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• alexander ferrer dominguez

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UNIDAD I: MATEMATICAS III – UNHEVAL - ARQUITECTURA

FUNCIONES VECTORIALES DE VARIABLE REAL Una función que tiene dominio en un subconjunto de los números reales y rango en Rn se denomina función vectorial de variable real. Simbólicamente; : I ⊂ R ⇾Rn t

(t)

La función : asocia a cada número real t ∈ R un y solo un vector (t) en Rn ; donde (t) = ( f1(t) , f2(t) , f3(t) ,…, fn(t) ) Cada fi es una función real de una variable real, t; fi: Dom(fi)⊂ R ⇾ R t

; ∀ i = 1 , 2, 3 , …, n

fi(t)

Dom(fi) es el dominio de la función real fi. Las funciones fi son llamadas funciones coordenadas o componentes. Nota: Si la función vectorial r describe el movimiento de una partícula, el vector r (t )  ( f (t ) , g (t ), h (t ) ) señala su posición en el instante t , en estos casos t representa la variable tiempo.

El dominio de F se denota por Dom(F) y es dado por la intersección de los dominios de sus funciones componentes. Es decir;

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( )

( )

⋂

NOTA.- El dominio de F es el mayor subconjunto de R para el cual F(t) tiene sentido. Observe: Si la función vectorial es :

r (t )  ( f (t ) , g (t ), h (t ) ) Entonces:

I  Dom(r)  Dom( f )  Dom( g )  Dom(h)

E 1. Sea la función vectorial F : R ⇾ R3, tal que ( ) Sus funciones componentes son: f1(t) = t ; f2(t) =

√

(

√

(

))

; f3(t) = ln(4 – t ) ,

cuyos dominios son: Dom(f1) = R

; Dom(f2) = ]1 , + ∞[

; Dom (f3) = ]-∞ , 4 [

La intersección de los dominios es ]1 ,4 [ = Dom(F)

E2. Sea F(t) = ( 1,3, 0 ) + t (-1,-1,3 ) , t ∈ R . A cada número real , t , la función F le asocia un radio vector en R3 que termina en la recta que tiene dirección (- 1,-1,3) y pasa por el punto (1,3, 0). F(t) = ( 1 – t , 3-t , 3t) . Sus funciones componentes son f1(t) = 1- t ; f2(t) = 3t ; f3(t) = 3t Dom(f1) = Dom(f2) = Dom(f3) =R ; luego Dom ( F) = R y su rango son todos los puntos de la recta L.

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E3.-Graficar el rango de H(t) = ( sen(t), cos(t), t) ; t ∈ La función asocia a cada ángulo t, un punto de la hélice circular recta, tal que x= sent , y = cost , z = t Hélice circular recta data1

30 25

z

20 15 10 5 0 1 0.5

1 0.5

0

0

-0.5 Y

-0.5 -1 -1

x

Este gráfico, en física, representa el movimiento del electrón en un campo magnético. E4. Graficar la siguiente función:

, en

.

Solución. De las ecuaciones, se despejan los términos trigonométricos: y y Elevando al cuadrado y sumando se tiene:

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Lo cual, representa una ecuación de una elipse vertical con centro en el origen.

.

Ejercicios 1.- Encuentre el dominio de las siguientes funciones vectoriales  R(t ) 

t5 i  4t j  3t k 2t

 R(t )  t 2  1 i  t 2  1 j  3 t 2  1 k 

R(t ) 

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t 3  9 i  t  5 j  ln(5  t ) k

