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Calculo integral Tarea 3 -Aplicaciones de las Integrales Presentado al tutor (a): HUGO ISMAEL RODRIGUEZ

Entregado por Lorena Paola Zamudio Vargas Código: 1022980045 Jeferson Alejandro Gomez Shirley Brigitte Rodríguez Reyes Código: 1006093295

Grupo: 100411-137

UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA - UNAD ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS TECNOLOGÍA E INGENIERÍA FECHA 11/2020 CIUDAD Bogotá

INTRODUCCIÓN

En esta actividad se desarrollarán una serie de ejercicios donde se reforzará los temas vistos en la unidad 3, en esta unidad la temática a tratar es Análisis de gráficas, Sólidos de revolución, Aplicaciones de las integrales en las ciencias, Aplicaciones de las integrales en general, donde hay que comprobar los resultados en GeoGebra.

Actividades a desarrollar

A continuación, se definen los 4 Tipos de ejercicios a desarrollar según las temáticas de la unidad. Tipo de ejercicios 1 – Análisis de gráficas. Consultar en el entorno de aprendizaje el siguiente recurso: 8 Guerrero, G. (2014). Cálculo Integral: Serie Universitaria Patria. México: Grupo Editorial Patria. (pp. 221 – 229).

a. Calcular el área de la región comprendida entre las curvas 1 7 f ( x )=x− y g ( x )=2 x 2− 2 2

Interprete el resultado usando la

gráfica del ejercicio generada en GeoGebra. Igualar fusiones 1 7 f ( x )=x− y g ( x )=2 x 2− 2 2 1 7 x− =2 x 2− 2 2 1 7 x− + =2 x 2 2 2 x +3=2 x 2 2 x2 −x−3=0

Formula general ax 2 +bx +c=0 x=

−b ± √ b2−4 ac 2a

− (−1 )+ √(−1)2 −4 (2)(−3) 1+ √ 25 3 x 1= = = 2 2(2) 2(2) x 2=

− (−1 )+ √(−1)2 −4 (2)(−3) 1− √25 = =−1 2(2) 2( 2)

x 1=3/2 desde b x 2=−1 desde a

b

A=∫ [ f ( x )−g(x ) ] dx a

3 2

−1

1 7 −(2 x 2− ) dx 2 2

[( )

A=∫ x− 3 2

]

1 7 A=∫ x− −2 x2 + dx 2 2 −1

[

]

3 2

A=∫ [−2 x2 +3+ x ] dx −1

realizar laintegral y evaluar los limites de−1 a2 /3

2

∫ [−2 x 2+ 3+ x ] dx = 2 x3 +¿ x 3

2

+3 x ¿

3 2

−2 3 x 2 A=∫ [−2 x +3+ x ] dx= x + +3 x 3 2 −1 2

3 2

−2 3 x2 −2 3 x 2 A=∫ [−2 x +3+ x ] dx= x + +3 x − x + +3x 3 2 3 2 −1

[

2

3 2

A=∫ [−2 x2 +3+ x ] dx= −1

][

27 −11 − 8 6

[ ][ ]

]

3 2

A=∫ [−2 x2 +3+ x ] dx= −1

27 −11 + =5.20u 2 8 6

[ ][ ]

Ejercicio b b

A=∫ [ f ( x )−g(x ) ] dx a

Igualar las dos funciones x 3−12 x=−3 x x 3−12 x+3 x=0 x 3−9 x=0

Factorizar el lado izquierdo de la ecuación x ( x +3 ) ( x−3 ) =0

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a 0, la expresión completa será a 0. x=0 x +3=0 x−3=0

