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• wilkinso alvarez anaya

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Docente Gisela Espinosa Díaz UNIDAD 2: FUNCIONES VECTORIALES TEMA 1: FUNCIONES VECTORIALES Y CURVAS EN EL ESPACIO Definición: Una función 𝑓 de valores vectoriales, o simplemente función vectorial, asocia un número real dado 𝑡0 , un vector posición ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑟(𝑡0 ). ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑟(𝑡 0 ) = 𝑓(𝑡0 )𝑖 + 𝑔(𝑡0 )𝑗 + ℎ(𝑡0 )𝑘 = 〈𝑓(𝑡), 𝑔(𝑡), ℎ(𝑡)〉

El Dominio de una función vectorial es el conjunto de valores de 𝑡 para los cuales las funciones 𝑓(𝑡), 𝑔(𝑡)𝑦 ℎ(𝑡) estén definidas. Es decir, ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = {𝑡 ∶ 𝑡 ∈∩ 𝐷𝑜𝑚(𝑓(𝑡), 𝑔(𝑡), ℎ(𝑡))} 𝐷𝑜𝑚 𝑟(𝑡)

Ejemplos: Determinar el Dominio de las siguientes funciones. a.

1 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑟(𝑡) = √𝑡 − 2𝑖 + 𝑡−3 𝑗 + 𝐿𝑛𝑡 𝑘

Solución: Hallemos el dominio de cada función de valor real 𝑓(𝑡) = √𝑡 − 2 → 𝑡 − 2 ≥ 0 → 𝑡 ≥ 2 𝑔(𝑡) =

→ 𝑡 ∈ [2, ∞)

1 → 𝑡 − 3 ≠ 0 → 𝑡 ≠ 3 → 𝑡 ∈ ℝ − {3} 𝑜 𝑡 ∈ (−∞, 3) ∪ (3, ∞) 𝑡−3 ℎ(𝑡) = 𝐿𝑛𝑡 → 𝑡 > 0

→ 𝑡 ∈ (0, ∞)

𝐷𝑒𝑏𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑠𝑒𝑐𝑡𝑎𝑟 𝑙𝑜𝑠 𝑑𝑜𝑚𝑖𝑛𝑖𝑜𝑠 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = {𝑡 ∶ 𝑡 ∈ [2,3) ∪ (3, ∞)} = [2, ∞) − {3} Por tanto, el 𝐷𝑜𝑚𝑟(𝑡)

Docente Gisela Espinosa Díaz b.

⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑟(𝑡) = √5𝑡 − 1𝑖 + 𝑡 2 𝑗 + 𝑒 5𝑡 𝑘

Solución: 𝑓(𝑡) = √5𝑡 − 1 → 5𝑡 − 1 ≥ 0 → 5𝑡 ≥ 1 → 𝑡 ≥ 𝑔(𝑡) = 𝑡 2 →

1 = 0,2 ; 5

1 𝑡 ∈ [ , ∞) 5

𝑡 ∈ (−∞, ∞)

ℎ(𝑡) = 𝑒 5𝑡 → 𝑡 ∈ (−∞, ∞) 1 Por tanto, el 𝐷𝑜𝑚 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑟(𝑡) = {𝑡 ⋰ 𝑡 ∈ [5 , ∞)}

c. ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑟(𝑡) = 𝐿𝑛|3𝑡 + 2|𝑖 + (8𝑡 + 4)𝑗 + √2𝑡 − 4𝑘 Solución: 𝑓(𝑡) = 𝐿𝑛|3𝑡 + 2| → 3𝑡 + 2 > 0 → 𝑡 > −

2 → 𝑡 ∈ (−0.66, ∞) 3

𝑔(𝑡) = 8𝑡 + 4 → 𝒕 ∈ (−∞, ∞) ℎ(𝑡) = √2𝑡 − 4 → 2𝑡 − 4 ≥ 0 → 𝑡 ≥

4 = 2 → 𝑡 ∈ [2, ∞) 2

⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = {𝑡 ⋰ 𝑡 ∈ [2, ∞)} Por tanto, el 𝐷𝑜𝑚 𝑟(𝑡)

