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• Albeiro Sanchez Guarnizo

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Ejercicio 5. Análisis y evaluación de la solución de una situación planteada. A continuación, se presenta un problema junto con su solución, de forma colaborativa deben evaluar y analizar toda la solución a la situación plantea, si considera que todo el proceso y respuesta se encuentra de manera correcta, debe realizar aportes en cuanto a procedimiento faltante y fórmulas utilizadas, resaltando en otro color los aportes extras a la solución. Si luego del debate el grupo considera que el proceso y/o respuesta se encuentra incorrecto, se debe realizar la observación y corrección al error o errores encontrados resaltando en otro color la corrección y aportes extras a la solución. Situación problema: Un termómetro que marca 18°F se lleva al interior de una habitación donde la temperatura mide 70°F; un minuto más tarde la lectura del termómetro es de 31°F. a) Determine las lecturas en el termómetro como una función del tiempo. Tenemos los siguientes datos: T 0=18 ° F T 1=31° F T 5=desconocido T habitación=70 ° F Donde T es la temperatura. De acuerdo con la ley de enfriamiento de Newton, la ecuación diferencial asociada a los problemas de calentamiento o enfriamiento es: dT =k (T −T ambiente ) dt En esta fórmula t corresponde a tiempo y es la variable independiente y k es el coeficiente de intercambio de calor. En este caso nuestro ambiente es la habitación por lo tanto reemplazamos: dT =k (T −70 ° F ) dt Despejamos dT dT =k ( T −70 ° F ) dt Esta ecuación es una ecuación diferencial de variables separables, por lo tanto, despejamos: 1 dT =k dt T −70 Integramos: 1 ∫ T −70 dT=k ∫ dt ln |70−T|=k t +C Buscamos el valor de la constante de integración C, con la condición de la temperatura inicial es 18, reemplazamos en la formula y obtenemos: ln |70−15|=k 0+C ln |52|=C

Con la constante de integración C, buscamos el coeficiente de intercambio de calor k reemplazando T por T 1: ln |70−31|=k ∙1+ ln|52| ln |39|=k + ln |52| ln

|3952|=k

Reemplazamos en ln |70−T|=k t +C

|3952|+ ln|52|

ln |70−T|=t ln

39 52

t

[ ( )]

ln |70−T|=ln 52

Para anular el logaritmo natural aplicamos la regla de las propiedades de los logaritmos en la que el número de Euler y el logaritmo se anulan cuando se encuentra el logaritmo como exponente del número de Euler. Con base a esto colocamos como exponente del número de Euler la ecuación obtenida hasta el momento

e ln |70−T |=e

39 52

t

[ ( )]

ln 52

|70−T|=52 39

t

( 52 )

Despejamos la temperatura y obtenemos la fórmula de la temperatura T en función del tiempo t: T (t )=70−52

39 52

t

( )

b) Encuentre cuánto marcará 5 minutos después de que es llevado a la habitación. Reemplazamos en la fórmula de temperatura: T (5)=70−52

39 52

5

( )

T (5)=18

395 525

T (5)=18

90224119 380204032

T (5)=76.89 ° F Respuesta: el termómetro marcara 76.89°F después de pasados 5 minutos en la habitación.