Igualar x a 0 x=0

Establecer la x +3 igual a 0 y resolver para x x=−3

Establecer la x−3 igual a 0 y resolver para x x=3

0

3

AT =∫ x 3−12 x−(−3 x ) dx+∫ −3 x−(x 3 ¿ ¿−12 x)dx ¿¿ 0

−3 0

Evaluar

∫ x 3−12 x−(−3 x ) dx −3

Simplificar 0

3 3

∫ x −9 xdx +∫−3 x−( x 3−12 x ) dx 0

−3

Dividir la integral simple en múltiples integrales 0

∫x

0 3

3

dx+ ∫ −9 xdx+∫ −3 x −( x 3−12 x ) dx

−3

0

−3

1

Por la regla de la potencia, la integral de x 3 respecto a x es 4 x 0

3

1 4 x +∫ −9 xdx +∫ −3 x−( x 3−12 x ) dx 4 −3 0

Dado que -9 es constante respecto a x, sacar -9 de la integral

0

3

1 4 x −9 ∫ xdx+∫ −3 x −( x3 −12 x ) dx 4 −3 0 1

Por la regla de la potencia, la integral de x respecto a x es 2 x 3

1 4 1 x −9 x 2 +∫ −3 x−( x 3−12 x ) dx 4 2 0

( )

Simplificar 3

81 +∫ −3 x−( x 3 −12 x ) dx 4 0 3

Evaluar

∫−3 x−( x3 −12 x ) dx 0

Dividir la integral simple en múltiples integrales

2

4

3

3

81 +∫ −3 xdx +∫ −( x 3−12 x ) dx 4 0 0

Dado que -3 es constante respecto a x, sacar -3 de la integral 3

3

81 −3∫ xdx +∫ −( x 3−12 x ) dx 4 0 0 1

Por la regla de la potencia, la integral de x respecto a x es 2 x

2

3

81 1 −3 x 2 +∫ −( x 3−12 x ) dx 4 2 0

( )

1

Combinar 2 y x 2 3

81 x2 −3 +∫ −( x3 −12 x ) dx 4 2 0

( )

Dado que -1 es constante respecto a x, sacar -1 de la integral 3

81 x2 −3 −∫ −( x 3−12 x ) dx 4 2 0

( )

Dividir la integral simple es múltiples integrales 81 x2 −3 −¿ 4 2

( )

1

Por la regla de la potencia, la integral de x 3 respecto a x es 4 x

4

81 x2 −3 −¿ 4 2

( )

1 4 Combinar 4 y x 81 x2 −3 −¿ 4 2

( )

Dado que -12 es constante respecto a x, saque -12 de la integral 81 x2 −3 −¿ 4 2

( )

1

Por la regla de la potencia, la integral de x respecto a x es 2 x 81 x2 x4 1 −3 −( −12 x 2 ) 4 2 4 2

( )

( )

Simplifica 81 81 + 4 4 μ2=20,25

GeoGebra

Ejercicio d  Calcular el área de la región comprendida entre las curvas

2

f ( x ) =4x 3 - 9x 2 - 21x + 43 g ( x ) =3x 2 - 5x - 5 y

1. Graficamos las curvas f ( x ) (verde) y g ( x ) (rojo)

1. Ahora buscamos los puntos de corte de las funciones, para esto igualamos(sus reglas de asignación) y resolvemos para la variable x:

4x 3 - 9x 2 - 21x + 43 =3x 2 - 5x - 5 4x 3 - 9x 2 - 21x + 43- 3x 2 + 5x + 5 =0 4x 3 - 12x 2 - 16x + 48 =0

Utilizamos división sintética para factorizar y tenemos que

4x 3 - 12x 2 - 16x + 48 =4 ( x + 2 ) ( x - 2 ) ( x - 3)

De donde tenemos que 4 ( x + 2) ( x - 2 ) ( x - 3) =0 y así los puntos de corte estarán en x =- 2, x =2, x =3

Ya teniendo la gráfica de las funciones y los puntos de corte planteamos las integrales definidas para obtener el área entre las regiones comprendidas:

2

(

) (

)

