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• RaquelAbigailJerónimo

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Vectores: Es el conjunto de segmentos de recta dirigidos equivalente a un segmento de recta dirigido que se llama vector. Tiene longitud y dirección. Las operaciones básicas de un vector son la suma de vectores, multiplicación de un escalar por un vector multiplicación interna entre vectores, y producto vectorial entre vectores. Ya estudiamos vectores en 𝑅 2 𝑦 𝑒𝑛 𝑅 3 ., que son los que podemos visualizar, pero en forma matemática los podemos trabajar hasta 𝑅 𝑛 . Que son los Espacios Vectoriales: Conocemos ya los vectores en 𝑅 2 𝑦 𝑒𝑛 𝑅 3 y ellos cuentan con diversas peculiaridades como las leyes conmutativas y asociativa y el neutro de la suma, además se pueden multiplicar vectores por escalares y aplicar las leyes distributivas. Entonces cuales son los espacios vectoriales son los conjuntos de vectores en 𝑅 2 𝑦 𝑒𝑛 𝑅 3 junto a las operaciones de suma de vectores y multiplicación de vectores por un escalar.

ESPACIO VECTORIAL REAL: EL ESPACIO VECTORIAL REAL V ES UN CONJUNTO DE VECTORES QUE EN CONJUNTO CON LA SUMA VECTORIAL Y LA MULTIPLICACIÓN DE UN VECTOR POR UN ESCALAR SATISFACEN DIEZ AXIOMAS

AXIOMAS: 1. Si x Ɛ a V & y Ɛ a V, entonces x + y Ɛ a V (cerradura bajo la suma) 2. Para todo x, y, z en V (x + y) + z = x + (y + z) ( ley asociativa de la suma de vectores)

3. Si x Ɛ V, existe un vector –x que Ɛ V tal que x + (-x) = 0 (donde –x es el inverso aditivo de x). 4. Existe un vector 0 Ɛ V tal que para todo x Ɛ v, x+ 0 =0 + x = x (donde 0 es el vector cero o idéntico aditivo) 5. Si x y y están en V entonces x + y = y + x ( ley conmutativa de la suma vectorial) 6. Si x Ɛ V y α es un escalar entonces αx Ɛ V (cerradura bajo la multiplicación por un escalar)

7. Si x & y Ɛ V y α es un escalar, entonces α(x + y) = αx + αy (primera ley distributiva) 8. Si x Ɛ V y α y β son escalares entonces (α+β)x = αx + βx (segunda ley distributiva)

9. Si x Ɛ V y α y β son escalares entonces α(βx) = (αβ)x (ley asociativa de la multiplicación de escalares)

10.

Para cada vector x Ɛ V 1x = x

Nota: los primeros cinco axiomas se utilizan para definir a un grupo abeliano y del 6 al 10 describen la interrelación de los escalares mediante la operación binaria de un escalar y un vector.

Los escalares tienen una estructura denominada CAMPO. Campo: conjunto de elementos y dos operaciones binarias dentro de los números reales (suma y multiplicación) Los vectores en 𝑅 𝑛 se pueden escribir indiscriminadamente como vectores renglón o como vectores columna. Ejemplo 1: En el espacio 𝑹𝒏 sea:

𝑥1 V = 𝑅 𝑛=

𝑥2

: 𝑥 𝑗 Ɛ R para 𝑖 = 1,2,3, … … . . , 𝑛 ⋮

𝑥𝑛 0 Cada vector para 𝑅 𝑛 es una matriz de 𝑛𝑋 1. Haciendo 0 =

0

⋮ 0

𝑥1 -x = 𝑥2 ⋮ 𝑥𝑛 Se observa que los axiomas 2 y 10 se obtienen de la definición de suma de vectores y de todas las propiedades de la suma de vectores. Espacio vectorial Trivial

Sea V = 0 es decir V consiste solo en el número cero 0. Como 0 + 0 = 1 . 0 = 0 + ( 0 + 0) = ( 0 + 0) + 0 = 0 se ve que V es un espacio vectorial. Que también podemos llamar espacio vectorial trivial.

Notas: 1. el elemento neutro aditivo es el vector cero 2. Llamaremos inverso aditivo a –x 3. Los vectores en 𝑅 𝑛 se pueden escribir indistintamente como vectores renglón o vectores columna 4. Verificar los 10 axiomas puede ser muy laborioso por lo que debemos verificar los que no son obvios. 5. Las funciones constantes (incluyendo la función 𝑓(𝑥 ) = 0 son polinomios de grado cero. 6. Se utiliza el signo + inscrito en un circulo para denotar suma de matrices ++ + +

Ejemplo 2: Conjunto que no es un espacio vectorial: Sea V = 1 es decir que V consiste únicamente el numero 1 este no es un espacio vectorial ya que no cumple con el axioma de la cerradura de la suma ya que si 1 +1 = 2 & 2no pertenece a V.