5𝑡

d. 𝑟(𝑡) = 𝐿𝑛|8𝑡 + 12|𝑖 + 3𝑡−9 𝑗 + (5𝑡 3 + 6𝑡 2 − 7)𝑘 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = (5𝑡 3 − 8𝑡 + 10)𝑖 + √6 − 3𝑡 𝑗 + √𝑡 + 5 𝑘 = 〈5𝑡 3 − 8𝑡 + 10, √6 − 3𝑡, √𝑡 + 5〉 e. 𝑟(𝑡) Solución: 𝑵𝒐𝒕𝒂: 𝐸𝑛 𝑢𝑛𝑎 𝑑𝑒𝑠𝑖𝑔𝑢𝑎𝑙𝑑𝑎𝑑 𝑎𝑙 𝑚𝑢𝑙𝑡𝑖𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎𝑟 𝑜 𝑑𝑖𝑣𝑖𝑑𝑖𝑟 𝑝𝑜𝑟 𝑢𝑛 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑛𝑒𝑔𝑎𝑡𝑖𝑣𝑜 𝑠𝑒 𝑖𝑛𝑣𝑖𝑒𝑟𝑡𝑒 𝑙𝑎 𝑑𝑒𝑠𝑖𝑔𝑢𝑎𝑙𝑑𝑎𝑑. 𝑓(𝑡) = 5𝑡 3 − 8𝑡 + 10 → 𝑡 ∈ (−∞, ∞) 𝑔(𝑡) = √6 − 3𝑡 → 6 − 3𝑡 ≥ 0 → −3𝑡 ≥ −6 → 𝑡 ≤ −

6 → 𝑡 ≤ 2 ; 𝑡 ∈ (−∞, 2] −3

ℎ(𝑡) = √𝑡 + 5 → 𝑡 + 5 ≥ 0 → 𝑡 ≥ −5 ; 𝑡 ∈ [−5, ∞) Por tanto, el 𝐷𝑜𝑚 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑟(𝑡) = {𝑡 ⋰ 𝑡 ∈ [−5,2]}

Docente Gisela Espinosa Díaz f.

4𝑡 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑟(𝑡) = (5𝑒 4𝑡 + 2)𝑖 + √8 − 2𝑡 𝑗 + 2𝑡−12 𝑘

⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝐿𝑛|8𝑡|𝑖 + (3𝑡 + 10) 𝑗 + √4𝑡 + 25𝑘 g. 𝑟(𝑡)

TEMA 2: CALCULO DE FUNCIONES VECTORIALES Definición: “Limite y Continuidad” El límite de una función vectorial ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑟(𝑡) = 𝑓(𝑡)𝑖 + 𝑔(𝑡)𝑗 + ℎ(𝑡)𝑘 se define en términos de las funciones componentes, es decir, lim 𝑟(𝑡) = lim 𝑓(𝑡) 𝑖 + lim 𝑔(𝑡) 𝑗 + lim ℎ(𝑡) 𝑘

𝑡→𝑎

𝑡→𝑎

𝑡→𝑎

𝑡→𝑎

De igual manera, la función ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑟(𝑡) es continua en un punto 𝑎 si y solo si las funciones componentes 𝑓, 𝑔 𝑦 ℎ son continuas en 𝑎, es decir si lim 𝑟(𝑡) = 𝑟(𝑎)

𝑡→𝑎

Definición: “Derivada de una función vectorial” La derivada de una función vectorial ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑟(𝑡) = 𝑓(𝑡)𝑖 + 𝑔(𝑡)𝑗 + ℎ(𝑡)𝑘 se define en términos de las funciones componentes, es decir, ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑟′(𝑡) = 𝑓′(𝑡)𝑖 + 𝑔′(𝑡)𝑗 + ℎ′(𝑡)𝑘 Derivadas de orden superior: Las derivadas de orden superior de una función vectorial se obtienen también diferenciando sus componentes.