A1 = ò 4x 3 - 9x 2 - 21x + 43 - 3x 2 - 5x - 5 dx -2 3

A2 = ò 3x 2 - 5x - 5 - 4x 3 - 9x 2 - 21x + 43 dx 2

(

) (

)

ahora resolvemos:

2

(

) (

)

A1 = ò 4x 3 - 9x 2 - 21x + 43 - 3x 2 - 5x - 5 dx -2 2

= ò 4x 3 - 9x 2 - 21x + 43- 3x 2 + 5x + 5 dx -2 2

= ò 4x 3 - 12x 2 - 16x + 48 dx -2

2

æ x ö x x 4 12 16 +48x ç ÷ 3 2 è 4 ø 4

3

2

=

-2

( x - 4x - 8x +48x )

=

((

4

3

2

2

-2

( ) ( ) ( ) ) ( ( - 2) =48 - ( - 80 ) =48 + 80 =128 )

4

3

2

= 2 - 4 2 - 8 2 + 48 2 -

Por otro lado

4

( )

3

( )

2

( ))

- 4 - 2 - 8 - 2 + 48 - 2

3

A2 = ò 3x 2 - 5x - 5 - 4x 3 - 9x 2 - 21x + 43 dx 2

(

) (

)

3

= ò3x 2 - 5x - 5- 4x 3 + 9x 2 + 21x - 43 dx 2

3

= ò - 4x 3 +12x 2 +16x - 48 dx 2

3

æ x4 ö x3 x2 = - 4 +12 + 16 - 48x ÷ ç 4 3 2 è ø 2

( - x +4x +8x - 48x )

3

(

(

4

=

3

2

( ) ( ) ( )) =- 45 - ( - 48) =- 45 + 48 =3 ()

4

3

2

2

( )

4

( )

3

( )

2

( ))

= - 3 + 4 3 + 8 3 - 48 3 - - 2 + 4 2 + 8 2 - 48 2

Así, tenemos que el área comprendida entre las curvas es(en unidades cuadradas):

A1 + A2 =128 + 3 =131

Con la herramienta geogebra, interpretamos los datos y notamos que los resultados que se obtuvieron en el proceso quedan corroborados. Podemos notar que se plantean correctamente las integrales A1 y A2 teniendo en cuenta en cada caso cuál es la “función techo” y la “función piso”, además los puntos de intersección de las funciones.

Tipo de ejercicios 2 – Sólidos de revolución.

Consultar en el entorno de aprendizaje el siguiente recurso: Aguayo, J. (2012). Cálculo integral y series. Editorial ebooks Patagonia - J.C. Sáez Editor. (pp. 115 – 121). a. Determine el volumen del sólido formado al girar la región acotada por la gráfica de y=x 2−6 x alrededor del eje 𝑥 en el intervalo 0 ≤ 𝑥 ≤ 6. Representar en Geogebra la región a rotar y anexar un pantallazo del solido de revolución generado. b

v=∫ πf (x)2 dx a

6

2

v=∫ π ( x 2−6 x ) dx 0

6

2

v=π ∫ ( x 2−6 x ) dx 0 6

v=π ∫ (x ¿ ¿ 4−12 x 3 36 x2 )dx ¿ 0

x 5 12 x 4 36 x 3 v=π − + 5 4 3 v=π

[

[ [

v= π v=

]

6

0

(6)5 12 ( 6 )4 36 ( 6 )3 05 12(0)4 36(0)3 − + − + − 5 4 3 5 4 3 65 64 63 −12 π + 36 π −[ 0 ] 5 4 3

1296 π 5

]

]

Ejercicio b.

