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• Poncho Larios

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Líneas de espera o Teoría de Colas. Una cola es una línea de espera de clientes que se forma siempre que la demanda actual de un servicio excede a la capacidad actual de proporcionarlo. El total de clientes potenciales distintos, que pueden requerir en determinado momento el servicio se llama Población o fuente de entrada. La cual puede ser finita o infinita. El tiempo que ocurre entre dos llegadas consecutivas a una cola se le llama tiempo entre llegadas. En la mayoría de las situaciones las llegadas ocurren de manera aleatoria e independiente y no es posible pronosticar cuando ocurrirá una. En la mayoría de los casos se ha llegado a la conclusión de que la distribución de probabilidad Poisson, da una buena descripción del número de llegadas en un periodo e −λ λr unitario, donde la probabilidad de que lleguen r clientes esta dada por: P ( X = r ) = r!

Donde λ : # de ocurrencias promedio en un periodo unitario.

O su equivalente que el tiempo entre dos llegadas consecutivas sigue una distribución exponencial. λ λ f ( y ) = λe −λy y ≥ 0 P(Y ≤ y) = 1-e- y P(Y ≥ y) = e- y Ya en un caso específico se debe de hacer una prueba de hipótesis para determinar si efectivamente el número de llegadas sigue una distribución poisson o los tiempos entre llegadas sigue una distribución exponencial. Tiempo de servicio: Es el tiempo que transcurre desde el inicio del servicio para un cliente hasta su terminación en una instalación o servidor. Un modelo de un sistema de colas determinado debe especificar la distribución de probabilidad de los tiempos de servicio para cada servidor. La distribución que más se usa en la práctica es la exponencial. Ya en un caso específico se debe de hacer una prueba de hipótesis para determinar si efectivamente los tiempos de servicio siguen una distribución exponencial. Si el tiempo de servicio sigue una distribución exponencial entonces el número de clientes que son atendidos en un periodo unitario sigue una distribución poisson. Un banco opera una ventanilla de cajero para automovilistas que permite a los clientes efectuar transacciones bancarias completas sin tener que salir de su auto. En el horario de 13:00 a 14:00 hrs, las llegadas a la ventanilla del cajero automotriz ocurren de manera aleatoria, con una tasa media de llegadas de 30 clientes por hora. a. ¿Cuál es el número medio de clientes que llegarán en un periodo de 5 minutos? b. Suponga que se puede utilizar una distribución de probabilidad Poisson para describir el proceso de llegadas. Utilice la tasa media de llegadas del inciso a y calcule las probabilidades de que exactamente 3 clientes lleguen durante un periodo de 5 minutos. c. Se espera que haya atrasos, si llegan más de 3 clientes durante cualquier periodo de 5 minutos, ¿Cuál es la probabilidad de que ocurran estos atrasos? d. En promedio cuantos minutos pasan entre 2 llegadas consecutivas. e. Cual es la probabilidad de que pasen más de 3 minutos entre 2 llegadas consecutiva. Si los tiempos de servicio para el cajero destinado a automovilistas siguen una distribución de probabilidad exponencial, con una tasa media de servicio de 36 clientes por hora. f. ¿Cuál es la probabilidad de que el tiempo de servicio sea de 1 minuto o menos? g. ¿Cuál es la probabilidad de que el tiempo de servicio sea más de 2 minutos? h. ¿En promedio cuantos automovilistas son atendidos en un periodo de 10 minutos? i. ¿Cuál es la probabilidad de que se logre atender a 5 automovilistas en un periodo de 10 min? j. ¿Cuál es la probabilidad de que se logre atender a más de 3 automovilistas en un periodo de 10 min? 1

Disciplina de la cola: Se refiere al orden en que se seleccionan sus elementos para recibir el servicio: PLPS : Primero en llegar primero en ser servido. (Cajero) ULPS : Ultimo en llegar primero en ser servido. (elevador) SEOA : Servicio en orden aleatorio. PE : Prioridad en espera, según el grado de importancia. Muchos de los modelos hacen la suposición de que los tiempos entre llegadas y todos los tiempos de servicio son independientes. Tipos de Modelos de líneas de espera: Los modelos es común etiquetarlos en la forma: Modelo X/Y/Z X : Distribución de tiempos entre llegadas. Y : Distribución de tiempos de servicio. Z : Número de servidores o canales. Las distribuciones mas utilizadas son: M: Distribución exponencial (Markoviana) D: Distribución Degenerada (tiempos constantes) Ek: Distribución Erlang con parámetro k. G: Distribución General (Cualquiera). Terminología y Notación Estado del sistema

= Número de clientes en el sistema.

