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5.1 Definición y propiedades básicas

Problemas 5.1 De los problemas 1 al 27 determine si el conjunto dado es un espacio vectorial. De no ser así proporcione una lista de los axiomas que no se cumplen. 1. El conjunto de números naturales N como vectores, el conjunto de números naturales N como escalares y la operación de multiplicación para números naturales. 2. El conjunto de números naturales N como vectores, el conjunto de números naturales N como escalares, la operación de suma para números naturales y la multiplicación entre números naturales para la operación de multiplicación de escalar y vector. 3. El conjunto de números enteros Z como vectores, el conjunto de números naturales Z como escalares, la operación de suma para números enteros y la multiplicación entre números enteros para la operación de multiplicación de escalar y vector. 4. El conjunto de matrices diagonales de n 3 n bajo la suma de matrices y multiplicación por un escalar usuales. 5. El conjunto de matrices diagonales de n 3 n bajo la multiplicación (es decir, A % B 5 AB). 6. {(x, y): y # 0; x, y reales} con la suma de vectores y multiplicación por un escalar usuales. 7. Los vectores en el plano que está en el primer cuadrante. 8. El conjunto de vectores en R3 de la forma (x, x, x). 9. El conjunto de polinomios de grado 4 bajo las operaciones del ejemplo 5.1.7. 10. El conjunto de polinomios de grado 5 bajo las operaciones del ejemplo 5.1.7. 11. El conjunto de matrices simétricas de n 3 n (vea la sección 2.5) bajo la suma y multiplicación por un escalar usuales. 0 a 12. El conjunto de matrices de 2 3 2 que tienen la forma bajo la suma y multiplicab 0 ción por un escalar usuales. 1

13. El conjunto de matrices

1

con las operaciones de suma de matrices y multiplica-

ción por un escalar usuales. 14. El conjunto de matrices

a b c

d

donde a, b, c, d son números reales diferentes de cero con la

a2 b2 a1 b1 a1a2 b1b2 5 , el conjunto c1 d1 c d1d2 c2 d 2 1c2 de escalares los reales positivos y la multiplicación de escalar y matriz la usual. operación de multiplicación definida por

15. El conjunto de vectores los números racionales Q con la operación de suma, el conjunto de escalares los números enteros Z y la operación de multiplicación de escalar y vector la multiplicación usual. 16. El conjunto que consiste en un solo vector (0, 0) bajo las operaciones usuales en R2. 17. El conjunto de polinomios de grado # n con término constante cero. 18. El conjunto de polinomios de grado # n con término constante a0 positivo. 19. El conjunto de polinomios de grado # n con término constante a0 negativo. 20. El conjunto de funciones continuas de valores reales definidas en [0, l] con f (0) 5 0 y f (1) 5 0 bajo las operaciones del ejemplo 5.1.8.

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CAPÍTULO 5

Espacios vectoriales

21. El conjunto de puntos en R3 que se encuentran sobre una recta que pasa por el origen. 22. El conjunto de puntos en R3 que se encuentran sobre la recta x 5 t 1 1, y 5 2t, z 5 t 2 l. 23. R2 con la suma definida por (x1, y1) 1 (x2, y2) 5 (x1 1 x2 1 1, y1 1 y2 1 1) y la multiplicación por un escalar ordinaria. Cálculo

24. El conjunto del problema 23 con la multiplicación por un escalar definida por a(x, y) 5 (a 1 ax 2 l, a 1 ay 2 l). 25. El conjunto que consiste en un objeto con la suma definida por objeto 1 objeto 5 objeto y la multiplicación por un escalar definida por a (objeto) 5 objeto.

Cálculo

26. El conjunto de funciones diferenciables definidas en [0, 1] con las operaciones del ejemplo 5.1.8. *27. El conjunto de números reales de la forma a 1 b 2 , donde a y b son números racionales, bajo la suma de números reales usual y la multiplicación por un escalar definida sólo para escalares racionales. 28. Demuestre que en un espacio vectorial el elemento idéntico aditivo es único. 29. Demuestre que en un espacio vectorial todo vector tiene un inverso aditivo único. 30. Si x y y son vectores en un espacio vectorial V, demuestre que existe un vector único z P V tal que x 1 z 5 y. 31. Demuestre que el conjunto de números reales positivos forma un espacio vectorial bajo las operaciones x 1 y 5 xy y ax 5 xa.

Cálculo

32. Considere la ecuación diferencial homogénea de segundo orden y 0(x) 1 a(x)y9(x) 1 b(x)y(x) 5 0 donde a(x) y b(x) son funciones continuas. Demuestre que el conjunto de soluciones de la ecuación es un espacio vectorial bajo las reglas usuales para la suma de funciones y multiplicación por un escalar.

EJERCICIOS M

CON

MATLAB 5.1

1. El archivo vctrsp.m es una demostración sobre la geometría de algunas propiedades de los espacios vectoriales de vectores en R2. A continuación se presenta el código de la función vctrsp.m function % VCTRSP % % % % % % % %

vctrsp(x,y,z,a) funcion que ilustra las propiedades geometricas de conmutatividad y asociatividad de la suma de vectores. Tambien la propiedad distributiva de la multiplicacion por un escalar de la suma de vectores x: y: z: a:

vector 2x1 vector 2x1 vector 2x1 escalar

% Inicializacion de datos usados en la funcion origen=[0;0];Ox=[origen,x];Oy=[origen,y];Oz=[origen,z]; xy=[x,y+x];yx=[y,x+y];yz=[y,y+z]; Oyz=[origen,y+z];Oxy=[origen,x+y]; xyMz=[x+y,x+y+z];yzMx=[y+z,x+y+z];Oxyz=[origen,x+y+z];