Sea R la región limitada por g ( x )=√ 10−x ,h ( x )=√ 9 x y la recta 𝑦 = 0. Determine el volumen del sólido cuando R se hace girar alrededor del eje 𝑦. Representar en GeoGebra las regiones a rotar y anexar un pantallazo. b

V =∫ π ( R ( y )2−r ( y )2 )dy a

Despejar y= √ 10−x y 2=¿ y 2=10−x x=10− y 2

Despejar y= √ 9 x y 2=¿

y 2=9 x x=

y2 9

Igualar las dos ecuaciones 2

10− y =

y2 9

Multiplicar ambos lados por 9 90−9 y 2= y 2

Igualar a cero 90−9 y 2− y 2=0 90−10 y 2=0 10(9− y 2 )=0 10 ( 3− y )( 3+ y )=0

Resolver para 3− y y=3

Resolver para 3+ y y=−3

Limites

[ 0 , 3] Emplear la formula de volumen b

v=π ∫ ¿ ¿ a 3

v=π ∫ ¿ ¿ 0

Dividir la integral simple en múltiples integrales π¿

Expanda ¿ π¿

Dividir la integral simple en múltiples integrales π¿ 1

Por la regla de la potencia, la integral de y 4 respecto a y es 5 y

5

π¿ 1

Combinar 5 y y 5 π¿

Dado que -20 es constante respecto a y, sacar -20 de la integral π¿ 1

Por la regla de la potencia, la integral de y 2 respecto a y es 3 y

3

π¿

Dado que 100 es constante respecto a y, sacar 100 de la integral. π¿

Combinar

y5 y 100 y 5

π¿ 1

1

Dado que 81 es constante respecto a y, sacar 81 de la integral 3

y5 y3 1 π ( +100 y−20 − y 4 dy ) ∫ 5 3 81 0

( )(

)

1

Por la regla de la potencia, la integral de y 4 respecto a y es 5 y π¿

Simplificar la respuesta 168 π =527,7 μ3

5

 (EJERCICIO “D”) Determinar el volumen del solido en revolución que se genera al hacer girar alrededor del eje y la región encerrada entre las curvas

x = 5y y y =- 1 y y =1

1. Graficamos las curvas x = 5y y y =- 1 y y =1 para reconocer la región encerrada que gira alrededor del eje y

Y se obtiene el sólido de la figura:

Vista transparente

Solido completo

Tenemos entonces que el volumen V del solido de revolución generado es(planteando la integral con respecto a y):

1

( )

V =ò p

2

5y dy

-1

1

=p ò 5y 2 dy -1

1

=5p ò y 2 dy -1

1

æ ( 1) ( - 1) æ y3 ö =5p =5p ç ç 3 ÷ çè 3 - 3 è ø 3

3

ö ÷ ÷ ø

-1

æ1 - 1ö æ1 1 ö æ2 ö =5p ç - ÷=5p ç + ÷=5p ç ÷ è3 3 ø è3 3ø è3 ø 10 = p 3

Tipo de ejercicios 3 –Aplicaciones de las integrales en las ciencias.  

Consultar en el entorno de aprendizaje el siguiente recurso: Alvarado, M. (2016) Cálculo Integral en Competencias. Grupo Editorial Patria. (pp. 220 - 227).

a. En un estudio económico la función demanda y oferta es como aparecen: D ( x ) =−0,004 x 2 +134 y 0 ( x )=0,00 6 x 2 +34 calcular el excedente del productor en el punto de equilibrio. q

EC =∫ D ( x ) dx−QP O

q

EP=QP−∫ s ( x ) dx O

D ( x ) =−0,004 x 2 +134 y 0 ( x )=0,00 6 x 2 +3 4 −0,004 x 2 +134=0,00 6 x 2+34 −0,004 x 2−0,00 6 x 2 +134−34=0

−0,0 1 x2 +100=99 −0,01 ( 2 x−1 )=0 −0,01 ( 2 x−1 )=0 2 x−1=1 x=1 Q=1 −0,004 ( 1 ) +134=134 q

EP=QP−∫ s ( x ) dx O 1

EP=134−∫ (0,006 x2 +34)dx O

1

EP=134−[ 0,006 x 2 +34 ]0

EP=134−34,2 EP=99,8

Ejercicio b.

