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Facultad de Economía y Administración Universidad Nacional del Comahue Elementos de Álgebra Lineal

Unidad IV: ESPACIOS VECTORIALES Definición: Un espacio vectorial real o un ℝ-espacio vectorial es un conjunto no vacío V, cuyos elementos se denominan vectores, provisto de dos operaciones llamadas suma de vectores y multiplicación por un escalar que satisfacen los siguientes axiomas: V0) Ley de cierre para la suma:

𝑢 ⃗ ,𝑣 ∈ 𝑉 ⟹ 𝑢 ⃗ +𝑣 ∈ 𝑉

V1) Ley asociativa para la suma: 𝑢 ⃗ + (𝑣 + 𝑤 ⃗⃗ ) = (𝑢 ⃗ + 𝑣) + 𝑤 ⃗⃗ , ∀ 𝑢 ⃗ , 𝑣, 𝑤 ⃗⃗ ∈ 𝑉 V2) Ley conmutativa para la suma: 𝑢 ⃗ +𝑣 =𝑣+𝑢 ⃗ , ∀𝑢 ⃗ ,𝑣 ∈ 𝑉 ⃗ ∈ 𝑉 ⁄∀ 𝑢 ⃗ =𝑢 V3) Neutro aditivo: ∃ 0 ⃗ ∈ 𝑉: 𝑢 ⃗ +0 ⃗ ⃗ V4) Inverso aditivo: ∀ 𝑢 ⃗ ∈ 𝑉: ∃ − 𝑢 ⃗ ∈ 𝑉/ 𝑢 ⃗ + (−𝑢 ⃗)=0 V5) Ley de cierre para la multiplicación escalar: 𝑢 ⃗ ∈ 𝑉, 𝛼 ∈ ℝ ⟹ 𝛼𝑢 ⃗ ∈𝑉 V6) Ley distributiva de un escalar respecto de la suma de vectores: 𝛼 (𝑢 ⃗ + 𝑣 ) = 𝛼𝑢 ⃗ + 𝛼𝑣 , ∀ 𝑢 ⃗ ,𝑣 ∈ 𝑉 , 𝛼 ∈ ℝ V7) Ley distributiva de un vector respecto de la suma de escalares: ( 𝛼 + 𝛽 )𝑢 ⃗ = 𝛼𝑢 ⃗ + 𝛽𝑢 ⃗ , ∀𝑢 ⃗ ∈ 𝑉, 𝛼, 𝛽 ∈ ℝ V8) Ley asociativa de la multiplicación por escalar: (𝛼. 𝛽 )𝑢 ⃗ = 𝛼 (𝛽𝑢 ⃗) , ∀𝑢 ⃗ ∈ 𝑉, 𝛼, 𝛽 ∈ ℝ V9) Neutro multiplicativo: ∀ 𝑢 ⃗ ∈ 𝑉: 1. 𝑢 ⃗ =𝑢 ⃗ Propiedades: Sea V un ℝ -espacio vectorial. Entonces: (1) El neutro aditivo de V, es único (2) El inverso aditivo de V, es único ⃗ =0 ⃗ , ∀𝛼∈ℝ (3) 𝛼0 ⃗ , ∀𝑢 (4) 0𝑢 ⃗ =0 ⃗ ∈𝑉 ⃗ ⟺ 𝛼=0 ∨ 𝑢 ⃗ (5) 𝛼𝑢 ⃗ =0 ⃗ =0 (6) −(𝛼𝑢 ⃗ ) = (−𝛼 )𝑢 ⃗ = 𝛼(−𝑢 ⃗ ). En particular −1𝑢 ⃗ = −𝑢 ⃗ , ∀𝑢 ⃗ ∈𝑉

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Dem.: ⃗ =0 ⃗ , ∀𝛼∈ℝ (3) Debemos probar que 𝛼0 ⃗ +0 ⃗ =0 ⃗ entonces 𝛼(0 ⃗ +0 ⃗ ) = 𝛼0 ⃗ y por V6) resulta que Por el axioma V3) 0 ⃗ + 𝛼0 ⃗ = 𝛼0 ⃗ ⟹ (𝛼0 ⃗ + 𝛼0 ⃗ ) + (−𝛼0 ⃗ ) = 𝛼0 ⃗ + (−𝛼0 ⃗ ) ⟹ 𝛼0 ⃗ + [𝛼0 ⃗ + (−𝛼0 ⃗ )] = 0 ⃗ ⟹ 𝛼0 ⃗ +0 ⃗ =0 ⃗ ⟹ 𝛼0

⟹

⃗ =0 ⃗ 𝛼0

⃗ ↔ 𝛼=0 ∨ 𝑢 ⃗ (5) Debemos probar que: 𝛼𝑢 ⃗ =0 ⃗ =0 ⃗ ⟹) H) 𝛼𝑢 ⃗ =0

⃗ T) 𝛼 = 0 ∨ 𝑢 ⃗ =0

Si 𝛼 = 0 no hay nada que probar Si 𝛼 ≠ 0 resulta 1 1 ⃗ 𝛼𝑢 ⃗ = 0 𝛼 𝛼 ⃗ ⟸) H) 𝛼 = 0 ∨ 𝑢 ⃗ =0

⃗ ⟹ 𝑢 ⃗ =0

⃗ T) 𝛼𝑢 ⃗ =0

Trivial por (3) y (4)

