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UNIVERSIDAD CENTRAL DE VENEZUELA FACULTAD DE INGENIERIA CAMPUS CAGUA INGENIERIA DE PROCESOS INDUSTRIALES ALGEBRA LINEAL

ESPACIOS VECTORIALES

Profesora DHORYVEL CABRERA

AGOSTO 2010

ESPACIOS VECTORIALES Un Espacio Vectorial Real V es conjunto de objetos, llamados vectores, junto con dos operaciones llamadas suma (denotada por x + y) y multiplicación por un escalar (denotada por αx) que satisfacen los siguientes axiomas: i.

Si x є V y y є V, entonces x + y є V

(cerradura bajo la suma)

ii.

Para toda x, y y z en V, (x + y) + z = x + (y + z)

(ley asociativa de la suma de vectores)

iii.

Existe un vector 0 є V tal que para toda x є V, x + 0 = 0 + x = x (0 es el idéntico aditivo)

iv.

Si x є V, existe un vector –x en V tal que x + (-x ) = 0

(-x es el inverso aditivo de x)

v.

Si x y y están en V, entonces x + y = y + x

(ley conmutativa de la suma de vectores)

vi.

Si x є V y α es un escalar, entonces αx є V

(cerradura bajo la multiplicación por un escalar)

vii.

Si x y y están en V y α es un escalar, entonces α(x + y) = αx + αy

(primera ley distributiva)

viii.

Si x є V y α y β son escalares, entonces (α + β) x = αx + βx

(segunda ley distributiva)

ix.

Si x є V y α y β son escalares, entonces α(β) x = αβx

(ley asociativa de la multiplicación por un

escalar) x.

Para todo vector x є V, 1x = x

(1 es el idéntico multiplicativo)

El Espacio Rn = {(x1, x2,…, xn): xi є R para i = 1,2,…, n} El Espacio Pn = {polinomios de grado ≤ n} El Espacio F[a,b] = {funciones reales continuas en el intervalo [a,b]} El Espacio Mmn = {matrices de m x n con coeficientes reales} El Espacio Cn = {(c1, c2,…, cn): ci є C para i = 1,2,…, n} C denota el conjunto de los números complejos

Propiedades de los espacios vectoriales Sea V un espacio vectorial 1. 0 . u = O ∀ u ∈ V 2. α . O = O , ∀ α ∈ K 3. α . u = O → α = 0 ó u = O 4. (- α)u = -(αu) , ∀ u ∈ V y ∀ α ∈ K. En particular -u = (-1)u = -( 1u) SUBESPACIOS Un Subespacio S de un espacio vectorial V es un conjunto de V que es en sí un espacio vectorial. Un subespacio no vacío S de un espacio vectorial V es un subespacio de V si las dos siguientes reglas se cumplen: i.

Si x є S y y є S, entonces x + y є S

ii.

Si x є S, entonces αx є S para cada escalar α

Un Subespacio propio de un espacio vectorial V es un subespacio de V diferente de {0} y de V. Una Combinacion Lineal de los vectores v1, v2,…, vn en un espacio vectorial V es una suma de la forma α1v1 + α2v2 +…+ αnvn donde α1, α2,…, αn son escalares. Se dice que los vectores v1, v2,…, vn en un espacio vectorial V generan a V si todo vector en V se puede expresar como una combinación lineal de v1, v2,…, vn. El conjunto generado por un conjunto de vectores v1, v2,…, vk en un espacio vectorial V es el conjunto de combinaciones lineales de v1, v2,…, vk. Gen {v1, v2,…, vk} es un subespacio de V.