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OPERACIONES CON FUNCIONES VECTORIALES Supongamos que las funciones F y G están definidas en el mismo intervalo I ⊂R F(t) = ( f1(t) , f2(t) , f3(t) ,…, fn(t) ) ; G(t) = ( g1(t) , g2(t) , g3(t) ,…, gn(t) ) Siendo las imágenes de F y G vectores en Rn , resulta natural definir las siguientes operaciones: 1.Adición de funciones (F + G ) (t) = F(t) + G(t) = ( f1(t) +g1(t) , f2(t) +g2(t) , f3(t) +g3(t) ,…, fn(t) + gn(t) ) 2.Multiplicación de un escalar por una función ( kF)(t) =k(F(t)) = (kf1(t) , kf2(t) , kf3(t) ,…,kfn(t) ) 3.Multiplicación escalar o producto interno de funciones : (F⋅G)(t) = F(t) . G(t) = f1(t) g1(t) + f2(t) g2(t) + f3(t) g3(t) + ,…, +fn(t) gn(t) 4. Multiplicación vectorial (solo para n = 3 ) ( F x G ) (t) = F(t) x G(t) = (f2(t) g3(t) - f3(t) g2(t) , f1(t) g3(t) -f3(t) g1(t) , f2(t) g1(t) - f1(t) g2(t)) 5. Multiplicación de una función real por una función vectorial Sean

⊂

una función real y F: I ⊂ R ⇾Rn una función vectorial

de variable real ( φF)(t) =(φ(t)f1(t) , φ(t)f2(t) , φ(t)f3(t) ,…,φ (t)fn(t) ) Ejemplo Sea φ(t) = e t [ 0 , 2π] DEM2020 – I - AR

; F(t) = ( cos t, sen t , t ) ; Dom (φ) = R ; Dom (F) =

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La función

producto φ(t) F(t) es

φ(t) F(t) = (e tcos t , e tsen t , e tt )

; Dom (φ F ) = [ 0 , 2π]

CURVAS EN Rn Definición. Un camino o trayectoria en el espacio Rn es una función vectorial, continua en un intervalo I contenido en R Definición. Se llama curva en Rn, al conjunto C formado por la imagen o rango de una trayectoria o camino F : [a, b ] ⇾Rn . C= { P∈Rn / P = F(t) ; t ∈ [ a , b ] } Si t es el tiempo F(t) puede ser considerado como la trayectoria de una partícula.

NOTA. 1. La curva C se conoce como la TRAZA de F. Los vectores F(a) y F( b) son los extremos de la curva. 2. En la gráfica de una curva descrita por una función continua no puede haber interrupciones. 3. Una curva es la intersección de dos superficies 4. En casos de curvas es usual denotar la función con letras griegas con el propósito, más adelante, de distinguir a las funciones vectoriales de las funciones reales. Se utilizará ambas notaciones de acuerdo a la situación.

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ECUACIONES PARAMETRICAS DE UNA CURVA C. Sea C : P = ⍺(t) , la curva descrita por la trayectoria o camino ⍺. Tal que ⍺ (t) = (⍺1 (t), ⍺2 (t),⍺3 (t),… ,⍺n (t)) . Si P( x1 , x2 , … xn ) es un punto cualquiera que pertenece a C ; entonces las ecuaciones reales : x1 = ⍺1 (t) x2 = ⍺2 (t)

;t∈ [a,b]

xn = ⍺n (t) Se llaman ECUACIONES PARAMETRICAS DE C y la función ⍺ constituye una parametrización de la curva . Ejemplo 1. La función ⍺ (t) = ( 1 – sent , 1 – cost ) , t ∈ [ 0 , 2π ] describe una curva C en el plano XY ; sus ecuaciones paramétricas son , x = 1 – sent C:

t∈ [ 0 , 2π ]

y = 1 - cost El parámetro t es el ángulo polar medido entre el radio vector OP y el semi eje positivo OX Su gráfica es una circunferencia . Eliminando el parámetro de las ecuaciones dadas Sent = 1 – x ,

cost = 1- y

Elevando al cuadrado y sumando , resulta (x-1)² + ( y – 1 ) ² = 1 radio r = 1 DEM2020 – I - AR

representa a una circunferencia de centro ( 1 ,1 ) y

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Notas. En R3: 1. Una sola ecuación f(x, y, z) = 0 , representa una superficie 2. La intersección de dos ecuaciones f(x, y, z) = 0

y

g (x, y, z) = 0 ,

representan una curva En este caso es conveniente parametrizar la curva;

es decir , hallar una función en un solo parámetro que

la

describa, para lo cual se elige un parámetro adecuado.

