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TEMA: FUNCIONES VECTORIALES 1. LIMITES Y CONTINUIDAD DE FUNCIONES VECTORIALES 1) Encuentre el dominio de las siguientes funciones vectoriales: a) F(t) = (Sen(t)) i + (Cos(t)) j + (Tan(t)) k b) h(t)F(t); donde h(t) = Sen(t) y F(t) =

1 1 1 i+ j+ k. Cos(t) Sen(t) Tan(t)

c) F(t) - G(t); donde F(t) = (ln(t)) i + 3t j - t2 k, G(t) = i + (5t) j - (t2) k. d) F(t) = ln(t)i+Tan(2t-π)j-(2t 2 -4t)k . e) F(t) =

25-t 2 i+ t 2 -4 j-

4t k. t -9 2

f) F(t) = 3Sec(4t-π)i+ln(2t-5)j+ t-5 k.

2) Calcular los siguientes límites:  1- t 1-e1-t t 5 -1  a) Lím  3 i+ j+ 6 k  t →1 t-1 t -1   1- t  t 3 -1 t 2 -3t+2  b) Lím  i+ 2 j+(t 2 +1)e t-1k  t →1 t +t-2  t-1 

 Sent 1-Cost  c) Lím  i+ j+e t-1k  t →0 t  t  2  1-t Cos(πt/2) 1-Sent  i+ j+ k d) Lím  t →1 1-t 1- t  Senπt   Sent Tant 1-Tan(t/4)  e) Lím  i+ j+ k t→π t-π t-π  t-π   π-2t 1-Sent Cost  f) Lím  i+ j+ π k  t → π/2  Cost π-2t t+ 2    1- Cost Cos2t-Cos4t Tant-Sent  g) Lím  i+ j+ k  2 2 3 t →0  t t t  

2  Sent-Sena Cost-Cosa Tant-Tana  h) Lím  i+ j+ k t →a t-a t-a t-a    3 a+t - 3 a-t 2 t 2 +t+1-t-2 a+t - a-t  i) Lím  i+ j+ k t →0   t t2 t    t-1+ t -1 t+8- 8t+1 1- 3 t  j) Lím  i+ j+ k t →1  5-t - 7t-3 1- 5 t  t 2 -1  k) Lím  t t 2 +9-t 2  i+  t 2 +1- t 2 -1  j+  t+1- t  k t →∞     t 3t 2t  3  2    1 l) Lím  1+  i+ 1-  j+ 1+  k  t →∞    4t   t   t   t -t t  ln(1+3t) e -e a -1  m) Lím  i+ j+ k t →0 t Sent t  

(

)

 ln(a+t)-lna eat -e bt Cosmt-Cosnt  n) Lím  i+ j+ k t →0 t t t2   t 2  2 -t lnt-ln2 t-2+ t - 2  o) Lím  i+ j+ k  t →2 t-2 t 2 -4  t-2  3) Encuentre los valores de t para los cuales las funciones dadas son continuas: a) F(t) = Cost i + Sent j + [t ] k b) F(t) =

i+2j t(t+1)

c) F(t) = et( t i + d) F(t) =

1 j +3k ) t

4-t 2 i+t 2 j+ t k .

e) F(t) = ln(1-3t) i + f) F(t) =

1 j+ 1-t 2 k . t

1 i+ t 2 -4 j+e t k . t -9 2

g) F(t) = ArcCos(t) i + t j +

t k

h) F(t) = ln(2t-5) i + ln(t-4) j + i) F(t) = Sec(2t- π4 )i +

8-t k .

25-t 2 j+2t k .

j) F(t) = 2Tan(3t- π4 ) i + 3 t j+ t 2 -4π 2 k.

3 2. DERIVADAS DE FUNCIONES VECTORIALES

1) Encuentre la derivada de las siguientes funciones vectoriales: 2

a)

F(t)=ln a+t 4 i+2tan(t ) j-t 3 3t k

b)

F(t)=Arctan( t ) i+Arcsen( t )j-Sec3 (3t)k

c)

F(t)=

d)

F(t)=eSen(2t) i+te t j-Cos(lnt)k

e)

F(t)=

f)

f(x)= ( xi+(x+1)j) • ( (2x)i-(3x 2 )j)

g)

f(x)= (Senx)i-(2x)j+(Cosx)k

Sent et 1 i+ -t t j- 2 k t+1 e +e t +2t

a 2t b3t c4t i+ jk 2 3 4

2) F(t) es la posición de una partícula en el espacio en el tiempo t. Encuentre la ecuación paramétrica de la recta tangente a la curva F en el punto dado. Encuentre la velocidad, la rapidez, la aceleración de la partícula y dirección en el tiempo t dado. a) F(t) = e2t i + (t2-t) j + (lnt) k ; t=3. b) F(t) = F(t)=(1+t) i+

t 2 t3 j- k ; t=1. 2 3

c) F(t)=(2Cost) i+(Sent)j-(4t)k ; t=π/2.

( )

d) F(t)=(Sect)i+(Tant)j- 43 t k ; t=π/6. e) F(t)=(2ln(t+1)) i+t 2 jf)

t2 k ; t=1. 2

F(t)=(e-t ) i+(2Cos3t)j-(2Sen3t)k ; t=0.

3) F(t) es el vector posición de una partícula en el espacio en el tiempo t. Encuentre los tiempos en el intervalo de tiempo dado, en que los vectores velocidad y aceleración son ortogonales. a) F(t)=(t-Sent) i+(1-Cost)j ; 0 ≤ t ≤ 2π. b) F(t)=(Sent) i+(Cost)j ; t ≥ 0.