Longitud de la cola

= Número de clientes que esperan servicio. = (Estado del sistema) - (Número de clientes a quien se esta sirviendo)

N(t): Número de clientes en el sistema en el tiempo t ≥ 0 . Pn(t): Probabilidad de que exactamente n clientes estén en el sistema en el tiempo t, dado el # de clientes en el tiempo 0 (condición inicial). k : Número de servidores en paralelo en el sistema de colas. λn : Tasa media de llegadas (# esperado de llegadas por unidad de tiempo) de nuevos clientes cuando hay

n clientes en el sistema. λ : Cuando λn es constante para toda n, esta constante se denota solamente como λ .

1/ λ : Es el tiempo esperado entre llegadas a la cola. µn : Tasa media de servicio para todo el sistema (# promedio de clientes que completan su servicio por

unidad de tiempo) cuando hay n clientes en el sistema. µn

Representa la tasa combinada a la que todos los servidores ocupados logran terminar su servicio. Si la tasa media por servidor es constante esto es µ, entonces µ n = k µ . Además 1/ µ es el tiempo esperado de servicio por cliente.

P = λ k µ Factor de utilización, es la fracción esperada de tiempo que los servidores individuales están ocupados. Estado estable: Es cuando un sistema de servicio alcanza una operación normal. 2

Características de operación de un sistema con solo un servidor, y una línea de espera /M/M/1 en el estado estable, para cuando la tasa de llegada y la tasa de servicio es constante sin importar cuantos clientes hay en el sistema y no hay clientes perdidos (la capacidad del sistema es infinito). λ µ

1. Probabilidad de que no existan unidades en el sistema.

P0 =1 −

2. Número promedio de unidades en la línea de espera

Lq =

3. Numero promedio de unidades en el sistema.

L = Lq +

4. Tiempo promedio que utiliza una unidad en la línea de espera.

Wq =

5. Tiempo promedio que una unidad ocupa en el sistema.

W = Wq +

λ2 µ( µ − λ)

Lq λ

λ λ = µ µ−λ

=

λ µ(µ − λ)

1 1 = µ µ−λ

λ µ

6. Probabilidad de que una unidad que llega tenga que esperar servicio.

Pw =

7. Probabilidad de n unidades en el sistema.

λ Pn =   µ  P0  

n

λ/µ

8. Factor de utilización

Observación: Dichas expresiones se deben de utilizar cuando se tiene un sistema de k servidores cada uno con su propia línea de espera, donde se debe determinar la tasa de llegada a cada línea de espera de cada servidor como Se tiene una línea de espera para cada servidor. 1. Considere la operación del cajero automotriz de un solo servidor o canal y determine a. La probabilidad de que no haya ningún cliente en el sistema b. El número promedio de clientes esperando c. El número promedio de clientes en el sistema d. El tiempo promedio que ocupa un cliente esperando e. El tiempo promedio que ocupa un cliente en el sistema f. La probabilidad de que clientes que llegan tengan que esperar el servicio. g. Encuentre las probabilidades de que haya 0,1,2 y 3 clientes en el sistema. h. ¿Cuál es la probabilidad de que haya 2 clientes esperando?. 2. Un supermercado tiene 15 cajas instaladas, pero solo habilita (abre) algunas de ellas de acuerdo al flujo de clientes en ese momento. En lunes, los clientes llegan al área de cajas a una tasa de 2 clientes por minuto. Se ha determinado que en promedio un cajero se tarda en atender a un cliente 5 minutos. El flujo de clientes se reparte uniformemente entre las cajas. ¿Cuántas cajas deben estar habilitadas (abiertas) para que un cliente se tarde en promedio aproximadamente 22 minutos en el sistema?

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Características de operación de un sistema con k servidores y una sola línea de espera /M/M/k en el estado estable, para cuando la tasa de llegada y la tasa de servicio es constante sin importar cuantos clientes hay en el sistema y no hay clientes perdidos (la capacidad del sistema es infinito) 1. Probabilidad de que no existan unidades en el sistema.

