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CALCULO INTEGRAL - 100411A

TRABAJO COLABORATIVO Fase 1

Ángela Lorena Cirata Cód.: Gilberto Torrejano Fernández Cód.: 12117574 Niny Jhoana Sanchez Castellanos: Cód.: 53045343 Tatiana Andrea Reyes Páez Cód.: 53.135.680 Jesus Giovanni Benal Mogollon Cód: 13.745.397

Grupo 100411_3

Tutor Cristian Camilo Trujillo Cuellar

UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD 2019

Contenido INTRODUCCIÓN ................................................................................................................................... 3 Tipo de ejercicios 1 - Integrales inmediatas. ....................................................................................... 4 Ejercicio a. ....................................................................................................................................... 4 Ejercicio b. ....................................................................................................................................... 7 Ejercicio C. ....................................................................................................................................... 9 Ejercicio d. ..................................................................................................................................... 10 Tipo de ejercicios 2 – Sumas de Riemann ......................................................................................... 13 Ejercicio a. ..................................................................................................................................... 13 Ejercicio b. ..................................................................................................................................... 18 Ejercicio C. ..................................................................................................................................... 25 Ejercicio d. ..................................................................................................................................... 31 Tipo de ejercicios 3 – Teorema de integración. ................................................................................ 44 Ejercicio a. ..................................................................................................................................... 44 Ejercicio b. ..................................................................................................................................... 46 Ejercicio c....................................................................................................................................... 46 Ejercicio d. ..................................................................................................................................... 47 Tipo de ejercicios 4 – Integral definida. ............................................................................................ 49 Ejercicio a. ..................................................................................................................................... 49 Ejercicio b. ..................................................................................................................................... 52 Ejercicio d. ..................................................................................................................................... 55 Tabla links videos explicativos........................................................................................................... 58 Tabla de elección de ejercicios.......................................................................................................... 60 BIBLIOGRAFÍA .................................................................................................................................... 61

INTRODUCCIÓN El desarrollo de este documento tiene como objeto la comprensión del l concepto de antiderivada para determinar integrales definidas e indefinidas aplicando el teorema fundamental del cálculo y recordando conceptos básicos de Algebra. Aplicamos ejercicios de integral definida es un concepto relevante para abordar una problemas cotidianos como el cálculo de áreas, y longitudes de curvas .como por ejemplo cuando un carro se mueve variando su velocidad a lo largo de un tiempo entonces calcular el área nos da la integral de la velocidad respecto al tiempo y esta área nos da el espacio recorrido en un intervalo determinado. Los ejercicios que realizamos donde se aplican las sumas de Riemann nos enseñan un otra manera del cálculo del área bajo la curva nos explicándonos que para encontrar el área de una forma irregular debemos partir la figura en cierto número de rectángulos, y que entre más rectángulos tengamos más preciso será el valor del área. Para el desarrollo de estos ejercicios se trabajó con GEOGEBRA el cual es un programa muy dinámico, en el cual podemos desarrollar gráficamente los ejercicios trabajados, También se trabajó con herramientas que nos refuerzan el manejo de las TIC, como lo fue la realización del video explicativo con la herramienta loom.

Tipo de ejercicios 1 - Integrales inmediatas. Desarrollar el ejercicio seleccionado utilizando el álgebra, la trigonometría y propiedades matemáticas para reducir las funciones a integrales inmediatas y compruebe su respuesta derivando el resultado. Ejercicio a.

∫

𝑥4 − 1 𝑑𝑥 3𝑥 3 − 3𝑥

Factorizar (𝒙𝟒 − 𝟏): (𝑥 2 + 1)(𝑥 + 1)(𝑥 − 1) (𝟑𝒙𝟑 − 𝟑𝒙): 3𝑥(𝑥 + 1)(𝑥 − 1) Eliminamos términos comunes: (𝑥 2 + 1)(x+1)(𝑥 − 1) (𝑥 2 + 1) : = 3𝑥(𝑥 + 1)(𝑥 − 1) 3𝑥

Aplicar propiedades de las fracciones: Eliminamos términos comunes (𝑥 2 + 1) 𝑥 2 1 : : + 3𝑥 3𝑥 3𝑥 𝑥 1 :∫ + 𝑑𝑥 3 3𝑥 Aplicando la regla de la suma. 𝑥 1 : ∫ 𝑑𝑥 + ∫ 𝑑𝑥 3 3𝑥



𝒙

Sacamos la constante para ∫ 𝟑 𝒅𝒙

𝒙 1 ∫ 𝒅𝒙 = ∗ ∫ 𝑥𝑑𝑥 𝟑 3 

y luego aplicamos regla de la potencia

1 𝑥1+1 ∗ 3 1+1 

y por último multiplico la fracción. =



1 𝑥 2 𝒙𝟐 ∗ = 3 2 𝟔

1

Sacamos la constante para ∫ 3𝑥 𝑑𝑥 . 𝟏 1 1 ∫ 𝒅𝒙 = ∗ ∫ 𝑑𝑥 𝟑 3 𝑥



Aplicamos regla de integración 𝟏 𝒍𝒏|𝒙| 𝟑

Entonces 𝒙 1 𝒙𝟐 𝟏 ∫ 𝒅𝒙 = ∗ ∫ 𝑥𝑑𝑥 = + 𝒍𝒏|𝒙| 𝟑 3 𝟔 𝟑

Agregamos la constante a la solución.

𝒙𝟐 𝟏 + 𝒍𝒏|𝒙| + 𝑪 𝟔 𝟑 >Derivar el resultado

𝒅𝒙′ =

𝒙𝟐 𝟏 + 𝒍𝒏|𝒙| + 𝑪 𝟔 𝟑

Aplicando regla de la suma 𝑑 𝑥2 𝑑 1 𝑑 (𝐶) ( )+ ( 𝑙𝑛|𝑥|) + 𝑑𝑥 6 𝑑𝑥 3 𝑑𝑥

𝑑 𝑥2 𝑑 𝟏 𝑑 ( )+ ( 𝒍𝒏|𝒙|) + (𝐶) 𝑑𝑥 6 𝑑𝑥 𝟑 𝑑𝑥 𝑑

𝑥2

Para 𝑑𝑥 ( 6 )sacamos la constante, regla de potencia, multiplicación de funcionarios y simplificamos 𝑑 𝑥2 1 𝑑 2 1 1 2𝑥 𝒙 (𝑥 ) = ∗ 2𝑥 2−1 = ∗ 2𝑥 = ( )= = 𝑑𝑥 6 6 𝑑𝑥 6 6 6 𝟑 𝑑

1

Para 𝑑𝑥 (3 𝑙𝑛|𝑥|)sacamos la constante, aplicamos regla de cadena y simplificamos 𝑑 1 1 𝑑 (𝑙𝑛|𝑥|) ( 𝑙𝑛|𝑥|) = 𝑑𝑥 3 3 𝑑𝑥 Regla de cadena =

Aplicamos la regla de derivación para

1 𝑑 𝑑 (ln⁡(𝑢)) (|𝑥|) 3 𝑑𝑢 𝑑𝑥

𝑑 𝑑𝑢

(ln(𝑢))

𝑑 1 (ln(𝑢)) = 𝑑𝑢 𝑢 Aplicamos la regla de derivación para

𝑑 𝑑𝑥

(|𝑥|) 𝑑 𝑥 (|𝑥|) = |𝑥| 𝑑𝑥

Ahora podemos multiplicar las fracciones sustituyendo u en la ecuación por |𝑥|

=

1 1 𝑥 1∗1∗𝑥 𝑥 1 ∗ ∗ = = 2= 3 𝑥 |𝑥| 3|𝑥||𝑥| 3𝑥 3𝑥

Respuesta =

𝑥 1 + 3 3𝑥

Se comprueba el resultado derivando la respuesta

Ejercicio b. Reducir las funciones a integrales inmediatas y compruebe su respuesta derivando el resultado.

∫

2𝑥 + 1 √4𝑥 + √2𝑥

𝑑𝑥

𝐴𝑝𝑙𝑖𝑐𝑜⁡𝑖𝑛𝑡𝑒𝑔𝑟𝑎𝑐𝑖ó𝑛⁡𝑝𝑜𝑟⁡𝑠𝑢𝑠𝑡𝑖𝑡𝑢𝑐𝑖ó𝑛: 𝑢 = √4𝑥+√2𝑥 = ∫(3 − 2√2) (3𝑢2 − 2√2𝑢2 + 1)𝑑𝑢

𝑆𝑎𝑐𝑜⁡𝑙𝑎⁡𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒: = (3 − 2√2). ∫ 3𝑢2 − 2√2 𝑢2 + 1𝑑𝑢 2√2⁡𝑢3 ∫ 3𝑢 − 2√2 𝑢 + 1𝑑𝑢 = 𝑢 − +𝑢 3 2√2⁡𝑢3 = (3 − 2√2) (𝑢3 − + 𝑢) 3 2

2

3

𝑆𝑢𝑠𝑡𝑖𝑡𝑢𝑖𝑟⁡𝑒𝑛⁡𝑙𝑎⁡𝑒𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖ó𝑛⁡𝑢 = √4𝑥+√2𝑥 3

2√2(√4𝑥 + √2𝑥) = (3 − 2√2) ((√4𝑥 + √2𝑥) − + √4𝑥 + √2𝑥) 3 3

𝑆𝑖𝑚𝑝𝑙𝑖𝑓𝑖𝑐𝑎𝑚𝑜𝑠: 8 3 3 3 2√𝑥 − √2√𝑥 + 3(2√𝑥 + √2√𝑥) − 4√2(2√𝑥 + √2√𝑥) + (2√𝑥 + √2√𝑥) 3 𝐴𝑔𝑟𝑒𝑔𝑎𝑚𝑜𝑠⁡𝑙𝑎⁡𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒⁡𝑎⁡𝑙𝑎⁡𝑠𝑜𝑙𝑢𝑐𝑖ó𝑛: 8 3 3 3 = 2√𝑥 − √2√𝑥 + 3(2√𝑥 + √2√𝑥) − 4√2(2√𝑥 + √2√𝑥) + (2√𝑥 + √2√𝑥) + 𝑐 3 𝐴ℎ𝑜𝑟𝑎⁡𝑑𝑒𝑟𝑖𝑣𝑎𝑚𝑜𝑠⁡𝑒𝑙⁡𝑟𝑒𝑠𝑢𝑙𝑡𝑎𝑑𝑜:

8 3 3 3 = 2√𝑥 − √2√𝑥 + 3(2√𝑥 + √2√𝑥) − 4√2(2√𝑥 + √2√𝑥) + (2√𝑥 + √2√𝑥) + 𝑐 3

𝐴𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎𝑟⁡𝑙𝑎⁡𝑟𝑒𝑔𝑙𝑎⁡𝑑𝑒⁡𝑙𝑎 𝑑

𝑑

𝑑

8

3

𝑠𝑢𝑚𝑎 :⁡(𝑓 ± 𝑔)′ = 𝑓 ′ ± 𝑔′ 𝑑𝑖𝑓𝑒𝑟𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎 3

𝑑

= 𝑑𝑥 (2√𝑥) − 𝑑𝑥 (√2√𝑥 +) + 𝑑𝑥 (3(2√𝑥 + √2√𝑥) ) − 𝑑𝑥 (4√2(2√𝑥 + 3

𝑑

𝑑

√2√𝑥) )+𝑑𝑥 (3 (2√𝑥 + √2√𝑥) ) + 𝑑𝑥 (𝑐)

𝑑 1 (2√𝑥) = 𝑑𝑥 √𝑥 𝑑 1⁡ (√2√𝑥 +) = 𝑑𝑥 √2√𝑥 𝑑 3 (3(2√𝑥 + √2√𝑥) ) = 90√𝑥 + 63√2√𝑥 𝑑𝑥

𝑑 3 (4√2(2√𝑥 + √2√𝑥) ) = 120√2√𝑥 + 168√𝑥 𝑑𝑥 𝑑 8 3 ( (2√𝑥 + √2√𝑥) ) = 80√𝑥 + 56√2√𝑥 𝑑𝑥 3 𝑑 (𝑐) = 0 𝑑𝑥 1 1⁡ = − + 90√𝑥 + 63√2√𝑥 − (120√2√𝑥 + 168√𝑥) + 80√𝑥 + 56√2√𝑥 + 0 √𝑥 √2√𝑥 𝑆𝑖𝑚𝑝𝑙𝑖𝑓𝑖𝑐𝑎𝑟: 2√2𝑥 − 2𝑥 + √2 − 1 = √2√𝑥 𝑃𝑜𝑑𝑒𝑚𝑜𝑠⁡𝑜𝑏𝑠𝑒𝑟𝑣𝑎𝑟⁡𝑞𝑢𝑒⁡𝑑𝑒𝑟𝑖𝑣𝑎𝑛𝑑𝑜⁡𝑒𝑙⁡𝑟𝑒𝑠𝑢𝑙𝑡𝑎𝑑𝑜⁡𝑑𝑒⁡𝑙𝑎⁡𝑖𝑛𝑡𝑒𝑔𝑟𝑎𝑙⁡𝑠𝑒⁡𝑐𝑜𝑚𝑝𝑟𝑢𝑒𝑏𝑎⁡𝑒𝑙⁡𝑟𝑒𝑠𝑢𝑙𝑡𝑎𝑑𝑜.

Ejercicio C.

∫

(𝑥 3 + 5𝑥 − 4) 𝑑𝑥 𝑥2

Expande: ⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡∶ (𝑥 +

5 4 − ) 𝑑𝑥 𝑥 𝑥2

Aplica linearidad

1 1 : ∫ 𝑥⁡𝑑𝑥 + 5 ∫ 𝑑𝑥 − 4 ∫ 2 𝑑𝑥 𝑥 𝑥 Resolviendo ahora

∫ 𝒙 ⁡𝒅𝒙⁡ Aplicamos regla de la potencia =

𝑥2 2

Resolviendo ahora 𝟏 ∫ 𝒅𝒙 𝒙

= 𝒍𝒏(𝒙)

Resolviendo ahora ∫

𝟏 𝒙𝟐

Aplica la regla de la potencia con n=-2 =−

𝟏 𝒙

Reemplaza las integrales ya resueltas 1 1 ∫ 𝑥⁡𝑑𝑥 + 5 ∫ 𝑑𝑥 − 4 ∫ 2 𝑑𝑥 𝑥 𝑥 = 𝟓𝒍𝒏(𝒙) +

𝒙𝟐 𝟒 + +𝑪 𝟐 𝒙

Respuesta = 5 ln(𝑥) +

𝑥2 2

Se comprueba el resultado derivando la respuesta.

Ejercicio d.

∫[

𝑇𝑎𝑛(𝑥) + 𝐶𝑠𝑐 2 (𝑥)] 𝑑𝑥 𝑆𝑒𝑛(𝑥)𝐶𝑜𝑠(𝑥)

Reescribiendo la integral de la forma

4

+ 𝑥+C

𝑠𝑒𝑛(𝑥)

∫[

cos(𝑥)

𝑠𝑒𝑛(𝑥) cos(𝑥)

+ 𝐶𝑠𝑐 2 (𝑥)] 𝑑𝑥 = ∫ [

1 + 𝑐𝑠𝑐 2 (𝑥)] 𝑑𝑥 cos 2 (𝑥)

= ∫[sec 2 (𝑥) + 𝑐𝑠𝑐 2 (𝑥)] 𝑑𝑥 Las dos integrales que quedan son directas el resultado será: ∫[sec 2 (𝑥) + 𝑐𝑠𝑐 2 (𝑥)] 𝑑𝑥 = 𝑡𝑎𝑛(𝑥) − cot(𝑥) + 𝑐 Puesto que las derivadas fueron directas basta reescribir derivado sec 2 (𝑥) + 𝑐𝑠𝑐 2 (𝑥) =

1 + csc 2 𝑥 cos2 𝑥

Multiplicando y dividi9endo el primer término por sen(x) 1 ∗ 𝑠𝑒𝑛(𝑥) 𝑇𝑎𝑛(𝑥) + csc 2 𝑥 = + 𝐶𝑠𝑐 2 (𝑥) 2 𝑠𝑒𝑛(𝑥) ∗ cos 𝑥 𝑆𝑒𝑛(𝑥)𝐶𝑜𝑠(𝑥)

Ejercicio e. 3 2 ∫ (5 − 5 ) 𝑑𝑥 √𝑥 2 √𝑥 2

5

√𝑥 2 = 𝑥 5 Asumiendo que 𝑥 ≥ 0

3 2 ∫ (5 − 5 ) 𝑑𝑥 √𝑥 2 √𝑥 Aplicar la regla de la suma: ∫ 𝑓(𝑥) ± 𝑔(𝑥)𝑑𝑥 = ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 ± ∫ 𝑔(𝑥)𝑑𝑥

∫

3 𝑥

∫

2 5

3 2

3

𝑑𝑥 = 5𝑥 5

𝑑𝑥

𝑥5 Sacar la constante: ∫ 𝑎. 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = 𝑎. ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥

=3∙∫

1 2

𝑑𝑥

𝑥5 1 𝑥

2

2 5

= 𝑥 −5

2

= 3 ∙ ∫ 𝑥 −5 𝑑𝑥

Aplicamos la regla de la potencia: ∫ 𝑥 𝑎 𝑑𝑥 = 2

=3∙

𝑥 −5+1 2

−5 + 1 2

Simplificamos = 3 ∙

− +1 𝑥 5 2 − +1 5

3

⁡: 5𝑥 5

2

=3∙

𝑥 −5+1 2

−5 + 1

2

3

𝑥 −5+1

5𝑥 5 = 2 3 − +1 5

3

5𝑥 5 =3∙ 3 𝑏

Multiplicamos Fracciones: 𝑎 ∙ 𝑐 = 3

𝑥5 ∙ 5 ∙ 3 = 3

𝑎∙𝑏 𝑐

𝑥 𝑎+1 𝑎+1

, 𝑎 ≠ −1

Eliminamos los términos comunes: 3 3

= 𝑥 5⁡⁡ ∙ 5 3

= 5𝑥 5 2 5 4 ∫ 5 𝑑𝑥 = 𝑥 5 2 √𝑥 3 5 4 = 5𝑥 5⁡ − 𝑥 5 2

Agregamos una constante a la solución 3 5 4 = 5𝑥 5⁡ − 𝑥 5 + 𝑐 2

Tipo de ejercicios 2 – Sumas de Riemann Desarrollar el ejercicio seleccionado utilizando las Sumas de Riemann

Ejercicio a. i. Utilizar la definición de Suma de Riemann para hallar una

aproximación del área bajo la curva de la función 𝑓(𝑥) = 2𝑥 − 6 en el intervalo [3, 7], en donde use una partición de n=5. 5

𝐴 ≈ ∑ 𝐹 (𝑥𝑖 )∆𝑥 𝐼

𝑏−𝑎 7−3 4 ∆𝑥 = = = = 0,8 𝑛 5 5 Ahora calculamos (𝑥𝑖 )

𝑥𝑖 =? 𝑥1 = 𝑎 = 3 𝑥2 = 𝑎 + ∆𝑥 = 3 + 0.8 = 3.8 𝑥3 = 𝑎 + 2∆𝑥 = 3 + 2(0.8) = 3 + 1.6 = 4.6 𝑥4 = 𝑎 + 3∆𝑥 = 3 + 3(0.8) = 3 + 2.4 = 5.4 𝑥5 = 𝑎 + 4∆𝑥 = 3 + 4(0.8) = 3 + 3.2 = 6.2 5

≈ ∑ 𝐹 (𝑥𝑖 )∆= 𝑓(3). 0.8 + 𝑓(3.8). 0.8 + 𝑓(4.6). 0.8 + 𝑓(5.4). 0.8 + 𝑓(6.2). 0.8 𝐼

Evaluamos las funciones para reemplazar términos⁡𝑓(𝑥) = 2𝑥 − 6 𝑓(𝑥) = 2𝑥 − 6 = ⁡𝑓(3) = 2(3) − 6 = 0 𝑓(𝑥) = 2𝑥 − 6 = ⁡𝑓(3.8) = 2(3.8) − 6 = 7.6 − 6 = 1.6 𝑓(𝑥) = 2𝑥 − 6 = ⁡𝑓(4.6) = 2(4.6) − 6 = 9.2 − 6 = 3.2 𝑓(𝑥) = 2𝑥 − 6 = ⁡𝑓(5.4) = 2(5.4) − 6 = 10.8 − 6 = 4.8 𝑓(𝑥) = 2𝑥 − 6 = ⁡𝑓(6.2) = 2(6.2) − 6 = 12.4 − 6 = 6.4 Reemplazamos los valores: 5

≈ ∑ 𝐹 (𝑥𝑖 )∆= (0). 0.8 + (1.6). 0.8 + (3.2). 0.8 + (4.8). 0.8 + (6.4). 0.8 𝐼

5

≈ ∑ 𝐹 (𝑥𝑖 )∆= 0 + 1.28 + 2.56 + 3.84 + 5.12 = 12.8 𝐼

-

Graficar la función 𝑓(𝑥) = 2𝑥 − 6⁡ en Geogebra. Tome un pantallazo de la gráfica. Utilizando Paint para abrir el pantallazo de la gráfica, ubique los seis (5) rectángulos que representan gráficamente la aproximación del área bajo la curva 𝑓(𝑥).

