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න 𝐅 ⋅ 𝑑𝐫 𝐶

ඵ 𝛻𝑓 𝑥, 𝑦

FUNCIONES VECTORIALES DE UNA VARIABLE MA263 CÁLCULO II

UNIDAD 4

Funciones vectoriales y cálculo vectorial, integrales de línea • Competencia: Razonamiento Cuantitativo – nivel 2. • Logro de la unidad: Al finalizar la unidad, el estudiante determina la ecuación paramétrica de una curva y calcula integrales de línea de

campos escalares y vectoriales.

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Logro de la sesión

Al finalizar la sesión, el estudiante, parametriza

curvas

para

representarlas mediante funciones vectoriales, realiza operaciones con funciones vectoriales y representa curvas en el espacio.

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Temario ❖Funciones vectoriales ❖Curvas en el espacio

❖Recta tangente ❖Aplicaciones de la función vectorial

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Funciones vectoriales

𝐫 𝑡 = 𝑃0 + 𝑡𝑎 𝑎 = 𝑎1 ; 𝑎2 ; 𝑎3

𝑃 𝑥0 ; 𝑦0 ; 𝑧0

𝐫 𝑡

𝐫 𝑡 = 𝑥0 + 𝑡𝑎1 ; 𝑦0 + 𝑡𝑎2 ; 𝑧0 + 𝑡𝑎3 MA263 CÁLCULO II

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FUNCIONES VECTORIALES Y CURVAS EN ℝ𝟑 Definición. Si 𝑓, 𝑔 y ℎ son funciones reales de la variable real 𝑡. entonces se define la función vectorial 𝐫 por medio de 𝐫 𝑡 = 𝑓 𝑡 𝐢 + 𝑔 𝑡 𝐣 + ℎ 𝑡 𝐤 = 𝑓 𝑡 ;𝑔 𝑡 ;ℎ 𝑡 donde 𝑡 es cualquier número real del dominio común de 𝑓, 𝑔 y ℎ .

𝑓 𝑡 , 𝑔 𝑡 y ℎ 𝑡 son las componentes del vector r(𝑡) El dominio de 𝐫 es el conjunto de valores de 𝑡 para los cuales 𝑓 𝑡 , 𝑔 𝑡 y ℎ 𝑡 están definidas.

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Ejemplo 1. Encuentre el dominio de la siguiente función : 𝐫 𝑡 = ln 𝑡 ;

1+𝑡

8−𝑡

; 𝑒 −𝑡

El dominio de 𝐫 es el conjunto de valores de 𝑡 para los cuales 𝑓 𝑡 , 𝑔 𝑡 y ℎ 𝑡 están definidas.

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Curvas en el espacio 𝑹𝟑 Hay una estrecha relación entre funciones vectoriales continuas y curvas en el espacio. Suponga que 𝑓, 𝑔 y ℎ son funciones continuas de valores reales en un intervalo 𝐼. Entonces el conjunto 𝐶 de todos los puntos 𝑥; 𝑦; 𝑧 en el espacio, donde 𝑥=𝑓 𝑡 𝐶 = ൞𝑦 = 𝑔 𝑡 ;𝑡 ∈ 𝐼 𝑧=ℎ 𝑡

Se llama curva en el espacio y las ecuaciones reciben el nombre de ecuaciones paramétricas de 𝐶, 𝑡 es el parámetro. MA263 CÁLCULO II

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Ejemplo 2. Describa geométricamente el rango de la siguiente función (trace las curva correspondiente) 𝐫 𝑡 = sen 𝑡 ; 3 ; cos 𝑡

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Ejemplo 3. Determine una ecuación vectorial y las ecuaciones paramétricas del segmento rectilíneo que une el punto 𝑷 1; 3; −2 con el punto 𝑸 2; −1; 3 .

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Ejemplo 4. Sean las superficies con ecuaciones:

Ejemplo 2

𝑆1 : 𝑥 2 + 𝑦 2 = 1; 𝑆2 : 𝑦 + 𝑧 = 2, a. Grafique las superficies en el primer octante y la curva C de intersección de ellas e indique sus extremos con ternas ordenadas. b. Parametrice la curva C, indique en el gráfico el sentido de la curva según la parametrización escogida (sentido de crecimiento del parámetro).

