener esa densidad es necesario tomar en cuenta la densidad volumétrica que existe a través de los flujos de electrones los cuales se excitaran con la corriente. Por lo tanto es necesario tomar en cuenta las siguientes expresiones. J= densidad lineal de corriente ( Amp/ m2) ϱ= densidad volumétrica (c/m3) Ϭ conductividad del material ( V/m) ϱ= Ϭ/µ Densidad lineal de corriente por conducción Para obtener esta densidad es necesario partir de la densidad lineal por convención y en dicha expresión sustituir lo siguiente: J=δ*U (A/m2) = J= Ϭ/µ * (µE) = J=Ϭ*E (A/m2) = J=I/A

Por lo tanto un factor muy importante es encontrar la resistencia que presentara dicho conductor y con esto definir qué línea o cable es la mejor para transmitir voz, dato o video. Ϭ= 5.8 x107 V/m J=Ϭ*E (A/m2) J=I/A E=V/L

I/A= Ϭ * V/L L/Ϭ*A = V/L = R R= L / ϬA En base a todo lo anterior a partir de la densidad lineal de corriente que pasa por dicho conductor, utilizado la siguiente ecuación. I=∮

Ejemplo: Considere un conductor de cobre cuyo radio es 1cm y tiene una longitud de 100m de tal forma que el voltaje potencial a través de la línea es de 80 volts considere que la densidad lineal de corriente está en la dirección I=∫

ds= R dR dϕ

J= Ϭ E

E=V/L

E= 80/100 = .8 v/m J = (5.8x107)(.8) = 4.6 x 107 a/m2 I= ∫

∬

4.6 x 107 ∬ I= 1.44 x 10 4 A

Considere ahora que la densidad lineal de corriente tiene un valor de 15(1-e-1000R) (A/m2) y que el radio de un conductor es de 5 mm. Encuentre la corriente. J= 15(1-e-1000R)

(A/m2) (

I= ∫ ∬

)

15 - 15e-1000R)

∬ 15(R22)5x10-3 (φ) 15((5x10-3)2/2)(2 ) I= 1.1x10-3 A

dR dφ ∬ 15 ∬ U=R du= dr V=-e-1000R/1000 dv= ∫ -Re-1000R/1000 + ∫ -

-Re-1000R/1000 +

∫

-Re-1000R/1000 + ( ) -3 -1000(5x10-3) [(5x10 ) e /1000 - e-1000(5x10-3) /1000000 ] -(1/1000 000) 15(-1.04x10-6)(2 = -9.80x10-5

1.1x10-3 - (-9.80x10-5) I= 1.268x10-3 A

Considere un campo magnético de 2R de tal forma que el radio del conductor que genera dicho campo es de 2mm, con estas condiciones encuentre el flujo magnético y grafique el sistema. B=2R ⃑⃑⃑⃑ r= 2mm ds= RdR dφ φB= ∮

φB= ∫ 2[ (2x10-3)3 / 3 – 0] [2π] ΦB= 2(2.6 x10-9)(2π) = 3.35 x 10 -8 wb

Considere un filamento de corriente de 5 A, cuyo diámetro es de 2cm y está en dirección con respecto al campo considerando que el filamento mide 10m ¿Cual es el valor del flujo y haga su grafica? B=µH

H= I/2πR

B=µI/2πR

µ=4πx10-7

B = (4πx10-7)(5) / 2π (1) B =1x10-6 T

ds=dǾdz ar

φB= ∮ φB= ∫ 1x10-6[ 2π] [10 ] ΦB= 6.28 x 10 -5 wb

Considere un campo radial que tiene un valor de 2.39x10-6/R cosφ ̅̅̅̅ (A/m), el cual sale al espacio vacío y cruza una superficie la cual está limitada para –π/4 ≥φ ≥ π/4 y para 0 ≥ z ≥ 1. Con estas condiciones haga su grafica y encuentre ̅ Bn(flujo). Ds=Rd φdz ̅̅̅̅ ̅ Bn=∫ B=

∫

(

)

̅̅̅̅

H= (

∬

= =

*

=

( )

(

)+

[

]