Si una fuerza de 45 kg alarga un resorte 9 cm. - Determine el trabajo que se requiere para alargar el resorte 6 cm más.

Conversión de kg a Newton 45 kg=441 N

Conversión de cm a m 9 cm=0,9 m Aplicar la fórmula de Hook f ( x )=kx f =441 N

x=0,9 m Despejar la constante de elasticidad y reemplazar k=

f x

k=

441 N =490 N 0,9 m

Los puntos de limite son: 0 y 0,6

Aplicar la fórmula de trabajo b

w=∫ f ( x ) dx a

Reemplazar 0,6

w=∫ 490 xdx 0

Dado que 490 es constante respecto a x, saque 490 de la integral 0,6

490 ∫ xdx 0

Por la regla de la potencia, la integral de x respecto a x es 1 490 x 2 2

1 x 2

0,6

[ ]

0

Simplificar 176,4 2 Dividir w=88,2 J

 (EJERCICIO “D”) Dada la expresión

x =0 a x =4

( y + 2)

2

=3x 3

determine su longitud de

Como la longitud de arco s esta dada por la integral b

2

s = ò 1+ éë f ¢( x ) ùû a

y + 2) vamos a expresar la expresión (

2

=3x 3

como una función de x, tenemos

entonces:

( y + 2)

2

=3x 3

y + 2 =+ 3x 3 y = 3x 3 - 2

así tenemos que la derivada de y es y¢ = =

3 3x 3 2 x2

+0 =

3 3x x 2 2 x2

3 3x 2

luego 2

b

2

4

s = ò 1+ éë f ¢( x ) ùû dx = ò a 0

é3 3x ù 1+ ê ú dx 2 ê ú ë û

é9 ( 3x ) ù 4 4 27x = ò 1+ ê dx = ò 1+ dx ú 0 0 4 4 ê ú ë û 4

= ò 1+ 0

27x dx 4

Realizamos el cambio de variable

( ) u ( 4 ) =28 u 0 =1

entonces la integral s nos queda:

u =1+

27 27 x du = dx 4 donde 4 y así tenemos que:

28 æ4 ö s = ò u ç du ÷ 1 è 27 ø

=

4 28 4 28 1 u du = ò u 2 du ò 27 1 27 1 28

æ 3 ö 2÷ 3 ö 3 4 çu 4 æ2 8æ 2ö 2 = = u ÷ =81 çu ÷ 27 ç 3 ÷ 27 ç è ø 3 è ø ç ÷ è 2 ø 28

28

1

1

1

8æ 28 81 è » 14,53

=

3

2

- 1 2ö ø 3

Concluimos que la longitud de arco buscada es de 14,53 unidades lineales.

Tipo de ejercicios 4 –Aplicaciones de las integrales en general. Consultar en el entorno de aprendizaje el siguiente recurso: Segura, A. (2014). Matemáticas Aplicadas a las Ciencias EconómicoAdministrativas: Simplicidad Matemática. Grupo Editorial Patria. (pp. 203 – 213).

Alvarado, M. (2016) Cálculo integral en Competencias. Grupo Editorial Patria. (pp. 230 - 236).

a. La función de Costo Marginal de fabricar un producto es CM =12 x 2−50 x , donde 𝑥 representa el número de unidades fabricadas. Si se conoce que el costo total es de $150.000 cuando se fabrican 15 unidades. - obtener el valor de la constante.

CM =

dCT =12 x 2−50 x dx

dCT =( 12 x2 −50 x ) dx ∫ dCT=¿ ∫ ( 12 x 2−50 x ) dx ¿ 12 x 3 50 x 2 CT = − +C 3 2 12 (15 )3 CT ( 15 )= −25 ( 15 )2 +C=150,000 3 13,500−5,625+ C=150,000 C=150,000−13,500+ 5,625 C=142,125 Obtener el costo total de producir 30 unidades CT =

12 x 3 2 −25 x +142,125 3

CT (30)=

12 ( 30 )3 −25(30)2+ 142,125 3 CT ( 30 )=108,000−22,500+142,125 CT ( 30 )=227,625

Ejercicio b.