DEPENDENCIA E INDEPENDENCIA LINEAL Se dice que los vectores v1, v2,…, vn en un espacio vectorial V son linealmente dependientes si existen escalares c1, c2,…, cn no todos ceros tales que c1v1 + c2v2 +…+ cnvn = 0. Si los vectores no son linealmente dependientes, se dice que son linealmente independientes. Dos vectores en un espacio vectorial V son linealmente dependientes si y sólo si uno es un múltiplo escalar del otro. Cualquier conjunto de n vectores linealmente independientes en Rn genera a Rn. Un conjunto de n vectores en Rm es linealmente dependiente si n > m. BASE Un conjunto de vectores v1, v2,…, vn es una base para un espacio vectorial V sí: i.

{v1, v2,…, vn} es linealmente independiente

ii.

{v1, v2,…, vn} generan a V Todo conjunto de n vectores linealmente independientes en Rn es una base de Rn. La base canónica en Rn consiste en n vectores

1 0 0       0 1 0     e1= 0 , e2= 0 , e3=  1  ,…, en=             0 0 0      

0   0 0     1  

DIMENSION Si el espacio vectorial V tiene una base finita, entonces la dimensión de V es el número de vectores en cada base y V se llama un espacio vectorial de dimensión finita. De otra manera V se llama espacio vectorial de dimensión infinita. Si V = {0}, entonces se dice que V tienen dimensión cero. La dimensión de V se denota por dim V.

Si S es un subespacio del espacio vectorial de dimensión finita V, entonces dim S ≤ dim V. Los únicos subespacios propios de R3 son los conjuntos de vectores que están en una recta o en un plano que pasa por el origen. El Espacio nulo de una matriz A n x n es el subespacio de Rn dado por: NA = {(x є Rn: Ax = 0}. La nulidad de una matriz A de n x n es la dimensión de NA y se denota ν(A). Sea A una matriz de m x n, la imagen de A, denotado por imagen A, es el subespacio de Rm dado por: Imagen A = {(y є Rm: Ax = y para alguna x є Rn}. El Rango de A, denotado por ρ(A), es la dimensión de la imagen A. El Espacio de los renglones de A, denotado por RA, es el espacio generado por los renglones (filas) de A y es un subespacio de Rn. El Espacio de las columnas de A, denotado por CA, es el espacio generado por las columnas de A y es un subespacio de Rm. Si A una matriz de m x n, entonces CA = imagen A y dim RA = dim CA = dim imagen A = ρ(A); más aún, ρ(A) + ν(A) = n.

TEOREMA DE RESUMEN Sea A una matriz de n x n. Entonces las siguientes afirmaciones son equivalentes: xi.

A es invertible

xii.

La única solución al sistema homogéneo Ax = 0 es la solución trivial (x = 0)

xiii.

El sistema Ax = b tiene una solución única para todo n-vector b

xiv.

A es equivalente por renglones a la matriz identidad de n x n, In

xv.

A se puede expresar como el producto de matrices elementales

xvi.

La forma escalonada por renglones de A tiene n pivotes

xvii.

Las columnas (y renglones) de A son linealmente independientes

xviii.

det A ≠ 0

xix.

ν(A) = 0

xx.

ρ(A) = n ESPACIO CON PRODUCTO INTERNO El espacio vectorial real V se llama un Espacio con Producto Interno si cada par de vectores u y v en V

existe un numero real único (u, v), llamado producto interno de u y v, tal que si u, v y w están en V y α є R, entonces i.

(u, u) ≥ 0

ii.

(u, u) = 0 si y solo si u = 0

iii.

(u, v + w) = (u, v) + (u, w)

iv.

(u + v, w) = (u, w) + (v, w)

v.

(u, v) = (v, u)

vi.

(αu, v) = α(u, v)

vii.

