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• AndrésTorres

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Tema 2. Espacios Vectoriales

… repaso Estructura Algebraica Un sistema algebraico es un conjunto provisto de una o varias operaciones binarias cuya estructura está determinada por las propiedades de las operaciones definidas. • Semigrupo Ej. Estructuras:

•

Grupo

• Campo Operación binaria regla que asigna cada par ordenado de elementos de un conjunto un único elemento de dicho conjunto.

+

∆

-



*

☐

… repaso Operación Binaria Una operación binaria  definida en un conjunto S es una función de SxS en S. La imagen del par ordenado (x,y) bajo la operación  se representa con (x  y)  binaria porque aplica a dos elementos de la misma especie  el resultado de la operación es único y pertenece a la misma especie (CERRADURA)  El resultado depende del orden en que sean considerados los elementos

… repaso Campo

1) 2) 3) 4)

Asociativa Conmutativa Elemento neutro (cero) Inverso

6) Asociativa 7) Distributiva 8) Conmutativa 9) Elemento idéntico (unidad) 10) Inverso

Espacios Vectoriales Un espacio vectorial es un conjunto de elementos llamados vectores que satisfacen ciertas propiedades. La noción más común de vector es la del concepto físico “cantidad con magnitud, dirección y sentido” y que ha encontrado una adecuada representación geométrica a través de los segmentos dirigidos caracterizados mediante parejas o ternas de números.

Espacios Vectoriales

Espacios Vectoriales Espacio Vectorial Sea V un conjunto no vacío, en el cual se definen las siguientes operaciones, y sea K un campo. 



ADICION de Vectores

PRODUCTO por Escalar

x+y

y

x y

ay

by

Se dice que V es un espacio vectorial sobre K si las dos operaciones cumplen con los siguientes axiomas:

Espacios Vectoriales

A los elementos del conjunto V se les llaman vectores y a los elementos del campo K se les llama escalares.

Espacios Vectoriales Ejemplo 1

Espacios Vectoriales Ejemplo 2

Espacios Vectoriales Ejemplo 3

Espacios Vectoriales

Espacios Vectoriales

Subespacios Vectoriales Subespacio Vectorial

Sea W un subconjunto de un espacio vectorial V. Si W es a su vez un espacio vectorial con respecto a las operaciones de adición y multiplicación definidas en V, se dice entonces que W es un subespacio de V.

Subespacios Vectoriales

Subespacios Vectoriales Ejemplo 1

Ejemplo 2

Combinación Lineal 

Ejemplo

Combinación Lineal 

Combinación Lineal Una forma de determinar si un vector es una combinación lineal de un conjunto de vectores consiste en resolver el sistema de ecuaciones lineales que nos permita calcular los escalares que hacen posible la combinación:

Combinación Lineal Ejemplo. Sea w = (-4, -1, 6) y el conjunto de vectores:

Combinación Lineal Ejemplo. Sea w = (3, 4, 9) y el conjunto de vectores:

Combinación Lineal Ejemplo. Sea w = (1, 2, 3, 4) y el conjunto de vectores:

Combinación Lineal El

vector

cero

siempre

se

puede

expresar

como

combinación lineal de un conjunto de vectores, aunque no exista relación entre ellos simplemente los escalares iguales a cero

haciendo

todos

Dependencia Lineal Sea A={v1, v2, …, vn} un conjunto de vectores: 1. Se dice que A es linealmente dependiente si existen escalares a1, a2, …, an no todos iguales a cero tales que:

2. Se dice que A es linealmente independiente si la ecuación solo se satisface cuando a1 = a2 = … = an = 0

(escalar)

Dependencia Lineal

Dependencia Lineal Teorema. Todo conjunto que contiene al vector cero es linealmente dependiente.

Teorema. Si S es un conjunto linealmente independiente entonces cualquier subconjunto de S es linealmente independiente.