P0 =

1  k −1 (λ µ) ∑  n =0 n! 

2. Número promedio de unidades en la línea de espera

3. Numero promedio de unidades en el sistema.

L = Lq +

5. Tiempo promedio que una unidad ocupa en el sistema.

 kµ     kµ − λ 

λ µ

Lq λ

W = Wq +

1 µ

6. Probabilidad de que una unidad que llega tenga que esperar servicio. Pw =

7. Probabilidad de que existan n unidades en el sistema.

 ( λ µ) k +  k! 

(λ / µ) k λ µ p0 (k − 1)! ( kµ − λ) 2

Lq =

4. Tiempo promedio que utiliza una unidad en la línea de espera. Wq =

n

1 λ    k!   µ

k

 kµ    kµ − λ  P0  

 (λ µ ) n P0 para n ≤ k  Pn =  n! n  (λ µ) P para n > k  k! k ( n − k ) 0 λ / kµ

8. Factor de utilización

Obs: En el caso en que el sistema tenga una capacidad restringida se pierden clientes que llegan y al encontrar el sistema lleno no se forman y se retiran. En cuyo caso las características de operación cambian. “Kentucky” en plaza el Dorado tiene una ventanilla de servicio al auto. Los sábados entre las 13:00 y las 15:00 las llegadas siguen una distribución de probabilidad Poisson, con una tasa media de llegada de 50 automóviles por hora. Los tiempos de servicio siguen una distribución de probabilidad exponencial con una tasa media de servicio de 28 automóviles por hora. Se desea analizar el efecto de 2 ventanillas de servicio, con una sola línea de espera. Responda los siguientes incisos. a) Determine las caracterisiticas de operación de este sistema de líneas de espera. Una casa de cambio va a abrir una nueva sucursal, la cual contará con tres cajeros. Se estima que llegarán 88 personas por hora y cada cajero puede atender a 35 personas por hora. El gerente de operaciones se encuentra indeciso sobre la forma de atender a los clientes. Puede instalar cordones de tal forma que los clientes hagan una sola fila y pasen a la primera caja que se desocupe o puede instalar los cordones de manera que cada caja tenga su propia fila, en cuyo caso se considera que los clientes se repartirán de manera uniforme entre las tres cajas. ¿Qué diseño le aconsejaría al gerente de operaciones?

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Características de operación de un sistema con k servidores y una sola línea de espera /M/M/1/k en el estado estable, para cuando la tasa de llegada y la tasa de servicio es constante sin importar cuantos clientes hay en el sistema y la capacidad del sistema solo puede albergar k clientes máximo (la capacidad del sistema es finito). Investigar.

Características de operación de un sistema con k servidores y una sola línea de espera /M/M/S/k en el estado estable, para cuando la tasa de llegada y la tasa de servicio es constante sin importar cuantos clientes hay en el sistema y la capacidad del sistema solo puede albergar k clientes maximo (la capacidad del sistema es finito). Investigar.

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Características de operación de un sistema con 1 servidor y una sola línea de espera /M/G/1. Investigar.

Características de operación de un sistema con 1 servidor y una sola línea de espera /M/G/S. Investigar.

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Análisis económico de las líneas de espera. Sean Cw: Costo de espera en todo el sistema por periodo de cada unidad ó costo por estar en la línea de espera. Lq: # promedio de unidades en la línea de espera

ó

L: # promedio de unidades en el sistema

Cs: Costo de servicio por periodo de cada servidor. K: # de servidores o canales. CT: Costo total en un periodo. CT = Cw * Lq + Cs * k

ó

CT = Cw * L + Cs * k

Grafica

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La compañía arrendadora de autos AVIS opera su propia instalación de mantenimiento de autos para prepararlos para su renta. Los autos llegan a esta instalación a una tasa de 6 por día con una distribución Poisson y se ha determinado que un empleado puede dar mantenimiento en promedio a 2 autos por día con una distribución Poisson. La compañía le paga a sus empleados $160 pesos por día y ha determinado que el costo por auto que no está disponible para rentarlo es de $250 pesos por día. Calcule el número de empleados que deben contratarse en la instalación de mantenimiento (se tienen suficientes instalaciones de servicio). Considere que el tiempo de mantenimiento se ajusta a una distribución exponencial y la frecuencia de llegada a una distribución Poisson.