(6) Debemos probar que −(𝛼𝑢 ⃗ ) = (−𝛼 )𝑢 ⃗ = 𝛼(−𝑢 ⃗ ), esto es: (i) −(𝛼𝑢 ⃗ ) = (−𝛼 )𝑢 ⃗ , (ii) −(𝛼𝑢 ⃗ ) = 𝛼 (−𝑢 ⃗) y (iii) (−𝛼 )𝑢 ⃗ = 𝛼 (−𝑢 ⃗) ⃗ (i) Probar que −(𝛼𝑢 ⃗ ) = (−𝛼 )𝑢 ⃗ equivale a probar que 𝛼𝑢 ⃗ + (−𝛼 )𝑢 ⃗ =0 ⃗ 𝛼𝑢 ⃗ + (−𝛼 )𝑢 ⃗ = [𝛼 + (−𝛼 )]𝑢 ⃗ = 0𝑢 ⃗ =0 ⃗ (ii) Probar que −(𝛼𝑢 ⃗ ) = 𝛼 (−𝑢 ⃗ ) equivale a probar que 𝛼𝑢 ⃗ + 𝛼 (−𝑢 ⃗)=0 ⃗ =0 ⃗ 𝛼𝑢 ⃗ + 𝛼 (−𝑢 ⃗ ) = 𝛼 [𝑢 ⃗ + (−𝑢 ⃗ )] = 𝛼0 (iii) Resulta de comparar (i) y (ii)

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Ejemplos: Son ℝ -espacios vectoriales: 1) ℝ con la suma y el producto por un escalar habituales 2) ℝ2 = {(x, y), x, y  ℝ } definiendo (x, y) + (x, y) = (x + x, y + y) ;

 .(x, y) = (  .x,  .y)

 ℝ

3) ℝ𝑛 = {(x1, x2, ..... , xn): xi  ℝ, 1  i  n } con las operaciones de suma y producto habituales 4) Mmxn(ℝ), con la suma habitual de matrices y el producto de un número real por una matriz 5) ℝ[𝑋] = {𝑎0 + 𝑎1 𝑥 + 𝑎2 𝑥 2 + ⋯ + 𝑎𝑛 𝑥 𝑛 , 𝑎𝑖 ∈ ℝ, 0 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛, 𝑛 ∈ ℕ ∪ {0}} con la suma de polinomios y el producto de un número real por un polinomio 6) El conjunto de todas las funciones reales de variable real, definiendo (f + g)(x) = f(x) + g(x),  x  ℝ

y

(  .f)(x) =  .f(x),  x  R,   ℝ

Ejercicio: Verificar si son ℝ-espacios vectoriales: 1) El conjunto de todos los pares de números reales de la forma (x, 0) con las operaciones habituales en ℝ2

a 1 2) El conjunto de todas las matrices de orden 2x2 de la forma   con las 1 b  operaciones matriciales usuales Observaciones: 1) Un mismo conjunto puede ser espacio vectorial real con respecto a distintas operaciones definidas en él 2) Puede suceder que un conjunto no sea espacio vectorial con una operación y si lo sea para otras. Por ejemplo ℝ2 con las operaciones: (x, y) + (x, y) = (x + x + 1, y + y + 1)

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y

 .(x, y) = (  .x,  .y)

 ℝ

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no es un ℝ-espacio vectorial pues no cumple con el axioma V5, pero si lo es al considerar las operaciones habituales de suma de pares ordenados y producto de un número real por un par.

Definición: Sean V un ℝ-espacio vectorial, H  V, H  . Se dice que H es un subespacio vectorial de V si H es un espacio vectorial con las operaciones definidas en V restringidas a los elementos de H.

Por ejemplo el conjunto de las matrices cuadradas de orden 2 con las operaciones usuales es espacio vectorial real y el subconjunto de las matrices diagonales del mismo orden y con las mismas operaciones también, por lo que se dice que dicho subconjunto es subespacio vectorial de M2(ℝ). Veamos una forma más simple de probar que un subconjunto es subespacio vectorial. Teorema: Sean V un ℝ-espacio vectorial, H  V, H  . H es un subespacio del espacio vectorial V, si y sólo si, los elementos de H verifican: (1) 𝑢 ⃗ ,𝑣 ∈ 𝐻 ⟹ 𝑢 ⃗ +𝑣 ∈𝐻 (2) 𝑢 ⃗ ∈ 𝐻, 𝛼 ∈ ℝ ⟹ 𝛼𝑢 ⃗ ∈𝐻

Observaciones: ⃗ es el neutro del espacio vectorial real V entonces 0 ⃗ 1) Si 0

es el

neutro del subespacio vectorial H. En efecto: H   entonces existe 𝑢 ⃗ ∈ 𝐻, y como H es espacio vectorial entonces −𝑢 ⃗ ∈ 𝐻, de ⃗ ∈𝐻 donde 𝑢 ⃗ + (−𝑢 ⃗ ) ∈ 𝐻, es decir 0 2) Todo espacio vectorial V tiene al menos dos subespacios, ⃗ }. Los subespacios que llamados subespacios triviales y que son el mismo V y {0 no son triviales se llaman subespacios propios de V.

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Ejemplos: En los siguientes ejemplos se verifica que S es subespacio vectorial de V. 1) Sea V = ℝ3 y H = {(x, y, z) ℝ3 : 2x – y + z = 0} 𝑎 2) Sea V = M2(ℝ) y 𝐻 = {[ 𝑐