Ejemplo 3 El conjunto de puntos en 𝑹𝟐 que es encuentra en una recta que pasa por el origen constituye un espacio Vectorial Sea V = {(x, y): y = mx, donde m es un número real fijo y x es un número real arbitrario} El espacio vectorial V consiste en todos los puntos que están sobre la recta y = mx que pasa por el origen y con pendiente m, podemos observar que (x, y) está escrito como vector renglón y no como vector columna. Verificando con el axioma 1 a. Suponiendo que x = (𝑥1 , 𝑦1 )& y =(𝑥2 , 𝑦2 ) están en 𝑉 → 𝑦1 = 𝑚𝑥1 &𝑦2 = 𝑚𝑥2 entonces x + y = (𝑥1 , 𝑚𝑥1 )+ (𝑥2 , 𝑚𝑥2 ) =(𝑥1 + 𝑥2 , 𝑚(𝑥1 + 𝑥2 ) ∈ 𝑎 𝑉 Por lo que cumple el axioma 1. b. Suponiendo que (x,y) ∈ 𝑎 𝑉 → 𝑦 = 𝑚𝑥 & − (𝑥, 𝑦) = −(𝑥, 𝑚𝑥 ) = (−𝑥, 𝑚(−𝑥 )) = {(𝑥 − 𝑥 ), 𝑚(𝑥 − 𝑥 )} = (0, 0) Cumple el axioma 4. Porque (cero, cero) es el origen. Podemos verificar los otros axiomas.

Ejemplo 3:

El conjunto de puntos en 𝑹𝟐 que se encuentran en una recta que no pasa por el origen no constituye un espacio vectorial Sea 𝑉 = { (𝑥, 𝑦): 𝑦 = 2𝑥 + 1, 𝑥 ∈ 𝑅} Verificando el axioma 1 (cerradura bajo la suma) a. ((𝑥1 , 𝑦1 ) + (𝑥2 , 𝑦2 ) = (𝑥1 + 𝑥2 , 𝑦1 + 𝑦 2 ) Si 𝑦1 = 2𝑥1 + 1 & 𝑦2 = 2𝑥2 + 1 → 𝑦1 + 𝑦2 = 2(𝑥1 + 𝑥2 ) + 2 Probando con dos puntos podemos comprobarlo. Para los puntos (0, 1) & (3, 7) si hacemos (0, 1) + (3, 7) = (3, 8) →𝑦 = 2(3) + 1 = 7 ≠ 8 por lo que no cumple, de igual forma si probamos con el vector (0, 0) 𝑦 = 2𝑥 + 1 𝑠𝑢𝑠𝑡𝑖𝑡𝑢𝑦𝑒𝑛𝑑𝑜 𝑡𝑒𝑛𝑒𝑚𝑜𝑠 0 = 2(0) + 1 𝑑𝑒 𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒 0 ≠ 1 Por lo que no es un espacio vectorial. Ejemplo 4: El conjunto de puntos en 𝐑𝟑 que se encuentran en un plano que pasa por el origen constituyen un espacio vectorial Sea 𝑉 = { (, 𝑥, 𝑦, 𝑧): 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑐𝑧 = 0} que está en el plano con el vector normal (a, b, c) y que pasa por el origen al igual que en los ejemplos anteriores los vectores los escribimos como vectores renglones en lugar de vectores columnas. Suponemos que (𝑥1 , 𝑦1 , 𝑧1 ) y (𝑥2 , 𝑦2 , 𝑧2 ) están en V entonces (𝑥1 , 𝑦1 , 𝑧1 ) + (𝑥2 , 𝑦2 , 𝑧2 ) = (𝑥1 + 𝑥2 , 𝑦1 + 𝑦2 , 𝑧1 + 𝑧2 ) ∈ 𝑎 𝑉 porque 𝑎(𝑥1 + 𝑥2 ) + 𝑏 (𝑦1 + 𝑦2 ) + 𝑐 (𝑧1 + 𝑧2 ) = (𝑎𝑥1 + 𝑎𝑥2 + 𝑏 𝑦1 + 𝑏𝑦2 + 𝑐 𝑧1 + 𝑐𝑧2 ) =0+0+0+0+0+0=0 Por lo tanto se verifica que es un espacio vectorial