Definición: “Integral de una función vectorial” La integral de una función vectorial ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑟(𝑡) = 𝑓(𝑡)𝑖 + 𝑔(𝑡)𝑗 + ℎ(𝑡)𝑘 es una función vectorial continúa sobre el intervalo [𝑎, 𝑏], entonces la integral indefinida está definida por ∫ 𝑟(𝑡)𝑑𝑡 = [∫ 𝑓(𝑡)𝑑𝑡] 𝑖 + [∫ 𝑔(𝑡)𝑑𝑡] 𝑗 + [∫ ℎ(𝑡)𝑑𝑡] 𝑘 Y la integral definida 𝑏

𝑏

𝑏

𝑏

∫ 𝑟(𝑡)𝑑𝑡 = [∫ 𝑓(𝑡)𝑑𝑡] 𝑖 + [∫ 𝑔(𝑡)𝑑𝑡] 𝑗 + [∫ ℎ(𝑡)𝑑𝑡] 𝑘 𝑎

𝑎

𝑎

𝑎

Docente Gisela Espinosa Díaz Ejemplos: 1. Evaluar el límite dado. a. lim(𝑡 3 𝑖 + 𝑡 4 𝑗 + 𝑡 5 𝑘) 𝑡→2

Solución: lim(𝑡 3 𝑖 + 𝑡 4 𝑗 + 𝑡 5 𝑘) = (2)3 𝑖 + (2)4 𝑗 + (2)5 𝑘 = 8𝑖 + 16𝑗 + 32𝑘 𝑡→2 𝑡 2 −1

b. lim ( 𝑡−1 𝑖 + 5𝑡 6 𝑗 + 𝐿𝑛|𝑡|𝑘) 𝑡→1

Solución: lim ( 𝑡→1

𝑡2 − 1 (1)2 − 1 𝑖 + 5𝑡 6 𝑗 + 𝐿𝑛|𝑡|𝑘) = 𝑖 + 5(1)6 𝑗 + 𝐿𝑛|1|𝑘 𝑡−1 1−1 𝑡 2 − 1 (𝑡 − 1)(𝑡 + 1) = =𝑡+1 𝑡−1 𝑡−1 𝐷𝑖𝑓𝑒𝑟𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑑𝑒 𝑐𝑢𝑎𝑑𝑟𝑎𝑑𝑜𝑠 𝑎2 − 𝑏 2 = (𝑎 − 𝑏)(𝑎 + 𝑏)

𝐸𝑙𝑖𝑚𝑖𝑛𝑎𝑟 𝑙𝑎 𝑖𝑛𝑑𝑒𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑓𝑎𝑐𝑡𝑜𝑟𝑖𝑧𝑎𝑛𝑑𝑜

lim((𝑡 + 1)𝑖 + 5𝑡 6 𝑗 + 𝐿𝑛|𝑡|𝑘) = (1 + 1)𝑖 + 5(1)6 𝑗 + 𝐿𝑛|1|𝑘 = 2𝑖 + 5𝑗 + 0𝑘 𝑡→1

c.

lim (√4𝑡 2 + 6𝑡 𝑖 + (𝑡 + 1)𝑗 +

𝑡→−3

𝑡 2 +5𝑡+6 𝑘) 𝑡+3

Solución: Quitamos indeterminación, factorizamos: 𝑡 2 + 5𝑡 + 6 (𝑡 + 3)(𝑡 + 2) = = (𝑡 + 2) 𝑡+3 𝑡+3 lim (√4𝑡 2 + 6𝑡 𝑖 + (𝑡 + 1)𝑗 +

𝑡→−3

𝑡 2 + 5𝑡 + 6 𝑘) 𝑡+3

= lim (√4𝑡 2 + 6𝑡 𝑖 + (𝑡 + 1)𝑗 + (𝑡 + 2)𝑘) = 𝑡→−3

= √4(−3)2 + 6(−3) 𝑖 + ((−3) + 1)𝑗 + ((−3) + 2)𝑘 = √18𝑖 − 2𝑗 − 𝑘 ≈ 4,2𝑖 − 2𝑗 − 𝑘 d. lim (𝑒 5𝑡 𝑖 + 𝑡→2