𝑏] ∈ M2 (ℝ): 𝑎 + 𝑑 = 0} 𝑑

3) Sea V = P2 y 𝐻 = {𝑃(𝑥 ) ∈ ℝ[𝑥 ]: 𝑃(𝑥 ) = 𝑎0 + 𝑎1 𝑥 + 𝑎2 𝑥 2 ∈ P2 ∧ 𝑎0 = 𝑎2 − 𝑎1 } Proposición: Si S y T son dos subespacios vectoriales del espacio vectorial V entonces 𝑆 ∩ 𝑇 también es subespacio vectorial de V, donde 𝑆 ∩ 𝑇 = {𝑣 ∈ 𝑉: 𝑣 ∈ 𝑆 ∧ 𝑣 ∈ 𝑇} Ejemplo: Si 𝑆 = {(𝑥, 𝑦, 𝑧) ∈ ℝ3 : 𝑥 + 𝑦 − 𝑧 = 0} y 𝑇 = {(𝑥, 𝑦, 𝑧) ∈ ℝ3 : 𝑥 − 𝑧 = 0} entonces 𝑆 ∩ 𝑇 = {(𝑥, 𝑦, 𝑧) ∈ ℝ3 : 𝑥 = 𝑧 ∧ 𝑦 = 0} = {(𝑥, 0, 𝑥 ), 𝑥 ∈ ℝ}

Corolario: La intersección de n subespacios vectoriales de un espacio vectorial V es también un subespacio vectorial de V. Observación: El conjunto de soluciones de una ecuación lineal homogénea con n incógnitas es un subespacio vectorial de ℝ𝑛 , es decir, 𝑆 = {(𝑥1 , 𝑥2 , … , 𝑥𝑛 ) ∈ ℝ𝑛 : 𝑎1 𝑥1 + 𝑎2 𝑥2 + ⋯ + 𝑎𝑛 𝑥𝑛 = 0} es subespacio vectorial de ℝ𝑛 . Por lo tanto, utilizando el corolario anterior el conjunto solución de un sistema lineal homogéneo de m ecuaciones lineales con n incógnitas es también un subespacio vectorial de ℝ𝑛 llamado el espacio solución del sistema, por ser intersección de subespacios. Ejemplo:

 x yz 0 Sea V = ℝ3 y el sistema  . El conjunto S de las soluciones del sistema 2 x  3 y  z  0 dado, es un subespacio de ℝ3 . Para verificarlo basta con hallar la solución del sistema dado que es

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S = {(x, y, z) ℝ3 : x = -2.z  y = z } = {(-2z, z, z): z ℝ } y probar que es un subespacio vectorial de ℝ3 . Dado V espacio vectorial, se define: 𝑆 ∪ 𝑇 = {𝑣 ∈ 𝑉: 𝑣 ∈ 𝑆 ∨ 𝑣 ∈ 𝑇} 𝑆 + 𝑇 = {𝑣 ∈ 𝑉: 𝑣 = 𝑠 + 𝑡, 𝑠 ∈ 𝑆 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇} La unión de dos subespacios no es un subespacio vectorial pero la suma sí. Definición: Sea V un ℝ-espacio vectorial. Un vector 𝑣 ∈ 𝑉 se dice una combinación lineal de los vectores ⃗⃗⃗⃗ 𝑣1 , ⃗⃗⃗⃗ 𝑣2 , … . , ⃗⃗⃗⃗ 𝑣𝑛 si existen escalares 𝛼1 , 𝛼2 , …. , 𝛼𝑛 tales que 𝑣 = 𝛼1 ⃗⃗⃗⃗ 𝑣1 + 𝛼2 𝑣 ⃗⃗⃗⃗2 + … . +𝛼𝑛 ⃗⃗⃗⃗ 𝑣𝑛 Ejemplos: 1) (14, 12, 2) es combinación de los vectores (1, 2, -1) y (3, 2, 1) pues: (14, 12, 2) = 2.(1,2,-1) + 4.(3,2,1).

  3  4 1 0   3 2 2)  es combinación lineal de las matrices  y     pues:  2  5 2 1 2 1   3  4 1 0   3 2  2  5  3.2  1  2.2 1       Una de las ideas centrales en el contexto de los espacios vectoriales y las combinaciones lineales es poder encontrar todos los vectores que se pueden describir o generar como combinación lineal de un conjunto de vectores fijos 𝑣1 , ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ 𝑣2 , … . , ⃗⃗⃗⃗ 𝑣𝑛 Por ejemplo los vectores generados como combinación lineal del conjunto de vectores {𝑢 ⃗ , 𝑣 }, siendo estos vectores no nulos y no paralelos, son todos aquellos que resultan coplanares con 𝑢 ⃗ y 𝑣 𝑥 = 𝛼𝑢 ⃗ + 𝛽𝑣

𝛽𝑣

𝛼𝑢 ⃗

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Definición: Si ⃗⃗⃗⃗ 𝑣1 , ⃗⃗⃗⃗ 𝑣2 , … . , ⃗⃗⃗⃗ 𝑣𝑛 son n vectores en un espacio vectorial V, entonces el conjunto de todas las combinaciones lineales de ⃗⃗⃗⃗ 𝑣1 , ⃗⃗⃗⃗ 𝑣2 , … . , ⃗⃗⃗⃗ 𝑣𝑛 se llama el espacio generado por {⃗⃗⃗⃗ 𝑣1 , ⃗⃗⃗⃗ 𝑣2 , … . , ⃗⃗⃗⃗ 𝑣𝑛 } y se denota como 𝑔𝑒𝑛{⃗⃗⃗⃗ 𝑣1 , 𝑣 ⃗⃗⃗⃗2 , … . , ⃗⃗⃗⃗ 𝑣𝑛 }. Es decir: 𝑔𝑒𝑛{⃗⃗⃗⃗ 𝑣1 , ⃗⃗⃗⃗ 𝑣2 , … . , ⃗⃗⃗⃗ 𝑣𝑛 } = {𝑣 ∈ 𝑉: 𝑣 = 𝛼1 ⃗⃗⃗⃗ 𝑣1 + 𝛼2 ⃗⃗⃗⃗ 𝑣2 + … + 𝛼𝑛 ⃗⃗⃗⃗ 𝑣𝑛 , 𝛼1 , 𝛼2 , …. , 𝛼𝑛 ∈ ℝ } Ejemplo: Sea M = {(1, 2, 0), (0, -1, 1), (3, 5, 1)}  ℝ3 hallemos 𝑔𝑒𝑛(𝑀) (𝑥, 𝑦, 𝑧) ∈ 𝑔𝑒𝑛(𝑀) ⟺ (𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝛼 (1,2,0) + 𝛽(0, −1,1) + 𝛾(3,5,1)