Ejemplo 5 El espacio vectorial 𝑷𝒏 Sea 𝑉 = 𝑃𝑛 un conjunto de polinomios con coeficientes reales de grado menor o igual a n, si p ∈ 𝑎 𝑃𝑛 entonces. 𝑷(𝒙) = 𝒂𝒏 𝒙𝒏 + 𝒂𝒏−𝟏 𝒙𝒏−𝟏 + ⋯ … . . +𝒂𝟏 𝒙 + 𝒂𝟎 Donde cada 𝑎𝑖 es un real. Entonces la suma de 𝑝(𝑥 ) + 𝑞(𝑥) está definida de la manera usual si 𝑞(𝑥 ) = 𝑏𝑛 𝑥 𝑛 + 𝑏𝑛−1 𝑥 𝑛−1 + ⋯ … . . +𝑏1 𝑥 + 𝑏0 entonces la suma de dos polinomios de grado menor o igual a n si cumple con el axioma 1, las otras propiedades son claras y si se define al polinomio cero 0 = 0𝑥 𝑛 + 0𝑥 𝑛−1 + ⋯ … . . +0𝑥 + 0 y 0 ∈ 𝑎 𝑃𝑛 el axioma 3 se cumple. Y por ultimo si −𝑝(𝑥 ) = −𝑎𝑛 𝑥 𝑛 − 𝑎𝑛−1 𝑥 𝑛−1 − ⋯ … . . −𝑎1 𝑥 − 𝑎0 se ve que el axioma 4 se cumple, por lo que el 𝑃𝑛 es un espacio vectorial. Ejemplo 6 Los espacios vectoriales C[𝟎, 𝟏] y C[𝒂, 𝒃] Sea 𝑉 = 𝐶 [0, 1] el conjunto de funciones continuas de valores reales definidas en el intervalo [0, 1] (𝑓 + 𝑔)𝑥 = 𝑓(𝑥 ) + 𝑔(𝑥 )&(𝛼𝑓)(𝑥 ) = 𝛼 [𝑓(𝑥)] Como la suma de funciones continuas es continua el axioma 1 se cumple y los otros axiomas se verifican fácilmente con 0 = función cero y (– 𝑓)(𝑥 ) = −𝑓 (𝑥 ) Ejemplo 7 El espacio vectorial 𝑴𝒏𝒎 Si 𝑉 = 𝑀𝑛𝑚 es el conjunto de matrices nxm con componentes reales, entonces la suma de matrices y la multiplicación de matrices por un escalar se pueden verificar fácilmente, además

se puede verifica que con el neutro aditivo colocamos la matriz de ceros de dimensiones nxm. Ejemplo 8 El conjunto de matrices invertibles puede no formar un espacio vectorial. Si 𝑆3 es el conjunto de matrices invertibles 3x3 se define como suma A B por 𝐴 𝐵 = 𝐴𝐵 si A y B son invertibles entonces AB es invertible (por el teorema (𝐴𝐵)−1 = 𝐴−1 𝐵−1 ). Se cumple con la ley asociativa de la multiplicación de matrices, los axiomas 3 y cuatro satisfacen con 0= 𝐼3 y −𝐴 = 𝐴−1 , lo que definitivamente no se cumple es AB≠ BA porque en general el producto de matrices no es conmutativo, por lo que al no cumplir con este axioma no es un espacio vectorial.

Ejemplo 9 Un conjunto de un semiplano no puede formar un espacio vectorial. Sea 𝑉 = {(𝑥, 𝑦): 𝑦 ≥ 0}, 𝑉 consiste en los puntos de 𝑅 2 en el semiplano superior (los primeros dos cuadrantes. Si 𝑦1 ≥ 0 &𝑦2 ≥ 0 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝑦1 + 𝑦2 ≥ 0, 𝑠𝑖 (𝑥1 , 𝑦2 ) ∈ 𝑉 &(𝑥2 , 𝑦2 ) ∈ 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 (𝑥1 + 𝑥2 , 𝑦1 + 𝑦2 ) sin embargo 𝑉 no es un espacio vectorial ya que el por ejemplo el vector (1, 1) no tienen inverso en V porque (-1, -1) ∄ 𝑉. Además el axioma 6 falla porque 𝛼( 𝑥, 𝑦)𝑒𝑠 𝑉 𝑠𝑜𝑙𝑜 𝑠𝑖 𝛼 𝑒𝑠 < 0 y recuérdese que 𝛼 se cualquier numero real. Ejemplo 10 El espacio 𝑪𝒏

Sea 𝑉 = 𝐶 𝑛 = {(𝐶1 , 𝐶2 , 𝐶3 , … … … . , 𝐶𝑛 ) donde 𝐶𝑖 es un numero complejo para 𝑖 = 1, 2, 3, … … . , 𝑛) y el conjunto de los escalares es el conjunto de números complejos. No es difícil verificar que 𝐶 𝑛 es un espacio vectorial. *** Como vimos en estos ejemplos existen diferentes tipos de espacios vectoriales y muchas clases de conjuntos que no son espacios vectoriales. Se mostraran algunos resultados sobre espacios vectoriales:

Teorema 5.1.1 Sea V un espacio vectorial i. ii. iii. iv.