Dependencia Lineal Ejercicio 1. Determinar si los vectores son linealmente independientes o linealmente dependientes:

Dependencia Lineal Interpretación Geométrica (R2 y R3) Dos vectores de R2:

• Si son l.d. significa que uno se puede escribir como combinación lineal del otro, es decir v1=a2v2 y por tanto son colineales. Esto es que con dos vectores v1, v2 solo se pueden generar vectores que estén sobre la misma línea.

v1=a2v2 v2

Dependencia Lineal Interpretación Geométrica (R2 y R3) Vectores de R3:

• Si son l.d. significa que uno se puede escribir como combinación lineal de los otros, es decir v1=a1v2 + a3v3 y por tanto son coplanares (se encuentran en el mismo plano).

•

Si son l.i. significa que ninguno se puede escribir como combinación lineal de los otros, lo cual significa que los vectores no están en el mismo plano y por tanto pueden generar a R3.

Conjunto Generador Sea V un espacio vectorial sobre el campo K y sea

G={v1, v2, …, vm} un conjunto de vectores de V. Se dice que G es un generador de V si:

Conjunto Generador Ejemplo. Sea,

G={(-2,0,0)

(0,1,2) (0,0,-1) (0,1,-1)}

G es un conjunto generador de los vectores de R3

(28)

Base

Se llama base de un espacio vectorial V a un conjunto generador de V que es linealmente independiente.

Base

¿es base de M?

Base La base no es única como pudo observarse. Teorema Sea V un espacio vectorial sobre el campo K. Si

B={v1, v2, …, vn} es una base de V, entonces cualquier conjunto de vectores de V con mas de n elementos es linealmente dependiente.

Base Teorema.

Sea V un espacio vectorial sobre el campo K. Si B={v1, v2, …, vn} es una base de V, entonces cualquier otra base de dicho espacio esta formada por n vectores

Base En general la base canónica de Rn es el conjunto:

E={e1, e2, …, en } donde ei =(ei1, ei2, …, ein) tal que

en =

1 para i=j 0 para i≠j

Dimensión Sea V un espacio vectorial sobre el campo K. Si

B={v1, v2, …, vn} es una base de V, se dice que V es de dimensión n, lo cual se denota con dim V = n En particular, si V={0}, dim V=0.

Dimensión Teorema.

Si V es un espacio vectorial de dimensión n, cualquier conjunto linealmente independiente formado por n vectores de V es una base de dicho espacio. Teorema. Si V es un espacio vectorial de dimensión n y W un subespacio de V entonces: dim W ≤ n En particular si dim W = n ⇒ W = V

Vector de Coordenadas Sea B={v1, v2, …, vn} una base de un espacio vectorial V sobre el campo K, y sea x un elemento cualquiera de V. Si x = a 1 v 1 + a 2v 2 + … + a n v n Los escalares a1 , a2 ,…, an se llaman coordenadas de x en la base B y al vector de Kn

(x)B = (a1 , a2 ,…, an)T Se llama vector de coordenadas de x en la base B.

Vector de Coordenadas Ejemplos

∴ El vector de coordenadas de un vector perteneciente a un espacio (x∈V) depende de la base de referencia.

Vector de Coordenadas

Teorema. Sea B={v1, v2, …, vn} una base de un espacio vectorial V sobre el campo K. Para cualquier x∈V el vector (x)B es único.

Espacio Vectorial Generado Si G={v1, v2, …, vm} es un conjunto generador del espacio vectorial V entonces cualquier elemento x∈V se puede escribir como combinación lineal de G: x = a1 v1 + a2v2 + … + an vn Por tanto dado un conjunto generador o una base se puede conocer el espacio vectorial generado.