𝑡−2 𝑗 2𝑡−4

+ (7𝑡 3 − 2𝑡)𝑘)

Solución: Quitar la indeterminación, factorizamos: 𝐹𝑎𝑐𝑡𝑜𝑟 𝑐𝑜𝑚𝑢𝑛 →

𝑡−2 (𝑡 − 2) 1 = = 2𝑡 − 4 2(𝑡 − 2) 2

Docente Gisela Espinosa Díaz 1 1 1 lim (𝑒 5𝑡 𝑖 + 𝑗 + (7𝑡 3 − 2𝑡)𝑘) = 𝑒 5(2) 𝑖 + 𝑗 + (7(2)3 − 2(2))𝑘 ≈ 22.026,5𝑖 + 𝑗 + 52𝑘 𝑡→2 2 2 2

𝑡 2 +𝑡−12 𝑖 𝑡−3 𝑡→3

e. lim (

4𝑡

+ (2𝑡 + 8)𝑗 + 13 𝑘)

Solución: Quitamos la indeterminación, factorizamos, 𝑡 2 + 𝑡 − 12 (𝑡 + 4)(𝑡 − 3) = =𝑡+4 𝑡−3 𝑡−3 lim ((𝑡 + 4)𝑖 + (2𝑡 + 8)𝑗 + 𝑡→3

4𝑡 12 𝑘) = 7𝑖 + 14𝑗 + 𝑘 13 13

2. Calcular la primera derivada de la función vectorial. a. 𝑟(𝑡) = (𝑡 3 − 2𝑡 2 )𝑖 + 4𝑡𝑗 + 𝑒 −8𝑡 𝑘 Solución: 𝑟′(𝑡) = (𝑡 3 − 2𝑡 2 )′𝑖 + (4𝑡)′𝑗 + (𝑒 −8𝑡 )′𝑘 = (3𝑡 2 − 4𝑡)𝑖 + 4𝑗 − 8𝑒 −8𝑡 𝑘 1 𝑡

b. 𝑟(𝑡) = 𝑙𝑛|5𝑡|𝑖 + 𝑠𝑒𝑛𝑡𝑗 + 𝑘

→ 𝑟𝑒𝑒𝑠𝑐𝑟𝑖𝑏𝑖𝑟

1 𝑡

= 𝑡 −1

Solución: 𝑟′(𝑡) =

5 1 𝑖 + 𝑐𝑜𝑠𝑡𝑗 − 𝑡 −2 𝑘 = 𝑖 + 𝑐𝑜𝑠𝑡𝑗 − 𝑡 −2 𝑘 5𝑡 𝑡

3. Para la función vectorial dada 𝑟(𝑡) = 𝑐𝑜𝑠𝑡𝑖 + 𝑠𝑒𝑛𝑡𝑗 + 2𝑡𝑘 , hallar a. 𝑟 ′ (𝑡) c. 𝑟 ′ (𝑡). 𝑟′′(𝑡) b. 𝑟′′(𝑡) d. 𝑟´(𝑡) × 𝑟′′(𝑡) Solución: a. 𝑟 ′ (𝑡) = −𝑠𝑒𝑛𝑡𝑖 + 𝑐𝑜𝑠𝑡𝑗 + 2𝑘 b. 𝑟 ′′ (𝑡) = −𝑐𝑜𝑠𝑡𝑖 − 𝑠𝑒𝑛𝑡𝑗 + 0𝑘 c. 𝑟 ′ (𝑡) . 𝑟 ′′ (𝑡) = 𝑠𝑒𝑛𝑡𝑐𝑜𝑠𝑡 − 𝑐𝑜𝑠𝑡𝑠𝑒𝑛𝑡 + 0 = 0 𝑖 d. 𝑟´(𝑡) × 𝑟 ′′ (𝑡) = |−𝑠𝑒𝑛𝑡 −𝑐𝑜𝑠𝑡