α*0 = 0 para todo escalar α 0*x = 0 para todo x ∈ 𝑽 Si αx = 0 entonces α= 0 o x = 0 (o ambos) (-1)x = -x para todo x ∈ 𝑽 Hay situaciones que no son tan obvias como parecen en las que x*y = o y no implican que x& y sean cero.

Subespacios Vectoriales: Todos los espacios vectoriales tienen subconjuntos que también son espacios vectoriales. Definición se dice que H es un subespacio vectorial de V si H es un subconjunto no vacío de V y H es un espacio vectorial, junto con las

operaciones de suma entre vectores y multiplicación de un escalar definidas para V. Se puede decir que H hereda todas las operaciones del espacio vectorial. Teorema del Subespacio Vectorial: Un subconjunto no vacío H de un subespacio vectorial V es un subespacio de V si cumplen las dos reglas de la cerradura 1. Si x ∈ 𝑯 & 𝑦 ∈ 𝐻 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝒙 + 𝒚 ∈ 𝑯. 2. Si 𝒙 ∈ 𝑯 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝜶𝒙 ∈ 𝒂 𝑯 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑡𝑜𝑑𝑜 𝑒𝑠𝑐𝑎𝑙𝑎𝑟 𝜶. 3. Todo subespacio vectorial contiene al vector 0. ***Esta es una manera fácil de averiguar si pertenecen o no a un espacio vectorial ya que si el subconjunto no contiene al vector cero no es un subespacio vectorial*** Ejemplo 1 El sub espacio trivial Para cualquier espacio vectorial V el subconjunto {0} que consiste en un vector cero es únicamente un subespacio ya que 0+0= 0 y 𝜶𝟎 = 𝟎, 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑡𝑜𝑑𝑜 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑟𝑒𝑎𝑙 𝜶por lo que podemos denominarlo subespacio trivial. Ejemplo 2 Un espacio vectorial es un subespacio de si mismo. Para todo espacio vectorial V, V es un subespacio de si mismo. Los primeros dos ejemplos muestran que todo espacio vectorial V contiene dos subespacios {0} y V = {0}, los espacios distintos {0} en V se consideran subespacios propios.

Ejemplo 3 Un subespacio propio de 𝑹𝟐 Sea 𝑯 = {(𝒙, 𝒚): 𝒚 = 𝒎𝒙 como ya se dijo H es un subespacio Propio de 𝑹𝟐 y se verá si H es cualquier subespacio de 𝑹𝟐 entonces H consiste en el conjunto de puntos que se encuentran sobre una recta que pasa por el origen, es decir un conjunto de puntos que se encuentran sobre una recta que pasa por el origen es un subespacio propio. Ejemplo 4 Un subespacio Propio de 𝑹𝟑 (𝒙, 𝒚, 𝒛): 𝒙 = 𝒂𝒕, 𝒚 = 𝒃𝒕 𝒚 𝒛 = Sean 𝑯 { } 𝒄𝒕; 𝒅𝒐𝒏𝒅𝒆 𝒂, 𝒃, 𝒄 𝑡 𝑠𝑜𝑛 𝑛𝑢𝑚𝑒𝑟𝑜𝑠 𝑟𝑒𝑎𝑙𝑒𝑠 Entonces H consiste en los vectores en 𝑹𝟑 que se encuentran sobre una recta que pasa por el origen. Para ver que H es un subespacio de 𝑹𝟑 , sea 𝒙 = (𝒂𝒕𝟏 , 𝒃𝒕𝟏 , 𝒄𝒕𝟏 ) ∈ 𝒂 𝑯 & 𝑦 = (𝒂𝒕𝟐 , 𝒃𝒕𝟐 , 𝒄𝒕𝟐 ) ∈ 𝑯. Entonces: 𝒙 + 𝒚 = ( 𝒂(𝒕𝟏 + 𝒕𝟐 ), 𝒃(𝒕𝟏 + 𝒕𝟐 ), 𝒄(𝒕𝟏 + 𝒕𝟐 )) ∈ 𝑯 𝜶𝒙 = (𝒂(𝜶𝒕𝟏 ), 𝒃(𝜶𝒕𝟏 ), 𝒄(𝜶𝒕𝟏 )) De donde H es un subespacio de 𝑹𝟑 Ejemplo 5 Otro subespacio de 𝑹𝟑 Sea 𝝅 = {(𝒙, 𝒚, 𝒛): 𝒂𝒙 + 𝒃𝒚 + 𝒄𝒛 = 𝟎; 𝒂, 𝒃, 𝒄, 𝒓𝒆𝒂𝒍𝒆𝒔} como ya vimos 𝝅 es un espacio vectorial;𝝅 es un subespacio de 𝑹𝟑 . Conclusiones:

1. El conjunto de rectas y planos que pasan por el origen son subespacios propios de 𝑹𝟑 . 2. No todo espacio vectorial tiene subespacios propios. Ejemplo 6 R no tiene subespacios propios: Sea H un subespacio de R si H≠{0} entonces H contiene un número real 𝜶 diferente de cero. Por el axioma 6: 𝟏

1= ( )𝜶 ∈ 𝑯 𝒚 𝜷𝟏 = 𝜷 ∈ 𝑯 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑡𝑜𝑑𝑜 𝑛𝑢𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑟𝑒𝑎𝑙 𝜷 así H no 𝜶

es subespacio trivial entonces H = R no tiene subespacios propios. Ejemplo 7 Algunos subespacios propios de 𝑷𝒏 Si 𝑷𝒏 denota el espacio vectorial de polinomios de menor grado o igual a n y si 0 ≤ 𝒎 < 𝑛 entonces 𝑷𝒏 es un subespacio propio de 𝑷𝒏 . Ejemplo 8 Un subespacio propio de 𝑴𝒏𝒎 Sea 𝑴𝒏𝒎 el espacio vectorial de matrices mxn con componentes reales y sea H = {A = ∈ 𝑴𝒏𝒎 : 𝒂𝟏𝟏 = 𝟎} por definición suma de matrices y multiplicación por un escalar cumplen con los axiomas de cerradura y se cumplen de manera que H es un subespacio. Ejemplo 9 El subconjunto 𝑴𝒏𝒎 que no es subespacio:

Sea 𝑴𝒏𝒎 es espacio vectorial de matrices nxn y sea 𝑯 = {𝒂 ∈ 𝑴𝒏𝒎 ∶ 𝑨 𝑒𝑠 𝑖𝑛𝑣𝑒𝑟𝑡𝑖𝑏𝑙𝑒 } entonces por definición H no es un subespacio, ya que la matriz no cumple con los axiomas de cerradura. Ejemplo 10 Un subespacio propio de C[𝟎, 𝟏] 𝑷𝒏 [𝟎, 𝟏] ⊂ C[𝟎, 𝟏] porque todo polinomio es continuo y 𝑷𝒏 es un espacio vectorial para todo entero n de manera que cada 𝑷𝒏 es un espacio vectorial para todo entero n de manera que cada 𝑷𝒏 [𝟎, 𝟏] es un subespecio de C[𝟎, 𝟏].

Intersección de dos subespacios: Teorema 2.2. Sea 𝑯𝟏 𝒚 𝑯𝟐 dos subespacios de un espacio vectorial V entonces 𝑯𝟏 ∩ 𝑯𝟐 es un subespacios de V Ejemplo: La intersección de dos subespacios en 𝑹𝟑 e un subespacio vectorial En 𝑹𝟑 se 𝑯𝟏 = {(𝒙, 𝒚, 𝒛): 𝟐𝒙 − 𝒚 − 𝒛 = 𝟎}&𝑯𝟐 = {(𝒙, 𝒚, 𝒛): 𝒙 + 𝟐𝒚 + 𝟑𝒛 = 𝟎} entonces 𝑯𝟏 𝒚 𝑯𝟐 consisten en vectores que se encuentran en planos que pasan por el origen t son subespacios de 𝑹𝟑 . 𝑯𝟏 𝒚 𝑯𝟐 se calculan como: un sistema homogéneo de ecuaciones 𝒙 + 𝟐𝒚 + 𝟑𝒛 = 𝟎 𝟐𝒙 − 𝒚 − 𝒛 = 𝟎

−𝟏

Al solucionarla encontramos R/ (

𝟓

𝟕

𝒛, − 𝒛, 𝒛) y si hacemos z = t 𝟓

Obtenemos las ecuaciones paramétricas de la recta 𝟏 𝟕 𝑳: 𝒙 = − 𝒕, 𝒚= − 𝒕, 𝒛=𝒕 𝟓 𝟓

Combinación Lineal y Espacio Generado: Si para todo vector v = (a, b, c,) en 𝑹𝟑 se puede escribir de la forma V= ai + bj +ck Por lo que podemos decir que es una combinación lineal de los tres vectores i, j y k

Definición: sean 𝒗𝟏 , 𝒗𝟐 , … … … , 𝒗𝒏 vectores de un espacio vectorial V entonces cualquier vector de la forma 𝒂 𝟏 𝒗𝟏 , + 𝒂 𝟐 𝒗𝟐 , + ⋯ … … … + 𝒂 𝒏 𝒗𝒏 Donde 𝒂𝟏 , 𝒂𝟐 , … … . . 𝒂𝒏 son escalares y se denominan como combinaciones lineale de 𝒗𝟏 , 𝒗𝟐 , … … … … … , 𝒗𝒏