ii. Utilizar la definición de Suma de Riemann para hallar una

aproximación del área bajo la curva de la función 𝑓(𝑥) = 2𝑥 − 6 en el intervalo [3, 7], en donde use una partición de n=12 12

𝐴 ≈ ∑ 𝐹 (𝑥𝑖 )∆𝑥 𝐼

𝑏−𝑎 7−3 4 ∆𝑥 = = = = 0,33 𝑛 12 12 Ahora calculamos (𝑥𝑖 ) 𝑥𝑖 =? 𝑥1 = 𝑎 = 3 𝑥2 = 𝑎 + ∆𝑥 = 3 + 0.33 = 3.33 𝑥3 = 𝑎 + 2∆𝑥 = 3 + 2(0.33) = 3 + 0.66 = 3.66 𝑥4 = 𝑎 + 3∆𝑥 = 3 + 3(0.33) = 3 + 0.99 = 3.99 𝑥5 = 𝑎 + 4∆𝑥 = 3 + 4(0.33) = 3 + 132 = 4.32 𝑥6 = 𝑎 + 4∆𝑥 = 3 + 4(0.33) = 3 + 1.65 = 4.65 𝑥7 = 𝑎 + 4∆𝑥 = 3 + 4(0.33) = 3 + 1.98 = 4.98 𝑥8 = 𝑎 + 4∆𝑥 = 3 + 4(0.33) = 3 + 2.31 = 5.31 𝑥9 = 𝑎 + 4∆𝑥 = 3 + 4(0.33) = 3 + 2.64 = 5.64 𝑥10 = 𝑎 + 4∆𝑥 = 3 + 4(0.33) = 3 + 2.97 = 5.97 𝑥11 = 𝑎 + 4∆𝑥 = 3 + 4(0.33) = 3 + 3.3 = 6.3 𝑥12 = 𝑎 + 4∆𝑥 = 3 + 4(0.33) = 3 + 3.63 = 6.63

12

≈ ∑ 𝐹 (𝑥𝑖 )∆= 𝑓(3). 0.33 + 𝑓(3.33). 0.33 + 𝑓(3.66). 0.33 + 𝑓(3.99). 0.33 + 𝑓(4.32). 0.33 + 𝑓(4.65). 0.33 𝐼

+ 𝑓(4.98). 0.33 + 𝑓(5.31). 0.33 + 𝑓(5.64). 0.33 + 𝑓(5.97). 0.33 + 𝑓(6.3). 0.33 + 𝑓(6.63). 0.33

Evaluamos las funciones para reemplazar términos⁡𝑓(𝑥) = 2𝑥 − 6 𝑓(𝑥) = 2𝑥 − 6 = ⁡𝑓(3) = 2(3) − 6 = 0 𝑓(𝑥) = 2𝑥 − 6 = ⁡𝑓(3.33) = 2(3.33) − 6 = 6.66 − 6 = 0.66 𝑓(𝑥) = 2𝑥 − 6 = ⁡𝑓(3.66) = 2(3.66) − 6 = 7.32 − 6 = 1.32 𝑓(𝑥) = 2𝑥 − 6 = ⁡𝑓(3.99) = 2(3.99) − 6 = 7.98 − 6 = 1.98 𝑓(𝑥) = 2𝑥 − 6 = ⁡𝑓(4.32) = 2(4.32) − 6 = 8.64 − 6 = 2.64 𝑓(𝑥) = 2𝑥 − 6 = ⁡𝑓(4.65) = 2(4.65) − 6 = 9.3 − 6 = 3.3 𝑓(𝑥) = 2𝑥 − 6 = ⁡𝑓(4.98) = 2(4.98) − 6 = 9.96 − 6 = 3.96 𝑓(𝑥) = 2𝑥 − 6 = ⁡𝑓(5.31) = 2(5.31) − 6 = 10.62 − 6 = 4.62 𝑓(𝑥) = 2𝑥 − 6 = ⁡𝑓(5.64) = 2(5.64) − 6 = 11.28 − 6 = 5.28 𝑓(𝑥) = 2𝑥 − 6 = ⁡𝑓(5.97) = 2(5.97) − 6 = 11.94 − 6 = 5.94 𝑓(𝑥) = 2𝑥 − 6 = ⁡𝑓(6.3) = 2(6.3) − 6 = 12.6 − 6 = 6.6 𝑓(𝑥) = 2𝑥 − 6 = ⁡𝑓(6.63) = 2(6.63) − 6 = 13.26 − 6 = 7.26 12

≈ ∑ 𝐹 (𝑥𝑖 )∆= (0). 0.33 + (0.66). 0.33 + (1.32). 0.33 + (1.98). 0.33 + (2.64). 0.33 + (3.3). 0.33 + (3.96). 0.33 𝐼

+ (4.62). 0.33 + (5.28). 0.33 + (5.94). 0.33 + (6.6). 0.33 + (7.26). 0.33

5

≈ ∑ 𝐹 (𝑥𝑖 )∆= 0 + 0.2178 + 0.4356 + 0.6534 + 0.8712 + 1.089 + 13068 𝐼

+ 1.5246 + 1.7424 + 1.9602 + 2.178 + 2.3958 = 14.3748

Siga los siguientes pasos: -

Graficar la función 𝑓(𝑥) = 2𝑥 − 6⁡ en Geogebra. Tome un pantallazo de la gráfica. Utilizando Paint para abrir el pantallazo de la gráfica, ubique los doce (12) rectángulos que representan gráficamente la aproximación del área bajo la curva 𝑓(𝑥).

iii. Calcular la integral definida utilizando Geogebra y comparar el

resultado con respecto a la aproximación que obtuvo utilizando la suma de Riemann con n= 5 y n=12. Gráfico de la integral cuando n=5

Gráfico de la integral cuando n=12

Ejercicio b.

i.

Utilizar la definición de Suma de Riemann para hallar una aproximación del área bajo la curva de la función 𝑓(𝑥) = (𝑥 − 3)2 + 1⁡ en el intervalo [0, 2], en donde use una partición de n=5. 5

𝐴 ≈ ∑ 𝐹 (𝑥𝑖 )∆𝑥 𝑖=1

𝑏−𝑎 2−0 2 = = = 0.4 𝑛 5 5 𝐴ℎ𝑜𝑟𝑎⁡ℎ𝑎𝑙𝑙𝑎𝑟𝑒𝑚𝑜𝑠⁡(𝑥𝑖 ) ∆𝑥 =

𝑥𝑖 =? 𝑥1 = 𝑎 + (∆𝑥) = 0.4 𝑥2 = 𝑎 + 2(∆𝑥) = 0.8 𝑥3 = 𝑎 + 3(∆𝑥) = 1.2 𝑥4 = 𝑎 + 4(∆𝑥) = 1.6 𝑥5 = 𝑎 + 5(∆𝑥) = 2 𝐴ℎ𝑜𝑟𝑎⁡𝑟𝑒𝑎𝑙𝑖𝑧𝑎𝑚𝑜𝑠⁡𝑙𝑎⁡𝑠𝑢𝑚𝑎𝑡𝑜𝑟𝑖𝑎: 5

≈ ∑ 𝐹 (𝑥𝑖 )∆= 𝑓(0.4)0.4 + 𝑓(0.8)0.4 + 𝑓(1.2)0.4 + 𝑓(1.6)0.4 + 𝑓(2)0.4 𝑖=1

𝐸𝑣𝑎𝑙𝑢𝑎𝑚𝑜𝑠⁡𝑙𝑎⁡𝑓𝑢𝑛𝑐𝑖ó𝑛⁡𝑓(𝑥) = (𝑥 − 3)2 + 1

𝑓(0.4) 𝑓(𝑥) = (𝑥 − 3)2 + 1 𝑓(0.4) = (0.4 − 3)2 + 1 𝑓(0.4) = (−2.6)2 + 1 𝑓(0.4) = 6.76 + 1 𝑓(0.4) = 7.76 ⁡

𝑓(0.8) 𝑓(𝑥) = (𝑥 − 3)2 + 1 𝑓(0.8) = (0.8 − 3)2 + 1 𝑓(0.8) = (−2.2)2 + 1 𝑓(0.8) = 4.84 + 1 𝑓(0.8) = 5.84

𝑓(1.2) 𝑓(𝑥) = (𝑥 − 3)2 + 1 𝑓(1.2) = (1.2 − 3)2 + 1 𝑓(1.2) = (−1.8)2 + 1 𝑓(1.2) = 3.24 + 1 𝑓(1.2) = 4.24 𝑓(1.6) 𝑓(𝑥) = (𝑥 − 3)2 + 1 𝑓(1.6) = (1.6 − 3)2 + 1 𝑓(1.6) = (−1.4)2 + 1 𝑓(1.6) = 1.96 + 1 𝑓(1.6) = 2.96 𝑓(2) 𝑓(𝑥) = (𝑥 − 3)2 + 1 𝑓(2) = (2 − 3)2 + 1 𝑓(2) = (−1)2 + 1 𝑓(2) = 1 + 1 𝑓(2) = 2 5

≈ ∑ 𝐹 (𝑥𝑖 )∆= (7.76)0.4 + (5.84)0.4 + (4.24)0.4 + (2.96)0.4 + (2)0.4 𝑖=1 5

≈ ∑ 𝐹 (𝑥𝑖 )∆= 3.104 + 2.336 + 1.696 + 1.184 + 0.8 = 9.12 𝑖=1

Siga los siguientes pasos: -

-

Graficar la función 𝑓(𝑥)en Geogebra. Tome un pantallazo de la gráfica. Utilizando Paint para abrir el pantallazo de la gráfica, ubique los cinco (5) rectángulos que representan gráficamente la aproximación del área bajo la curva 𝑓(𝑥).

ii. Utilizar la definición de Suma de Riemann para hallar una aproximación del área bajo la curva de la función 𝑓(𝑥) = 2 (𝑥 − 3) + 1 en el intervalo [0, 2], en donde use una partición de n=10 10