3 Un móvil se mueve sobre una línea recta y parte de punto x= 2 con 2 2 una velocidad de 6 m/s y aceleración variable según ( 4 t− 3 )m/ s

¿Cuál es su posición cuando t=3 s ?

Derivar aceleración x (t)= {dv} over {dt} =4t- {2} over {3

(

dv = 4 t−

2 dt 3

)

Integral

∫ dv=∫( 4 t − 23 ) dt Resolver la integral v=

4t2 2 − t+C 2 3

EJERCICIO d



(EJERCICIO “D”)

Una varilla de longitud 35cm tiene una densidad lineal que varía proporcionalmente al cuadrado de su distancia a uno de los extremos.

-Si la densidad en el extremo más pesado es de 4900 g/cm, halle su masa total y el centro de masa.

1.

Tenemos que la densidad lineal de la varilla está dada por: d ( x ) =Rx 2

Pero sabemos que en uno de sus extremos(es decir para x=35), se tiene una densidad es de 4900g/cm, es decir:

( )

4900 =R 35

2

Resolviendo tenemos que R =4

2.

Con lo anterior, tenemos que la masa total es: L

35

m = ò d ( x ) dx = ò 4x 2 dx 0

0

35

æ x 3 ö æ35 =4 ç 3 ÷ =4 çè 3 è ø

3

-

03 ö 3÷ ø

0

171500 = 3

y el centro de masa

L

35

35

( ) ò x ( 4x ) dx ò 4x x= = = ò d ( x ) dx ò ( 4x ) dx ò 4x ò xd x dx 0

L

0

35

0

2

0 35

2

0

3

dx

2

dx

0

35

=

æ x4 ö ç4 ÷ è 4ø 0 35

æ x3 ö ç4 3 ÷ è ø

(x ) (x ) 4

3 = 4

3

35

0 35

( (

4 3 35 - 0 = 4 353 - 0

) )

0

0

3 35 4 140 = » 46.66 3 =

( )

Referencia bibliográfica

https://www.youtube.com/watch? v=nNTp_tDmddM&feature=youtu.be TODO https://drive.google.com/file/d/1sJA7S7xnRfoTdXccv0xfgScZqU5 Yy9kZ/view NOSE https://www.youtube.com/watch? v=nNTp_tDmddM&feature=youtu.be     5. Integrales impropias - Leonardo Pérez:  https://drive.google.com/file/d/1Bc7AVbHyzQsyJxXOGcVybFQ9mzy9mIbe/vi ew?usp=sharing

Ortiz, F., & Ortiz, F. (2015). Cálculo Integral.  Grupo editorial patria. (pp. 36-42). Recuperado de: https://elibronet.bibliotecavirtual.unad.edu.co/es/ereader/unad/39469?page=1 Rivera, F. (2014). Calculo integral: sucesiones y series de funciones . México: Larousse – Grupo Editorial Patria.  (pp. 27 – 38). Recuperado de: https://elibronet.bibliotecavirtual.unad.edu.co/es/ereader/unad/39431?page=1 Guerrero, G. (2014). Cálculo Integral: Serie Universitaria Patria. México: Grupo Editorial Patria. (pp. 14 - 16). Recuperado de: https://elibronet.bibliotecavirtual.unad.edu.co/es/ereader/unad/39432?page=1 Spivak, M. (2018). Calculus (3ª.  ed.). Barcelona: Editorial Reverté. (pp. 299 - 303). Recuperado de: https://elibro-net.bibliotecavirtual.unad.edu.co/es/ereader/unad/46804?page=1