Ejemplo 1.

Hallar una

parametrización para la curva de intersección de

y = x2 +1 y el plano P: y +z- 2 = 0.

Solución Hagamos x = t , donde t es un número real arbitrario Reemplazando t en ambas ecuaciones ,se obtiene y = t2 +1 , z = 1 – t2 . Entonces C: f(t) = ( t, t2 +1 , 1 – t2 ). f es la parametrización de C. y=x. 2+1 z=2-y

4

z

3

2

1

0 6 4

2 1

2

0

0 y

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-1 -2

-2

x

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Ejercicios Encuentre la función vectorial r(t) que describe la curva C de intersección entre las superficies dadas. Dibuje la curva y emplee el parámetro 1. z= 2. 3. 4. z= 5. x + y +z = 1 , y = x ; x = t 6. LIMITES DE UNA FUNCION VECTORIAL El concepto de límite de una función F: I ⊂ R ⇾Rn es el mismo que para funciones reales de una variable real, solo cambian los espacios. Por lo tanto:

( ) Teorema .Sea F: I ⊂ R ⇾Rn , tal que F(t) = ( f1(t) , f2(t) , f3(t) ,…, fn(t) ) ; t0∈ I , I es un intervalo abierto; B = ( b1 , b2 ,b3 , … ,bn ). Se cumple:

( )

( )

OBSERVACION El teorema afirma que el límite de la función vectorial F está completamente determinado por los límites de sus funciones coordenadas

,esto

permite escribir , ( )

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(

( )

( )

( )

( ))

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Siempre que los límites del segundo miembro existan. Ejemplos Calcular los límites de F(t) en el punto dado 1) F(t) = (

) ;t=0

2) F(t) = (

(

)) ; t = 1

Teorema. Si F : R→Rn , G: R→Rn , to es un punto de acumulación de DomF∩DomG ( )

y

( ( ) ( ( ) ( ( )

⃗⃗

( )

⃗

( )

( ))

( )

( )

( ))

( )

( )

( ))

si

⃗

⃗⃗

⃗ ⃗⃗ ( )

⃗

⃗⃗

4. Si φ: R→ R , con ( )

∈ (

)( )

( )

( )

Teorema.- si F: R → Rn , to es un punto de acumulación de DomF y si existe ( )

⃗⃗⃗⃗

( )

Además ( ) Ejemplo. Calcular

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( )

⃗⃗

( )

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(

)

(

)

(

)

Ejercicios Calcular el límite de la siguientes funciones en el punto dado 1. F(t) = ( 3t2 – 1 , (1-cost)/t , t3 – 1) ; to = 0 ⁄

2. G(t) = ( 3. H(t) = ( | 4. K(t) = (

√ |

√

5. J(t) = (

) ; to = 1

⁄ )

to = 3

( )

) ; to = 0 ) CONTINUIDAD

Definición Sea F: I ⊂ R ⇾Rn , I es un intervalo abierto en R a) F es continua en ( )

( )

b) F es continua en el intervalo abierto I si y solo , F es continua en todo t c) F es continua en un intervalo cerrado i)Si F es continua en el intervalo abierto ( )

( )

( )

( )

Teorema. Sea F: I ⊂ R ⇾Rn I es un intervalo abierto en R , tal que , F(t) = ( f1(t) , f2(t) , f3(t) ,…, fn(t) ). Sea

; F es continua en

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si y solo si

es continua en

∀

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Ejemplo . La función definida por

F(t) = {

(

)

(

)

¿Es continua en t = 0?

Aplicando el teorema de L’Hospital:

Por tanto, F es continua en t = 0 desde que, ( )

(

)

( )

Teorema.  Si las funciones F y G definidas de R en Rn son continuas en el punto to entonces las funciones F± G , F.G, F×G son continuas en to.  Si φ es una función real de una variable real es continua en to , entonces φF es continua en to . Ejercicios. Determinar la continuidad de cada una de las siguientes funciones

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1. F(t) = (

)

(

)

2. F(t) ={

(

)

) |

3. F(t)= (2|

4. F(t) = {

(

)

(

∈

)

∈ )

(

∈

DIFERENCIABILIDAD Definición. Sea F: I

, una trayectoria definida sobre el

intervalo abierto I por F=(f1, f2 ,…, fn) , entonces: 1. F es derivable en el punto

∈ I , si y solo si existe el límite, (

Se denota por

( )

( )

)

( )

( ) y se denomina “derivada de F

en ” 2. F es “derivable” en el intervalo I si y solo sí F es derivable en cada punto t que pertenece a I. Teorema. Si F es derivable en fn’( ) ) y

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, entonces F’( ) = ( f1’( ), f2’( ), f3’( ),…,

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( ( ))

⋂

( ( ))

Las propiedades de la derivada de funciones reales de una variable real se generalizan para los campos vectoriales; asì: (

( )

)

( )

( )

2. F es derivable en un intervalo abierto

(

)

( )

si F es derivable en cada

punto de ese intervalo 3. Si F y G son derivables en un intervalo a)

(

b)

(

c)

(

d)

(

)( ) )( ) )( ) )( )

( ) ( )

entonces

( ) ( )

( )

( )

( ) ( )

( )

( )

y existe Fo φ, siendo φ derivable en to y

e) Si

F derivable en φ(to ) entonces Fo φ es derivable en to, y: (

)( )

( ( )

( )

4. Si la función F es derivable en un intervalo I , es continua allí. Ejemplo. La derivada de la función F(t) = ( etsent , cost , et) es F’(t) = (etsent + etcost , -sent , et) Definición.- Si C es una curva descrita por F y existe F’(t) y F’(t)≠0 ,∀ t∈ domF, entonces F’(t) es un vector tangente a la curva en el punto F(t). DEM2020 – I - AR

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T: P = F(t0) + k F’(t) ; k∈ R es la ecuación de la recta tangente a la curva C en el punto F(t0). Ejercicios 1. Derivar (

a) F(t) = ( √

b) F(t) = ( √

))

)

c) F(t) = ln(t-1) , 1/ t+2 , sec(πt) 2. Demostrar que si ‖ ‖ es constante entonces F y F’ son ortogonales sobre Dom(F’)

3. Encontrar la ecuación de la recta tangente en cada caso: a) X= 4 cost , y = 3sent ; t ∈

en el punto (4, 0 )

b) F(t) = (tcost ,tsent,t/2π ) en el punto (0, 0 , 0 ) c) F(t) = ( tcost, 4sent , t2 ) en el punto ( -π, 0 ,

)

.INTEGRACIÓN DE FUNCIONES VECTORIALES Definición.- Una función vectorial F: R → Rn es integrable cuando lo son todas sus componentes, se define : ∫ ( )

(∫

( )

∫

( )

∫

( )

∫

( )

PROPIEDADES 1. Si F: R → Rn es continua en

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entonces existe ∫

( )

)

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( )

2. Si F: R → Rn es continua en R y g(t) = ∫

entonces g es

derivable y g’(t)= F(t) ; ∀ t∈ R. y si ⃗ ( )

3. Si F: R → Rn tiene derivada continua sobre ⃗⃗⃗⃗ ( ) ⃗( ) allí, entonces ∫ ( ) 4. Si tanto F como ‖ ‖ son integrables en ‖∫ ( )

‖

( )

entonces

∫‖ ( )‖

Ejemplo. La integral

∫(

) |

( (

∫(

√

√

)

| (√

(

)

√

(

)

√

(√

)

LONGITUD DE ARCO DE CURVA Una función vectorial F: 0, ∀ t ∈ .

→ Rn es regular si F es de clase C1

y F’(t)≠

Una curva regular admite alguna parametrización regular; lo mismo se puede asegurar para las curvas regulares `por trozos`. Dada una curva C con vector de posición r(t), se define la longitud de arco de curva entre los puntos r(a) y r(b) al supremo de las longitudes de las

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poligonales inscritas a la curva entre dichos puntos, en caso de existir. En este caso se dice que la curva es rectificable. Se precisa en la siguiente

Definición. Si 𝒫 es el conjunto de todas las particiones que se pueden definir en el intervalo ; la curva C descrita por una función F: se dice que es rectificable si el conjunto { LP / P∈ 𝒫 } tiene una cota superior. Donde LP es la longitud de la poligonal generada por la partición P, y ∑‖ ( )

(

)‖

Si C es una curva rectificable y r: → Rn es una parametrización de C, entonces la longitud L de la curva C es el supremo del conjunto { LP / P∈ 𝒫 } TEOREMA Si C es una curva regular, entonces es rectificable y su longitud es

( ) Donde r:

∫‖ ( )‖

→ Rn es una parametrización regular de C.

Si una curva es regular a trozos , su longitud se calcula sumando las longitudes de cada tramo regular.6

Ejemplo. Calcular la longitud de arco de parábola descrito por F(t) = ( t 2 , 2t ) ; t∈ En este caso F’ ( t ) = (2t, 2) y ‖ ( )‖ ( )

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∫√

√

√ √

(√

)

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Ejercicios I.

Evaluar cada integral dada ∫(

)

∫(√

√

∫( ∫ II.

) )

(

)

Calcular la longitud de arco de curva dado 1. F(t) = acosti +asentj +ctk ; 0≤ t≤ 2π 2. F(t) = ( t , tcost, tsent) ; 0 ≤ t≤ π 3. F(t) = ( ) 0 ≤ t≤ 3π

FUNCIÓN LONGITUD DE ARCO La integral definida ( )

∫‖ ( )‖

Se llama la “función longitud de arco” para la curva C; u es una variable de integración sustituta. La función s(t) representa la longitud de C entre los puntos sobre la curva definida por los vectores posición r(a) y r (t). Muchas veces es útil parametrizar una curva suave C en el plano o en el espacio en términos de la longitud de arco, s. Al evaluar la integral anterior se obtiene s en términos de t ; si es posible resolver esa ecuación en términos de s, podemos expresar r(t) = ( x(t) , y(t), z(t)) en términos de s, r(s) = (x(s) , y(s) , z (s)). DEM2020 – I - AR

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Ejemplo. Encontrar una parametrizaciòn de longitud de arco de la hélice circular r(t) = (2cost, 2sent,t) Solución r’(t) = (-2sent,2cost,1), entonces ‖ ( )‖ s(t) = ∫ √ de donde t =

]

√

√

√ , luego √

. al sustituir s en r(t) obtenemos una función vectorial de la

√

hélice como una función de la longitud de arco ( )

(

√

√

√

)

Las ecuaciones paramétricas de la hélice son, entonces x=

√

√

√

Se advierte que la derivada de la función vectorial r(s) con respecto a s, es ( )

(

√

√

√

√

√

)

Cuya magnitud es ‖ ( )‖

√(

Luego ‖ ( )‖

√

√

)

(

√

√

)

( ) =1 √

,

Anteriormente se ha visto que la derivada de una función vectorial r (t) con respecto al parámetro t es un vector tangente a la curva C trazada por r. pero si la curva se parametriza en términos de la longitud de arco entonces La derivada r’(s) es un vector tangente unitario

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Ejemplo.- Probar que la hipocicloide r(t) = ( curva regular a trozos y calcular su longitud total.

)

∈

es una

Solución Derivando la función, se tiene r’(t) = (

)

haciendo r’(t) = 0 1) 2) De sent = 0 implica t = 0 ó

t = π , ó t = 2π

De Estos valores satisfacen ambas ecuaciones , luego, r’(t) = 0 si t = 0 ,π/2 , π, 3π/2 , 2π entonces , la curva C no es una curva regular en Pero r es regular en cada subintervalo [ 0 ,π/2] , [ π/2, π] , [π, 3π/2 ], [ 3π/2, 2π]. Sea

la longitud de la curva ( )

()

‖ ( )‖

(

√

:P= )

(

( )

‖ ( )‖ )

∈ [ 0 ,π/2] √ √ (

)

Como cost ≥0 y sent≥ 0 para t ∈ [ 0 ,π/2] entonces

∫ Por la simetría de la curva

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]

|

|

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( )

( )

( )

( )

Ejemplo. Sea C la curva descrita por r (t) = (sen3t, cos3t , 2

) ,t∈

.

a) Hallar la longitud total de la curva b) Parametrizar C bajo el parámetro longitud de arco s. Solución a) r’(t)= (

‖ ( )‖

√ )

√ (

∫ √

)

b) sea ( )

∫‖ ( )‖

)

t=(

)

]

)

]

( )

Si l(t) = s , entonces S = [(

[(

∫ √

] , despejando t resulta

)

Reemplazando t en la ecuación original obtenemos,

G(s) = (

[(

)

]

[(

)

]

[(

)

Ejercicios Determinar una parametrización de longitud de arco r(s) para la curva dada. Verificar que r’(s) es un vector unitario.

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1. 2. 3. 4.

r(t) = 9sent i + 9cost j r(t) = (5cost,23t+5sent) r(t) = (1+2t , 5 – 3t , 2 + 4t) r(t) = )

EL TRIEDRO MOVIL. Si F: [ a, b ] → IR n es una función diferenciable de clase C2 en el intervalo dado y F describe una curva C tal que en cada punto de la curva existen tres vectores unitarios perpendiculares entre sí , el vector tangente, el vector normal y el vector binormal

VECTOR TANGENTE UNITARIO Definición. Sea C la curva descrita por F: [a ,b]

diferenciable y de

clase C2 en su dominio. a) Si existe F’(t) y F’(t)

∀

∈ [a , b ], entonces F’(t) se llama “Vector

tangente a C” en el punto F(t); se denota por T(t), y

( )

( ) ‖ ( )‖

Si para algún to elemento de [ a , b ] , de modo que F´ (to ) = 0 entonces

( ) Siempre que el límite exista .

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( ) ‖ ( )‖

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b) La recta LT que pasa por el punto F(t) y tiene la dirección del vector tangente , se llama recta tangente a la curva C en el punto F(t); su ecuación es : F(t)

LT : P= F(t) + r F’(t) ; r ∈ R F’(t) C

El vector T´ (t) es ortogonal al vector T (t) . A todo vector que tiene la dirección del vector T´(t) se le denomina vector normal a la curva C . VECTOR NORMAL Y VECTOR BINORMAL

Definición .- La recta que pasa por el punto F(to ) y tienen la dirección del vector T ´ (t) se denomina recta normal a la curva C en el punto F(to ) . Definición .- El vector NORMAL PRINCIPAL a la curva C en el punto F(t)

N (t ) 

T ´(t ) T ´(t )

tienen la dirección del vector T´ (t) , o sea :

Gráficamente , el vector normal principal se representa siempre en el lado cóncavo de la curva .

VECTOR BINORMAL Definición ..- El vector BINORMAL

es el vector unitario perpendicular a

los vectores tangente y normal principal : B(t) = T(t) x N(t) DEM2020 – I - AR

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En consecuencia en cada punto F(t) de la curva C existen asociados los vectores T ; N y B. Estos vectores unitarios mutuamente ortogonales se llama TRIADA MOVIL por que en cada punto de C forman un sistema de ejes rectangulares, como se vé en la figura a continuación .

La segunda derivada de F puede descomponerse

en

función de estos

vectores. COMPONENTES DE LA ACELERACIÓN Si la función F es diferenciable y continua sobre [a,b], la longitud de la curva desde (a, F(a)) hasta un punto arbitrario ( t , f(t) ) es :

( )

Pero

( )

∫‖ ( )‖

‖ ( )‖ ( )

( ) ( )

( )

‖ ( )‖ ()

Derivando nuevamente ( ) pero T’(t) = ‖ ( )‖ ( ) , entonces DEM2020 – I - AR

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

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( )

( ) ( )

( )‖ ( )‖ ( )

Es decir, la segunda derivada del vector F(t) tienen componentes en la dirección de T y en l a dirección de N , a la componente en la dirección del vector T(t) se le denomina componente tangencial de la aceleración y a la componente en la dirección del vector N(t) se denomina

componente

normal de la aceleración .

Si F(t) describe el movimiento de una partícula que se mueve a lo largo de una curva C , entonces la primera derivada de F(t) es la velocidad y ésta tiene dirección tangencial . La segunda derivada es la aceleración y tienen una componente tangencial,

llamada aceleración tangencial y

una

componente normal llamada aceleración normal:

aT = F´´ (t) . T(t)

= L´´(t) ;

aN = F´´(t) . N(t)

= L´ (t) // T´(t) //

Los vectores T y N se encuentran en un plano denominado PLANO OSCULADOR, B(t) es un vector que es normal al plano osculador . Ejemplo. Escribir las componentes tangencial y normal de la aceleración de un móvil que se desplaza según la trayectoria descrita por F(t) = 5cos3t i + 5sen3tj + tk , cuando t = Solución ( )

( ) ‖ ( )‖ √

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(

) √ (

√

√

)

( )

UNIDAD I: MATEMATICAS III – UNHEVAL - ARQUITECTURA

( )

( ) ‖ ( )‖ ( )

(

(

)

(

( )

( )

)

( )

( )

√

(

(

√

√

√

)

)

( )

( )

(

(

√

√

))

√

√

) (

√ (

√

√

√

√

))

)

)

Ejercicios Escribir las componentes tangencial y normal de la aceleración en describe la trayectoria de una partícula en el tiempo t.

, si F(t )

1) F(t) = (t, t2 , t3 ) ; 2) F(t) = ( 2cos3t , 2sen3t, t3) ; )

3) F(t) =

PLANO OSCULADOR, NORMAL Y RECTIFICANTE La ecuación del plano osculador en el punto P es : P : [ P – F ( t ) ] . B( t ) = 0 Los vectores N y B se encuentran en un plano denominado

PLANO

NORMAL PRINCIPAL Los vectores T y B RECTIFICANTE . DEM2020 – I - AR

se encuentran

en un plano llamado PLANO

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OTRAS FORMAS DE EXPRESAR LOS VECTORES UNITARIOS DEL TRIEDRO MOVIL

Tx N = B

, Nx B = T

B(t ) 

, B x T = N ; asimismo puede demostrarse que :

f ´(t ) x f ´´(t ) // f ´(t ) x f ´´(t ) //

N (t ) 

[ f ´(t ) x f ´´(t ) ]x f ´(t ) //[ f ´(t ) x f ´´(t ) ]x f ´(t ) //

CURVATURA Y TORSIÓN La curvatura es una medida del cambio de dirección del vector tangente a una curva, cuanto más rápido cambia éste a medida que nos desplazamos a lo largo de la curva, se dice que es más grande la curvatura Si F(t) es el vector posición de un punto sobre una curva C entonces en el punto P existe un vector tangente unitario T (t) . Como este vector es de magnitud constante , entonces en cada punto de C lo único que varía es su dirección . Por ejemplo si C es una curva plana , entonces su dirección está dada por el ángulo de inclinación de la tangente , es decir , T(t)

= cos θ i + sen θ j , derivando con respecto al ángulo se tendrá

T (t) = - sen θ i + cos θ j; vector que es ortogonal con T(t) ,es unitario y su dirección es dada por el ángulo (π/2 + θ ) ; Por regla de la cadena , T´(t)