𝐴 ≈ ∑ 𝐹 (𝑥𝑖 )∆𝑥 𝑖=1

∆𝑥 =

𝑏−𝑎 2−0 2 = = = 0.2 𝑛 10 10

𝐴ℎ𝑜𝑟𝑎⁡ℎ𝑎𝑙𝑙𝑎𝑟𝑒𝑚𝑜𝑠⁡(𝑥𝑖 ) 𝑥𝑖 =? 𝑥1 = 𝑎 + (∆𝑥) = 0.2 𝑥2 = 𝑎 + 2(∆𝑥) = 0.4 𝑥3 = 𝑎 + 3(∆𝑥) = 0.6 𝑥4 = 𝑎 + 4(∆𝑥) = 0.8 𝑥5 = 𝑎 + 5(∆𝑥) = 1 𝑥6 = 𝑎 + 6(∆𝑥) = 1.2 𝑥7 = 𝑎 + 7(∆𝑥) = 1.4 𝑥8 = 𝑎 + 8(∆𝑥) = 1.6 𝑥9 = 𝑎 + 9(∆𝑥) = 1.8 𝑥10 = 𝑎 + 10(∆𝑥) = 2 𝐴ℎ𝑜𝑟𝑎⁡𝑟𝑒𝑎𝑙𝑖𝑧𝑎𝑚𝑜𝑠⁡𝑙𝑎⁡𝑠𝑢𝑚𝑎𝑡𝑜𝑟𝑖𝑎:

5

≈ ∑ 𝐹 (𝑥𝑖 )∆= 𝑖=1

𝑓(0.2)0.2 + 𝑓(0.4)0.2 + 𝑓(0.6)0.2 + 𝑓(0.8)0.2 + 𝑓(1)0.2 + 𝑓(1.2)0.2 + 𝑓(1.4)0.2 + 𝑓(1.6)0.2 + 𝑓(1.8)0.2 + 𝑓(2)0.2 𝐸𝑣𝑎𝑙𝑢𝑎𝑚𝑜𝑠⁡𝑙𝑎⁡𝑓𝑢𝑛𝑐𝑖ó𝑛⁡𝑓(𝑥) = (𝑥 − 3)2 + 1

𝑓(0.2) 𝑓(𝑥) = (𝑥 − 3)2 + 1 𝑓(0.2) = (0.2 − 3)2 + 1 𝑓(0.2) = (−2.8)2 + 1 𝑓(0.2) = 7.84 + 1 𝑓(0.2) = 8.84 ⁡

𝑓(0.4) 𝑓(𝑥) = (𝑥 − 3)2 + 1 𝑓(0.4) = (0.4 − 3)2 + 1 𝑓(0.4) = (−2.6)2 + 1 𝑓(0.4) = 6.76 + 1 𝑓(04) = 7.76 𝑓(0.6) 𝑓(𝑥) = (𝑥 − 3)2 + 1 𝑓(0.6) = (0.6 − 3)2 + 1 𝑓(0.6) = (−2.4)2 + 1 𝑓(0.6) = 5.76 + 1 𝑓(0.6) = 6.76 𝑓(0.8) 𝑓(𝑥) = (𝑥 − 3)2 + 1 𝑓(0.8) = (0.8 − 3)2 + 1 𝑓(0.8) = (−2.2)2 + 1 𝑓(0.8) = 4.84 + 1 𝑓(0.8) = 5.84 𝑓(1) 𝑓(𝑥) = (𝑥 − 3)2 + 1 𝑓(1) = (1 − 3)2 + 1 𝑓(1) = (−2)2 + 1 𝑓(1) = 4 + 1 𝑓(1) = 5 ⁡

𝑓(1.2)

𝑓(𝑥) = (𝑥 − 3)2 + 1 𝑓(1.2) = (1.2 − 3)2 + 1 𝑓(1.2) = (−1.8)2 + 1 𝑓(1.2) = 3.24 𝑓(1.2) = 4.24 𝑓(1.4) 𝑓(𝑥) = (𝑥 − 3)2 + 1 𝑓(1.4) = (1.4 − 3)2 + 1 𝑓(1.4) = (−1.6)2 + 1 𝑓(1.4) = 2.56 + 1 𝑓(1.4) = 3.56 𝑓(1.6) 𝑓(𝑥) = (𝑥 − 3)2 + 1 𝑓(1.6) = (1.6 − 3)2 + 1 𝑓(1.6) = (−1.4)2 + 1 𝑓(1.6) = 1.96 + 1 𝑓(1.6) = 2.96 𝑓(1.8) 𝑓(𝑥) = (𝑥 − 3)2 + 1 𝑓(1.8) = (1.8 − 3)2 + 1 𝑓(1.8) = (−1.2)2 + 1 𝑓(1.8) = 1.44 + 1 𝑓(1.8) = 2.44 𝑓(2) 𝑓(𝑥) = (𝑥 − 3)2 + 1 𝑓(2) = (2 − 3)2 + 1 𝑓(2) = (−1)2 + 1 𝑓(2) = 1 + 1 𝑓(2) = 2 5

∑ 𝐹 (𝑥𝑖 )∆= 𝑖=1

(8.84)0.2 + (7.76)0.2 + (6.76)0.2 + (5.84)0.2 + (5)0.2 + (4.24)0.2 + (3.56)0.2 + (2.96)0.2 + (2.44)0.2 + (2)0.2 5

≈ ∑ 𝐹 (𝑥𝑖 )∆= 1.768 + 1.552 + 1.352 + 1.168 + 1 + 0.848 + 0.712 + 0.592 + 0.488 + 0.4 𝑖=1

= 9.88

Siga los siguientes pasos: -

-

Graficar la función 𝑓(𝑥) en Geogebra. Tome un pantallazo de la gráfica. Utilizando Paint para abrir el pantallazo de la gráfica, ubique los diez (10) rectángulos que representan gráficamente la aproximación del área bajo la curva 𝑓(𝑥).

Calcular la integral definida utilizando Geogebra y comparar el resultado con respecto a la aproximación que obtuvo utilizando la suma de Riemann con n= 5 y n=10.

Ejercicio C.

iv. Utilizar la definición de Suma de Riemann para hallar una aproximación del área bajo la curva de la función 𝑓(𝑥) = 4𝑋 3 + 1 En el intervalo [0, 3], en donde use una partición de n=6. 5

𝐴 ≈ ∑ 𝐹 (𝑥𝑖 )∆𝑥 𝐼

𝑏−𝑎 3−0 1 ∆𝑥 = = = = 0,5 𝑛 6 2 Ahora calculamos (𝑥𝑖 ) 𝑥𝑖 =? 𝑥1 = 𝑎 = 0 𝑥2 = 𝑎 + ∆𝑥 = 0 + 0,5 = 0,5 𝑥3 = 𝑎 + 2∆𝑥 = 0 + 2(0,5) = 0 + 1,0 = 1,0 𝑥4 = 𝑎 + 3∆𝑥 = 0 + 3(0,5) = 0 + 1,5 = 1,5 𝑥5 = 𝑎 + 4∆𝑥 = 0 + 4(0,5) = 0 + 2,0 = 2,0 𝑥6 = 𝑎 + 5∆𝑥 = 0 + 4(0,5) = 0 + 2,5 = 2,5 6

≈ ∑ 𝐹 (𝑥𝑖 )∆= 𝑓(0). 0,5 + 𝑓(0,5). 0,5 + 𝑓(1,0). 0,5 + 𝑓(1,5). 0,5 + 𝑓(2,0). 0,5 + 𝑓(2,5). 0,5 𝐼

Evaluamos las funciones para reemplazar términos⁡𝑓(𝑥) = 4𝑋 3 + 1 𝑓(𝑥) = 4𝑋 3 + 1 = ⁡𝑓(0) = 4(03 ) + 1 = 1 𝑓(𝑥) = 4𝑋 3 + 1 = ⁡𝑓(0,5) = 4(0,53 ) + 1 = 0,5 + 1 = 1,5 𝑓(𝑥) = 4𝑋 3 + 1 = ⁡𝑓(1,0) = 4(1,03 ) + 1 = 4 + 1 = 5 𝑓(𝑥) = 4𝑋 3 + 1 = ⁡𝑓(1,5) = 4(1,53 ) + 1 = 13,5 + 1 = 14,5 𝑓(𝑥) = 4𝑋 3 + 1 = ⁡𝑓(2,0) = ⁡4(2,03 ) + 1 = 32 + 1 = 33 𝑓(𝑥) = 4𝑋 3 + 1 = ⁡𝑓(2,5) = ⁡4(2,53 ) + 1 = 62,5 + 1 = 63,5

Reemplazamos los valores: 6

≈ ∑ 𝐹 (𝑥𝑖 )∆= (1). 0,5 + (1,5). 0,5 + (5). 0,5 + (14,5). 0,5 + (33). 0,5 + (63,5). 0,5 𝐼

5

≈ ∑ 𝐹 (𝑥𝑖 )∆= 0,5 + 0,75 + 2,5 + 7,25 + 16,5 + 31,75 = 59,25 𝐼

-

Graficar la función 𝑓(𝑥) = 4𝑋 3 + 1⁡⁡⁡ en Geogebra. Tome un pantallazo de la gráfica. Utilizando Paint para abrir el pantallazo de la gráfica, ubique los seis (6) rectángulos que representan gráficamente la aproximación del área bajo la curva 𝑓(𝑥).

v. Utilizar la definición de Suma de Riemann para hallar una

aproximación del área bajo la curva de la función 𝑓(𝑥) = 4𝑋 3 + 1 en el intervalo [0, 3], en donde use una partición de n=12 12

𝐴 ≈ ∑ 𝐹 (𝑥𝑖 )∆𝑥 𝐼

𝑏−𝑎 3−0 1 ∆𝑥 = = = = 0,25 𝑛 12 4 Ahora calculamos (𝑥𝑖 ) 𝑥𝑖 =? 𝑥1 = 𝑎 = 0 𝑥2 = 𝑎 + ∆𝑥 = 0 + 0,25 = 0,25

𝑥3 = 𝑎 + 2∆𝑥 = 0 + 2(0,25) = 0 + 0,5 = 0,5 𝑥4 = 𝑎 + 3∆𝑥 = 0 + 3(0,25) = 0 + 0,75 = 0,75 𝑥5 = 𝑎 + 4∆𝑥 = 0 + 4(0,25) = 0 + 1,0 = 1,0 𝑥6 = 𝑎 + 5∆𝑥 = 0 + 5(0,25) = 0 + 1,25 = 1,25 𝑥7 = 𝑎 + 6∆𝑥 = 0 + 6(0,25) = 0 + 1,5 = 1,5 𝑥8 = 𝑎 + 7∆𝑥 = 0 + 7(0,25) = 0 + 1,75 = 1,75 𝑥9 = 𝑎 + 8∆𝑥 = 0 + 8(0,25) = 0 + 2,0 = 2,0 𝑥10 = 𝑎 + 9∆𝑥 = 0 + 9(0,25) = 0 + 2,25 = 2,25 𝑥11 = 𝑎 + 10∆𝑥 = 0 + 10(0,25) = 0 + 2,5 = 2,5 𝑥12 = 𝑎 + 11∆𝑥 = 0 + 11(0,25) = 0 + 2,75 = 2,75 12