   3  x  2    5  y     z  1 (2 0

0 −1 1

3 𝑥 1 𝑦 ) ( ⟷ 5 0 1 𝑧 0

0 −1 1

𝑥 3 1 2𝑥 + 𝑦 ) ( − ⟷ −1 0 𝑧 1 0

0 −1 0

𝑥 3 −2𝑥 + 𝑦 ) −1 0 −2𝑥 + 𝑦 + 𝑧

Como el vector (𝑥, 𝑦, 𝑧) debe ser combinación lineal entonces debemos exigir que el sistema de ecuaciones lineales sea compatible y para que esto ocurra debe verificarse –2x + y + z = 0 Es decir (𝑥, 𝑦, 𝑧) ∈ 𝑔𝑒𝑛(𝑀) ⟺ −2𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 0 por lo tanto 𝑔𝑒𝑛(𝑀) = {(𝑥, 𝑦, 𝑧) ∈ ℝ3 : − 2𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 0} Observación: En general 𝑔𝑒𝑛(𝑀) ⊆ 𝑉. Sin embargo puede ocurrir que 𝑔𝑒𝑛(𝑀) = 𝑉, en este caso se dirá que los vectores ⃗⃗⃗⃗ 𝑣1 , ⃗⃗⃗⃗ 𝑣2 , … . , ⃗⃗⃗⃗ 𝑣𝑛 generan a V o que {⃗⃗⃗⃗ 𝑣1 , ⃗⃗⃗⃗ 𝑣2 , … . , ⃗⃗⃗⃗ 𝑣𝑛 } es un sistema de generadores de V.

Propiedad: Sean V un ℝ-espacio vectorial y 𝑀 = {⃗⃗⃗⃗ 𝑣1 , 𝑣 ⃗⃗⃗⃗2 , … . , ⃗⃗⃗⃗ 𝑣𝑛 } ⊆ 𝑉. El espacio generado por M, es decir 𝑔𝑒𝑛 (𝑀) = 𝑔𝑒𝑛 {⃗⃗⃗⃗ 𝑣1 , 𝑣 ⃗⃗⃗⃗2 , … . , ⃗⃗⃗⃗ 𝑣𝑛 } es un subespacio vectorial del espacio vectorial V. Prof. Mónica Alicia Stramazzi

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Dem.: Veamos que gen(M) es subespacio vectorial de V. ⃗ = 0. ⃗⃗⃗⃗ ⃗ ∈ 𝑔𝑒𝑛(𝑀) (1) 𝑔𝑒𝑛(𝑀) ≠ ∅ pues 0 𝑣1 + 0. ⃗⃗⃗⃗ 𝑣2 + … + 0. ⃗⃗⃗⃗ 𝑣𝑛 entonces 0 (2) 𝑔𝑒𝑛(𝑀) ⊆ 𝑉 por definición (3) 𝑢 ⃗ , 𝑣 ∈ 𝑔𝑒𝑛(𝑀) ⟹ ⟹ 𝑢 ⃗ = 𝛼1 ⃗⃗⃗⃗ 𝑣1 + 𝛼2 ⃗⃗⃗⃗ 𝑣2 + … + 𝛼𝑛 ⃗⃗⃗⃗ 𝑣𝑛 ∧ 𝑣 = 𝛽1 ⃗⃗⃗⃗ 𝑣1 + 𝛽2 ⃗⃗⃗⃗ 𝑣2 + … + 𝛽𝑛 ⃗⃗⃗⃗ 𝑣𝑛 ⟹ ⟹ 𝑢 ⃗ + 𝑣 = (𝛼1 + 𝛽1 )⃗⃗⃗⃗ 𝑣1 + (𝛼2 + 𝛽2 )⃗⃗⃗⃗ 𝑣2 + … + (𝛼𝑛 + 𝛽𝑛 )⃗⃗⃗⃗ 𝑣𝑛

⟹

⟹ 𝑢 ⃗ + 𝑣 ∈ 𝑔𝑒𝑛(𝑀) (4) 𝑢 ⃗ ∈ 𝑔𝑒𝑛(𝑀) ⟹ 𝑢 ⃗ = 𝛼1 ⃗⃗⃗⃗ 𝑣1 + 𝛼2 ⃗⃗⃗⃗ 𝑣2 + … + 𝛼𝑛 ⃗⃗⃗⃗ 𝑣𝑛 ⟹ ⟹ ∀ 𝛼 ∈ ℝ: 𝛼𝑢 ⃗ = (𝛼𝛼1 )⃗⃗⃗⃗ 𝑣1 + (𝛼𝛼2 )𝑣 ⃗⃗⃗⃗2 + … + (𝛼𝛼𝑛 )⃗⃗⃗⃗ 𝑣𝑛 ⟹ ⟹ 𝛼𝑢 ⃗ ∈ 𝑔𝑒𝑛(𝑀) Luego 𝑔𝑒𝑛(𝑀) es subespacio vectorial de V. Teorema: Sean ⃗⃗⃗⃗ 𝑣1 , ⃗⃗⃗⃗ 𝑣2 , … . , ⃗⃗⃗⃗ 𝑣𝑛 , ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑣𝑛+1 vectores de un espacio vectorial V. Si ⃗⃗⃗⃗ 𝑣1 , ⃗⃗⃗⃗ 𝑣2 , … . , ⃗⃗⃗⃗ 𝑣𝑛 generan a V, entonces ⃗⃗⃗⃗ 𝑣1 , ⃗⃗⃗⃗ 𝑣2 , … . , ⃗⃗⃗⃗ 𝑣𝑛 , ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑣𝑛+1 también generan a V. Es decir que si se agregan uno o más vectores a un conjunto generador resulta otro conjunto generador. Ejemplo: Vimos que si M = {(1, 2, 0), (0, -1, 1), (3, 5, 1)}  ℝ3 entonces 𝑔𝑒𝑛(𝑀) = {(𝑥, 𝑦, 𝑧) ∈ ℝ3 : − 2𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 0} Veamos que si S = {(1, 2, 0),(0, -1, 1),(3, 5, 1),(-2, -4, 0)}  ℝ3 , 𝑀 ⊆ 𝑆, entonces 𝑔𝑒𝑛(𝑆) = 𝑔𝑒𝑛(𝑀) (𝑥, 𝑦, 𝑧) ∈ 𝑔𝑒𝑛(𝑆) ⟺ (𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝛼 (1,2,0) + 𝛽 (0, −1,1) + 𝛾 (3,5,1) + 𝜆(−2, −4,0) ⟺