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La casa de cambio va a abrir otra nueva sucursal, la cual contará con k cajeros. Se estima que llegarán 90 personas por hora y cada cajero puede atender a 30 personas por hora. El gerente de operaciones se encuentra indeciso sobre el # de cajeros a utilizar, si el costo por periodo que pasa un cliente en el sistema es de $20 y se le paga a $10 por hora a cada cajero. ¿Qué le aconsejaría al gerente de operaciones?

Ejercicios 1. Los clientes de una estética llegan a una tasa de 2.2 por hora, y los cortes de pelo ocurren a una tasa promedio de 5 por hora. Utilice el modelo de llegadas Poisson y tiempos de servicio exponenciales para responder las siguientes preguntas: (interprete) a. ¿Cuál es la probabilidad de que no haya ninguna unidad en el sistema? b. ¿Cuál es la probabilidad de que esté 1 cliente cortándose el pelo y ninguno esperando? c. ¿Cuál es la probabilidad de que esté 1 cliente cortándose el pelo y 2 clientes esperando? d. ¿Cuál es la probabilidad de que estén esperando más de 2 clientes? e. ¿Cuál es el tiempo promedio que espera un cliente para que lo atiendan? f. En promedio cuantos clientes se tiene en la estética? g. Si usted fuera cliente de la estética, estaría satisfecho con el desempeño de la misma. 2. Los camiones que utilizan un andén de carga de un solo canal llegan según una distribución de probabilidad Poisson. El tiempo requerido para cargar y descargar sigue una distribución de probabilidad exponencial. La tasa media de llegadas es de 12 camiones diarios, y la tasa media de servicio es de 18 camiones diarios. a. ¿Cuál es la probabilidad de que no haya camiones en el sistema? b. ¿Cuál es la probabilidad de que esté 1 camión descargando y 2 esperando en la línea de espera? c. ¿Cuál es el número promedio de camiones esperando servicio? d. ¿Cuál es el tiempo promedio que espera un camión a que se inicie el servicio de carga y descarga? e. ¿Cuál es la probabilidad de que una nueva llegada tenga que esperar? f. En promedio cuantos camiones se tiene en el sistema? 7

3. En la venta nocturna de Good Year se ha decidido contratar un nuevo mecánico para manejar todos los cambios de llantas de clientes que ordenan juegos nuevos de llantas. Dos mecánicos han solicitado trabajo. Uno de ellos tiene poca experiencia, puede contratarse por $70 la hora y darle servicio a un promedio de 3 clientes en ese lapso. El otro tiene varios años de experiencia, puede dar servicio a un promedio de 4 clientes por hora, pero se le tendrían que pagar $100 la hora. Suponga que los clientes llegan a una la tasa de 2 clientes por hora. a. Calcule y compare las características de la línea de espera de cada mecánico, suponiendo llegadas Poisson y tiempos de servicio exponenciales. b. Si la empresa asigna un costo por cliente en la línea de espera de $75 por hora, ¿en cuál de los mecánicos hay un costo menor.