(25)

Isomorfismo entre Espacios Vectoriales Cuando la sustitución de elementos del espacio vectorial U por elementos del espacio vectorial V puede hacerse mediante una función: f: A → B

que sea biyectiva (relación uno a uno), se dice que cada elemento es “reflejo” de su correspondiente en el otro espacio. Esto es U es un isomorfismo de V

Todos los elementos del dominio (X) tienen una imagen en el codominio (Y) y cada elemento del codominio proviene de un elemento del dominio

Isomorfismo entre Espacios Vectoriales

Isomorfismo entre Espacios Vectoriales Teorema. 1) Dos espacios vectoriales de igual dimensión son isomorfos. En particular si V es un espacio vectorial real de dimensión n, entonces V es isomorfo a Rn 2) Todo espacio vectorial es isomorfo a si mismo. 3) Si un espacio vectorial V es isomorfo a otro espacio vectorial W, entonces W es isomorfo a V. 4) Si un espacio vectorial V es isomorfo a un espacio W y W es a su vez isomorfo a un espacio U, entonces V es isomorfo a W. 75

Matriz de transición Ejercicio Sean A = {(1,0) (0,1)} B = {(2,1) (-2,1)} C = {(1,0) (-1,1)}

tres bases del espacio vectorial R2. Determinar las coordenadas del vector v = (2,3) respecto a cada una de las bases y graficar los respectivos vectores.

Matriz de transición A = {(1,0) (0,1)}

Matriz de transición B = {(2,1) (-2,1)}

Matriz de transición C = {(1,0) (-1,1)}

Matriz de transición

base Taxqueña

base CU

Matriz de Transición

=

M

A B

origen destino

“vehículo” que me lleva de una base a otra

Matriz de transición Sean: A={v1, v2, …, vn} B={w1, w2, …, wn}

dos bases de un espacio vectorial V. La matriz de transición tiene por columnas los vectores de coordenadas de los elementos de la base A con respecto a la base B, es decir:

Matriz de transición Ejemplo. Espacio vectorial = matrices triangulares superiores de orden 2 con elementos en R y tr()=0

B = {v1 , v2} C = {w1 , w2}

Matriz de transición Esta matriz

es tal que si conocemos (x)A donde x∈A y

deseamos obtener el vector de coordenadas de x en la base B, esto es (x)B, entonces es suficiente con efectuar el

producto:

Además se tiene que la matriz de transición es una matriz no

singular, es decir, siempre tiene inversa y se cumple que:

Espacio Renglón Sean A una matriz de mxn con elementos en R

sus renglones pueden ser considerados como vectores de Rn El conjunto de todas las combinaciones lineales de dichos vectores es un subespacio de Rn al que se le conoce como espacio renglón de A.

Espacio Renglón

Espacio Renglón Para determinar si los renglones de una matriz son linealmente dependientes se debe aplicar a la matriz una sucesión de transformaciones elementales hasta obtener su

forma canónica escalonada.

Con esto se puede saber el número máximo de renglones linealmente independientes de la matriz y con ello obtener una base del espacio renglón.

Espacio Renglón Forma canónica escalonada Una matriz es una forma canónica escalonada cuando: a) Es una matriz escalonada b) El primer elemento distinto de cero en cada renglón es 1 c) El 1 del inciso anterior es el único diferente de cero en la columna donde se encuentra.

Los renglones no nulos de una forma canónica escalonada constituyen una base de su espacio renglón. Aplica para cualquier matriz escalonada pero en la f.c.e. es más evidente.

Espacio Columna

El espacio columna de una matriz A coincide con el espacio

renglón de AT

Espacio Renglón y Columna Teorema.

El espacio renglón y el espacio columna de una matriz, en general diferentes, tienen la misma dimensión. dim L(Ar) = dim L(Ac)

Rango de una Matriz Se llama rango de una matriz A, R(A), a la dimensión del espacio columna / renglón de la matriz. R(A) = dim L(Ar) = dim L(Ac) Ejemplo R(A)=2 El rango de una matriz representa el número máximo de renglones (y de columnas) linealmente independientes en la matriz.

Rango de una Matriz ¿Para qué sirve? Uno de los usos es determinar la existencia y unicidad de soluciones de un sistema de ecuaciones.