̅ Bn= 4.64 A 10-Febrero-11 Encuentre el flujo magnético que cruza un plano para

el cual está definido para 0.01 ≥ R ≥

0.05 y 0 ≥ z ≥ 2 mts, considere un filamento de corriente que a través del cual pasa una corriente de 2.5 A y se encuentra situado a lo largo del eje C y haga su grafica. Datos I= 2.54 0.01 ≥ R ≥ 0.05 0≥z≥2

̅ Bn=∫

∬

[

]

= [

= =

∫ ∫ [

* (

]

)+ [ ]

= ( 4πx10-7 )(2.5)( ̅ B = 1.6 µWb

16-Febrero-11 B= 2 cos2

̅̅̅

R= 2x10-3 mts. ̅ B= ? ds= Rdrd ̅̅̅

̅ B= ∫ =2 ∫ ∫ ∫

u=R

∫

du= dr

* v=∫ =∫ = ∫

∫ ∫

= = = ̅ B= [

( )

( )

]

̅ B=2.35

Ejemplo Encuentre la fuerza necesaria a través de un campo que está entrando con un valor de 500 mT a una velocidad de 250 Km/hr. Con estas condiciones haga su grafica y encuentre su fuerza. 250 km(1600/3600) = 69.4 m/s F=(1.6x10-19)(69.4 m/s) (500 mT) sen 90º

F= 5.55 x 10-8 NT Tomando en cuenta los datos anteriores, encuentre el radio de la trayectoria del ̅ en el campo.

Tomando en cuenta el dato anterior, encuentre el tiempo requerido para 2.5 revoluciones (2 ½)

t= 1.78x10-10 s Considere un protón cuya fuerza está en la dirección ̅̅̅ para una I=500 A/m, donde el proton se desplaza a una velocidad del 65% de la luz. Con estas condiciones haga su grafica y encuentre F, R y t para ¾ de revolución. V B

F H = = 6.28 x 10-4 T ¾ de revolución

Ejercicios 1) Fuerza ̅̅̅̅ electrón V

2) Campo - ̅̅̅ protón

B

F F . V

3)Velocidad- ̅̅̅̅ protón

B Problema Encuentre la F sobre un filamento de corriente que tiene un valor de 2.5 A en dirección ̅̅̅ generando un campo magnético de 500 mT de 10º m y haga su grafica. I ̅̅̅

B

F

Considere un filamento de corriente de 20 m que está situado a lo largo del eje “y”, de tal forma que la corriente que pasa a través de el es igual a 2.5 A, de tal forma que el radio del conductor es de 4 mm. Con estas condiciones, encuentre la fuerza y su grafica.

Z B I Y X

F

J=I/A I=JA A= ( [

]

) (5.02

)

Deducción de las ecuaciones de maxwell Para poder llevar a cabo dicha demostración, hay que resaltar que gracias a las ecuaciones de maxwell es responsable entender el comportamiento de señales de propagación a través del espacio libre, por tal motivo empezaremos por definir la 1ra ecuación de maxwell en su forma integral. Deducción de la 1ra ecuación de maxwell en su forma integral Para poder llevar a cabo dicha demostración es necesario analizar tanto a la ley de gauss como el experimento de Faraday, de tal forma la ley de gauss establece que el flujo eléctrico a través de cualquier

superficie cualquiera imaginaria es igual a la carga total que encierra dicha superficie tal y como se muestra en la siguiente figura

Ѱ =Q Lo anterior lo podemos expresar matemáticamente de la siguiente manera Ѱ=ʃ D.ds Una vez que obtuvimos la ecuación matemática de Gauss, procederemos ahora a analizar el experimento de Faraday . Dicho experimento establece que el flujo eléctrico a través de cualquier esfera imaginaria, la carga encerrada a través de sus dos placas conductoras siempre será la misma en función del volumen

Q2 =Q1=Q

Por lo tanto matemáticamente lo podemos expresar de la siguiente manera: Q=ʃρv.dv Por lo tanto si relacionamos la ley de gauss con el experimento de Faraday obtendremos la 1era ecuación de maxwell en su forma integral, tal y como se muestra a continuación:

∮

∫

1era ecuación de maxwell en forma integral

Deducción de la 1era ecuación de maxwell en forma puntual Para poder llevar a cabo dicha demostración es necesario aplicar el concepto del teorema de divergencia cuando el incremento del volumen tienda a cero, quedando esto de la siguiente manera: ∫