≈ ∑ 𝐹 (𝑥𝑖 )∆= 𝑓(0). 0.33 + 𝑓(0,25). 0,25 + 𝑓(0,5). 0,25 + 𝑓(0,75). 0,25 + 𝑓(1,0). 0,25 + 𝑓(1,25). 0,25 + 𝑓(1,5). 0,25 𝐼

+ 𝑓(1,75). 0,25 + 𝑓(2,0). 0,25 + 𝑓(2,25). 0,25 + 𝑓(2,5). 0,25 + 𝑓(2,75). 0,25

Evaluamos las funciones para reemplazar términos⁡𝑓(𝑥) = 4𝑋 3 + 1 𝑓(𝑥) = 4𝑋 3 + 1 = ⁡𝑓(0) = 4(03 ) + 1 = 1 𝑓(𝑥) = 4𝑋 3 + 1 = ⁡𝑓(0,25) = 4(0,253 ) + 1 = 0,062 + 1 = 1,062 𝑓(𝑥) = 4𝑋 3 + 1 = ⁡𝑓(0,5) = 4(0,53 ) + 1 = 0,5 + 1 = 1,5 𝑓(𝑥) = 4𝑋 3 + 1 = ⁡𝑓(0,75) = 4(0,753 ) + 1 = 1,68 + 1 = 2.68 𝑓(𝑥) = 4𝑋 3 + 1 = ⁡𝑓(1,0) = 4(1,03 ) + 1 = 4 + 1 = 5 𝑓(𝑥) = 4𝑋 3 + 1 = ⁡𝑓(1,25) = 4(1,253 ) + 1 = 7,81 + 1 = 8,81 𝑓(𝑥) = 4𝑋 3 + 1 = ⁡𝑓(1,5) = 4(1,53 ) + 1 = 13,5 + 1 = 14,5 𝑓(𝑥) = 4𝑋 3 + 1 = ⁡𝑓(1,75) = 4(1,753 ) + 1 = 21,43 + 1 = 22,43 𝑓(𝑥) = 4𝑋 3 + 1 = ⁡𝑓(2,0) = 4(2,03 ) + 1 = 32 + 1 = 33 𝑓(𝑥) = 4𝑋 3 + 1 = ⁡𝑓(2,25) = 24(2,253 ) + 1 = 45,56 + 1 = 46,56 𝑓(𝑥) = 4𝑋 3 + 1 = ⁡𝑓(2,5) = 4(2,53 ) + 1 = 62,5 + 1 = 63,5 ⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡𝑓(𝑥) = 4𝑋 3 + 1 = ⁡𝑓(2,75) = 4(2,753 ) + 1 = 83,18 + 1 = 84,18 12

≈ ∑ 𝐹 (𝑥𝑖 )∆= (0). 0,25 + (0,25). 0,25 + (0,5). 0,25 + (0,75). 0,25 + (1,0). 0,25 + (1,25). 0,25 + (1,5). 0,25 𝐼

+ (1,75). 0,25 + (2,0). 0,25 + (2,25). 0,25 + (2,5). 0,25 + (2,75). 0,2 5

≈ ∑ 𝐹 (𝑥𝑖 )∆= 0,25 + 0,265 + 0,375 + 0,67 + 1,25 + 2,20 + 3,62 + 5,60 + 8,25 𝐼

+ 11,39 + 15,87 + 21,045 = 70,785

Siga los siguientes pasos:

-

Graficar la función 𝑓(𝑥) = 4𝑋 3 + 1⁡⁡⁡ en Geogebra. Tome un pantallazo de la gráfica. Utilizando Paint para abrir el pantallazo de la gráfica, ubique los doce (12) rectángulos que representan gráficamente la aproximación del área bajo la curva 𝑓(𝑥).

vi. Calcular la integral definida utilizando Geogebra y comparar el

resultado con respecto a la aproximación que obtuvo utilizando la suma de Riemann con n= 6 y n=12. Gráfico de la integral cuando n=6



Comparando el dato calculado con la suma de Riemann, teniendo en cuenta un “n = 6” es 59,25 para los dos casos.

Gráfico de la integral cuando n=12



Ejercicio d.

Comparando el dato calculado con la suma de Riemann, teniendo en cuenta un “n = 12”, calculado la suma de cada uno de los rectángulos es de 70,78 y el calculado por el sistema Geogebra es 71,06; dando una diferencia en el cálculo del área de 0,28.

i. Utilizar la definición de Suma de Riemann para hallar una aproximación del área bajo la curva de la función 𝑓(𝑥) = |𝑥 2 − 1| en el intervalo [−1, 2], en donde use una partición de n=8. Hallamos el valor de x de la inecuación: 𝑥2 − 1 ≥ 0 𝑥2 − 1 = 0 𝑥2 = 1 𝑥=+ −1 Escribimos la definición de valor absoluto

𝑥 2 − 1⁡⁡⁡⁡⁡𝑠𝑖⁡⁡⁡ − ∞ < 𝑥 < −1⁡⁡⁡ ∧ ⁡⁡⁡⁡⁡1 < 𝑥 < ∞⁡⁡⁡⁡⁡⁡ |𝑥 2 − 1| = { −(𝑥 2 − 1) ⁡⁡⁡ − 1⁡ < ⁡𝑥 < 1 Ahora necesitamos hacer dos sumatorias de Riemann: Intervalo 1

[-1,1] con n=8 𝑛

∑ 𝑓(𝑥𝑖 ) ∗∆𝑥 𝑖=1

∆𝑥 =

1+1 1 = 8 4

𝑥𝑖 = 𝑎 + ∆𝑥 ∗ 𝑖 = −1 + 0.25𝑖 Ahora resolvemos la sumatoria 8

∑ 𝑓(𝑥𝑖 ) ∗∆𝑥 = −((−1 + 0.25𝑖)2 − 1) ∗ 0.25 𝑖=1

[−((−1 + 0.25)2 − 1) − ((−1 + 0.5)2 − 1) − ((−1 + 0.75)2 − 1) − ((−1 + 1)2 − 1) − ((−1 + 1.25)2 − 1) − ((−1 + 1.5)2 − 1) − ((−1 + 1.75)2 − 1) − ((−1 + 2)2 − 1)] ∗ 0.25 = 1.3125

Intervalo 2 [1,2] con n=8 ∆𝑥 =

2−1 1 = 8 8

1 𝑥𝑖 = 𝑎 + ∆𝑥 ∗ 𝑖 = −1 + 𝑖 8 Ahora resolvemos la sumatoria 8

1 2 1 ∑ 𝑓(𝑥𝑖 ) ∗∆𝑥 = ((1 + 𝑖) − 1) ∗ 8 8 𝑖=1

1 2 1 2 1 2 1 2 [((1 + 𝑖) − 1) + ((1 + 𝑖) − 1) + ((1 + 𝑖) − 1) + ((1 + 𝑖) − 1) 8 8 8 8 2 2 2 1 1 1 + ((1 + 𝑖) − 1) + ((1 + 𝑖) − 1) + ((1 + 𝑖) − 1) 8 8 8 2 1 1 + ((1 + 𝑖) − 1)] ∗ = 1.5234 8 8 Sumamos los dos resultados y tenemos un área final como 1.3125 + 1.5234 = 2.8359

Siga los siguientes pasos: -

Graficar la función 𝑓(𝑥) en Geogebra.

-

Tome un pantallazo de la gráfica.

-

Utilizando Paint para abrir el pantallazo de la gráfica, ubique los seis (8) rectángulos que representan gráficamente la aproximación del área bajo la curva 𝑓(𝑥).

Los rectángulos rojos representan el primer intervalo y los azules el segundo.

ii. Utilizar la definición de Suma de Riemann para hallar una aproximación del área bajo la curva de la función 𝑓(𝑥) = |𝑥 2 − 1| en el intervalo [−1, 2], en donde use una partición de n=16 Resolviendo con un n=16 para los dos intervalos se tiene Intervalo 1

[-1,1] con n=16 𝑛

∑ 𝑓(𝑥𝑖 ) ∗∆𝑥 𝑖=1

∆𝑥 =

1+1 1 = 16 8

1 𝑥𝑖 = 𝑎 + ∆𝑥 ∗ 𝑖 = −1 + 𝑖 8 Ahora resolvemos la sumatoria 12

1 2 1 ∑ 𝑓(𝑥𝑖 ) ∗∆𝑥 = − ((−1 + 𝑖) − 1) ∗ = 1.3280 8 8 𝑖=1

Intervalo 2 [1,2] con n=16

∆𝑥 =

2−1 1 = 16 16

𝑥𝑖 = 𝑎 + ∆𝑥 ∗ 𝑖 = −1 +

1 𝑖 16

Ahora resolvemos la sumatoria 12

1 2 1 ∑ 𝑓(𝑥𝑖 ) ∗∆𝑥 = ((1 + 𝑖) − 1) ∗ = 1.4277 16 16 𝑖=1

Sumamos los dos resultados y tenemos un área final como 1.328 + 1.4277 = 2.7557

Siga los siguientes pasos: -

Graficar la función 𝑓(𝑥) en Geogebra.

-

Tome un pantallazo de la gráfica.

-

Utilizando Paint para abrir el pantallazo de la gráfica, ubique los doce (16) rectángulos que representan gráficamente la aproximación del área bajo la curva 𝑓(𝑥).

iii.

Calcular la integral definida utilizando Geogebra y comparar el resultado con respecto a la aproximación que obtuvo utilizando la suma de Riemann con n= 8 y n=16.