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Derivada

Q

P

C

𝐫 𝑡0 + ℎ − 𝐫 𝑡0 ℎ

𝐫′ 𝑡0

z

𝐫 𝑡0

𝐫 𝑡0 + ℎ

y x

𝐫′ 𝑡0

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𝐫 𝑡0 + ℎ − 𝐫 𝑡0 = lim ℎ→0 ℎ 12

Teorema Sea 𝐫 𝑡 = 𝑓 𝑡 ; 𝑔 𝑡 ; ℎ 𝑡

= 𝑓 𝑡 𝐢 + 𝑔 𝑡 𝐣 + ℎ 𝑡 𝐤 , donde 𝑓, 𝑔 y ℎ son funciones

derivables, entonces

𝐫′ 𝑡 = 𝑓′ 𝑡 ; 𝑔′ 𝑡 ; ℎ′ 𝑡

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= 𝑓′ 𝑡 𝐢 + 𝑔′ 𝑡 𝐣 + ℎ′ 𝑡 𝐤

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Recta tangente 𝐿 𝑇 = 𝐏 ∈ 𝑅3 / 𝐏 = 𝐫 𝑡0 + 𝑡𝐫′ 𝑡0 , 𝑡 ∈ 𝑅

z 𝐫 𝑡0

C y x MA263 CÁLCULO II

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Ejemplo 5. Sea 𝐫 𝑡 = cos 𝑡 ; sen 𝑡 ; 𝑡 a) Halle 𝐫′ 𝑡 . 5 b) Halle la ecuación de la recta tangente a la curva en el punto donde t = 𝜋. 2

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Integrales Dada la función 𝐫 𝑡 = 𝑓(𝑡); 𝑔(𝑡); ℎ(𝑡) , se cumple

𝑏

𝑏

𝑏

𝑏

න 𝐫 𝑡 𝑑𝑡 = න 𝑓 𝑡 𝑑𝑡 𝐢 + න 𝑔 𝑡 𝑑𝑡 𝐣 + න ℎ 𝑡 𝑑𝑡 𝐤 𝑎

𝑎

𝑎

𝑎

También se cumple

න 𝐫 t 𝑑𝑡 = න𝑓 (𝑡) 𝑑𝑡, න𝑔 (𝑡) 𝑑𝑡, නℎ (𝑡)𝑑𝑡

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Integrales Es posible generalizar el teorema fundamental de cálculo para funciones vectoriales continuas como se señala a continuación: 𝑏

න 𝐫(𝑡) 𝑑𝑡 = 𝑹 𝑡

𝑏 𝑎

= 𝑹 𝑏 − 𝑹(𝑎)

𝑎

Donde 𝑹 es una antiderivada de 𝐫 , es decir 𝑹′ 𝑡 = 𝐫 𝑡

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Aplicaciones de la función vectorial Velocidad y aceleración z

𝐯 𝑡0 = 𝐫′ 𝑡0

Q

P

𝐚 𝑡0 = 𝐫′′ 𝑡0 𝐫 𝑡0

C

𝐫 𝑡0 + ℎ

y x MA263 CÁLCULO II

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Si 𝐫(𝑡) representa la posición de una partícula en el instante 𝑡:

Vector velocidad :

Ejemplo 2

𝐯(𝑡) = 𝐫′(𝑡)

Rapidez : 𝑣(𝑡) = 𝐫 ′ (t)

Vector aceleración : 𝐚(𝑡) = 𝐯 ′ (𝑡) = 𝐫′′(𝑡)

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Ejemplo 6. Una partícula parte de la posición 𝐫 0 = 1; 0; 3 . Si se sabe que su velocidad en cualquier instante 𝑡 es 𝐯 𝑡 = 2 cos 𝑡 𝐢 + 3𝑡 2 + 1 𝐣 + 2𝑡𝐤. a) Determine la posición de la partícula para cualquier instante de tiempo. Sugerencia: Tener en cuenta: 𝐫 𝑡 = ‫𝑡𝑑 𝑡 𝐯 ׬‬ b) Determine la aceleración de la particula para cualquier instante de tiempo. Sugerencia: Tener en cuenta: 𝐚 𝑡 = 𝐯′ 𝑡

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Libro texto para el curso

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