=∫ = .D = ρv  1era ecuación de maxwell en forma puntual

∫

Demostracion de la 2da ecuacion de maxwell en su forma integral Para poder llevar acabo dicha demostracion es necesario hacer uso de la ley de lentz o ley de contreras y la condicion de lfujo magnetico quedando esto de la siguiente manera FEM=ʃE.dl , FEM=

, Φ=ʃB.ds FEM= fuerza electromotriz

Lo primero que tenemos que hacer es igualar ambas FEM para obtener la siguiente expresión. FEM=FEM ʃE.dl = una vez igualadas ambas FEM, sustituimos en el segundo termino por la siguiente expresion ʃE.dl = ∫

=

∫

sacando el integrador como un operador, obtenemos finalmente la segunda ecuacion de maxwell en su forma integral ∫

∫

 2da ecuacion de maxwell en su forma integral Deduccion de la 2da ecuacion de maxwell en su forma puntual Para poder llevar a cabo dicha expresion es necesario partir de la 2da ecuacion de maxwell en su forma integral y posteriormente aplicar el teorema de stokes ∮

∮

∮

∮

El teorema de stokes establece que podemos hacer un cambio de sistema lineal a superficial o en forma viceversa, esto es con el fin de simplificar expresiones, quedando de la siguiente manera: ∮

∫

Pasando el segundo termino al primer termino e igualando a cero, obtenemos la siguiente expresion: ∮

∫

Factorizando, resolviendo y despejando obtenemos finalmente la segunda ecuacion de maxwell en su forma puntual tal y como se muestra a continuacion ∮

[

]

∮ [ [

] ]

 segunda ecuacion de maxwell en su forma puntual

Deduccion de la 3ra ecuacion de maxwell en su forma puntual Para llevar a cabo dicha demostracion es necesario tomar en cuenta la ley de faraday, la ley de ampere, la ecuacion de continuidad y el desplazamiento del flujo tal y como se muestra a continuacion

∮

∮

Lo primero que tenemos que hacer es igualar ambas corrientes y posteriormente aplicarle criterio del teorema de stokes para dejar ambas expresiones en el mismo sistema , tal y como se muestra a continuacion: I=I ∮

∮

∮

∮

Teorema de stokes ∮

∮

De la expresion anterior pasando el segundo termino al primer termino e igualando a cero pbtenemos lo siguiente: ∮

∮

Factorizando, resolviendo, simplificando y despejando obtenemos la siguiente expresion [

∮ S*[

]

]=0 [

]

[

]

Dicha expresion pertenece a la ecuacion de la continuidad, por lo tanto es necesario encontrar el valor de dicha continuidad para el cual multiplicaremos toda la expresion por la divergencia. [

]

Aplicando los conceptos de los operadores vectoriales y sustituyendo por la condicion inicial obtenemos lo siguiente ̅̅̅ ̅̅̅̅

De la expresion anterior haciendo uso de la primera ecuacion de maxwell en su forma puntual y manipulando el operador nabla obtenemos finalmente el valor de sigma

Una vez encontrada el valor de sigma obtenemos finalmente la 3ra ecuacion de maxwell en su forma puntual, tal y como se muestra a continuacion:

3ra ecuacion de maxwell en su forma puntual Deduccion de la 3ra ecuacion de maxwell en su forma integral. Para obtener dicha deduccion, es necesario partir de la 3ra ecuacion de maxwell en su forma puntual y multiplicar a todas ellas por la integracion de superficie quedando de la siguiente manera. ∮ ∮

∮

∮

De dicha expresion, para darle la forma de la 3ra ecuacion de maxwell aplicamos el teorema de stokes y las condiciones iniciales para obtener dicha expresion

∮

∮ ∮

∮

∮

3ra ecuacion de maxwell en su forma integral

Deduccion de la 4ta ecuacion de maxwell en su forma integral Para obtener esta deduccion partimos de la 3ra ecuacion de maxwell, definiendo el vector de densidad de flujo magnetico B: B= Si hacemos una analogia exntre B y D(divergencia), podemos definir a pasa por una superficie S(el subindice “m” indica que es la densidad de flujo magnetico):

que

∮ En el flujo electrico

es igual a la carga encerrada por S (ley de Gauss): ∫

La carga Q es la fuente de lineas de flujo electrico y estas lineas empiezan en cargas positivas y terminan en cargas negativas. Para las lineas de flujo magnetico no se ha descubierto una fuente analoga a Q pues son cerradas y no terminan en una carga magnetica. Para esta ocasión, la ley de gauss para campos magneticos es: ∮