(u, αv) = α(u, v)

El producto punto en Rn, (u, v) = u·v = u1v1 + u2v2 +… + unvn, donde u = (u1, u2,…, un) y v = (v1, v2,…, vn), es un producto interno. Se le llama producto interno estándar (o canónico) en Rn. Otro ejemplo en R2, definimos (u, v) = u·v = u1v1 - u2v1 – u1v2 + 3u2v2, donde u = (u1, u2) y v = (v1, v2), resolviendo (u, u) = u12 – 2u1u2 + 3u22, nos queda (u, u) = u12 –2 u1u2 + u22 + 2u22 = (u1 – u2)2 + 2u22 ≥ 0. Cumple con la primera condición, es un producto interno R2 pero no es el producto interno estándar en R2, por lo tanto se demuestra que en un espacio vectorial se pueden tener distintos productos internos. Si V es un espacio vectorial con producto interno, la dimensión de V es la dimensión de V como espacio vectorial real; además un conjunto S es una base para V si es una base para el espacio real V. La longitud de un vector u se define como u 

u, u  .

COORDENADAS Y CAMBIO DE BASE BASE ORDENADA Si S = {v1, v2,…, vn} es una base ordenada de un espacio vectorial V de dimensión n. S1 = { v2, v1, …, vn} es una base ordenada para el espacio vectorial V de dimensión n, diferente a la anterior. COORDENADAS Si S = {v1, v2,…, vn} es una base ordenada de un espacio vectorial V de dimensión n, entonces cada vector v en V se puede expresar en forma única como v = c1v1 + c2v2 +…+ cnvn donde c1, c2,…, cn son números reales. La  c1 

expresión [v]s =  c 2  es el vector de coordenadas de v con respecto a la base ordenada S. Las entradas de [v]s     c n 

son las coordenadas de v con respecto S.

EJEMPLO Sea S = {v1, v2, v3, v4} una base para R4, donde v1 = (1,1,0,0), v2= (2,0,1,0), v3= (0,1,2,-1), v4= (0,1,-1,0). Si v = (1,2,-6,2), calcule [v]s Solución Calculamos las constantes c1, c2, c3, c4, tales como c1v1 + c2v2 + c3v3+ c4v4 = v (combinación lineal) Esto se logra resolviendo la matriz aumentada v1T

v2T

v3T

v4T v T . (Resuelva la matriz)

La solución es c1 = 3, c2= -1, c3= -2, c4= 1. Por lo tanto el vector de coordenadas de v con respecto a la base S es [v]s =

 3    1    2   1 

MATRIZ DE TRANSICION Sea B1 = {u1, u2,…, un} y B2 = {v1, v2,…, vn} dos bases para el espacio vectorial V. Si x є V y  b1 

 c1   

    b   n

    c   n

x = b1u1 + b2u2 +…+ bnun = c1v1 + c2v2 +…+ cnvn entonces se escribe (x)B1=  b2  y (x)B2=  c 2  .

 a1 j 

Suponga que (uj)B2=  a 2 j  . Entonces la matriz de transición de B1 a B2 es la matriz de n x n     a   nj 

 a11 

a 12

A =  a 21 a 22   a  n1

an2

a1n   a2n    a nn 

Más aún, (x)B2= A(x)B1

Si A es la matriz de transición de B1 a B2, entonces A-1 es la matriz de transición de B2 a B1. Procedimiento para calcular la matriz de transición PS T de la base T = {w1, w2,…, wn} a la base S = {v1, v2,…, vn} para V: Paso 1. Calcule el vector de coordenadas de wj, j = 1,2,…,n con respecto a la base S. Es decir, expresar a wj como combinación lineal de las vector en S: a1jv1 + a2jv2 +…+ anjvn = wj, j = 1,2,…,n. Los valores de a1j, a2j,…, anj se determinan resolviendo la matriz aumentada [v1 v2 … vn | w1 | w2 |… |wn ] Paso 2. La matriz de transición PS T de la base T a la base S se forma tomando el vector [wj]S como jésima columna de la matriz pedida, PS T .