4 4) Determinar los intervalos donde F(t) es una curva suave. a) F(t) = ( 5Cost - Cos5t ) i + ( 5Sent - Sen5t ) j b) F(t) = t2 i + t3 j c) F(t) = 2Cos3t i + 3Sen3t j d) F(t) = ( t - 2Sent ) i + ( 1 - 2Cost ) j e) F(t) = i /( t - 1 ) + (3t) j f) F(t) =

3t 3t 2 i+ j 1+t 3 1+t 3 2

2

 y z 5) Una partícula se mueve alrededor de la elipse   +   = 1 en el plano YZ de 2 3 manera que su posición en el tiempo t es F(t) = (3Cost)j + (2Sent)k. Encuentre los valores máximo y mínimo de llvll y llall. 6) Halle los vectores unitarios tangente T, normal principal N y Binormal B en cada punto de la gráfica de la función vectorial dada: a) F(t) = (2Cost)i + (2Sent)j + √5t k ; t = π/4 b) F(t) = ( Cos3t )i + (Sen3t )k ; t = π/3 3

c) F(t) = ( tCost )i + ( tSent )j + 2 3 2 t 2 k ; t = π/2

d) F(t) = ( et )i + (e-t )j + (√2t )k ; t = 1 e) F(t) = ( lnSent )i + ( lnCost )j ; t = π/3 7) Encuentre la ecuación de los planos : Osculador, Normal y Rectificante, de cada una de las siguientes curvas en el punto dado: a) F(t) = (2Cost)i + (2Sent)j + √5t k ; t = π/4 3

b) F(t) = ti + 23 t 2 k ; t = 1 c) F(t) = ( Cos3t )i + (Sen3t )k ; t = π/3 d) F(t) = ( tCost )i + ( tSent )j + 2 3 2

3 2

t k ; t = π/2

e) F(t) = ( et )i + (e-t )j + (√2t )k ; t = 1 f) F(t) = ( lnSent )i + ( lnCost )j ; t = π/3

5 8) Encuentre las funciones de Curvatura y Torsión para las siguientes curvas espaciales: a) r(t) = (Cost + Sent)i + (Sent - tCost)j + 3k. b) r(t) = ( et Cost )i + ( et Sent )j + 2k. c) r(t) = ( Cos3t )i ( Sen3t )j. d) r(t) = ( Cosht )i + ( Senht )j + tk. e) r(t) = (aCost )i + ( aSent )j + (bt)k. 9) Encuentre la función de curvatura de la hélice r(t) = (aCost )i + ( aSent )j + (bt)k, (a,b>0) . ¿Cuál es el máximo valor que puede tener k para un valor fijo de b? 10) Encuentre la función de torsión de la hélice r(t) = (aCost )i + ( aSent )j + (bt)k, (a,b>0) . ¿Cuál es el máximo valor que puede tener τ para un valor fijo de a?

3. INTEGRALES DE FUNCIONES VECTORIALES

1) Calcule las siguientes integrales: 

 1   1-t i+ t 1+t j+  5  k  dt  t +t  

a)

∫ (

) (

)

b)

t t ∫ ( t e ) i+ ( tSen(4t) ) j+ ( e Cost ) k  dt

c)

∫ ( Arctant ) i+ ( Arcsent ) j+ ( xArctan2t ) k  dt

d)

∫ ( ln(t) ) i+ ( tln(t) ) j+ ( ln (t ) k  dt

e)

∫ (

f)

∫  t

g)

∫ (Sen t ) i+ (Sec t ) j+ ( Cos4tCos8t ) k  dt

h)

∫  1+tant  i+  Sent+Cost  j+ (

i)

∫ 

2 2

2

) (

) (

4-t 2 i+

4+t 2 j+

)

t 2 -4 k  dt 

 1   1   1    i+   j+   k dt 2 +4   t 2 -4   t 2 +t-2   2



1

3





1



 1-t   1   1  i+  1+ t  j+  e t +e-t 1+t   

 1+Cos4t k  dt 

)

   k  dt  

6

j)

 ∫  e

( ) t

 t 2 +1   1   i+  4  j+   k  dt  t +1   tln(lnt)  

2) Resuelva los problemas de valor inicial para r como función vectorial de t. a) Ecuación diferencial

:

Condición inicial

:

b) Ecuación diferencial

:

Condición inicial

:

c) Ecuación diferencial

:

Condición inicial

:

d) Ecuación diferencial

:

Condición inicial

:

e) Ecuación diferencial

:

Condición inicial

:

dr =(180t)i+(180t-16t 2 )j . dt r(0) = 100 j dr 3 1 = 2 1+t i+e-t j+ k. dt 1+t r(0) = k dr 3 =(t +4t)i+(t)j+2t 2 k . dt r(0) = i + j d2r =-32k . dt 2 r(0) = 100k

y r´(0) = 8i + 8j

dr =-i-j-k . dt r(0) = 10i + 10j + 10k y r´(0) = 0i + 0j + 0k

3) La aceleración de una partícula en función del tiempo t ≥0 viene dada por la expresión a=

dv =(12Cos2t)i-(8Sen2t)j+(16t)k. [ 0,1] dt

Sabiendo que la velocidad v y el

desplazamiento r son nulos en t=0, hallar v y r en función del tiempo. 4) Halle la longitud del arco de la curva en el intervalo indicado: a) F(t) = (12t)i + (5Cost)j + (3-5Sent)k ; 0 ≤ t ≤ 2. b) F(t) = (2Cost)i + (2Sent)j + √5t k ; 0 ≤ t ≤ π. 3

c) F(t) = ti + 23 t 2 k ; 0 ≤ t ≤ 8. d) F(t) = ( Cos3t )i + (Sen3t )k ; 0 ≤ t ≤ π/2. 3

e) F(t) = ( tCost )i + ( tSent )j + 2 3 2 t 2 k ; 0 ≤ t ≤ π