𝑗 𝑐𝑜𝑠𝑡 −𝑠𝑒𝑛𝑡

𝑘 2| 0

= (0 + 2𝑠𝑒𝑛𝑡)𝑖 − (0 + 2𝑐𝑜𝑠𝑡)𝑗 + (𝑠𝑒𝑛2 𝑡 + cos 2 𝑡)𝑘 = 2𝑠𝑒𝑛𝑡𝑖 − 2𝑐𝑜𝑠𝑡𝑗 + 1𝑘

Docente Gisela Espinosa Díaz 4. Calcular la integral indefinida en cada función. a. 𝑟(𝑡) = 6𝑡 2 𝑖 + 4𝑒 2𝑡 𝑗 + 8𝑐𝑜𝑠4𝑡 𝑘 Solución: ∫ 𝒓(𝒕)𝒅𝒕 = 𝟔 ∫ 𝑡 2 𝑑𝑡𝑖 + 4 ∫ 𝑒 2𝑡 𝑑𝑡𝑗 + 8 ∫ 𝑐𝑜𝑠4𝑡𝑑𝑡𝑘 , 6.𝑡 3 3

=(

+ 𝑐1 ) 𝑖 + (4.

𝑒 2𝑡 2

8.𝑠𝑒𝑛4𝑡 4

+ 𝑐2 ) 𝑗 + (

+ 𝑐3 ) 𝑘

= (2𝑡 3 + 𝑐1 )𝑖 + (2𝑒 2𝑡 + 𝑐2 )𝑗 + (2𝑠𝑒𝑛4𝑡 + 𝑐3 )𝑘 𝑢𝑛+1 1 + 𝑐 , 𝑛 ≠ −1 ; ∫ 𝑒 𝑘𝑢 𝑑𝑢 = 𝑒 𝑘𝑢 + 𝑐 ; 𝑛+1 𝑘 1 ∫ 𝑐𝑜𝑠𝑘𝑢𝑑𝑢 = 𝑠𝑒𝑛𝑘𝑢 + 𝑐 𝑘

𝑓ó𝑟𝑚𝑢𝑙𝑎𝑠: ∫ 𝑢𝑛 𝑑𝑢 =

1

3

b. 𝑟(𝑡) = √𝑡𝑖 + 𝑗 + 5𝑘 𝑡+1 Solución: Reescribimos la raíz como potencia, 1 𝑗 + 5𝑘 𝑡+1 1 1 ∫ 𝑟(𝑡) = ∫ 𝑡 3 𝑑𝑡𝑖 + ∫ 𝑑𝑡𝑗 + 5 ∫ 𝑑𝑡𝑘 𝑡+1 1

𝑟(𝑡) = 𝑡 3 𝑖 +

𝐿𝑎 𝑠𝑒𝑔𝑢𝑛𝑑𝑎 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑔𝑟𝑎𝑙 𝑙𝑎 𝑟𝑒𝑠𝑜𝑙𝑣𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑝𝑜𝑟 𝒔𝒖𝒔𝒕𝒊𝒕𝒖𝒄𝒊ó𝒏 1 𝑑𝑢 𝑢 = 𝑡 + 1 → 𝑑𝑢 = 𝑑𝑡 ; ∫ 𝑑𝑡 = ∫ = 𝑙𝑛𝑢 + 𝑐 = ln(𝑡 + 1) + 𝑐 𝑡+1 𝑢 3 4 ∫ 𝑟(𝑡)𝑑𝑡 = ( 𝑡 3 + 𝑐1 ) 𝑖 + (𝑙𝑛|𝑡 + 1| + 𝑐2 )𝑗 + (5𝑡 + 𝑐3 )𝑘 4 5. Hallar la derivada y la integral de la siguiente función vectorial 𝑓(𝑡) = 8𝑒 2𝑡 𝑖 + (5𝑡 4 − 6𝑡 3 + 8𝑡 − 10)𝑗 + 9𝑠𝑒𝑛3𝑡𝑘 Solución: 𝑓′(𝑡) = 16𝑒 2𝑡 𝑖 + (20𝑡 3 − 18𝑡 2 + 8)𝑗 + 27𝑐𝑜𝑠3𝑡𝑘 ∫ 𝑓(𝑡)𝑑𝑡 = 8 ∫ 𝑒 2𝑡 𝑑𝑡𝑖 + ∫(5𝑡 4 − 6𝑡 3 + 8𝑡 − 10)𝑑𝑡 𝑗 + 9 ∫ 𝑠𝑒𝑛3𝑡 𝑑𝑡 𝑘