4. En un centro de copiado que trabaja 12 horas al día, las personas que llegan a solicitar copias forman varias filas, según las copiadoras que estén habilitadas. Los clientes llegan al área de copiado a una tasa promedio de 48 por hora, el tiempo promedio que se tarda un empleado para sacar las copias es de 6 minutos por cliente. Si se desea que los clientes no se tarden más de 12 minutos desde que se forman hasta que obtienen sus copias, ¿cuántas copiadoras se deben habilitar? ¿Cuál es el tiempo ocioso del sistema? Sugerencia se deben de habilitar mas de 8. 5. La Fore and Aft Marina está ubicada en el río Ohio cerca de Madison, Indiana con solo un muelle donde se puede detener una embarcación a la vez para cargar combustible y recibir servicio. Suponga que las llegadas siguen una distribución de probabilidad Poisson, con una media de 5 embarcaciones por hora, y que los tiempos de servicio siguen una distribución de probabilidad exponencial, con una media de 6 embarcaciones por hora. a. ¿Cuál es la probabilidad de que no haya embarcaciones en el sistema? b. ¿Cuál es la probabilidad de que haya 2 embarcaciones esperando? c. ¿Cuál es el número promedio de embarcaciones que estén esperando servicio? d. ¿Cuál es el tiempo promedio que ocupará una embarcación esperando servicio? e. ¿Cuál es el tiempo promedio que ocupará una embarcación en el muelle? f. Si usted fuera el administrador de Fore and Aft Marina, estaría satisfecho con el nivel de servicio que está proporcionando su sistema? ¿Por qué si o por qué no? 6. El administrador de Fore and Aft Marina desea investigar la posibilidad de agrandar las instalaciones del muelle, de manera que se puedan detener dos embarcaciones simultáneamente, esto es 2 embarcaciones en el mismo servidor, por cuestiones de espacio la tasa conjunta de servicio solo será de 9 embarcaciones/hora, utilizando una sola línea de espera. a. ¿Cuál es la probabilidad que el muelle esté ocioso? b. ¿Cuál es la probabilidad de que haya 2 embarcaciones esperando? c. ¿Cuál es el número promedio de embarcaciones que estarán esperando servicio? d. ¿Cuál es el tiempo promedio que ocupará una embarcación esperando servicio? e. ¿Cuál es el tiempo promedio que ocupará una embarcación en el muelle? f. Si usted fuera el administrador de Fore and Aft Marina, ¿estaría satisfecho con el nivel de servicio que está proporcionando su sistema? ¿Por qué si o por qué no? 7. La compañía quiere utilizar mejor otro muelle de descarga, con una sola línea de espera para todo el sistema. El tiempo de servicio para este muelle también tendría distribución exponencial con la misma tasa de servicio que el muelle actual de la compañía, en promedio 6 embarcaciones por hora. a. Si se alquila este segundo muelle ¿Cuál sería el número promedio de buques en espera de entregar petróleo crudo?

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b. Considere lo siguiente: el costo de espera por buque en fila es de $20,000 y el costo de servicio por muelle es de $15000 por semana, el costo de alquilar el segundo muelle es de $60,000 por semana. ¿Cuál de los dos sistemas, 1 muelle o dos muelles, es conveniente utilizar?