   3  2  x  2    5  4  y    z 

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Resolviendo el sistema vemos que para que el mismo sea compatible debe verificarse que –2x + y + z = 0 esto es (𝑥, 𝑦, 𝑧) ∈ 𝑔𝑒𝑛(𝑆) ⟺ −2𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 0, por lo tanto 𝑔𝑒𝑛(𝑆) = {(𝑥, 𝑦, 𝑧) ∈ ℝ3 : − 2𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 0} = 𝑔𝑒𝑛(𝑀)

Ejemplos: 1) El subespacio generado por los vectores (2,1), (1,1) y (-1,3) es ℝ2 . Para verificarlo basta con resolver el sistema de 2 ecuaciones lineales con 3 incógnitas que resulta de escribir a cualquier (𝑥, 𝑦) ∈ ℝ2 como combinación lineal de los vectores dados, esto es: (𝑥, 𝑦) = 𝛼 (2,1) + 𝛽 (1,1) + 𝛾(−1,3) 2) {(1,-1,2), (0, 1,-1), (2,-1,3)} no genera a ℝ3 ya que no es posible escribir a cualquier vector de ℝ3 como combinación lineal de los vectores dados 𝑔𝑒𝑛{(1, −1,2), (0,1, −1), (2, −1,3)} = {(𝑥, 𝑦, 𝑧) ∈ ℝ3 : − 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 0} 3) 𝑔𝑒𝑛{1 − 𝑥; 𝑥 + 𝑥 2 ; 2 − 5𝑥 − 3𝑥 2 } = {𝑃 (𝑥 ) = 𝑎0 + 𝑎1 𝑥 + 𝑎2 𝑥 2 ∈ P2 : − 𝑎0 − 𝑎1 + 𝑎2 = 0} Teorema: Sea V un ℝ-espacio vectorial y 𝑆 = 𝑔𝑒𝑛{⃗⃗⃗⃗ 𝑣1 , ⃗⃗⃗⃗ 𝑣2 , … . , ⃗⃗⃗⃗ 𝑣𝑛 }. Si alguno de los vectores es combinación lineal de los restantes entonces el conjunto que resulta de eliminarlo también genera a S. Ejemplo: 𝑔𝑒𝑛{(1, −1,2), (0,1, −1), (2, −1,3)} = {(𝑥, 𝑦, 𝑧) ∈ ℝ3 : − 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 0} = = 𝑔𝑒𝑛{(1, −1,2), (0,1,1)} ya que (2, −1,3) = 2(1, −1,2) + 1(0,1, −1) Definición: Sean ⃗⃗⃗⃗ 𝑣1 , ⃗⃗⃗⃗ 𝑣2 , … . , ⃗⃗⃗⃗ 𝑣𝑛 n vectores en un espacio vectorial V. Entonces se dice que estos vectores son: linealmente independientes si se verifica que ⃗ ⟹ 𝛼1 = 𝛼2 = ⋯ = 𝛼𝑛 = 0 𝛼1 ⃗⃗⃗⃗ 𝑣1 + 𝛼2 ⃗⃗⃗⃗ 𝑣2 + … . +𝛼𝑛 ⃗⃗⃗⃗ 𝑣𝑛 = 0 Prof. Mónica Alicia Stramazzi

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linealmente dependientes si existen escalares 𝛼1 , 𝛼2 , … , 𝛼𝑛 , con al menos uno de ellos distinto de cero, tales que ⃗ 𝛼1 ⃗⃗⃗⃗ 𝑣1 + 𝛼2 ⃗⃗⃗⃗ 𝑣2 + … . +𝛼𝑛 ⃗⃗⃗⃗ 𝑣𝑛 = 0 es decir: ⃗ ⟹ ∃ 𝛼𝑖 ≠ 0 para algún 𝑖, 0 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛 𝛼1 ⃗⃗⃗⃗ 𝑣1 + 𝛼2 ⃗⃗⃗⃗ 𝑣2 + … . +𝛼𝑛 ⃗⃗⃗⃗ 𝑣𝑛 = 0

Ejemplos: 1) {(1, 3, 2),(-1, 2, 5),(0, 1, 4)} es linealmente independiente pues se verifica que 𝛼(1,3,2) + 𝛽 (−1,2,5) + 𝛾(0,1,4) = (0,0,0) ⟹ 𝛼 = 𝛽 = 𝛾 = 0