Docente Gisela Espinosa Díaz ∫ 𝑓(𝑡)𝑑𝑡 = 8 (

𝑒 2𝑡 5𝑡 5 6𝑡 4 8𝑡 2 9𝑐𝑜𝑠3𝑡 + 𝑐1 ) 𝑖 + ( − + − 10𝑡 + 𝑐2 ) 𝑗 + (− + 𝑐3 ) 𝑘 2 5 4 2 3

∫ 𝑓(𝑡)𝑑𝑡 = (4𝑒 2𝑡 + 𝑐1 )𝑖 + (𝑡 5 −

3𝑡 4 + 4𝑡 2 − 10𝑡 + 𝑐2 ) 𝑗 − (3𝑐𝑜𝑠3𝑡 + 𝑐3 )𝑘 2

6. Hallar la primitiva de la función vectorial 𝑟 ′ (𝑡) = 𝑐𝑜𝑠2𝑡𝑖 − 2𝑠𝑒𝑛𝑡𝑗 + 𝑡𝑘 que satisface la condición inicial 𝑟(0) = 3𝑖 − 2𝑗 + 𝑘 Solución: 𝑟(𝑡) = ∫ 𝑟 ′ (𝑡) = ∫ 𝑐𝑜𝑠2𝑡𝑑𝑖 − 2 ∫ 𝑠𝑒𝑛𝑡𝑑𝑡𝑗 + ∫ 𝑡𝑑𝑡𝑘 1 𝑡2 𝑟(𝑡) = ( 𝑠𝑒𝑛2𝑡 + 𝑐1 ) 𝑖 − (−2𝑐𝑜𝑠𝑡 + 𝑐2 ) + ( + 𝑐3 ) → 𝑠𝑜𝑙 𝑔𝑒𝑛𝑒𝑟𝑎𝑙 2 2 𝑐𝑜𝑚𝑜 𝑠𝑒 𝑡𝑖𝑒𝑛𝑒 𝑞𝑢𝑒 𝑟(0) = 3𝑖 − 2𝑗 + 𝑘, 𝑟𝑒𝑚𝑝𝑙𝑎𝑧𝑎𝑚𝑜𝑠 1 (0)2 𝑟(0) = ( 𝑠𝑒𝑛2(0) + 𝑐1 ) 𝑖 + (2𝑐𝑜𝑠(0) + 𝑐2 )𝑗 + ( + 𝑐3 ) 𝑘 = 3𝑖 − 2𝑗 + 𝑘 2 2 𝑐1 𝑖 + (2 + 𝑐2 )𝑗 + 𝑐3 𝑘 = 3𝑖 − 2𝑗 + 𝑘 → 𝑐1 = 3 ; 2 + 𝑐2 = −2 ; 𝑐3 = 1 → 𝑐2 = −4 Por tanto, se tiene 1 𝑡2 𝑟(𝑡) = ( 𝑠𝑒𝑛2𝑡 + 3) 𝑖 + (2𝑐𝑜𝑠𝑡 − 4) + ( + 1) → 𝑠𝑜𝑙 𝑝𝑎𝑟𝑡𝑖𝑐𝑢𝑙𝑎𝑟 2 2 Ejercicios de práctica. 1. Determine el dominio, límite cuando 𝑡 → 3 , derivada e integral de la función vectorial: ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐺(𝑡) = √15 − 4𝑡𝑖 + (2𝑡 + 5)𝑗 − 𝑒 3𝑡−1 𝑘 Solución: Hallar el dominio: 𝑓: (2𝑡 + 5) → 𝑡 ∈ (−∞, ∞) 𝑔: 𝑒 3𝑡−1 → 𝑡 ∈ (−∞, ∞) ℎ: √15 − 4𝑡 → 15 − 4𝑡 ≥ 0 → 𝑡 ≤