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=[ T

θ

(t) ] θ t

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Como el vector normal principal N(t) tiene la dirección del vector T´(t) , entonces T (t)

=

N( t ) , Si θ t > 0

Si S unidades es la medida arbitrario de modo que S

t

y T (t)

= - N( t ) , Si θ t < 0 .

de la longitud del arco medida desde un punto > 0 , entonces por regla de la cadena , se tiene

TS ( t) = T (t) θ S . La norma del vector será: // TS ( t) // = // T

(t)// // θ S // ; donde // T

(t) // = 1 ; entonces // TS ( t) // = // θ S // En esta ecuación , // θ S // mide la rapidez de cambio de la medida del ángulo que da la dirección del vector tangente unitario con respecto a la longitud de arco y recibe el nombre de CURVATURA DE LA CURVA C en el punto P . Definición .- Sea C una curva en el espacio tridimensional . Si T (t) es el vector tangente unitario a la curva en el punto P y, s unidades es la medida de la longitud de arco medida desde un punto arbitrario Po= F( ) hasta un punto P1 = F(

) sobre la curva, de tal manera que

S t > 0 entonces el

vector CURVATURA de C en P , se define como

‖ ( ) |( ) En general, se escribe, K (t) = T s ( t).

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( )‖ ( )|

‖ ( )‖ ( )

( )

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K (t ) 

// f ´(t ) x f ´´(t ) // 3 // f ´(t ) //

La curvatura de C en P es la magnitud de este vector . Puede demostrarse que :

Por otro lado, La torsión es una medida del cambio de dirección del vector binormal: cuanto más rápido cambia, más rápido gira el vector binormal alrededor del vector tangente y más retorcida aparece la curva. Por lo tanto, para una curva totalmente contenida en el plano la torsión es nula ya que el vector binormal es constantemente perpendicular al plano que la contiene. El vector

( ) ( )

describe el cambio del vector binormal respecto a la distancia

a lo largo de la curva C definida por F(t). Pero: ( ) ( )

( )

Como el vector de una curva plana es constante entonces la torsión es nula; τ es la medida del torcimiento de la curva con respecto al plano osculador. Definición .- La torsión es el número que expresa la medida de la rapidez de variación del vector binormal respecto a la medida de la longitud de arco de la curva , /  / = // B s (t) // Puede demostrarse que : ( )

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( ) ( ) ( ) ‖ ( ) ( )‖

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Ejercicios 1.- Dada la curva: f ( t ) = ( t , ln ( sect) ; ln (sec t +tan t)) , hallar T , N , B y la ecuación del plano osculador en el punto donde la curva corta al plano XZ. 2.- Encontrar la ecuación del plano osculador a la curva f(t) = ( 1 – 4/3 t3, 1-2t² , t ) , que sea paralelo al plano P : x = -2 . 3.- Para la curva definida por : F(t) = ( t , (1+t)/ t , (1 – t ²) / t) ; Escribir la ecuación del plano osculador, normal y rectificante para t = 1 4.- Escribir las ecuaciones de los planos normal y rectificante para la curva dada en 3 5.- Hallar la ecuación de la recta tangente y la del plano normal a la curva descrita en el punto dado: a) F(t) = ( asen2t , bsentcost , acos2t ) en t = π/4 b) r(t) = (

√

c) F(t) = (

) en t = 0

√

) en t = 1

6.- Sobre la curva dada por F(t) = ( t + 1 , t2 – 1 , t3 ) ; hallar un punto donde el vector tangente unitario sea perpendicular al plano P : x+2y+3z – 1 = 0 . 7. Calcular la curvatura y la torsión de la curva dada por: a) F(t) = ( cost,sent, t) , t = 0 b) F(t) = ( t3 , 4t-5 , t2) , t = 3 c) F(t) = ( t , d) F(t) = (

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) , t=2 ),t=0