4ta ecuacion de maxwell en su forma integral

Deduccion de la 4ta ecuacion de maxwell en su forma puntual Para su deduccion aplicaremos a la 4ta ecuacion de maxwell en su forma integral, el teorema de la divergencia. Igualando, factorizando y resolveidno tenemos: ∮

∫ ∮

∮

∫

∫ [

∮

]

[ [

] ]

̅̅̅ ̅̅̅̅ [

] multiplicando todo por la divergencia 4ta ecuacion de maxwell en su forma puntual

Mediante las ecuaciones de maxwell demuestre que mediante un campo electrico existe un campo magnetico y viceversa, y dibuje la onda electromagnetica en el espacio vacio Ecuacion de maxwell Primera

Forma puntual

Forma integral

Segunda Tercera Cuarta

Mediante un campo magnetico existe uno electrico

∮

∫

∫

∫

∮

∮

∮

D=€.E E=V/L V=IR=H,B,Φ B=NH

Mediante un campo electrico existe uno magnetico

B=NH H=I/L I=V/R=D,E,Ѱ

J=0

Dado el siguiente campo vectorial H=Hmsen(βz-wt)̅̅̅̅(A/m)

Encuentre a) El campo magnetico (B) b) Densidad del flujo (D) c) El campo electrico (E) utilizando las condiciones de maxwell a) B=NH B=(NHmsen(Bz-wt) ̅̅̅̅ (Tesla)

(

)

̅̅̅

̅̅̅ ∫

c) D=E

Tarea

∫

̅̅̅̅ Encontrar lo siguiente: a) la densidad de flujo (D) b) la A c) H

̅̅̅̅

(

)

̅̅̅

̅̅̅ ∫ dB=-∫ЄEm cos(βz-wt) dt B=-∫ЄEm cos (βz-wt) dt B=-∫

sen (βz-wt) dt

B=µH por lo tanto H= Tarea viernes 25 de marzo del 2011 -Utilizando las condiciones de Maxwell demuestre que la velocidad de propagación depende de las condiciones que lo rodean.. Ecuaciones: E= Em sen(βz-wt)⃑⃑⃑⃑ ( ) H=

sen (βz-wt) ⃑⃑⃑⃑

( )

V= “Deducción de las Ecuaciones de Onda”

Partiendo de las ecuaciones de maxwell en su forma puntual, obtenemos las 4 ecuaciones de onda fundamentales para obtener posteriormente las ecuaciones de onda vectoriales, por lo tal motivo, haremos uso de la siguientes condiciones. H=Hm

, E=Em

, J=ϬE,ʆ=0,

D= Є.E, β=µH. 1ra Ecuacion de Onda: Para obtener dicha expresión es necesario partir de la 2da ecuación de maxwell en su forma puntual y sustituir en ella las condiciones iniciales y posteriormente resolverlas. 1.- vxE= -

=β

= -jwµHm

β

=-

= por lo tanto vxE = - jµwH

2da ecuación de onda Para obtener dicha expresión partiremos ahora de la tercera ecuación de maxwell en su forma putual y sustituir en ellas las condiciones iniciales tal y como se muestra a continuación. 2.- VxH = J+

= ϬE +

ϬEm

β

+

β

= ϬEm

β

+ JЄwEm

β

= ϬE+JwЄE = E(Ϭ + wЄ) 3ra ecuación de onda Para obtener dicha expresión partiremos ahora de la primera ecuación de maxwell en su forma puntual obteniendo lo siguiente 3.- V.D= ʆ = 0V.(Є.E) = 0 = Є.(D.E) = 0 = V-E = V.E=0 4ta ecuación de onda Para obtener dicha expresión partiremos ahora de la 4ta ecuación de maxwell en su forma puntual y sustituir en ella las condiciones iniciales. 4.-V.B = Ø = V.(µH) = 0 µ(V.H) = 0 = V.H = = V.H = 0 α=√

√

( )

Ecuaciones de ondas vectoriales

Una ves que deducimos las ecuaciones de onda pasamos ahora a obtener las ecuaciones de onda vectoriales para ello utilizaremos la siguiente expresión:

VxVxH = -V²H

Por lo tanto:

VxVxA=VA(VxA)-V²A

Vx(E(Ϭ+jwЄ)) = -V²H

V²H= Ɣ²E

VxVxE=VA(VxE)-V²E

VxE (Ϭ+jwЄ) H =- V²H

V²H= Ɣ²H

Vx(-JµwH)=-V²E

-Jµw(E(Ϭ+jwЄ))H = - V²H

Ɣ = α + jβ

-Jµw(VxH)=-V²E

por lo tanto V²H = Jµw(E(Ϭ+jwЄ))H

+Jµw(E(Ϭ+jwЄ)) = + V²E

Ɣ²= Jµw(E(Ϭ+jwЄ))

Jµw(Ϭ+jwЄ)E = V²E Donde: Ɣ = es una constante de propagación (1/mts) α = es una cosntante de atenuación (np/mts) β = constante de fase (rad/mts) tomando en cuenta las siguientes expresiones : Ɣ²= Jµw(E(Ϭ+jwЄ)) y

Ɣ = α + jβ

Demuestre que las ecuaciones de onda generales son las siguientes:

α=√

√

( ) *(α+jβ)²= J w(E(Ϭ+jwЄ))

β=√

√

( )

α²+ j2αβ-β² = J wϬ- w²Є

Ecuaciones de onda para conductores Condición Ϭ>>wε

w=2πf

α=w √ [(μЄ/2)(√1+( Ϭ /wε)2-1)]

α=√2πfμϬ/2

α=w √με Ϭ /2wε

α= √ πfμϬμp/mts

α=w √ w2μεϬ∕2wε

θ= Tan-1 (Ϭ∕wε)=45°

α=w √ wμϬ∕2

ϒ= (cosθ+jsenθ)

ϒ= (α+jβ) Β= (j √ πfμϒ) RAP/mts

ϒ= √ πfμϒ + j √ πfμϬ1/mts Ecuaciones de onda dieléctrica perfectas Condiciones Ϭ=0

n=√ μ/ε Ω

λ= √ 4π/√fμϬmts

α=w √ με/2 (√1+(Ϭ/wε)2-1)

v= w/β=w/√με

h= √ μw/Ϭ Ω

α=0.μP/mts

=1/√μεm/seg

v=w/β

β=w √ με/2(√1+(Ϭ/wε)2+1)

δ = 1/α

v=w/√ πfμϒ = √ (2πf)2/√πfμϬ = √4π2f2/√πfμϬ = 4πf/μϬmts/seg

β=w √ μεRAP/mts ϒ=α°+jβ ϒ= (jβ) 1/mts λ=2π/p mts

δ= 1/ √πfμϬmts/μp λ= 2π/β λ= 2π/√πfμϬ λ= √ (2π)2/√πfμϬ λ= √ (4π)2/√πfμϬ

Una señal de información proveniente del espacio vacío viaja a una frecuencia de 95.5 μHz. Con esta condición encuentre α, β, ϒ, λ, μ y v. α=0 β=w √ με

w=2π(95.5x106)

β= 600.04 √ (4πx10-7)(8.81x10-12)

w= 600.04

β= 1.996 v= 1/ √ με = 3x108 λ=2π/β = π

ϒ=α+jβ

h= 377Ω Una señal de información viaja a una frecuencia de 100μHz y atraviesa un medio relativo el cual tiene las siguientes condiciones. εr=4 y μr=8 con estas condiciones encuentre α, β, ϒ, λ, μ y v. α=0

w=2π(100x106)

β=w √ με

w= 628,318,530.7

β= 11.8194

μ=1.0053x10-5

w=2πf

ε=3.528x10-11

h= √ μ/ε= 534.41 v= 1/ √ με = 5.3x107

µₒ=

Є= 8.85 x

Considere una señal proveniente del espacio vacio el cual se impacta sobre un medio el cual tiene las siguientes condiciones: µr = 4 ;

Ϭ = 2.5 x

;

f= 200 MHz ;

Єr = 8;

con estas condiciones encuentre alfa ,beta , gamma, delta, lambda, eta, delta y la velocidad. Ϭ>>wЄ es por conductores

β=w√

Ϭ