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PROGRAMACIÓN LINEAL TAREA 2. DUALIDAD Y ANALISIS POST-OPTIMO

TUTOR: JOSE DANIEL GOMEZ PRESENTADO POR: LEONARDO SALDAÑA ALEXANDER SANABRIA OSCAR IBARRA VANESA ORTIZ

PROGRAMA: INGENIERIA DE SISTEMAS

𝑀𝑎𝑥𝑖𝑚𝑖𝑧𝑎𝑟 𝑍− 〖 90000𝑋 〗 _1− 〖 110000𝑋 〗 _2− 〖 85000𝑋 〗 _3+0𝑆_1+ 〖 0𝑆 〗 _2+ 〖 0𝑆

UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA UNAD BARRANCABERMEJA, SANTANDER 2020

SOLUCIÓN EJERCICIO 1. DUALIDAD A UN PROBLEMA DE MAXIMIZACIÓN

Información de la situación modelo:

Ingreso ($) PVC (t) Fibra de Vidrio (t) Otros Materiales (t)

Piso Clase A Piso Clase B Piso Clase C 90000 110000 85000 Disponibilidad 100 140 150 8500 80 90 100 7000 100 110 120 7500

El problema como modelo de programación lineal: Funcion Objetivo:

Sujeto a:

𝑀𝑎𝑥𝑖𝑚𝑖𝑧𝑎𝑟 𝑍= 〖 90000𝑋 〗 _1+ 〖 110000𝑋 〗 _2+ 〖 85000𝑋 〗 _3

〖 100𝑋 〗 _1+ 〖 140𝑋 〗 _2+ 〖 150𝑋 〗 _3≤8500 〖 80𝑋 〗 _1+ 〖 90𝑋 〗 _2+ 〖 100𝑋 〗 _3≤7000 〖 100𝑋 〗 _1+ 〖 110𝑋 〗 _2+ 〖 120𝑋 〗 _3≤7500 𝑋_1,𝑋_2 〖 ,𝑋 〗 _3≥0

Forma estandar del problema primal: Funcion Objetivo:

Sujeto a: 𝑀𝑎𝑥𝑖𝑚𝑖𝑧𝑎𝑟 𝑍− 〖 90000𝑋 〗 _1− 〖 110000𝑋 〗 _2− 〖 85000𝑋 〗 _3+0𝑆_1+ 〖 0𝑆 〗 _2+ 〖 0𝑆 〗 _3=0

〖 100𝑋 〗 _1+ 〖 140𝑋 〗 _2+ 〖 150𝑋 〗 _3+𝑆_1=8500 〖 80𝑋 〗 _1+ 〖 90𝑋 〗 _2+ 〖 100𝑋 〗 _3+𝑆_2=7000 〖 100𝑋 〗 _1+ 〖 110𝑋 〗 _2+ 〖 120𝑋 〗 _3+𝑆_3=7500 𝑋_1,𝑋_2 〖 ,𝑋 〗 _3,𝑆_1,𝑆_2,𝑆_3≥0

Solución del problema primal por el método simplex primal en hoja de cálculo (Excel): Tabla inicial: Variables Básicas Z S1 S2 S3

Z 1 0 0 0

Valor mas Negativo

X1 -90000 100 80 100

Variables No Básicas X2 X3 S1 -110000 -85000 0 140 150 1 90 100 0 110 120 0

S2 0 0 1 0

S3 0 0 0 1

-90000

-110000 V. Entra

X1 -11428.5714 0.71428571 15.7142857 21.4285714

X2 0 1 0 0

Variables No Básicas X3 S1 32857.1429 785.714286 1.07142857 0.00714286 3.57142857 -0.64285714 2.14285714 -0.78571429

S2 0 0 1 0

S3 0 0 0 1

X2 0 1 0 0

Variables No Básicas X3 S1 34000 366.666667 1 0.03333333 2 -0.06666667 0.1 -0.03666667

S2 0 0 1 0

S3 533.333333 -0.03333333 -0.73333333 0.04666667

Solución 0 8500 7000 7500

Razón mas Pequeña 60.7142857 77.7777778 68.1818182

V. Sale

-85000

Iteración 1: Variables Básicas Z X2 S2 S3

Z 1 0 0 0

Valor mas Negativo

Solución

Razón mas Pequeña 6678571.43 60.7142857 85 1535.71429 97.7272727 821.428571 38.3333333 V. Sale

-11428.5714 V. Entra

Iteración 2: Variables Básicas Z X2 S2 〗 _2+ 〖 0𝑆 〗 _3=0 X1

Z 1 0 0 0

X1 0 0 0 1

Solución 7116666.67 33.3333333 933.333333 38.3333333

Solución del problema primal en complemento Solver (Excel):

Funcion Objetivo: 𝑀𝑎𝑥𝑖𝑚𝑖𝑧𝑎𝑟 𝑍= 〖 90000𝑋 〗 _1+ 〖 110000𝑋 〗 _2+ 〖 85000𝑋 〗 _3 Sujeto a: 〖 100𝑋 〗 _1+ 〖 140𝑋 〗 _2+ 〖 150𝑋 〗 _3≤8500 〖 80𝑋 〗 _1+ 〖 90𝑋 〗 _2+ 〖 100𝑋 〗 _3≤7000 〖 100𝑋 〗 _1+ 〖 110𝑋 〗 _2+ 〖 120𝑋 〗 _3≤7500 𝑋_1,𝑋_2 〖 ,𝑋 〗 _3≥0 FUNCION OBJETIVO MAX Z X1 X2 38.3333333 33.3333333 90000 110000

7116666.67 X3 0 85000

RESTRICCIONES 100 80 100

140 90 110

LADO IZQ 8500 6066.66667 7500

150 100 120

≤ ≤ ≤

LADO DER 8500 7000 7500

INTERPRETACIÓN: Para maximizar sus utilidades la empresa pisos PVC de Colombia S.A. debe comercializar asi: X1 Piso Clase A 38.3333333 X2 Piso Clase B 33.3333333 X3 Piso Clase C 0 Asi obtendra una ganancia de :

7116666.67

Sea el problema primal:

Funcion Objetivo: 𝑀𝑎𝑥𝑖𝑚𝑖𝑧𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑍= 〖 90000𝑋 〗 _1+ 〖 110000𝑋 〗 _2+ 〖 85000𝑋 〗 _3 Sujeto a: 〖 100𝑋 〗 _1+ 〖 140𝑋 〗 _2+ 〖 150𝑋 〗 _3≤8500 〖 80𝑋 〗 _1+ 〖 90𝑋 〗 _2+ 〖 100𝑋 〗 _3≤7000 〖 100𝑋 〗 _1+ 〖 110𝑋 〗 _2+ 〖 120𝑋 〗 _3≤7500 𝑋_1,𝑋_2 〖 ,𝑋 〗 _3≥0

Entonces el problema Dual es: Funcion Objetivo: 𝑀𝑖𝑛𝑖𝑚𝑖𝑧𝑎𝑟 𝑊= 〖 8500𝑌 〗 _1+ 〖 7000𝑌 〗 _2+ 〖 7500𝑌 〗 _3 Sujeto a: 〖 100𝑌 〗 _1+ 〖 80𝑌 〗 _2+ 〖 100𝑌 〗 _3≥90000 〖 140𝑌 〗 _1+ 〖 90𝑌 〗 _2+ 〖 110𝑌 〗 _3≥110000 〖 150𝑌 〗 _1+ 〖 100𝑌 〗 _2+ 〖 120𝑌 〗 _3≥85000 𝑌_1,𝑌_2 〖 ,𝑌 〗 _3 𝐼𝑟𝑟𝑒𝑠𝑡𝑟𝑖𝑐𝑡𝑎𝑠

Forma estandar del problema Dual: Funcion Objetivo: 𝑀𝑖𝑛𝑖𝑚𝑖𝑧𝑎𝑟 𝑊− 〖 8500𝑌 〗 _1− 〖 7000𝑌 〗 _2− 〖 7500𝑌 〗 _3+0𝑆_1+0𝑆_2+0𝑆_3=0 Sujeto a: 〖− 100𝑌 〗 _1− 〖 80𝑌 〗 _2− 〖 100𝑌 〗 _3+𝑆_1=−90000 〖− 140𝑌 〗 _1− 〖 90𝑌 〗 _2− 〖 110𝑌 〗 _3+𝑆_2=−110000 〖− 150𝑌 〗 _1− 〖 100𝑌 〗 _2− 〖 120𝑌 〗 _3+𝑆_3=−85000 𝑌_1,𝑌_2 〖 ,𝑌 〗 _3,𝑆_1,𝑆_2,𝑆_3 𝐼𝑟𝑟𝑒𝑠𝑡𝑟𝑖𝑐𝑡𝑎𝑠

Solución del problema Dual por el método simplex primal en hoja de cálculo (Excel:) Tabla inicial: Variables Básicas W S1 S2 S3

W 1 0 0 0

Razón más pequeña

Y1 -8500 -100 -140 -150

Y2 -7000 -80 -90 -100

Variables No Básicas Y3 -7500 -100 -110 -120

Solución

S1 0 1 0 0

S2 0 0 1 0

S3 0 0 0 1

S1 0 1 0 0

S2 -60.7142857 -0.71428571 -0.00714286 -1.07142857

S3 0 0 0 1

Valor más Negativo 6678571.43 -11428.5714 -11428.5714 V. Sale 785.714286 785.714286 32857.1429 32857.1429

Variables No Básicas Y2 Y3 S1 S2 -933.333333 0 -38.3333333 -33.3333333 0.73333333 1 -0.04666667 0.03333333 0.06666667 0 0.03666667 -0.03333333 -2 0 -0.1 -1

S3 0 0 0 1

7116666.67 533.333333 366.666667 34000

0 -90000 -110000 -85000

Valor más Negativo -90000 -110000 -85000

V. Sale

60.7142857 77.7777778 68.1818182 V. Entra

Iteración 1: Variables Básicas W S1 Y1 S3

W 1 0 0 0

Y1 0 0 1 0

Razón más pequeña

Variables No Básicas Y2 Y3 -1535.71429 -821.428571 -15.7142857 -21.4285714 0.64285714 0.78571429 -3.57142857 -2.14285714

Solución

0 97.7272727 38.3333333 V. Entra

Iteración 2:

Variables Básicas W +0𝑆_1+0𝑆_2+0𝑆_3=0 Y3 Y1 S3

W 1 0 0 0

Y1 0 0 1 0

Solución

Solución del problema dual en complemento Solver (Excel): Funcion Objetivo: 𝑀𝑖𝑛𝑖𝑚𝑖𝑧𝑎𝑟 𝑊= 〖 8500𝑌 〗 _1+ 〖 7000𝑌 〗 _2+ 〖 7500𝑌 〗 _3 Sujeto a: 〖 100𝑌 〗 _1+ 〖 80𝑌 〗 _2+ 〖 100𝑌 〗 _3≥90000 〖 140𝑌 〗 _1+ 〖 90𝑌 〗 _2+ 〖 110𝑌 〗 _3≥110000 〖 150𝑌 〗 _1+ 〖 100𝑌 〗 _2+ 〖 120𝑌 〗 _3≥85000 𝑌_1,𝑌_2 〖 ,𝑌 〗 _3 𝐼𝑟𝑟𝑒𝑠𝑡𝑟𝑖𝑐𝑡𝑎𝑠 FUNCION OBJETIVO MIN W Y1 366.666667 8500

7116666.67

Y2 0 7000

Y3 533.333333 7500

80 90 100

100 110 120

RESTRICCIONES 100 140 150

LADO IZQ 90000 110000 119000

≥ ≥ ≥

LADO DER 90000 110000 85000

EJERCICIO 2. DUALIADAD A UN PROBLEMA DE MINIMIZACIÓN

Información situación modelo:

Costos ($) Pigmento (t) Aglutinante (t) Disolvente (t)

Pintura Tipo 1 Pintura Tipo 2 Pintuta Tipo 3 450000 620000 680000 Disponibilidad 72 28 25 17000 0 35 45 15000 50 30 35 11000

El problema como modelo de programación lineal: Funcion Objetivo: 𝑀𝑖𝑛𝑖𝑚𝑖𝑧𝑎𝑟 𝑍= 〖 450000𝑋 〗 _1+ 〖 620000𝑋 〗 _2+ 〖 680000𝑋 〗 _3 Sujeto a: 〖 72𝑋 〗 _1+ 〖 28𝑋 〗 _2+ 〖 25𝑋 〗 _3≥17000 0𝑋_1+ 〖 35𝑋 〗 _2+ 〖 45𝑋 〗 _3≥15000 〖 50𝑋 〗 _1+ 〖 30𝑋 〗 _2+ 〖 35𝑋 〗 _3≥11000 𝑋_1,𝑋_2 〖 ,𝑋 〗 _3≥0

Forma estandar del problema primal por el metodo simplex primal: Funcion Objetivo: 𝑀𝑖𝑛𝑖𝑚𝑖𝑧𝑎𝑟 𝑍− 〖 450000𝑋 〗 _1− 〖 620000𝑋 〗 _2− 〖 680000𝑋 〗 _3+ 〖 0𝑆 〗 _1+ 〖 0𝑆 〗 _2+ 〖 0𝑆 〗 _3=0 Sujeto a: 〖− 72𝑋 〗 _1− 〖 28𝑋 〗 _2− 〖 25𝑋 〗 _3+𝑆_1=17000 〖 0𝑋 〗 _1− 〖 35𝑋 〗 _2− 〖 45𝑋 〗 _3+𝑆_2=15000 〖− 50𝑋 〗 _1− 〖 30𝑋 〗 _2− 〖 35𝑋 〗 _3+𝑆_3=11000 𝑋_1,𝑋_2 〖 ,𝑋 〗 _(3,) 𝑆_1,𝑆_2,𝑆_3≥0

Solución del problema primal por el método simplex primal en hoja de cálculo (Excel): Tabla Inicial: Variables Básicas Z S1 S2 S3

Z 1 0 0 0

Razon más Pequeña

Variables No Básicas X3 -680000 -25 -45 -35

X1 -450000 -72 0 -50

X2 -620000 -28 -35 -30

6250 V. Entra

22142.85714

S1 0 1 0 0

S2 0 0 1 0

S3 0 0 0 1

S2 0 0 1 0

S3 0 0 0 1

Solución 0 -17000 -15000 -11000

Valor más Negativo -17000 -15000 -11000

V. Sale

27200

Iteración 1: Variables Básicas Z X1 S2 S3

Z 1 0 0 0

X1 0 1 0 0

Razon más Pequeña

Variables No Básicas X2 X3 S1 -445000 -523750 -6250 0.388888889 0.347222222 -0.013888889 -35 -45 0 -18.33333333 -22.84722222 0

Solución

Valor más Negativo 106250000 236.1111111111 236.1111111 -15000 -15000 V. Sale 2586222.222222 2586222.222

12714.28571 11638.88889 V. Entra

2+ 〖 0𝑆 〗 _3=0 Iteración 2: Variables Básicas Z X1 X3 S3

Z 1 0 0 0

X1 0 1 0 0

Variables No Básicas X2 X3 S1 S2 -37638.88889 0 -6250 -11638.88889 0.11882716 0 -0.013888889 0.007716049 0.777777778 1 0 -0.022222222 -0.563271605 0 0 -0.507716049

S3 0 0 0 1

Solución 280833333.3333 120.3703703704 333.3333333333 2593837.962963

Solución del problema primal en complemento Solver (Excel): Funcion Objetivo: 𝑀𝑖𝑛𝑖𝑚𝑖𝑧𝑎𝑟 𝑍= 〖 450000𝑋 〗 _1+ 〖 620000𝑋 〗 _2+ 〖 680000𝑋 〗 _3 Sujeto a: 〖 72𝑋 〗 _1+ 〖 28𝑋 〗 _2+ 〖 25𝑋 〗 _3≥17000 0𝑋_1+ 〖 35𝑋 〗 _2+ 〖 45𝑋 〗 _3≥15000 〖 50𝑋 〗 _1+ 〖 30𝑋 〗 _2+ 〖 35𝑋 〗 _3≥11000 𝑋_1,𝑋_2 〖 ,𝑋 〗 _3≥0

FUNCION OBJETIVO MIN Z X1 120.37037 450000

X2 0 620000

280833333

X3 333.333333333 680000

RESTRICCIONES 72 0 50

28 35 30

25 45 35

LADO IZQ 17000 15000 17685.1852

≥ ≥ ≥

INTERPRETACIÓN: Para minimizar costos las empresa Pinturas de Colombia S.A. debe producir: X1 Pintura Tipo A 120.37037 X2 Pintura Tipo B 0 X3 Pintura Tipo C 333.333333

LADO DER 17000 15000 11000

Sea problema primal: Funcion Objetivo: 𝑀𝑖𝑛𝑖𝑚𝑖𝑧𝑎𝑟 𝑍= 〖 450000𝑋 〗 _1+ 〖 620000𝑋 〗 _2+ 〖 680000𝑋 〗 _3 Sujeto a: 〖 72𝑋 〗 _1+ 〖 28𝑋 〗 _2+ 〖 25𝑋 〗 _3≥17000 0𝑋_1+ 〖 35𝑋 〗 _2+ 〖 45𝑋 〗 _3≥15000 〖 50𝑋 〗 _1+ 〖 30𝑋 〗 _2+ 〖 35𝑋 〗 _3≥11000 𝑋_1,𝑋_2 〖 ,𝑋 〗 _3≥0

Entonces el problema Dual es el siguiente: Funcion Objetivo: Maxi𝑚𝑖𝑧𝑎𝑟 𝑊= 〖 17000𝑌 〗 _1+ 〖 15000𝑌 〗 _2+ 〖 11000𝑌 〗 _3 Sujeto a: 〖 72𝑌 〗 _1+ 〖 0𝑌 〗 _2+ 〖 50𝑌 〗 _3≤450000 〖 28𝑌 〗 _1+ 〖 35𝑌 〗 _2+ 〖 30𝑌 〗 _3≤620000 〖 25𝑌 〗 _1+ 〖 45𝑌 〗 _2+ 〖 35𝑌 〗 _3≤680000 𝑌_1,𝑌_2 〖 ,𝑌 〗 _3 𝐼𝑟𝑟𝑒𝑠𝑡𝑟𝑖𝑐𝑡𝑎𝑠

La forma estandar del problema Dual es: Funcion Objetivo: Maxi𝑚𝑖𝑧𝑎𝑟 𝑊− 〖 17000𝑌 〗 _1− 〖 15000𝑌 〗 _2− 〖 11000𝑌 〗 _3+ 〖 0𝑆 〗 _1+ 〖 0𝑆 〗 _2+ 〖 0𝑆 〗 _3=0 Sujeto a: 〖 72𝑌 〗 _1+ 〖 0𝑌 〗 _2+ 〖 50𝑌 〗 _3+𝑆_1=450000 〖 28𝑌 〗 _1+ 〖 35𝑌 〗 _2+ 〖 30𝑌 〗 _3+𝑆_2=620000 〖 25𝑌 〗 _1+ 〖 45𝑌 〗 _2+ 〖 35𝑌 〗 _3+𝑆_1=680000 𝑌_1,𝑌_2 〖 ,𝑌 〗 _3,𝑆_1,𝑆_2,𝑆_3 𝐼𝑟𝑟𝑒𝑠𝑡𝑟𝑖𝑐𝑡𝑎𝑠

Solución del problema Dual por el método simplex primal en hoja de cálculo (Excel:) Tabla Inicial: Variables Básicas W S1 S2 S3

W 1 0 0 0

Valor más Negativo

Y1 -17000 72 28 25 -17000 V. Entra

Variables No Básicas Y2 Y3 -15000 -11000 0 50 35 30 45 35 -15000

S1 0 1 0 0

S2 0 0 1 0

S3 0 0 0 1

S2 0 0 1 0

S3 0 0 0 1

Solución 0 450000 620000 680000

Razón mas Pequeña 6250 22142.8571 27200

V. Sale

-11000

Iteración 1: Variables Básicas W Y1 S2 S3

W 1 0 0 0

Valor más Negativo

Y1 0 1 0 0

Variables No Básicas Y2 Y3 S1 -15000 805.555556 236.111111 0 0.69444444 0.01388889 35 10.5555556 -0.38888889 45 17.6388889 -0.34722222

0

-15000 V. Entra

Y1 0 1 0 0

Y2 0 0 0 1

Solución

Razón mas Pequeña 106250000 6250 0 445000 12714.2857 523750 11638.8889 V. Sale

805.555556

Iteración 2: Variables Básicas W_3=0 〖 0𝑆 〗 _2+ 〖 0𝑆 〗 Y1 S2 Y2

W 1 0 0 0

Variables No Básicas Y3 S1 6685.18519 120.37037 0.69444444 0.01388889 -3.16358025 -0.11882716 0.39197531 -0.00771605

S2 0 0 1 0

Solución S3 333.333333 280833333 0 6250 -0.77777778 37638.8889 0.02222222 11638.8889

Solución del problema dual en complemento Solver (Excel): Funcion Objetivo: Maxi𝑚𝑖𝑧𝑎𝑟 𝑊= 〖 17000𝑌 〗 _1+ 〖 15000𝑌 〗 _2+ 〖 11000𝑌 〗 _3 Sujeto a: 〖 72𝑌 〗 _1+ 〖 0𝑌 〗 _2+ 〖 50𝑌 〗 _3≤450000 〖 28𝑌 〗 _1+ 〖 35𝑌 〗 _2+ 〖 30𝑌 〗 _3≤620000 〖 25𝑌 〗 _1+ 〖 45𝑌 〗 _2+ 〖 35𝑌 〗 _3≤680000 𝑌_1,𝑌_2 〖 ,𝑌 〗 _3 𝐼𝑟𝑟𝑒𝑠𝑡𝑟𝑖𝑐𝑡𝑎𝑠

FUNCION OBJETIVO MAX W Y1 6250 17000

Y2 11638.8889 15000

280833333 Y3 0 11000

RESTRICCIONES 72 28 25

0 35 45

50 30 35

LADO IZQ 450000 582361.111 680000

≤ ≤ ≤

LADO DER 450000 620000 680000

Solución Ejercicio 3. Analisis de sensibilidad y posto-óptimo: Información de la situación problema:

Utilidad ($) Cacao (t) Manteca de Cacao (t) Azúcar (t)

Chocolate Dulce 1500000 120

Chocolate Semidulce 1300000 100

Chocolate Amargo 1500000 Disponibilidad 200 100000

20

20

20

15000

60

20

20

30000

El problema como modelo de programación lineal: Funcion Objetivo: 𝑀𝑎𝑥𝑖𝑚𝑖𝑧𝑎𝑟 𝑍= 〖 1500000𝑋 〗 _1+ 〖 1300000𝑋 〗 _2+ 〖 1500000𝑋 〗 _3 Sujeto a: 〖 120𝑋 〗 _1+ 〖 100𝑋 〗 _2+ 〖 200𝑋 〗 _3≤100000 〖 20𝑋 〗 _1+ 〖 20𝑋 〗 _2+ 〖 20𝑋 〗 _3≤15000 〖 60𝑋 〗 _1+ 〖 20𝑋 〗 _2+ 〖 20𝑋 〗 _3≤30000 𝑋_1,𝑋_2 〖 ,𝑋 〗 _3≥0

Forma estandar del problema primal: Funcion Objetivo: 𝑀𝑎𝑥𝑖𝑚𝑖𝑧𝑎𝑟 𝑍− 〖 1500000𝑋 〗 _1− 〖 1300000𝑋 〗 _2− 〖 1500000𝑋 〗 _3+ 〖 0𝑆 〗 _1+ 〖 0𝑆 〗 _2+ 〖 0𝑆 〗 _3=0 Sujeto a: 〖 120𝑋 〗 _1+ 〖 100𝑋 〗 _2+ 〖 200𝑋 〗 _3+𝑆_1=100000 〖 20𝑋 〗 _1+ 〖 20𝑋 〗 _2+ 〖 20𝑋 〗 _3+𝑆_2=15000 〖 60𝑋 〗 _1+ 〖 20𝑋 〗 _2+ 〖 20𝑋 〗 _3+𝑆_3=30000 𝑋_1,𝑋_2 〖 ,𝑋 〗 _3,𝑆_1,𝑆_2,𝑆_3≥0

Solución del problema primal por el método simplex primal en hoja de cálculo (Excel): Tabla Inicial: Variables Básicas Z S1 S2 S3

Z 1 0 0 0

Valor más Negativo

X1 -1500000 120 20 60 -1500000 V. Entra

Variables No Básicas X2 X3 S1 -1300000 -1500000 0 100 200 1 20 20 0 20 20 0 -1300000

S2 0 0 1 0

S3 0 0 0 1

Solución 0 100000 15000 30000

Razón más Pequeña 833.333333 750 500

V. Sale

-1500000

Iteración 1: Variables Básicas Z S1 S2 X1

Z 1 0 0 0

Valor más Negativo

X1 0 0 0 1 0

Variables No Básicas X2 X3 S1 -800000 -1000000 0 60 160 1 13.3333333 13.3333333 0 0.33333333 0.33333333 0 -800000

S2 0 0 1 0

Solución S3 25000 750000000 -2 40000 -0.33333333 5000 0.01666667 500

S2 0 0 1 0

Solución S3 Razón más Pequeña 12500 1000000000 -0.0125 250 666.666667 -0.16666667 1666.66667 200 V. Sale 0.02083333 416.666667 2000

Razón más Pequeña 250 375 1500

V. Sale

-1000000 V. Entra

Iteración 2:

Variables Básicas 1+ 〖 0𝑆 〗 _2+ 〖 0𝑆Z 〗 _3=0 X3 S2 X1

Z 1 0 0 0

Valor más Negativo

X1 0 0 0 1

Variables No Básicas X2 X3 S1 -425000 0 6250 0.375 1 0.00625 8.33333333 0 -0.08333333 0.20833333 0 -0.00208333

0

-425000 V. Entra

X1 0 0 0 1

X2 0 0 1 0

0

Iteración 3: Variables Básicas Z X3 X2 X1

Z 1 0 0 0

Variables No Básicas X3 S1 0 2000 1 0.01 0 -0.01 0 0

S2 51000 -0.045 0.12 -0.025

S3 4000 -0.005 -0.02 0.025

Solución 1085000000 175 200 375

Solución del problema primal en complemento Solver (Excel): Funcion Objetivo: 𝑀𝑎𝑥𝑖𝑚𝑖𝑧𝑎𝑟 𝑍= 〖 1500000𝑋 〗 _1+ 〖 1300000𝑋 〗 _2+ 〖 1500000𝑋 〗 _3 Sujeto a: 〖 120𝑋 〗 _1+ 〖 100𝑋 〗 _2+ 〖 200𝑋 〗 _3≤100000 〖 20𝑋 〗 _1+ 〖 20𝑋 〗 _2+ 〖 20𝑋 〗 _3≤15000 〖 60𝑋 〗 _1+ 〖 20𝑋 〗 _2+ 〖 20𝑋 〗 _3≤30000 𝑋_1,𝑋_2 〖 ,𝑋 〗 _3≥0 FUNCION OBJETIVO MAX Z X1 375 1500000

X2 200 1300000

1085000000 X3 175 1500000

RESTRICCIONES 120 20 60

100 20 20

LADO IZQ 100000 15000 30000

200 20 20

≤ ≤ ≤

INTERPRETACION: La empresa Cacaos Nacionales S.A para maximizar sus utilidades debe producir: X1 X2 X3

C. Dulce C. Semidulce C. Amargo

375 200 175

Asi la empresa tendra una ganancia de : 1085000000

LADO DER 100000 15000 30000

Microsoft Excel 16.0 Informe de sensibilidad Hoja de cálculo: [Aporte_LeonardoSaldaña.xlsx]EJERCICIO 3. Informe creado: 22/04/2020 7:15:36 p. m.

Celdas de variables Celda Nombre $S$17 Iteración 1: X1 $T$17 Iteración 1: X2 $U$17 Iteración 1: X3

Final Valor 375 200 175

Reducido Coste 0 0 0

Objetivo Coeficiente 1500000 1300000 1500000

Permisible Aumentar 2040000 200000 800000

Permisible Reducir 160000 425000 200000

Permisible Aumentar 20000

Permisible Reducir 17500

Restricciones Celda Nombre $W$22 V. Sale LADO IZQ

Final Valor 100000

$W$23 S2 LADO IZQ $W$24 X1 LADO IZQ

15000 30000

Sombra Restricción Precio Lado derecho 2000 100000 51000 4000

15000 30000

3888.8888889 1666.6666667 10000 15000

Analizar los cambios de aumento y reducción de los coeficientes de las variables de la función objetivo. →El coeficiente de la funcion objetivo que multiplica la cantidad de Chocolate Dulce es 1500000 este valor lo puedo aumentar 2040000 o reducir 160000 y el valor final no se vera afectado, seguira siendo 375. →El coeficiente de la funcion objetivo que multiplica la cantidad de Chocolate Semidulce es 1300000 este valor lo puedo aumentar 200000 o reducir 425000 y el valor final no se vera afectado, seguira siendo 200. →El coeficiente de la funcion objetivo que multiplica la cantidad de Chocolate Amargo es 1500000 este valor lo puedo aumentar 800000 o reducir 200000 y el valor final no se vera afectado, seguira siendo 175. Analizar los cambios de aumento y reducción de las disponibilidades de las restricciones. Para cada recurso el precio sombra es distinto y se pueden aumentar o disminuir en los siguientes valores: → El Cacao debe mantenerse entre los valores minimo de 82500 y máximo 120000 para que no se vea afectado el precio sombra.

→ La manteca de cacao debe mantenerse entre los valores minimo de 11111,111 y máximo 16666,666 para que no se vea afectado el precio sombra.

→ El azúcar debe mantenerse entre los valores minimo de 20000 y máximo 45000 para que no se vea afectado el precio sombra.

ntes valores:

Sea problema primal:

Solución del problema Dual por

Funcion Objetivo:

Tabla Inicial:

𝑀𝑎𝑥𝑖𝑚𝑖𝑧𝑎𝑟 𝑍= 〖 1500000𝑋 〗 _1+ 〖 1300000𝑋 〗 _2+ 〖 1500000𝑋 〗 _3 Sujeto a: 〖 120𝑋 〗 _1+ 〖 100𝑋 〗 _2+ 〖 200𝑋 〗 _3≤100000 〖 20𝑋 〗 _1+ 〖 20𝑋 〗 _2+ 〖 20𝑋 〗 _3≤15000 〖 60𝑋 〗 _1+ 〖 20𝑋 〗 _2+ 〖 20𝑋 〗 _3≤30000

Variables Básicas W S1 S2 S3

𝑋_1,𝑋_2 〖 ,𝑋 〗 _3≥0 Razón mas pequeña Entonces el problema Dual es el siguiente: Funcion Objetivo:

Iteración 1:

Minimizar 𝑊= 〖 100000𝑌 〗 _1+ 〖 15000𝑌 〗 _2+ 〖 30000𝑌 〗 _3 Sujeto a: 〖 120𝑌 〗 _1+ 〖 20𝑌 〗 _2+ 〖 60𝑌 〗 _3≥1500000 〖 100𝑌 〗 _1+ 〖 20𝑌 〗 _2+ 〖 20𝑌 〗 _3≥1300000 〖 200𝑌 〗 _1+ 〖 20𝑌 〗 _2+ 〖 20𝑌 〗 _3≥1500000

Variables Básicas W Y3 S2 S3

𝑌_1,𝑌_2 〖 ,𝑌 〗 _3 𝐼𝑟𝑟𝑒𝑠𝑡𝑟𝑖𝑐𝑡𝑎𝑠 Razón mas pequeña La forma estandar del problema Dual es: Funcion Objetivo:

Iteración 2:

Minimizar 𝑊− 〖 100000𝑌 〗 _1− 〖 15000𝑌 〗 _2− 〖 30000𝑌 〗 _3+ 〖 0𝑆 〗 _1+ 〖 0𝑆 〗 _2+ 〖 0𝑆 〗 _3=0 Variables Básicas Sujeto a: W 〖− 120𝑌 〗 _1− 〖 20𝑌 〗 _2− 〖 60𝑌 〗 _3+𝑆_1=−1500000 Y3 〖− 100𝑌 〗 _1− 〖 20𝑌 〗 _2− 〖 20𝑌 〗 _3+𝑆_2=−1300000 S2 〖− 200𝑌 〗 _1− 〖 20𝑌 〗 _2− 〖 20𝑌 〗 _3+𝑆_3=−1500000 Y1 𝑌_1,𝑌_2 〖 ,𝑌 〗 _3,𝑆_1,𝑆_2,𝑆_3 𝐼𝑟𝑟𝑒𝑠𝑡𝑟𝑖𝑐𝑡𝑎𝑠 Razón mas pequeña

Iteración 3: Variables Básicas

Variables Básicas W Y3 Y2 Y1

olución del problema Dual por el método simplex primal en hoja de cálculo (Excel:)

W 1 0 0 0 Razón mas pequeña

W 1 0 0 0 Razón mas pequeña

Y1 -100000 -120 -100 -200 833.333333

Y1 -40000 2 -60 -160 250 V. Entra

Variables No Básicas Y2 Y3 -15000 -30000 -20 -60 -20 -20 -20 -20 750

S1 0 1 0 0

S2 0 0 1 0

S3 0 0 0 1

S2 0 0 1 0

S3 0 0 0 1

S2 0 0 1 0

S3 -250 0.0125 -0.375 -0.00625

Solución 0 -1500000 -1300000 -1500000

500 V. Entra

Variables No Básicas Y2 Y3 S1 -5000 0 -500 0.33333333 1 -0.01666667 -13.3333333 0 -0.33333333 -13.3333333 0 -0.33333333 375

Solución 750000000 25000 -800000 -1000000

0

0𝑆 〗 _3=0 W 1 0 0 0 Razón mas pequeña

Y1 0 0 0 1 0

Variables No Básicas Y2 Y3 S1 -1666.66667 0 -416.666667 0.16666667 1 -0.02083333 -8.33333333 0 -0.20833333 0.08333333 0 0.00208333 200 V. Entra

Solución 1000000000 12500 -425000 6250

0

Variables No Básicas

Solución

W 1 0 0 0

Y1 0 0 0 1

Y2 0 0 1 0

Y3 0 1 0 0

S1 -375 -0.025 0.025 0

S2 -200 0.02 -0.12 0.01

S3 -175 0.005 0.045 -0.01

Solución 1085000000 4000 51000 2000

Solución del problema dual en complemento Solver (Excel): Funcion Objetivo: Minimizar 𝑊= 〖 100000𝑌 〗 _1+ 〖 15000𝑌 〗 _2+ 〖 30000𝑌 〗 _3 Valor más negativo -1500000 -1300000 -1500000

Sujeto a: 〖 120𝑌 〗 _1+ 〖 20𝑌 〗 _2+ 〖 60𝑌 〗 _3≥1500000 〖 100𝑌 〗 _1+ 〖 20𝑌 〗 _2+ 〖 20𝑌 〗 _3≥1300000 〖 200𝑌 〗 _1+ 〖 20𝑌 〗 _2+ 〖 20𝑌 〗 _3≥1500000

V. Sale

𝑌_1,𝑌_2 〖 ,𝑌 〗 _3 𝐼𝑟𝑟𝑒𝑠𝑡𝑟𝑖𝑐𝑡𝑎𝑠 FUNCION OBJETIVO MIN W Y1 2000 100000 Valor más negativo 25000 -800000 -1000000

V. Sale

Valor más negativo 12500 -425000 6250

V. Sale

Y2 51000 15000

1085000000 Y3 4000 30000

RESTRICCIONES 120 100 200

20 20 20

60 20 20

LADO IZQ 1500000 1300000 1500000

≥ ≥ ≥

30000𝑌 〗 _3

LADO DER 1500000 1300000 1500000

Cambios que afecten la factibilidad

Coeficiente

D1 D2 D3

Disponibilidad Original Minimo

Funcion objetivo Z= 1115000000 1500000 1300000

Maximo

100000 82500 120000 15000 13333.3333 18888.8889 30000 15000 40000

RESTRICCIONES

Cacao Manteca de Cacao Azucar

Adición de una nueva restricción. Funcion objetivo Z= 650000000 1500000 1300000 1500000

Variables de decision X1 X2 0 500

RESTRICCIONES

Cacao Manteca de Cacao Azucar Leche en polvo

120 20 60 30

100 20 20 20

200 20 20 40

Lado izq 50000 10000 10000 10000

Cambios en los coeficientes de la función objeti

Coeficiente

D1 D2 D3

Funcion objetivo

Disponibilidad Original Minimo

Maximo

1500000 1300000 1500000

3540000 1500000 2300000

1340000 875000 1300000

Z= 1500000

Restricciones

Cacao Manteca de Cacao Azucar

Adición de una nueva actividad.

Z= 1500000

Funcion objetivo 1085000000 1300000 1500000 1400000

X1 375

Restricciones

Cacao Manteca de Cacao Azucar

120 20 60

100 20 20

200 20 20

30 50 20

Variables de decision X2 200

L. Izquierdo 100000 15000 30000

Los resultados mostrados al cambiar un coeficiente de la función o observa que la optimalidad se afecta y reflejándose la variación de cuando la factibilidad del ejercicio no se ve afectada; esto puede d distintos a cero. Entonces, se puede concluir que mientras las vari establecidos en el análisis de sensibilidad se va a mantener la opti

El cambio del coeficiente de un termino independiente o en la adic resultado en el que se observa a la afectación de la factibilidad, la q cantidades de las variables. Esto permite concluir que, mientras las establecidos en el análisis de sensibilidad, los valores de las variab necesariamente el valor optimo.

n la factibilidad

cion objetivo 1115000000 1500000

Variables de decision X1 X2 X3 375 50 325

RESTRICCIONES

120 20 60

100 20 20

eva restricción.

bles de decision X3 0

Signo ≤ ≤ ≤ ≤

Lado der 100000 15000 30000 34000

200 20 20

Lado izq 0 0 0

Signo ≤ ≤ ≤

Lado der 115000 15000 30000

cientes de la función objetivo. Funcion objetivo 1105000000 1400000 1500000

Variables de decision X1 X2 X3 375 200 175

Restricciones

120 20 60

100 20 20

200 20 20

L. Izquierdo 100000 15000 30000

Signo ≤ ≤ ≤

una nueva actividad.

Variables de decision X3 175

Signo ≤ ≤ ≤

X4 0

L. Derecho 100000 15000 30000

n coeficiente de la función objetivo o al adicionar una nueva actividad se reflejándose la variación de las cantidades del resultado optimo, aún e ve afectada; esto puede deberse a que los precios sombra son ncluir que mientras las variaciones se hagan dentro de los limites ad se va a mantener la optimalidad del ejercicio.

o independiente o en la adición de una nueva restricción muestra un tación de la factibilidad, la que a su vez se refleja en la variación de las e concluir que, mientras las variaciones se hagan dentro de los limites ad, los valores de las variables de decision van a mantenerse pero no

L. Derecho 100000 15000 30000