−1 16 2 ],[ 2) {[ −4 13 3 𝛼[

−1 −4

3 −1 ],[ 4 −2

2 ]} es linealmente dependiente pues se verifica que 1

16 2 ]+𝛽[ 13 3

3 −1 ]+ 𝛾[ 4 −2

2 0 ]=[ 1 0

0 ] ⟹ 𝛼 = −1, 𝛽 = 2, 𝛾 = 5 0

Teorema: Un conjunto de r vectores en ℝ𝑛 es siempre linealmente dependiente si r > n. Corolario: Un conjunto de vectores linealmente independientes en ℝ𝑛 contiene, a lo sumo, n vectores. Propiedades: Sean ⃗⃗⃗⃗ 𝑣1 , ⃗⃗⃗⃗ 𝑣2 , … . , ⃗⃗⃗⃗ 𝑣𝑛 , n vectores del espacio vectorial V. (1) Un conjunto de vectores es linealmente dependiente si, y sólo si al menos uno de ellos es combinación lineal de los restantes. (2)

Si

{⃗⃗⃗⃗ 𝑣1 , ⃗⃗⃗⃗ 𝑣2 , … . , ⃗⃗⃗⃗ 𝑣𝑛 }

es

linealmente

independiente

y

{⃗⃗⃗⃗ 𝑣1 , 𝑣 ⃗⃗⃗⃗2 , … . , ⃗⃗⃗⃗ 𝑣𝑛 , ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑣𝑛+1 }

es

linealmente dependiente, entonces ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑣𝑛+1 es combinación lineal de los demás. ⃗ ∀ 𝑖 = 1, 2, … , 𝑛. (3) Si {⃗⃗⃗⃗ 𝑣1 , ⃗⃗⃗⃗ 𝑣2 , … . , ⃗⃗⃗⃗ 𝑣𝑛 } es linealmente independiente entonces ⃗⃗⃗ 𝑣𝑖 ≠ 0 (4) Si {⃗⃗⃗⃗ 𝑣1 , ⃗⃗⃗⃗ 𝑣2 , … . , ⃗⃗⃗⃗ 𝑣𝑛 } es linealmente independiente y k  n entonces {⃗⃗⃗⃗ 𝑣1 , ⃗⃗⃗⃗ 𝑣2 , … . , ⃗⃗⃗⃗ 𝑣𝑘 } es linealmente independiente, es decir que cualquier subconjunto de un conjunto linealmente independiente es linealmente independiente. Prof. Mónica Alicia Stramazzi

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(5) Un conjunto formado por un sólo vector no nulo es siempre linealmente independiente. Teorema: Un conjunto de n vectores linealmente independientes en ℝ𝑛 genera a ℝ𝑛 . Definición: Sea B = {⃗⃗⃗⃗ 𝑣1 , ⃗⃗⃗⃗ 𝑣2 , … . , ⃗⃗⃗⃗ 𝑣𝑛 } un conjunto de vectores de un espacio vectorial V. B es una base del espacio vectorial V si: (1) B es linealmente independiente en V (2) B genera a V. Ejemplos: 1) B = {(1,1), (1,0)} es base del espacio vectorial ℝ2 , ya que los vectores son linealmente independientes pues: 𝛼(1,1) + 𝛽 (1,0) = (0,0) ⟹ 𝛼 = 𝛽 = 0 y además generan a ℝ2 porque cualquier vector (𝑥, 𝑦) se puede escribir como combinación lineal de los vectores dados de la siguiente manera (𝑥, 𝑦) = 𝑦(1,1) + (𝑥 − 𝑦)(1,0) 2) C = {(1,0), (0,1)} es una base de ℝ2 , C = {(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)} es una base de ℝ3 . En general C = {(1,0,0, … ,0),(0,1,0, … ,0), … ,(0,0,0, … ,1)} es base de ℝ𝑛 . Es claro que es un conjunto linealmente independiente y además cualquier vector 𝑣 = (𝑣1 , 𝑣2 , … , 𝑣𝑛 ) ∈ ℝ𝑛 se puede expresar como 𝑣 = 𝑣1 (1,0,0, … ,0) + 𝑣2 (0,1,0, … ,0) + … + 𝑣𝑛 (0,0,0, … ,1) A esta base se la conoce con el nombre de base canónica de ℝ𝑛 .

1 0 0 1 0 0 0 0  C =  , , ,   es la base canónica de M2(ℝ) 0 0 0 0 1 0 0 1  y C = {1, x, x2} es la base canónica de P2 3) Una base del subespacio S = {(x, y, z) ℝ3 : –x + 2y - z = 0} es por ejemplo B = {(1, 0,-1), (0,1,2)} Prof. Mónica Alicia Stramazzi

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4) Una base del subespacio de ℝ3 :

3.x  y  z  0   x yz 0  2.x  2. y  0 

es B = {(-1,1,2)}

Como cualquier conjunto de n vectores linealmente independientes en ℝ𝑛 genera a ℝ𝑛 , entonces todo conjunto de n vectores linealmente independientes en ℝ𝑛 es una base en ℝ𝑛 La razón fundamental de conocer una base de un espacio vectorial es que todo vector del espacio vectorial puede ser expresado a partir de esa base de una única manera, tal como lo afirma el siguiente: Teorema: Sea V un ℝ-espacio vectorial. B = {⃗⃗⃗⃗ 𝑣1 , ⃗⃗⃗⃗ 𝑣2 , … . , ⃗⃗⃗⃗ 𝑣𝑛 } es base de V si, y sólo si cada vector 𝑣 ∈ 𝑉 se puede expresar de una única manera como combinación lineal de los vectores de B. Teorema: Si {⃗⃗⃗⃗ 𝑢1 , ⃗⃗⃗⃗ 𝑢2 , … . , ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑢𝑚 } y {⃗⃗⃗⃗ 𝑣1 , ⃗⃗⃗⃗ 𝑣2 , … . , ⃗⃗⃗⃗ 𝑣𝑛 } son bases del espacio vectorial V, entonces m = n, es decir cualesquiera dos bases en un espacio vectorial V poseen el mismo número de vectores.

Definición: Si el espacio vectorial V posee una base formada por un número finito de vectores, se dice que V es un espacio de dimensión finita. En caso contrario se dice que V es un espacio de dimensión infinita.

Definición: Sea V un ℝ-espacio vectorial de dimensión finita. Se define la dimensión de V como el número de vectores de una base cualquiera de V. Se escribirá dim V para denotar la dimensión del espacio vectorial de dimensión finita.

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En general dim ℝ𝑛 = n, pues la base canónica de ℝ𝑛 contiene n vectores, dim Mmxn = mxn y dim Pn = n + 1 pues las bases canónicas de estos espacios contienen mxn y n+1 vectores respectivamente. ⃗ } entonces dim V = 0. Si V = {0 Teorema: Sea V un espacio vectorial tal que dim V = n. Si {⃗⃗⃗⃗ 𝑣1 , ⃗⃗⃗⃗ 𝑣2 , … . , ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑣𝑚 } es un conjunto linealmente independiente de V con m < n, entonces existen vectores 𝑣𝑚+1 , ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑣𝑚+2 , … . , ⃗⃗⃗⃗ 𝑣𝑛

en V, tales que {⃗⃗⃗⃗ 𝑣1 , ⃗⃗⃗⃗ 𝑣2 , … . , ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑣𝑚 , ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑣𝑚+1 , … , ⃗⃗⃗⃗ 𝑣𝑛 } es una base de V.

Teorema: Sea V un espacio vectorial tal que dim V = n. Entonces: (1) Cualquier conjunto con n vectores linealmente independientes es una base de V. (2) Cualquier conjunto con n vectores que genera a V, es una base de V. Teorema: Sean V un espacio vectorial de dimensión finita y S un subespacio de V. Entonces S es de dimensión finita y dim S  dim V. Corolario: Sean V un espacio vectorial de dimensión finita y S un subespacio de V. Si dim S = dim V, entonces S = V.

Coordenadas de un vector respecto de una base Si B = {⃗⃗⃗⃗ 𝑣1 , ⃗⃗⃗⃗ 𝑣2 , … . , ⃗⃗⃗⃗ 𝑣𝑛 } es base de un espacio vectorial V entonces cada vector de V puede expresarse de una única manera como combinación lineal de los elementos de la base, esto es: si 𝑣 ∈ 𝑉 entonces 𝑣 = ∑𝑛𝑖=1 𝛼𝑖 ⃗𝑣⃗𝑖 = 𝛼1 ⃗⃗⃗⃗ 𝑣1 + 𝛼2 𝑣 ⃗⃗⃗⃗2 + … + 𝛼𝑛 ⃗⃗⃗⃗ 𝑣𝑛 con 𝛼𝑖 ∈ ℝ, únicos

El vector 𝑣 ∈ 𝑉 queda caracterizado por los coeficientes de la combinación lineal respecto de la base dada, se dice entonces que los escalares  i de ⃗𝑣⃗𝑖 son las coordenadas del vector 𝑣 respecto de la base B. Prof. Mónica Alicia Stramazzi

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Si se elige otra base D de V entonces el vector 𝑣

admite otras coordenadas o

componentes respecto de la base D. Para indicar las coordenadas del vector 𝑣 en la base B escribiremos: [𝑣]B = (𝛼1 , … , 𝛼𝑛 )

𝛼1 [𝑣 ]B = [ ⋮ ] 𝛼𝑛

o

Esta última forma recibe el nombre de matriz de coordenadas del vector 𝑣 en la base B 𝑢 ⃗ = (4,3)

Dado

la

matriz

de

coordenadas

de

este

vector

en

la

base

𝐷 = {(−1,1), (1,1)} de ℝ2 que surgen de resolver 𝛼(−1,1) + 𝛽 (1,1) = (4,3) son 1

[𝑢 ⃗ ]𝐷 = [

−2 7

]

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Este

ejemplo

nos

permite

interpretar

geométricamente

el

concepto

de

coordenadas. Prof. Mónica Alicia Stramazzi

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Observemos que la ubicación del vector no se modifica al cambiar la base sino que, de acuerdo con la base considerada, varía la combinación lineal que lo define. Esto es, cada base del espacio vectorial nos permite definir un sistema de referencia. Así, el sistema de coordenadas y la base producen la misma correspondencia unívoca entre los puntos del espacio bidimensional y los pares ordenados de números reales. Análogamente en el espacio tridimensional Ejemplos: 1) Las coordenadas del vector 𝑣 = (1, 4) en la base B = {(1,1), (-1,2)} son [𝑣]B = (2,1) pues (1,4) = 2.(1,1) + 1.(-1,2). Si D = {(-1,-4), (2,0)} entonces [𝑣]D = (−1, 0) pues (1,4) = -1.(-1,-4) + 0.(2,0). 2) Dada la base B = {(1,3,2),(-1,2,5),(0,1,4)}, la matriz de coordenadas del vector 𝑣 = (3, 5, 3) en dicha base es 2 [𝑣]B = [−1] 1 Ya que (3, 5, 3) = 𝛼. (1, 3, 2) + 𝛽. (−1, 2, 5) + 𝛾. (0, 1, 4) ⟹ 𝛼 = 2, 𝛽 = −1, 𝛾 = 1 2 3) Dado el vector 𝑣 = [ 4

−4 −1 ] y la base B = {[ −2 −4

16 2 ],[ 13 3

3 −1 ],[ 4 −2

2 ]} del 1

subespacio S de M2(ℝ), la matriz de coordenadas del vector 𝑣 en dicha base es −1 [𝑣 ]B = [ 2 ] 3 Ya que 2 [ 4