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8. En el centro de copiado que trabaja 12 horas al día, el encargado se ha dado cuenta que es mejor tener solo una línea de espera para todas las copiadoras. Los clientes llegan al área de copiado a una tasa promedio de 48 por hora, el tiempo promedio que se tarda un empleado para sacar las copias es de 6 minutos por cliente. Si se desea que los clientes no se tarden más de 10 minutos desde que se forman hasta que obtienen sus copias, ¿cuántas copiadoras se deben tener? Con ese número de copiadoras, ¿cuántas horas al día estará desocupado el sistema?. (Extra: Y cualquier trabajador?) 9. Una franquicia de comidas rápidas está considerando operar una ventanilla para automóviles de servicio de alimentos. Suponga que las llegadas de los clientes siguen una distribución de probabilidad de Poisson, con una tasa media de llegadas de 24 automóviles por hora y que los tiempos de servicio siguen una distribución de probabilidad exponencial. Los clientes que llegan colocan sus pedidos en una estación de intercomunicación en la parte trasera del estacionamiento y a continuación se forman en una línea de espera, para luego pasar a la ventanilla de servicio para pagar y recibir sus compras. Se están considerando las siguientes cuatro alternativas de servicio. • Una operación de un solo servidor o canal, en la que un empleado surte el pedido y recibe el dinero del cliente. El tiempo promedio de servicio de esta alternativa es 2 minutos. • Una operación de un solo canal o servidor, en el que un empleado surte el pedido, en tanto un segundo empleado cobra al cliente. El tiempo promedio de servicio de esta alternativa es de 1.5 minutos. • Una operación de dos líneas de espera cada una con una ventanilla de servicio con su respectivo empleado. El empleado estacionado en cada una de las ventanillas surte el pedido y cobra a los clientes que llegan a su ventanilla. El tiempo promedio de servicio de esta alternativa es 2 minutos para cada canal. • Una operación de una sola línea de espera con dos servidores, con un empleado cada uno. Responda las siguientes preguntas en cada caso. (Construya una tabla comparativa, no es necesario interpretar cada resultado). ¿Cuál sistema recomienda? a. ¿Cuál es la probabilidad de que no haya ningún cliente en el sistema? b. ¿Cuál es el número promedio de automóviles esperando servicio? c. ¿Cuál es el tiempo promedio que espera un automóvil el servicio? d. ¿Cuál es el tiempo promedio en el sistema? e. ¿Cuál es el número promedio de automóviles en el sistema? f. ¿Cuál es la probabilidad de que un automóvil que llega tenga que esperar servicio? 10. El centro de salud de una comunidad, es responsable de administrar la vacuna oral de la polio a niños de edad escolar. El centro está organizado de tal forma que los padres con sus hijos forman una sola línea desde la cual reciben servicio por cualquiera de las enfermeras. El servicio se ofrece una vez a la semana, y en ese día la velocidad promedio Poisson de llegada es de 70 por hora. El director del centro sabe que la mayoría de los padres tienen trabajo y deben pedir permiso en su trabajo para llevar a sus niños a que los vacunen. El director desea limitar el tiempo promedio de espera en la línea a no más de 4 minutos. Si una sola enfermera puede administrar vacuna de polio a una velocidad exponencial con tiempo promedio de servicio de 3 minutos ¿Cuántas enfermeras debe programar el director para satisfacer esta meta? 11. Una compañía petrolera tiene un muelle para descarga en su refinería en Australia. Debido a las variaciones aleatorias del clima, de las demoras de descarga y de otros factores, los buques llegan a la refinería para descargar crudo según una distribución Poisson con una tasa promedio de 5 buques por semana. El tiempo de servicio es exponencial con una tasa promedio de servicio de 6 buques por semana. a) ¿Cuál es la probabilidad de que no haya embarcaciones en el sistema? b) ¿Cuál es el número promedio de embarcaciones que estén esperando servicio? c) ¿Cuál es el tiempo promedio que ocupará una embarcación esperando servicio? d) ¿Cuál es el tiempo promedio que ocupará una embarcación en el muelle? e) Si usted fuera el administrador, estaría satisfecho con el nivel de servicio que está proporcionando su sistema? ¿Por qué si o por qué no?

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12. La Ozella Fish Company utiliza sus propios botes camaroneros para pescar camarón y después lo empaca para enviarlo a otras partes. Cuando estos botes llegan durante la temporada, hay que descargarlos tan rápido como sea posible para que puedan volver al mar (solo existe un muelle, esto es un solo servidor). El gerente de producción de la Ozella Fish Company estima que el costo de que un bote camaronero permanezca detenido es de $50 por hora (esto incluye los salarios al igual que el tiempo perdido de pesca). Los trabajadores que descargan los botes ganan $8 por hora ya sea que estén trabajando o no. Si el patrón de llegadas para los botes camaroneros es aleatorio y el tiempo de descarga también lo es, ¿cuál es el número de trabajadores que la Ozella Fish debe utilizar para descargar los botes y que produzca el menor costo total? Los botes camaroneros llegan a una tasa promedio de uno por hora, se tiene que por cuestiones de espacio la tasa conjunta de servicio no se incrementa de manera lineal según el número de trabajadores asignado al servidor, sino de manera parabólica mediante la expresión: µ =2 / 5 P (mucho ayuda el que no estorba), donde P es el # de trabajadores asignados al muelle. 13. Acaba de surgir una nueva oportunidad para la Ozella Fish Company. Puede rentar un muelle adyacente en $20 la hora para descargar los botes camaroneros. Determine si sería redituable que la Ozella rente ese muelle, claro para compensar el costo de renta está considerando utilizar 2 trabajadores en cada muelle. 14. Un vivero de pedidos por correo se especializa en hayas europeas. Los nuevos pedidos, que procesa un solo oficinista de embarques, tienen una tasa media de llegadas y servicio de 6 y 8 diarios, respectivamente. Suponga que las llegadas siguen una distribución de probabilidad Poisson y que los tiempos de servicio siguen una distribución de probabilidad exponencial. a. ¿Cuál es el número promedio de pedidos en el sistema? b. ¿Cuál es el tiempo promedio que tarda una orden esperando, antes de que el oficinista esté disponible para iniciar el servicio? c. ¿Cuál es el tiempo promedio que un pedido ocupa en el sistema?

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