Consideremos un incógnitas:

sistema

de m

ecuaciones

con n

Rango de una Matriz Y tendrá solución ⇔ existen escalares xi que expresen a b como combinación lineal de las columnas de A, es decir ⇔ b∈L(Ac) La matriz ampliada consta de las columnas de A + una adicional que es b entonces: •cuando b∈L(Ac) los rangos de A y de (A,b) son iguales. •cuando b∉L(Ac) el rango de (A,b) es mayor en una unidad al rango de A.

Rango de una Matriz ¿La solución (cuando la hay) es única? Comparando el rango de la matriz de coeficientes con el número de incógnitas se tiene:

• R(A) = n Implica que Ac (conjunto de n columnas de A) es linealmente independiente y una base de L(Ac), entonces los escalares x1, x2, …, xn son las coordenadas del vector b en dicha base y el sistema tiene solución única • R(A) = r < n

Implica que cualquier base de L(Ac) tiene r columnas de A y el sistema es indeterminado.

Espacios Vectoriales de Funciones Las funciones reales de variable real constituyen un espacio vectorial para las operaciones de adición y multiplicación por escalar. Su estudio es de particular

interés por tratarse de un espacio de dimensión infinita ya que la ecuación de dependencia lineal de cualquier conjunto de vectores de este espacio, al requerir que se cumpla para todo valor de x en el dominio de las funciones, equivale a un sistema algebraico de un número

infinito de ecuaciones.

Espacios Vectoriales de Funciones Una función de un conjunto A en un conjunto B es una regla que asocia a cada elemento de A uno y sólo un elemento de B. f: A → B

f: R → R “función real de variable real”

Espacios Vectoriales de Funciones Operaciones con funciones:

Sean f y g dos funciones reales de variable real definidas en un mismo intervalo. • Suma de funciones

(f+g)(x) = f(x) + g(x)

• Resta de funciones

(f-g)(x) = f(x) - g(x)

• Producto de funciones

(f * g)(x) = f(x) * g(x)

• Cociente de funciones

(f / g)(x) = f(x) / g(x)

• Producto por escalar

(af)(x) = a f(x)

Espacios Vectoriales de Funciones El conjunto de funciones reales de variable real (F) asi definidas constituyen un espacio vectorial sobre R, por lo tanto se puede hablar de combinaciones lineales, dependencia e independencia lineal de funciones. Debido a que (F) es de dimensión infinita la dependencia lineal se analiza por medio de diversos criterios como: • formar un sistema algebraico cuadrado sustituyendo valores particulares de la variable independiente en la ecuación de dependencia lineal • derivar n-1 veces la ecuación de dependencia lineal de un conjunto de n funciones y definir el wronskiano.

Espacios Vectoriales de Funciones • formar un sistema algebraico cuadrado sustituyendo valores particulares de la variable independiente en la ecuación de dependencia lineal  obtener una solución distinta a la trivial no permite llegar a ninguna conclusión respecto a la dependencia lineal de funciones ya que la solución solo satisface al sistema para los n valores de x elegidos.  cuando el sistema sólo admite la solución trivial, si puede concluirse que el conjunto de funciones es linealmente independiente. Ejemplo.

Espacios Vectoriales de Funciones • derivar n-1 veces la ecuación de dependencia lineal de un conjunto de n funciones y definir el wronskiano.  no requiere elegir conjunto de valores  es aplicable a conjuntos de funciones derivables y se refiere a la independencia lineal “por intervalos”.  las funciones deben ser derivables al menos n-1 veces en el intervalo (a,b)

A diferencia de los otros espacios vectoriales estudiados, el espacio F no puede ser generado por un conjunto finito de vectores.

Espacios Vectoriales de Funciones A los diversos subespacios de F se les llama “espacios de funciones” o “espacios funcionales”. Algunos ejemplos son: o Conjunto de polinomios o Conjunto de polinomios de grado menor o igual a n

o Conjunto de funciones definidas en un intervalo o Conjunto de funciones continuas en un intervalo

o Conjunto de funciones integrables en un intervalo

Espacios Vectoriales de Funciones Criterio Wronskiano

Espacios Vectoriales de Funciones Criterio Wronskiano