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INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL

ESIME UNIDAD “TICOMÁN”

PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA

GRUPO: 4SV1

PROFESOR: VILLANUEVA BAILON JOSÉ IGNACIO

DUARTE GARCÍA HUBER EMMANUEL

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TEORÍA DE CONJUNTOS

Los conjuntos son un agregado o colección de objetos de cualquier naturaleza con características bien definidas de manera que se puedan distinguir todos sus elementos, por ejemplo: el conjunto de días de la semana, el conjunto de las vocales, el conjunto de los números reales, el conjunto de valores que se pueden obtener al lanzar un dado, etc.

DEFINICIÓN De acuerdo a Spiegel, un conjunto es una colección de objetos llamados miembros o elementos del conjunto. Algunos sinónimos de conjunto son: clase, grupo y colección. Para Marques, un conjunto es un agregado o colección de objetos de cualquier naturaleza con características bien definidas de manera que se puedan distinguir todos sus elementos. A los objetos que lo componen se les llama elementos del conjunto.

NOTACIÓN Un conjunto se denota con una letra mayúscula A, B, C y el elemento por una letra minúscula a, b. A los elementos se les encierra entre llaves ( {} ) y se separan por comas ( , ). Ejemplos: 1. El conjunto D cuyos elementos son los números que aparecen al lanzar un dado. D = {1, 2, 3, 4, 5, 6} 2. El conjunto de días de la semana. S = { Lunes, Martes, Miércoles, Jueves, Viernes, Sábado, Domingo }

MÉTODOS PARA DEFINICIÓN DE CONJUNTOS Al definir un conjunto se puede hacer de dos formas: Método de Extensión o Numeración En este método se hace un listado de sus elementos, si esto es posible.

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Ejemplos: 1. El conjunto de las vocales en el alfabeto. V = {a, e, i, o, u} 2. Lanzamiento de un par de dados comunes D = {1, 2, 3, 4, 5, 6} Método de Comprensión o Descripción Se describe alguna propiedad conservada por todos sus miembros y por los no miembros. Ejemplos: 1. El conjunto de las vocales en el alfabeto. V = {x | x es una vocal} 2. 2 El conjunto de los triángulos en un plano T = {x | x es un triángulo en un plano}

TIPOS DE CONJUNTOS Según la cantidad de elementos que tenga un conjunto, éstos se pueden clasificar de la siguiente manera: Conjuntos Finitos Son los que tienen un número conocido de elementos. Ejemplos: • El conjunto de números que aparecen al lanzar un dado. • El conjunto de días de la semana. Conjuntos Infinitos Son lo que tienen un número ilimitado de elementos. • El conjunto de los números reales • El conjunto de los números reales entre 2 y 5 Conjunto universal Es el conjunto de todos los elementos considerados en un problema o situación dada. Ejemplos: 1. Si solo se desea trabajar con los números reales positivos, el conjunto universal será U = R+ = (0, +∞) Conjunto vacío Un conjunto que no tiene elementos y se denota por ∅ ó { } Ejemplos: 1. El conjunto A = {x ∈ ! / !!+ 1 = 0} es un conjunto vacío porque no hay ningún número real que satisfaga !!+ 1 = 0. 2. El conjunto de los meses del año con 27 días.

DIAGRAMAS DE VENN 3

Cualquier figura geométrica cerrada (círculos, rectángulos, triángulos, óvalos, etc) sirve para representar gráficamente las operaciones entre conjuntos, estos gráficos son llamados Diagramas de Venn. Normalmente, al conjunto universal se le representa con un rectángulo y los conjuntos con un círculo o elipse, tal y como se muestra en la siguiente figura: U A

B

OPERACIONES DE CONJUNTOS Unión

El conjunto de todos los elementos que pertenecen a A o a B, o tanto a A como a B, se llama la unión de A y B y se escribe A ∪ B. (Área sombreada).

Intersección

El conjunto de todos los elementos que pertenecen simultáneamente a A y B se llama la intersección de A y B y se escribe A ∩ B. (Área sombreada).

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Diferencia

El conjunto que consiste en todos los elementos de A que no pertenecen a B se llama la diferencia de A y B y se escribe A – B. (Área sombreada).

Complemento

Son todos los conjuntos no en A y se escribe A’. (Área sombreada).

Ejemplos de Operaciones de Conjuntos Sean: U = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} A = {1, 2, 3, 4} B = {3, 4, 5, 6, 7} C = {7, 8, 9} • A ∪ B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} • A ∪ C = {1, 2, 3, 4, 7, 8, 9} • B ∪ C = {3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} • A ∩ B = {3, 4}

•A∩C=∅

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• B ∩ C = {7}

LEYES DE CONJUNTOS Ley conmutativa •A∪ B=B ∪A •A∩B= B∩A

Ley asociativa • A ∪ (B ∪ C) = (A ∪ B) ∪ C = A ∪ B ∪ C • A ∩ (B ∩ C) = (A ∩ B) ∩ C = A ∩ B ∩ C Ley distributive • A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C) • A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C)

REFERENCIAS

Christensen, H. Estadística paso a paso. Trillas. 3ª edición. México. 2001. Martínez, C. Estadística Básica Aplicada. ECOE Ediciones. Tercera Edición. Bogotá. 2006. Marques, M. Probabilidad y Estadística para Ciencias Químico-Biológicas. Mc.Graw Hill. México. 1991 Spiegel, M. Probabilidad y Estadística. Mc.Graw Hill. México. 1975

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¿Que son los métodos de conteo? Son estrategias utilizadas para determinar el número de posibilidades diferentes que existen al realizar un experimento. Por Ejemplo: al lanzar un dado veremos cuantas posibilidades hay de que salga un número a favor, si tienen 6 caras los dados cual seria la probabilidad de que saliera un cierto número. Entonces sirve para contar el número de casos favorables o posibles y asi podemos ver cuantas combinaciones diferentes se pueden tener.