Ejercicio e

Utilizar la definición de Suma de Riemann para hallar una aproximación del área bajo la curva de la función 𝑓(𝑥) = 𝐶𝑜𝑠(𝑥) + 1⁡en el intervalo [-2,2], en donde use una partición de n=6. ∆𝑥 =

𝑏 − 𝑎 2 − (−2) 4 = = = 0.67 𝑛 6 6

Ahora calculamos (𝑥𝑖 ) 𝑥𝑖 = 𝑎 + 𝑖(∆𝑥) 𝑥1 = −2 + (0.67) = −1.33 𝑥2 = −2 + 2(0.67) = −0.8 𝑥3 = −2 + 3(0.67) = 0.01 𝑥4 = −2 + 4(0.67) = 0.68 𝑥5 = −2 + 5(0.67) = 1.35 𝑥6 = −2 + 6(0.67) = 2.02 𝑛

∑ 𝑓 (𝑥𝑖 )∆ 𝑖=1 6

∑ 𝑓 (𝑥𝑖 )∆= 𝑓(−1.33)0.67 + 𝑓(−0.8)0.67 + 𝑓(0.01)0.67 + 𝑓(0.68)0.67 𝑖=1

+ 𝑓(1.35)0.67 + 𝑓(2.02)0.67 Evaluamos las funciones para reemplazar términos⁡𝑓(𝑥) = 2𝑥 − 6 𝑓(𝑥) = 𝐶𝑜𝑠(𝑥) + 1 = 𝑓(−1.33) = 𝐶𝑜𝑠(−1.33) + 1 = −0.32 𝑓(𝑥) = 𝐶𝑜𝑠(𝑥) + 1 = 𝑓(−0.8) = 𝐶𝑜𝑠(−0.8) + 1 = 0.21 𝑓(𝑥) = 𝐶𝑜𝑠(𝑥) + 1 = 𝑓(0.01) = 𝐶𝑜𝑠(0.01) + 1 = 1.01

𝑓(𝑥) = 𝐶𝑜𝑠(𝑥) + 1 = 𝑓(0.68) = 𝐶𝑜𝑠(0.68) + 1 = 1.67 𝑓(𝑥) = 𝐶𝑜𝑠(𝑥) + 1 = 𝑓(1.35) = 𝐶𝑜𝑠(1.35) + 1 = 2.34 𝑓(𝑥) = 𝐶𝑜𝑠(𝑥) + 1 = 𝑓(2.02) = 𝐶𝑜𝑠(2.02) + 1 = 2.99 6

∑ 𝑓 (𝑥𝑖 )∆= 𝑓(−0.32)0.67 + 𝑓(0.21)0.67 + 𝑓(1.01)0.67 + 𝑓(1.67)0.67 + 𝑓(2.34)0.67 𝑖=1

+ 𝑓(2.99)0.67 6

∑ 𝑓 (𝑥𝑖 )∆= (−0.21) + 0.14 + 0.68 + 1.12 + 1.57 + 2.00 𝑖=1 6

∑ 𝑓 (𝑥𝑖 )∆= 5.3 𝑖=1

Siga los siguientes pasos: -

Graficar la función 𝑓(𝑥) en Geogebra.

-

Tome un pantallazo de la gráfica.

-

Utilizando Paint para abrir el pantallazo de la gráfica, ubique los seis (6) rectángulos que representan gráficamente la aproximación del área bajo la curva 𝑓(𝑥).

Utilizar la definición de Suma de Riemann para hallar una aproximación del área bajo la curva de la función 𝑓(𝑥) = 𝐶𝑜𝑠(𝑥) + 1 en el intervalo [-2,2], en donde use una partición de n=12 ∆𝑥 =

𝑏 − 𝑎 2 − (−2) 4 = = = 0.67 𝑛 6 6

Ahora calculamos (𝑥𝑖 ) 𝑥𝑖 = 𝑎 + 𝑖(∆𝑥) 𝑥1 = −2 + (0.67) = −1.33 𝑥2 = −2 + 2(0.67) = −0.8 𝑥3 = −2 + 3(0.67) = 0.01 𝑥4 = −2 + 4(0.67) = 0.68 𝑥5 = −2 + 5(0.67) = 1.35 𝑥6 = −2 + 6(0.67) = 2.02 𝑥7 = −2 + 7(0.67) = 2.69 𝑥8 = −2 + 8(0.67) = 3.36

𝑥9 = −2 + 9(0.67) = 4.03 𝑥10 = −2 + 10(0.67) = 4.7 𝑥11 = −2 + 11(0.67) = 5.37 𝑥12 = −2 + 12(0.67) = 6.04 𝑛

∑ 𝑓 (𝑥𝑖 )∆ 𝑖=1 6

∑ 𝑓 (𝑥𝑖 )∆= 𝑓(−1.33)0.67 + 𝑓(−0.8)0.67 + 𝑓(0.01)0.67 + 𝑓(0.68)0.67 𝑖=1

+ 𝑓(1.35)0.67 + 𝑓(2.02)0.67 + 𝑓(2.69)0.67 + 𝑓(3.36)0.67 + 𝑓(4.03)0.67 + 𝑓(4.7)0.67 + 𝑓(5.37)0.67 + 𝑓(6.04)0.67 Evaluamos las funciones para reemplazar términos⁡𝑓(𝑥) = 2𝑥 − 6 𝑓(𝑥) = 𝐶𝑜𝑠(𝑥) + 1 = 𝑓(−1.33) = 𝐶𝑜𝑠(−1.33) + 1 = −0.32 𝑓(𝑥) = 𝐶𝑜𝑠(𝑥) + 1 = 𝑓(−0.8) = 𝐶𝑜𝑠(−0.8) + 1 = 0.21 𝑓(𝑥) = 𝐶𝑜𝑠(𝑥) + 1 = 𝑓(0.01) = 𝐶𝑜𝑠(0.01) + 1 = 1.01 𝑓(𝑥) = 𝐶𝑜𝑠(𝑥) + 1 = 𝑓(0.68) = 𝐶𝑜𝑠(0.68) + 1 = 1.67 𝑓(𝑥) = 𝐶𝑜𝑠(𝑥) + 1 = 𝑓(1.35) = 𝐶𝑜𝑠(1.35) + 1 = 2.34 𝑓(𝑥) = 𝐶𝑜𝑠(𝑥) + 1 = 𝑓(2.02) = 𝐶𝑜𝑠(2.02) + 1 = 2.99 𝑓(𝑥) = 𝐶𝑜𝑠(𝑥) + 1 = 𝑓(2.69) = 𝐶𝑜𝑠(2.69) + 1 = 3.66 𝑓(𝑥) = 𝐶𝑜𝑠(𝑥) + 1 = 𝑓(3.36) = 𝐶𝑜𝑠(3.36) + 1 = 4.33 𝑓(𝑥) = 𝐶𝑜𝑠(𝑥) + 1 = 𝑓(4.03) = 𝐶𝑜𝑠(4.03) + 1 = 4.99

𝑓(𝑥) = 𝐶𝑜𝑠(𝑥) + 1 = 𝑓(4.7) = 𝐶𝑜𝑠(4.7) + 1 = 5.65 𝑓(𝑥) = 𝐶𝑜𝑠(𝑥) + 1 = 𝑓(5.37) = 𝐶𝑜𝑠(5.37) + 1 = 6.32 𝑓(𝑥) = 𝐶𝑜𝑠(𝑥) + 1 = 𝑓(6.04) = 𝐶𝑜𝑠(6.04) + 1 = 6.98 6

∑ 𝑓 (𝑥𝑖 )∆= 𝑓(−0.32)0.67 + 𝑓(0.21)0.67 + 𝑓(1.01)0.67 + 𝑓(1.67)0.67 + 𝑓(2.34)0.67 𝑖=1

+ 𝑓(2.99)0.67 + 𝑓(3.66)0.67 + 𝑓(4.33)0.67 + 𝑓(4.99)0.67 + 𝑓(5.65)0.67 + 𝑓(6.32)0.67 + 𝑓(6.98)0.67 6

∑ 𝑓 (𝑥𝑖 )∆= (−0.21) + 0.14 + 0.68 + 1.12 + 1.57 + 2.00 + 2.45 + 2.90 + 3.34 + 3.78 𝑖=1

+ 4.23 + 4.68 6

∑ 𝑓 (𝑥𝑖 )∆= 26.68 𝑖=1

Siga los siguientes pasos: -

Graficar la función 𝑓(𝑥) en Geogebra.

-

Tome un pantallazo de la gráfica.

-

Utilizando Paint para abrir el pantallazo de la gráfica, ubique los doce (12) rectángulos que representan gráficamente la aproximación del área bajo la curva 𝑓(𝑥).

-

Calcular la integral definida utilizando Geogebra y comparar el resultado con respecto a la aproximación que obtuvo utilizando la suma de Riemann con n= 6 y n=12. Grafica de la integral definida cuando n=6

Grafica de la integral definida cuando n=12

Tipo de ejercicios 3 – Teorema de integración. Ejercicio a. a- Desarrollar los ejercicios seleccionados derivando 𝐹′(𝑥) de las siguientes funciones. 𝑠𝑒𝑛⁡𝑥

𝑓(𝑥) = ∫ cos 𝑥⁡

𝑑𝑡 1 + √1 − 𝑡

Aplicamos integración por sustitución u=1-t 𝑢=1 𝑑𝑢 = −1 −𝑑𝑢 = 1 𝑠𝑒𝑛(𝑥)

=∫

1 1 + √𝑢

𝑐𝑜𝑠𝑥

− 𝑑𝑢

Sacamos la constante 𝑠𝑒𝑛𝑥

1

= −∫

1 + √𝑢

𝑐𝑜𝑠𝑥

𝑑𝑢

Aplicamos integración por sustitución v=1+√𝑢 𝑣 = 1 + √𝑢 1

𝑑𝑣 = 1 + (𝑢)2 =

1 2√𝑢

2√𝑢⁡𝑑𝑣 = 1 2(𝑣 − 1)𝑑𝑣

𝑆𝑒𝑛⁡𝑥⁡

= −∫ cos 𝑥

𝑆𝑒𝑛⁡𝑥⁡

= −∫ cos 𝑥

2√𝑢 𝑑𝑣 𝑣

2(𝑣 − 1) 𝑑𝑣 𝑣

𝑆𝑒𝑛⁡𝑥⁡

= −2 ∫ cos 𝑥

𝑣−1 𝑑𝑣 𝑣

𝑣−1 r 𝑣

Expandi

Aplicamos propiedad de fraccionario:

𝑆𝑒𝑛⁡𝑥⁡

= −2 ∫ cos 𝑥

𝑣−1 𝑣 1 𝑣−1 𝑣 1 1 = − 𝑑𝑣 = = − 𝑑𝑣 = 1 − 𝑑𝑣 𝑣 𝑣 𝑣 𝑣 𝑣 𝑣 𝑣 𝑆𝑒𝑛⁡𝑥⁡

= −2 ∫ cos 𝑥 𝑆𝑒𝑛⁡𝑥⁡

= −2 ∫ cos 𝑥

𝑣 1 − 𝑑𝑣 𝑣 𝑣

𝑣−1 𝑣 1 1 ⁡𝑑𝑣 = − 𝑑𝑣 = 1 − 𝑑𝑣 𝑣 𝑣 𝑣 𝑣 𝑆𝑒𝑛⁡𝑥⁡

= −2 ∫ cos 𝑥

𝑣 1 − 𝑑𝑣 = 𝑣 𝑣

𝑆𝑒𝑛⁡𝑥⁡

= −2 ∫ cos 𝑥

1 1 − 𝑑𝑣 𝑣

Aplicar regal de suma

𝑆𝑒𝑛⁡𝑥⁡

𝑓(𝑥) = −2 ∫

𝑆𝑒𝑛⁡𝑥⁡

1 − 𝑑𝑣 − ∫

cos 𝑥

cos 𝑥

1 𝑑𝑣 𝑣

𝑆𝑒𝑛⁡𝑥⁡

𝑓(𝑥) = −2(𝑣 − 𝑙𝑛|𝑣)| ∫ cos 𝑥 𝑆𝑒𝑛⁡𝑥⁡

𝑓(𝑥) = −2(1 + √𝑢 − 𝑙𝑛|1 + √𝑢)| ∫ cos 𝑥 𝑆𝑒𝑛⁡𝑥⁡

𝑓(𝑥) = −2(1 + √𝑢 − 𝑙𝑛|1 + √𝑢)| ∫ cos 𝑥

Solucion de la integral y la evaluamos de sen(x) hasta cos(x) 𝑆𝑒𝑛⁡𝑥⁡

𝑓(𝑥) = −2(1 + √1 − 𝑡 − 𝑙𝑛|1 + √1 − 𝑡)| ∫ cos 𝑥

𝑓(𝑥) = −2(1 + √1 − 𝑠𝑒𝑛𝑥 − 𝑙𝑛|1 + √1 − 𝑠𝑒𝑛𝑥)| − 2(−2(1 + √1 − 𝑐𝑜𝑠𝑥 − 𝑙𝑛|1 + √1 − 𝑐𝑜𝑠𝑥)| 𝑓(𝑥) = −2(1 + √1 − 𝑠𝑒𝑛𝑥 − 𝑙𝑛|1 + √1 − 𝑠𝑒𝑛𝑥)| + 2(1 + √1 − 𝑐𝑜𝑠𝑥 − 𝑙𝑛|1 + √1 − 𝑐𝑜𝑠𝑥)|

Ejercicio b. 𝑥3

𝐹(𝑥) = ∫ 𝑆𝑒𝑛(𝑡 2 )𝑑𝑡 𝑥

𝑇𝑟𝑎𝑏𝑎𝑗𝑎𝑚𝑜𝑠⁡𝑐𝑜𝑛⁡𝑙𝑎⁡𝑒𝑥𝑝𝑟𝑒𝑠𝑖ó𝑛⁡𝑑𝑒𝑙⁡𝑡𝑒𝑜𝑟𝑒𝑚𝑎⁡𝑓𝑢𝑛𝑑𝑎𝑚𝑒𝑛𝑡𝑎𝑙⁡𝑑𝑒𝑙⁡𝑐á𝑙𝑐𝑢𝑙𝑜: 𝑏(𝑥) 𝑑 ⁡∫ 𝑓(𝑡)𝑑𝑡 = 𝑓(𝑏(𝑥)). 𝑏 ′ (𝑥) − 𝑓(𝑎(𝑥)). 𝑎′ (𝑥) 𝑑𝑥 𝑎(𝑥) 𝑎(𝑥) = 𝑥

𝑏(𝑥) = 𝑥 3 𝑓(𝑡) = 𝑠𝑒𝑛𝑡 2 𝐴ℎ𝑜𝑟𝑎⁡𝑟𝑒𝑒𝑚𝑝𝑙𝑎𝑧𝑎𝑚𝑜𝑠: 𝑠𝑒𝑛(𝑥 3 )2 × 3𝑥 2 − 𝑠𝑒𝑛(𝑥)2 = 3𝑥 2 𝑠𝑒𝑛𝑥 5 − 𝑠𝑒𝑛𝑥 2

Ejercicio c. Sea 𝑓(𝑥)=∫ 𝑓𝑥⁡⁡𝑑𝑥⁡ se tiene : 𝑓(𝑥)=𝑑𝑓(𝑥)⁡⁡ = 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥

Desarrollar los ejercicios seleccionados derivando 𝑓 ´ (𝑥)de las siguientes funciones

𝑥2

𝑓(𝑥) =∫𝑦 𝑡(3 + 𝑡)𝑑𝑡 = (3𝑡 + 𝑡 2 ⁡)𝑑𝑡⁡ 2

Aplicando la propiedad distributiva 𝑥2

𝑥2

𝑓(𝑥) =∫𝑦 3𝑡⁡𝑑𝑡 + ∫𝑦 𝑡 2 𝑑𝑡⁡ 2

2

𝑥 𝑛+1

Recordando que : ∫ 𝑥 𝑛 = 𝑛+1 entonces : 𝑓 𝑏

𝑡2

𝑥2

𝑡3

𝑥3

(𝑥)=3⁡( ) ∫𝑥 +⁡( )⁡∫𝑥⁄ 2 3 2 2

Recordando: ∫𝑎 𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑎) − 𝑓(𝑓(𝑏) entonces:

3

𝑥

1

𝑥

𝑓(𝑥) = 2 ([𝑥 2 ]2 − [2]2 ) + 3 ([𝑥 2 ]3 − [2]3 ) 3

3

3

𝑥6 3

F(x)=2 𝑥 4 − 2 ×

F(x)=2 𝑥 4 −

𝑥2 4

1

1

+ 3 𝑥6 − 3 ×

𝑥3 8

𝑥3

− 24

Organizando

𝑓(𝑥) =

−𝑥 6 3 4 𝑥 3 3 2 + 𝑥 − − 𝑥 3 2 24 8

Luego la derivada de de la función 𝑓 ´ (𝑥)𝑒𝑠⁡ 𝑓 ´ (𝑥) =

𝑑𝑓(𝑥) 𝑑 −𝑥 6 3 4 𝑥 3 3 2 = ( + 𝑥 − − 𝑥 ) 𝑑𝑥 𝑑𝑥 3 2 24 8

−6𝑥 5 3 3 3𝑥 2 3 𝑓 ´ (𝑥) = ( + 4𝑥 − − 2𝑥) 3 2 24 8 𝑥 22 3 𝑥 3 2 𝑓 ´´(𝑥) = −−2𝑥 55+ 6𝑥 33− 𝑥 − 3 = 𝑥(2𝑥 44+ 6𝑥𝑥 2 − 𝑥− 3) 𝑓 (𝑥) = −−2𝑥 + 6𝑥 − 8 −4 = 𝑥(2𝑥 + 6 −8 −4 ) 8 4 8 4

Ejercicio d. 𝑥

1 𝑑𝑡 2 1/𝑥 1 − 𝑡

𝐹(𝑥) = ∫ Llevamos la integral a la forma 𝑢(𝑥)

∫

𝑓(𝑡) 𝑑𝑡

𝑎 𝑎

𝑥 1/𝑥 𝑥 1 1 1 1 𝑑𝑡 + ∫ 𝑑𝑡 = − ∫ 𝑑𝑡 + ∫ 𝑑𝑡 2 2 2 2 1−𝑡 1/𝑥 1 − 𝑡 𝑎 1−𝑡 𝑎 𝑎 1−𝑡

∫

Ahora aplicamos:

𝑢(𝑥) 𝑑 𝑑𝑔(𝑥) (∫ 𝑓(𝑡)𝑑𝑡) = 𝑓(𝑔(𝑥)) 𝑑𝑥 𝑎 𝑑𝑥

Y ahora tenemos 𝑢(𝑥) 𝑑 −1 1 −1 + 𝑥 −2 (∫ 𝑓(𝑡)𝑑𝑡) = + = (1 − 𝑥 −2 )𝑥 −2 1 − 𝑥 2 (1 − 𝑥 −2 )𝑥 −2 𝑑𝑥 𝑎

Ejercicio e Desarrollar los ejercicios seleccionados derivando 𝐹′(𝑥) de las siguientes funciones 2√𝑥

𝐹(𝑥) = ∫

(2 + 𝑡)𝑑𝑡

√𝑥

2√𝑥 𝑑 (𝑓𝑥 = ∫ 2 + 𝑡𝑑𝑡) 𝑑𝑥 √𝑥

2√𝑥

∫

2 + 𝑡𝑑𝑡 = 2√𝑥 + 2𝑥 −

√𝑥

2√𝑥

∫

2 + 𝑡𝑑𝑡

√𝑥

2√𝑥

=∫

2√𝑥

2𝑑𝑡 + ∫

√𝑥

𝑡𝑑𝑡

√𝑥

2√𝑥

∫

2𝑑𝑡 = 2√𝑥

√𝑥

2√𝑥

∫ √𝑥

𝑡𝑑𝑡 = 2𝑥 −

𝑥 2

𝑥 2

= 2√𝑥 + 2𝑥 −

𝑥 2

𝑑 𝑥 {𝑓𝑥 = (2√𝑥 + 2𝑥 − )} 𝑑𝑥 2 𝑑 𝑥 {𝑓𝑥 = (2√𝑥 + 2𝑥 − )} = 𝑓(3𝑥 + 3√𝑥) 𝑑𝑥 2 = 𝑓(3𝑥 + 3√𝑥) Tipo de ejercicios 4 – Integral definida. Desarrollar el ejercicio que ha elegido Utilizar el segundo teorema fundamental del cálculo.

Ejercicio a. Calcular la siguiente integral definida: 2

𝑥 3 − 27 ∫ 𝑑𝑥 −4 𝑥 − 3 Factorizar (𝒙𝟑 − 𝟐𝟕) = 𝑥 3 + 33 = (𝑥 − 3)(𝑥 2 + 3𝑥 + 32 ) = ⁡ (𝑥 − 3)(𝑥 2 + 3𝑥 + 9) Eliminamos términos comunes: :

(𝑥 − 3)(𝑥 2 + 3𝑥 + 9) = (𝑥 2 + 3𝑥 + 9) 𝑥−3

Aplicar regla de la suma:

2

2

2

2

∫ 𝑥 𝑑𝑥 + ∫ 3𝑥𝑑𝑥 + ∫ 9𝑑𝑥 −4

−4

−4

2

Aplicamos regla de la potencia a ∫−4 𝑥2 𝑥 2+1 𝑥3 = 2+1 3 Reemplazamos para calcular los limites 𝑥3 2 | | 3 −4

𝑙𝑖𝑚𝑥 → −4 + (

𝑥3 (−4)3 64 )= =− 3 3 3

𝑥3 (2)3 8 𝑙𝑖𝑚𝑥 → 2 − ( ) = = 3 3 3

=

8 64 8 64 8 + 64 72 − (− ) = + = = = 24 3 3 3 3 3 3

2

Aplicamos regla de la potencia a ∫−4 3𝑥𝑑𝑥 𝑥1+1 𝑥2 3( ) = 3( ) 1+1 2 Reemplazamos para calcular los limites |

𝑥2 2 | 2 −4

𝑥2 (−4)2 16 𝑙𝑖𝑚𝑥 → −4 + ( ) = = =8 2 2 2

(2)2 4 𝑥2 𝑙𝑖𝑚𝑥 → 2 − ( ) = = =2 2 2 2

= 2 − 8 = −6 = 3(−6) = −18 2

Reemplazamos para calcular los limites∫−4 9𝑑𝑥 |9𝑥|

2 −4

𝑙𝑖𝑚𝑥 → −4 + (9𝑥) = 9(−4) = −36

𝑙𝑖𝑚𝑥 → 2 − (9𝑥) = 9(2) = 18

= 18 − (−36) = 18 + 36 = 54

Resultado de la integral

= 24 − 18 + 54 = 60

Siga los siguientes pasos: -

- Graficar la función que acaba de integrar en Geogebra. Tome un pantallazo de la gráfica. Utilizando Paint para abrir el pantallazo de la gráfica, coloree la región de la cual acaba de hallar el área con la integral definida

Ejercicio b. Calcular la siguiente integral definida:

4

∫ |𝑥 2 − 5𝑥 + 6|𝑑𝑥 1

𝑆𝑒⁡𝑒𝑙𝑖𝑚𝑖𝑛𝑎𝑛⁡𝑎𝑏𝑠𝑜𝑙𝑢𝑡𝑜𝑠:

2

3 2

4 2

= ∫ 𝑥 − 5𝑥 + 6𝑑𝑥 + ∫ −𝑥 + 5𝑥 − 6𝑑𝑥 + ∫ 𝑥 2 − 5𝑥 + 6𝑑𝑥 1

2

3

𝐴𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎𝑚𝑜𝑠⁡𝑙𝑎⁡𝑟𝑒𝑔𝑙𝑎⁡𝑑𝑒⁡𝑙𝑎⁡𝑠𝑢𝑚𝑎: 2

∫ 𝑥 2 − 5𝑥 + 6𝑑𝑥 1

2

2

2

2

= ∫ 𝑥 𝑑𝑥 − ∫ 5𝑥𝑑𝑥 + ∫ 6𝑑𝑥 1

1

1

∫ 𝑥 2 − 5𝑥 + 6𝑑𝑥 =

5 6

2 1

𝑎𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎𝑟⁡𝑛𝑢𝑒𝑣𝑎𝑚𝑒𝑛𝑡𝑒⁡𝑙𝑎⁡𝑟𝑒𝑔𝑙𝑎⁡𝑑𝑒⁡𝑙𝑎⁡𝑠𝑢𝑚𝑎: 3

∫ −𝑥 2 + 5𝑥 − 6𝑑𝑥 2 3

3

3

2

= ∫ 𝑥 𝑑𝑥 − ∫ 5𝑥𝑑𝑥 + ∫ 6𝑑𝑥 2

2

2

3

5 1 = 6 6 2 𝑎𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎𝑟⁡𝑛𝑢𝑒𝑣𝑎𝑚𝑒𝑛𝑡𝑒⁡𝑙𝑎⁡𝑟𝑒𝑔𝑙𝑎⁡𝑑𝑒⁡𝑙𝑎⁡𝑠𝑢𝑚𝑎: ∫ 𝑥 2 − 5𝑥 + 6𝑑𝑥 = 4

∫ 𝑥 2 + 5𝑥 − 6𝑑𝑥 3 4

4

4

2

= ∫ 𝑥 𝑑𝑥 − ∫ 5𝑥𝑑𝑥 + ∫ 6𝑑𝑥 4

3

3

⁡∫ 𝑥 2 − 5𝑥 + 6𝑑𝑥 = 3

3

5 6

𝐴ℎ𝑜𝑟𝑎⁡ℎ𝑐𝑒𝑚𝑜𝑠⁡𝑠𝑢𝑚𝑎𝑠⁡𝑑𝑒⁡𝑓𝑟𝑎𝑐𝑐𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠:

=

5 1 5 + + 6 6 6

=

11 6

Siga los siguientes pasos: -

Graficar la función que acaba de integrar en Geogebra. Tome un pantallazo de la gráfica.

Utilizando Paint para abrir el pantallazo de la gráfica, coloree la región de la cual acaba de hallar el área con la integral definida.

Ejercicio d. Calcular la siguiente integral definida:

5

∫ ( 1

2𝑡 2 + 𝑡 2 √𝑡 ⁡ − 1 ) 𝑑𝑡 𝑡2

Separamos cada término de la integral 5

∫ ( 1

5 5 2𝑡 2 + 𝑡 2 √𝑡 ⁡ − 1 2𝑡 2 𝑡 2 √𝑡 1 1 ) 𝑑𝑡 = ∫ + − 𝑑𝑡 = ∫ 2 + √𝑡 − 2 𝑑𝑡 2 2 2 2 𝑡 𝑡 𝑡 𝑡 1 𝑡 1

Y resolvemos cada integral por separado 1 2 35 5 5 ∫ 2𝑑𝑡 + ∫ √𝑡𝑑𝑡 − ∫ 2 𝑑𝑡 = 2𝑡1 + 𝑡 2 + 𝑡 −11 3 1 1 1 1 𝑡 2 3 2 3 = (2 ∗ 5 − 2 ∗ 1) + ( 52 − 12 ) + (5−1 − 1−1 ) = 13.9868 3 3 5

5

5

Siga los siguientes pasos: -

Graficar la función que acaba de integrar en Geogebra.

-

Tome un pantallazo de la gráfica.

-

Utilizando Paint para abrir el pantallazo de la gráfica, coloree la región de la cual acaba de hallar el área con la integral definida.

Ejercicio e. Calcular la siguiente integral definida, 𝜋

𝑐𝑜𝑠𝑐(𝑥) ∫ ( ) 𝑑𝑥 1 + 𝑐𝑜𝑡 2 (𝑥) 0 𝜋

∫ 0

𝑐𝑜𝑠(𝑐)𝑥 𝑑𝑥 1 + 𝑐𝑜𝑡 2 (𝑥) 𝜋

= cos(𝑐) ∙ ∫ 0

𝑥 𝑑𝑥 1 + 𝑐𝑜𝑡 2 (𝑥)

𝜋

𝑥

= cos⁡(𝑐) ∙ ∫ 0

Simplificar

𝑑𝑥 cos(𝑥) 2

1 + ( sin(𝑥) ) 𝑥

cos(𝑥) 2 1+( ) sin(𝑥)

𝑥𝑠𝑖𝑛2 (𝑥)

: 𝑠𝑖𝑛2 (𝑥)+𝑐𝑜𝑠2 (𝑥)

𝜋

= cos⁡(𝑐) ∙ ∫ 0

𝑥𝑠𝑖𝑛2 (𝑥) 𝑑𝑥 𝑠𝑖𝑛2 (𝑥) + 𝑐𝑜𝑠 2 (𝑥) 𝑥𝑠𝑖𝑛2 (𝑥)

Simplificar𝑠𝑖𝑛2 (𝑥)+𝑐𝑜𝑠2 (𝑥) :⁡𝑥𝑠𝑖𝑛2 (𝑥) 𝜋

= cos(𝑐) ∙ ∫ 𝑥𝑠𝑖𝑛2 (𝑥)𝑑𝑥 0 𝜋

1 1 1 = cos⁡(𝑐) [ (𝑥(2𝑥 − sin(2𝑥)) − 4 ∙ ∫ (𝑥 − 𝑠𝑖𝑛(2𝑥)) 𝑑𝑥] 4 2 2 0 1 1 1 𝑥2 1 ∫ (𝑥 − sin⁡(2𝑥)) 𝑑𝑥 = ( + cos⁡(2𝑥)) 2 2 2 2 4 1 1 𝑥2 1 = cos⁡(𝑐) [ (𝑥(2𝑥 − sin⁡(2𝑥)) − 4 ∙ ∫ ( + cos⁡(2𝑥)))] 4 2 2 4

𝜋

0 𝜋

1

1

𝑥2

1

1

Simplificar cos(𝑐) [4 (𝑥(2𝑥 − 𝑠𝑖𝑛(2𝑥)) − 4 ∙ 2 ( 2 + 4 𝑐𝑜𝑠(2𝑥)))] : cos⁡(𝑐) [8 ((2𝑥 2 − 0⁡⁡

2𝑥𝑠𝑖𝑛(2𝑥) − cos⁡(2𝑥))]

𝜋 0

𝜋 1 2 = cos⁡(𝑐) [ (2𝑥 − 2𝑥𝑠𝑖𝑛(2𝑥) − cos⁡(2𝑥)] 8 0

1

𝜋

2𝜋 2 −1

0

8

Calcular los límites:[8 ((2𝑥 2 − 2𝑥𝑠𝑖𝑛(2𝑥) − cos(2𝑥))] =

= cos⁡(𝑐) (

2𝜋 2 − 1 1 + ) 8 8

1

+8

𝜋2 = cos⁡(𝑐) 4 Siga los siguientes pasos: -

Graficar la función que acaba de integrar en Geogebra.

-

Tome un pantallazo de la gráfica.

-

Utilizando Paint para abrir el pantallazo de la gráfica, coloree la región de la cual acaba de hallar el área con la integral definida.

Tabla links videos explicativos.

Nombre del estudiante.

Ejercicio a sustentar mediante video TIPO 1 TATIANA EJERCICIO ANDREA REYES A TIPO 2 NINÍ JOHANA EJERCICIO SÁNCHEZ B TIPO 3 GILBERTO EJERCICIO TORREJANO C TIPO 4 ANGELA LORENA CIRATA EJERCICIO D ROJAS JESÚS GIOVANNI TIPO 5 EJERCICIO E BERNAL MOGOLLÓN

Link video explicativo

https://www.loom.com/share/f0168ecbdd464345b1dc285ac0244e9a

Tabla de elección de ejercicios. NOMBRE DEL ESTUDIANTE.

Rol a desempeñar.

Grupo de ejercicios a desarrollar.

TATIANA ANDREA REYES

Entregas

El estudiante desarrolla el ejercicio a en todos los 4 Tipos de ejercicios

NINY JHOANA SÁNCHEZ

Evaluador

El estudiante desarrolla el ejercicio b en todos los 4 Tipos de ejercicios

GILBERTO TORREJANO

Revisor

El estudiante desarrolla el ejercicio c en todos los 4 Tipos de ejercicios

ANGELA LORENA CIRATA ROJAS

Alertas

El estudiante desarrolla el ejercicio d en todos los 4 Tipos de ejercicios

JESÚS GIOVANNI BERNAL MOGOLLÓN

Compilador

El estudiante desarrolla el ejercicio e en todos los 4 Tipos de ejercicios

BIBLIOGRAFÍA

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Lopez, A. D. (23 de Octubre de 2011). Aplicación de la integral definida (GeoGebra). Obtenido de Youtube: https://www.youtube.com/watch?v=c1TimY3pA90 Velásquez Bastidas, W. (2014). Cálculo Integral: la integral indefinida y métodos de integración. Editorial Unimagdalena.