1 Si PS T es la matriz de transición de la base T a la base S, entonces PS T es no singular y PST es la

matriz de transición de la base S a la base T. EJEMPLO Sea V igual a R3, y sean S = {v1, v2, v3} y T = {w1, w2, w3} bases para R3, donde

v1 =

2 0  , v2=   1 

1   2  , v3=   0 

1 1  1

y w1 =

6   3 , w2=    3

4   1 , w3=    3 

5  5  .    2 

a) Calcule la matriz de transición PS T de la base T a la base S. b) Verifique [v]S = PS T [v]T para v =

4  9 .    5 

Solución a) Para calcular PS T , determinamos a1, a2, a3, tales que a1v1 + a2v2 + a3v3 = w1 para ello se resuelve las matrices aumentadas [v1 v2 v3 w1 ] [v1 v2 v3

w2 ] [v1 v2 v3 w3] las cuales podemos transformar

simultáneamente transformando la matriz por bloques [v1 v2 v3 w1 w2 w3]. Esto significa 2 1 1 6 4 5 1 0 0 2 2 1 0 2 1 3  1 5  0 1 0 1  1 2 de la cual se deduce que la matriz de transición PS T de la     1 0 1 3 3 2 0 0 1 1 1 1 2

2

1

1

1

1

base T a la base S es P  1  2 1 . S T  

b) Si v =

4  9    5 

esta expresado en términos de la base T debemos escribirlo como combinación lineal de w1,

w2 y w3. Lo cual conduce a v =

 4  9 =    5 

6   4  5  = 1w1 + 2w2 - 2 w3. Por lo tanto [v]T =   13  2 1  25 3  3  2

2 2 1  1    = 1  2 1  2  1 1 1  2

Ahora resolvemos PS T [v]T = 

1  2    2

4   5 .    1 

 4

 2

1 

1

 5 

1

0

1

Calculando [v]S directamente nos queda v =   =       = 4v1 – 5v2 + 1v3, es decir que  9 40  52  11

[v]S =

 4 ,   5    1 

igual al resultado anterior. Queda verificada la ecuación.

EJERCICIOS Consideraremos todas las bases como bases ordenadas. En los ejercicios 1 al 4, calcule el vector coordenada de v con respecto a la base dada S para V. 1. V es R2, S = 1, 0  , v =  3       2   0 1  2. V es R3, S = {(1,-1,0), (0,1,0), (1,0,2)}, v = (2,-1,-2) 3. V es P2, S = {t2 – t + 1, t + 1, t2 + 1}, v =4t2 – 2t + 3 4. V es M22, S = 1 0, 0 0, 0 1, 0 0  , v = 0 0 1 0 0 0 0 1 

 

 

 



 1 0   1 2  

Calcule el vector v si el vector de coordenadas [v]S está con respecto a la base B   1

5. V es R3, S = {(0,1,-1), (1,0,0), (1,1,1)}, [v]S =  1     2 

6. V es P1, S = { t, 2t – 1}, [v]S =  2 3  

2

7. V es M22, S = 1  2,  1 3, 1 0, 0  1  , [v]S =  1          0 0   0 1 1 0 0 0     1   3

8. Sean S = {(1,2), (0,1)} y T = {(1,1), (2,3)} bases para R2. Sean v = (1,5) y w = (5,4). a. Determine los vectores de coordenadas de v y w con respecto a la base T. b. ¿Cuál es la matriz de transición PS T de la base T a la base S? c. Determine directamente los vectores de coordenadas de v y w con respecto a la base S. d. Determine la matriz de transición QT S de la base S a la base T. e. Determine los vectores de coordenadas de v y w con respecto a la base T utilizando QT S . Compare las respuestas con las de(a).

9. Igual que el ejercicio 8 pero con S = 1 0, 0 1, 0 2, 0 0  y 0 0 1 0 0 1 1 1 

 

 

 



T = 1 1, 0 0, 0 0, 1 0  bases para M22; con v = 1 1 y w =         1 1   0 0 1 0 0 1 0 0 

 1 2  2 1   

10. Sean S = {v1, v2} y T = {w1, w2} bases para R2, donde v1 = (1,2), v2= (0,1). Si la matriz de transición de S a T es 2 1 , determine los vectores de la base T. 1 1  