−4 −1 ] = 𝛼. [ −2 −4

16 2 3 −1 2 ] + 𝛽. [ ] + 𝛾. [ ] ⟹ 𝛼 = −1, 𝛽 = 2, 𝛾 = 3 13 3 4 −2 1

Cambio de base La idea de cambio de base es que dadas dos bases B y D de un espacio vectorial V poder determinar las coordenadas del vector 𝑥 ∈ 𝑉 respecto de la base D: [x⃗]D conociendo las coordenadas de dicho vector relativas a la base B, es decir [x⃗]B

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Definición: Si B = {⃗⃗⃗⃗ 𝑢1 , ⃗⃗⃗⃗ 𝑢2 , … . , ⃗⃗⃗⃗ 𝑢𝑛 } y D = {⃗⃗⃗⃗ 𝑣1 , ⃗⃗⃗⃗ 𝑣2 , … . , ⃗⃗⃗⃗ 𝑣𝑛 } son bases ordenadas de un espacio vectorial V de dimensión finita, entonces la matriz de cambio de base o matriz de transición de B a D es la matriz de orden nxn

 a11 a12 a  21 a 22 A=  . .  .  . a n1 a n 2

. . a1n  . . a 2 n  . . .   . . .  . . a nn 

donde:

 a11  a   21    .   u1 D ,    .  a n1 

 a12   a1n  a  a   22    2n    .   u 2 D , .............,  .   u n D .      .   .  a n 2   a nn 

Es decir que la columna j-ésima de la matriz de cambio de base es la matriz de coordenadas del vector j-ésimo de la base B con respecto a la base D. La notación que usaremos para indicar a dicha matriz es: A = [ ]BD Teorema: Sean V un espacio vectorial de dimensión finita, B y D bases ordenadas de V y A la matriz de cambio de base de B a D. Entonces: ∀ 𝑥 ∈ 𝑉: [𝑥 ]𝐷 = A. [x⃗]B Teorema: Sean V un espacio vectorial de dimensión finita, B y D bases ordenadas de V y A la matriz de cambio de base de B a D, entonces: (1) A es inversible (2) A-1 es la matriz de cambio de base de D a B

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Veamos ahora el cambio de base utilizando la base canónica: [ ]B D = [ ]C D . [ ]B C En efecto: ∀𝑣 ∈ 𝑉: [𝑣]D = [ ]BD . [𝑣]B

(1)

Además ∀𝑣 ∈ 𝑉: [𝑣]D = [ ]C D . [𝑣]C y como [𝑣]C = [ ]BC . [𝑣]B , reemplazando [𝑣]C resulta que ∀𝑣 ∈ 𝑉: [𝑣]D = [ ]C D . [𝑣]C = [ ]CD . ([ ]BC . [𝑣]B ) de donde ∀𝑣 ∈ 𝑉: [𝑣]D = ([ ]CD . [ ]BC ). [𝑣]B (2) Comparando (1) y (2) resulta que: [ ]B D = [ ]CD . [ ]B C Ejemplo: Dadas en ℝ2 las bases A = {(−1,1), (2, −1)}, E = {(−1,2), (1, −1)} a) Hallar las matrices de cambio [ ]CA y [ ]AE Hallemos [ ]CA (1,0) = 𝛼 (−1,1) + 𝛽 (2, −1) ⟹ {

−𝛼 + 2𝛽 = 1 𝛼=1 resolviendo el sistema resulta { 𝛽=1 𝛼−𝛽 =0

(0,1) = 𝛼 (−1,1) + 𝛽 (2, −1) ⟹ {

−𝛼 + 2𝛽 = 0 𝛼=2 resolviendo el sistema resulta { 𝛽=1 𝛼−𝛽 =1

1 Entonces [ ]CA = [ 1

2 ] 1

Hallemos [ ]AE −𝛼 + 𝛽 = −1 𝛼=0 (−1,1) = 𝛼(−1,2) + 𝛽 (1, −1) ⟹ { resolviendo el sistema resulta { 𝛽 = −1 2𝛼 − 𝛽 = 1 −𝛼 + 𝛽 = 2 𝛼=1 (2, −1) = 𝛼(−1,2) + 𝛽 (1, −1) ⟹ { resolviendo el sistema resulta { 𝛽=3 2𝛼 − 𝛽 = −1 Prof. Mónica Alicia Stramazzi

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0 Entonces [ ]AE = [ −1

1 ] 3

−2 b) Si [𝑣]A = [ ] hallar [𝑣]E −1 0 Como ∀𝑣 ∈ 𝑉: [𝑣]E = [ ]AE . [𝑣]A entonces [𝑣]E = [ −1

1 −2 −1 ] . [ ] de donde [𝑣 ]E = [ ] 3 −1 −1

c) Hallar [𝑣]C Como [𝑣]C = [ ]EC . [𝑣]E entonces debemos hallar [ ]EC 𝛼 (−1,2) = 𝛼(1,0) + 𝛽 (0,1) ⟹ {

= −1 𝛽=2

(1, −1) = 𝛼(1,0) + 𝛽 (0,1) ⟹ {

𝛼 =1 𝛽 = −1

−1 1 −1 1 −1 ] de donde [𝑣]C = [ ].[ ] Luego [ ]EC = [ 2 −1 2 −1 −1 Por lo tanto [𝑣 ]C = [ 0 ] −1 También se puede hallar este vector ya que se sabe cuáles son sus coordenadas respecto de la base E, es decir: (𝑎, 𝑏) = −1(−1,2) − 1(1, −1) ⟹ (𝑎, 𝑏) = (0, −1)

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