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Entre los metodos de conteo encontraremos los mas conocidos: * Permutacion * Combinacion * Ordenamiento

Permutación Consiste en multiplicar en todo momento cada dato que te pueda dar y sirve para hallar formulas generales que permitan calcular el numero de permutaciones con y sin repeticion. Hay dos tipos de permutaciones: * Se repite * No se repite

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Ejemplo sin repetición: ¿De cuántas formas diferentes se pueden ordenar las letras de la palabra IMPUREZA?

Solución: Puesto que tenemos 8 letras diferentes y las vamos a ordenar en diferentes formas, tendremos 8 posibilidades de escoger la primera letra para nuestro arreglo, una vez usada una, nos quedan 7 posibilidades de escoger una segunda letra, y una vez que hayamos usado todos, nos quedan 6,así sucesivamente hasta agotarlas, en total tenemos: 8 x 7 x 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 40320

Combinación Una combinación, es un arreglo de elementos en donde no nos interesa el lugar o posición que ocupan los mismos dentro del arreglo. En una combinación nos interesa formar grupos y el contenido de los mismos. En el caso de las combinaciones, lo importante es el número de agrupaciones diferentes de objetos que pueden incurrir sin importar su orden. Por lo tanto en las combinaciones se busca el número de subgrupos diferentes que pueden tomarse a partir de objetos si el orden de los objetos no es importante.

Cada uno de estos resultados se denomina combinación.

Por ejemplo: si se requiere formar un equipo de trabajo formado por dos personas seleccionadas de un grupo de 3 (A,B y C) ; si en el equipo hay dos funciones diferentes entonces si importa el orden, los resultados serán permutaciones, por el contrario si en el equipo no hay funciones definidas, entonces no importa el orden y los resultados serán combinaciones los resultados en ambos casos son los siguientes:

Permutaciones: AB, AC, BA, CA, BC, CB Combinaciones: AB, CA, BC 9

Combinaciones, es el numero de formas de seleccionar “r” objetos de un grupo de “n” objetos sin importar el orden.

Ordenamiento Un diagrama de árbol o metodo de Ordenamiento es una herramienta que se utiliza para determinar todos los posibles resultados de un experimento aleatorio. En el cálculo de la probabilidad se requiere conocer el número de elementos que forman parte del espacio muestral, estos se pueden determinar con la construcción del diagrama de árbol. El diagrama de árbol es una representación gráfica de los posibles resultados del experimento, el cual consta una serie de pasos, donde cada uno de los pasos tiene un número finito de maneras de ser llevado a cabo. Se utiliza en los problemas de conteo y probabilidad.

REFERENCIAS

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http://metodosdeconte.blogspot.com/ http://examendocente.com/02primaria/1matematica/4problemasdegestion/5%20Metodo%20de%20conteo, %20Diagrama%20del%20arbol.pdf

Experimento aleatorio y determinista Un experimento aleatorio es aquel del que no podemos predecir su resultado, es decir, que depende de la suerte o azar. Cuando conocemos el resultado del experimento antes de realizarlo, decimos que es un experimento determinista. En la teoría de probabilidades se llama espacio muestral o espacio de muestreo al conjunto de todos los posibles resultados individuales de un experimento aleatorio.

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Por ejemplo, si el experimento consiste en lanzar dos monedas, el espacio de muestreo es el conjunto {(cara, cara), (cara, cruz), (cruz, cara) y (cruz, cruz)}. Un evento o suceso es cualquier subconjunto del espacio muestral, llamándose a los sucesos que contengan un único elemento sucesos elementales. En el ejemplo, el suceso "sacar cara en el primer lanzamiento", o {(cara, cara), (cara, cruz)}, estaría formado por los sucesos elementales {(cara, cara)} y {(cara, cruz)}. Para algunos tipos de experimento puede haber dos o más espacios de muestreo posibles. Por ejemplo, cuando se toma una carta de un mazo normal de 52 cartas, una posibilidad del espacio de muestreo podría ser el número (del as al rey), mientras que otra posibilidad sería el palo (diamantes, tréboles, corazones y picas). Una descripción completa de los resultados, sin embargo, especificaría ambos valores, número y palo, y se podría construir un espacio de muestreo que describiese cada carta individual como el producto cartesiano de los dos espacios de muestreo descritos. Espacio Muestral El espacio muestral del que se toma una muestra concreta está formado por el conjunto de todas las posibles muestras que se pueden extraer de una población mediante una determinada técnica de muestreo. Parámetro o Estadístico muestral Un parámetro estadístico o simplemente un estadístico muestral es cualquier valor calculado a partir de la muestra, como por ejemplo la media, varianza o una proporción, que describe a una población y puede ser estimado a partir de una muestra. Valor de la población. Espacio Muestral.- Se llama espacio muestral (E) asociado a un experimento aleatorio, el conjunto de todos los resultados posibles de dicho experimento. Al lanzar una moneda, el espacio muestral es E = {sale cara, sale sello} ó E = {c, s}. Al lanzar un dado de seis caras, el espacio muestral es E = {sale 1, sale 2, sale 3, sale 4, sale 5, sale 6} ó E = {1, 2, 3, 4, 5, 6} Al lanzar dos monedas, el espacio muestral es E = {(c,c), (c,s), (s,c), (s,s)}. Al lanzar tres monedas, el espacio muestral es E = {(c,c,c), (c,c,s), (c,s,c), (c,s,s), (s,c,c), (s,c,s), (s,s,c), (s,s,s)}

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REFERENCIAS https://es.scribd.com/doc/53090423/Experimento-aleatorio-y-determinista

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