−15 −15 → 𝑡 ∈ (−∞, ] −4 −4

𝐸𝑙 𝑑𝑜𝑚𝑖𝑛𝑖𝑜 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑓𝑢𝑛𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑒𝑠 { 𝑡: 𝑡 ∈ (−∞,

15 ]} 4

Docente Gisela Espinosa Díaz Hallar el límite: lim𝐺(𝑡) = lim(√15 − 4𝑡𝑖 + (2𝑡 + 5)𝑗 − 𝑒 3𝑡−1 𝑘) 𝑡→3

𝑡→3

= √15 − 4(3)𝑖 + (2(3) + 5)𝑗 − 𝑒 3(3)−1 𝑘 = √(3)𝑖 + 11𝑗 − 𝑒 8 𝑘 Derivada de la función: 1

𝐺(𝑡) = (15 − 4𝑡)2 𝑖 + (2𝑡 + 5)𝑗 − 𝑒 3𝑡−1 𝑘 1 1 𝐺 ′ (𝑡) = (15 − 4𝑡)−2 (−4)𝑖 + 2𝑗 − 3𝑒 3𝑡−1 𝑘 2

𝐺′(𝑡) =

−2 √15 − 4𝑡

𝑖 + 2𝑗 − 3𝑒 3𝑡−1 𝑘

Integral de la función: 1

∫ 𝐺(𝑡) = (15 − 4𝑡)2 𝑖 + (2𝑡 + 5)𝑗 − 𝑒 3𝑡−1 𝑘 𝑠𝑢𝑠𝑡𝑖𝑡𝑢𝑐𝑖ó𝑛 𝑢 = 15 − 4𝑡 → 𝑑𝑢 = −4𝑡𝑑𝑡 →

𝑑𝑢 𝑑𝑤 = 𝑑𝑡 𝑦 𝑤 = 3𝑡 − 1 → 𝑑𝑤 = 3𝑑𝑡 → = 𝑑𝑡 −4 3

1 1 1 ∫ 𝐺(𝑡)𝑑𝑡 = − ∫ 𝑢2 𝑑𝑢 𝑖 + ∫(2𝑡 + 5) 𝑑𝑡𝑗 − ∫ 𝑒 𝑤 𝑑𝑤𝑘 4 3 3 1 2 2𝑡 2 1 ∫ 𝐺(𝑡)𝑑𝑡 = (− . (15 − 4𝑡)2 + 𝑐1 ) 𝑖 + ( + 5𝑡 + 𝑐2 ) 𝑗 − ( 𝑒 3𝑡−1 + 𝑐3 ) 𝑘 4 3 2 3 3 1 2𝑡 2 1 ∫ 𝐺(𝑡)𝑑𝑡 = (− (15 − 4𝑡)2 + 𝑐1 ) 𝑖 + ( + 5𝑡 + 𝑐2 ) 𝑗 − ( 𝑒 3𝑡−1 + 𝑐3 ) 𝑘 6 2 3

2. Determine el dominio, derivada e integral de la función vectorial: 3𝑡 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐹(𝑡) = √𝑡 − 4𝑖 + 𝑗 − 𝐿𝑛|8 − 𝑡|𝑘 12 − 2𝑡 Solución: Dominio: 𝑓: √𝑡 − 4 → 𝑡 − 4 ≥ 0 → 𝑡 ≥ 4 → 𝑡 ∈ [4, ∞) 𝑔:

3𝑡 −12 → 12 − 2𝑡 ≠ 0 → 𝑡 ≠ → 𝑡 ≠ 6 → 𝑡 ∈ (−∞, 6) ∪ (6, ∞) 12 − 2𝑡 −2

Docente Gisela Espinosa Díaz ℎ: 𝐿𝑛|8 − 𝑡| → 8 − 𝑡 > 0 → 𝑡