Ejemplo 1 Una combinación lineal en 𝑹𝟑 −𝟕 −𝟏 𝟕 es una combinación lineal de 𝟐 𝟕 𝟒

𝟓 y−𝟑 𝟏

−𝟕 −𝟏 𝟓 Ya que 𝟕 = 2 𝟐 -−𝟑 𝟕 𝟒 𝟏

Ejemplo 2 Una combinación lineal en 𝑴𝟐𝟑

−𝟑 En 𝑴𝟐𝟑 ( 𝟎 −𝟏

𝟐 𝟎 𝟗

𝟖 −𝟏 𝟎) = 𝟑 ( 𝟎 𝟑 𝟏

−𝟑 Lo que muestra que ( 𝟎 −𝟏

𝟐 𝟎 𝟗

𝟎 𝟎 𝟏

𝟒 𝟎 𝟎) + 𝟐 ( 𝟎 𝟓 −𝟐

𝟏 𝟎 𝟑

−𝟐 𝟎) −𝟔

𝟖 𝟎)es una combinación lineal de 𝟑

−𝟏 (𝟎 𝟏

𝟎 𝟎 𝟏

𝟒 𝟎 𝟎) & ( 𝟎 𝟓 −𝟐

𝟏 𝟎 𝟑

−𝟐 𝟎) −𝟔

Ejemplo 3 Combinaciones Lineales en 𝑷𝒏 En 𝑷𝒏 todo polinomio se puede escribir como la combinación lineal de los monomios 𝟏, 𝒙, 𝒙𝟐 , … …. 𝒙𝒏

Definición: Conjunto Generador: Se dice que los vectores 𝒗𝟏 , 𝒗𝟐 , … … … … … , 𝒗𝒏 de un espacio vectorial V generan a V si todo vector en V se puede escribir como una combinación lineal de los mismo. Es decir para todo v ∈ existen los escalares 𝒂𝟏 , 𝒂𝟐 , … … . . 𝒂𝒏 tales que:

𝒂 𝟏 𝒗𝟏 , + 𝒂 𝟐 𝒗𝟐 , + ⋯ … … … + 𝒂 𝒏 𝒗𝒏 Ejemplo: Conjunto de vectores que generan a 𝑹𝟐 𝒚 𝑹𝟑

Con anterioridad vimos que los vectores i =

𝟏 & 𝟎

j=

𝟎 𝟏

Generan en 𝑹𝟐 . 𝟏 Y que los conjuntos i =𝟎 𝟎

𝟎 𝟎 j = 𝟏& k = 𝟎 generan en 𝑹𝟑 𝟎 𝟏

Ejemplo: n + 1 vectores que generan a 𝑷𝒏 Los monomios 𝟏, 𝒙, 𝒙𝟐 , … …. 𝒙𝒏 generan a 𝑷𝒏 Ejemplo Cuatro vectores que generan a 𝑴𝟐𝟐 𝒂 ( 𝒄

𝟏 𝒃 ) = 𝒂( 𝟎 𝒅

𝟏 Vemos que ( 𝟎

𝟎 𝟎 ) + 𝒃( 𝟎 𝟎

𝟎 𝟎 ) ,( 𝟎 𝟎

𝟏 𝟎 ) + 𝒄( 𝟎 𝟏

𝟏 𝟎 ),( 𝟎 𝟏

𝟎 𝟎 ) + 𝒅( 𝟎 𝟎

𝟎 𝟎 )&( 𝟎 𝟎

𝟎 ) de donde 𝟏

𝟎 𝒂 ) generan a ( 𝟏 𝒄

Ejemplo: Ningún conjunto finito de polinomios generan a P

𝒃 ) 𝒅

Analizaremos otra forma de encontrar subespacios vectoriales de un espacio vectorial:

Definición: Espacio generado por un conjunto de vectores Sea 𝒗𝟏 , 𝒗𝟐 , … … … … … , 𝒗𝒌 vectores de un espacio vectorial V, el espacio generado por {𝒗𝟏 , 𝒗𝟐 , … … … … … , 𝒗𝒌 es el conjunto de combinaciones lineales es Gen {𝒗𝟏 , 𝒗𝟐 , … … … … … , 𝒗𝒌 }= { v: v =𝒂𝟏 𝒗𝟏 , + 𝒂𝟐 𝒗𝟐 , + ⋯ … … … + 𝒂𝒌 𝒗𝒌 } donde𝒂𝟏 , 𝒂𝟐 , … … . . 𝒂𝒌 son escalares arbitrarios. Teorema: El espacio generado por vectores es un subespacio vectorial Si 𝒗𝟏 , 𝒗𝟐 , … … … … … , 𝒗𝒌 , son vectores de un espacio vectorial V, entonces gen { 𝒗𝟏 , 𝒗𝟐 , … … … … … , 𝒗𝒌 } es un subespacio de V Ejemplo: El espacio generado por dos vectores en 𝑹𝟑 Si 𝒗𝟏 = (𝟐, −𝟏, 𝟒) y 𝒗𝟐 = (𝟒, 𝟏, 𝟔). Entonces H = gen {𝒗𝟏 , 𝒗𝟐 }∈ H entonces se tiene 𝒙 = 𝟐𝒂𝟏 + 𝟒𝒂𝟐 ,𝒚 = −𝒂𝟏 + 𝒂𝟐 , & 𝑧 = 𝟒𝒂𝟏 +

𝟔𝒂𝟐 , si se piensa que (x, y, z) está fijo entonces las ecuaciones se pueden ver como un sistema de tres ecuaciones don dos incógnitas𝒂𝟏 , 𝒂𝟐 y este sistema se resuelve en la forma usual

−𝟏 (𝟐 𝟒

𝟏 𝟒 𝟔

𝒚 𝟏 −𝟏 −𝒚 𝒙) 𝑹𝟏 → −𝑹𝟏 (𝟐 𝟒 𝒙 ) 𝑹𝟐 → 𝑹𝟐 + 𝟐𝑹𝟏 𝒛 𝟒 𝟔 𝒛 𝑹𝟑 → 𝑹𝟑 − 𝑹𝟏

−𝒚 𝒙 + 𝟐𝒚 ) 𝟏 𝟔 𝟏𝟎 𝒛 − 𝟒𝒚 𝒙 − 𝟐𝒚 𝟏 𝟎 𝟔 𝟑 𝒙+𝒚 𝑹𝟏 → 𝑹𝟏 + 𝑹 𝟐 , 𝑹𝟑 → 𝑹𝟑 − 𝟏𝟎𝑹𝟐 𝟎 𝟏 𝟔 𝟑 −𝟓𝒙 + 𝟐𝒚 + 𝒛 𝟎 𝟎 ( ) 𝟑 𝟑 De donde vemos que el sistema tiene solución únicamente si −𝟓𝒙 𝟐𝒚 𝟏 (𝟎 𝟎

𝟑

+

𝟑

−𝟏 𝟔 𝟏𝟎

𝟏 −𝒚 𝟏 𝒙 + 𝟐𝒚) 𝑹𝟐 → 𝑹𝟐 (𝟎 𝟔 𝒛 + 𝟒𝒚 𝟎

−𝟏

+ 𝒛= 0

Y de acá se llega a la siguiente conclusión El espacio generado por dos vectores diferente de cero en 𝑹𝟑 que no son paralelos es un plano que pasa por el origen. Demostración:

Cualquier otro vector en el plano de u y de v se puede obtener como la combinación lineal de u y de v Otras situaciones

Donde un vector diferente a u y v el vector W en un plano de u y v y se puede escribir como 𝜶𝒖 + 𝜷𝒗 para valores adecuados de 𝜶 & 𝛽 Tenemos otra observación: V espacio generado es el conjunto de vectores que Genera a V y es la combinación lineal de 𝒗𝟏 , 𝒗𝟐 , … … … … … , 𝒗𝒏

Y espacio generado por los vectores n es el conjunto de combinaciones lineales de estos vectores:

Teorema: Sean Vespacio generado𝒗𝟏 , 𝒗𝟐 , … … … … … , 𝒗𝒏 n+1 vectores que están en el espacio vectorial V si 𝒗𝟏 , 𝒗𝟐 , … … … … … , 𝒗𝒏 genera a V, entonces 𝒗𝟏 , 𝒗𝟐 , … … … … … , 𝒗𝒏, 𝒗𝒏+𝟏 también generan a V. Es decir se agregan uno o más vectores a un conjunto generador se obtiene otro conjunto generador.

Independencia Lineal: Definición: Sean 𝒗𝟏 , 𝒗𝟐 , … … … … … , 𝒗𝒏 n vectores en un espacio V entonces se dice que los vectores son linealmente

dependientes si existen n escalares 𝒄𝟏 , 𝒄𝟐 , … … . . , 𝒄𝒏 no todos cero tales que

𝒄𝟏 𝒗𝟏 + 𝒄𝟐 𝒗𝟐 , … … . +𝒄𝒏 𝒗𝒏 = 𝟎 Y si los vectores no son linealmente dependientes son linealmente independientes esto se cumple cuando 𝒄𝟏 = 𝒄𝟐 = ⋯ … … … , = 𝒄𝒏 = 𝟎 Teorema Dependencia Lineal dos vectores en un espacio vectorial Son linealmente dependientes si y solo si uno de ellos el múltiplo del otro Demostraciónsupongamos quev2= cv1para un escalar c≠0 entonces 𝒄𝒗𝟏 − 𝒄𝒗𝟐 = 𝟎 &𝒗𝟏 &𝒗𝟐 son linealmente dependientes. Por otra parte suponiendo que 𝒗𝟏 &𝒗𝟐 son

linealmente dependientes entonces existen constantes 𝒄𝟏 &𝒄𝟐 que al menos una es distinta de cero tales que 𝒄𝟏 + 𝒄𝟐 = 𝟎 si 𝒄 𝒄𝟏 ≠ 𝟎 entonces dividiendo entre 𝒄𝟏 se obtiene 𝒗𝟏 = − 𝟏 𝒗𝟐 𝒄𝟐

es decir 𝒗𝟏 𝒆𝒔 𝒖𝒏 𝒎𝒖𝒍𝒕𝒊𝒑𝒍𝒐 𝒅𝒆 𝒗𝟐 si 𝒄𝟏 = 𝟎. 𝒆𝒏𝒕𝒐𝒏𝒄𝒆𝒔 𝒄𝟐 ≠ 𝟎 𝒑𝒓𝒐 𝒍𝒐 𝒕𝒂𝒏𝒕𝒐 𝒗𝟐 = 𝒗𝟏 𝟎. Ejemplo: Dos vectores linealmente Dependientes en 𝑹𝟒 Los vectores:

𝟐 −𝟔 𝒗𝟏 = −𝟏&𝒗𝟐 = 𝟑 𝟎 𝟎 𝟑

−𝟗

Son linealmente dependientes ya que 𝒗𝟏 = −𝟑𝒗𝟐 Dos Vectores en 𝑹𝟑 linealmente dependientes: 𝟐 𝟏 𝒗𝟏 = 𝟐 𝒗𝟐 = 𝟓 𝟒 −𝟑 Son linealmente independientes; si no lo fueran se tendría

𝒄 𝟐 𝟏 𝟓 = 𝒄 𝟐 = 𝟐𝒄 de donde 2=c, 5 = 2c, & -3 =4c lo que es −𝟑 𝟒 𝟒𝒄 imposible para cualquier c

Ejemplo: 𝟏 𝟑 𝟏𝟏 Determine si los vectores −𝟑 , 𝟎 , −𝟔 son linealmente 𝟎 𝟒 𝟏𝟐 dependientes Planteamos la ecuación de la siguiente forma: 𝟏 𝟎 𝟑 𝟏𝟏 𝒄𝟏 − 𝟑 + 𝒄𝟐 𝟎 , 𝒄𝟑 −𝟔 = 𝟎 𝟒 𝟏𝟐 𝟎 𝟎 Que nos conduce al siguiente sistema homogéneo 𝒄𝟏 + 𝟑𝒄𝟐 + 𝟏𝟏𝒄𝟑 = 𝟎 −𝟑𝒄𝟏

+ −𝟔𝒄𝟑 = 𝟎

𝟒𝒄𝟐 + 𝟏𝟐𝒄𝟑 =

𝟎

Resolviendo tenemos 𝒄𝟑 = 𝟏 , 𝒄𝟐 = −𝟑 𝒚 𝒄𝟏 = −𝟐 𝟏 𝟑 −𝟐 − 𝟑 − 𝟑 𝟎 𝟎 𝟒

𝟎 𝟏𝟏 + −𝟔 = 𝟎 𝟏𝟐 𝟎

Por lo que concluimos que son linealmente dependientes.

Ejemplo: Determine si los vectores son linealmente dependientes: 𝟏 𝟐 𝟎 −𝟐 , −𝟐 , 𝟏 Planteamos la ecuación: 𝟑 𝟎 𝟕

𝒄𝟏

𝟏 𝟐 𝟎 − 𝟐 + 𝒄𝟐 −𝟐 + 𝒄𝟑 𝟏 𝟎 𝟕 𝟑

𝟎 =𝟎 𝟎

Al resolver nos da una ecuación de la siguiente forma: 𝒄𝟏 + 𝟐𝒄𝟐

=

0 −𝟐𝒄𝟏 − 𝟐𝒄𝟐 + 𝒄𝟑 = 𝟑𝒄𝟏

+

𝟕𝒄𝟑

Al resolver tenemos que 𝒄𝟏 = 𝟎 , 𝒄𝟐 = 𝟎, 𝒄𝟑 = 𝟎 vectores son linealmente independientes.

0 =

0

Por lo que los

Por lo que concluimos que para 𝑹𝟑 los vectores son dependientes si y solo si son coplanares: