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Centro Nacional de Investigación y Desarrollo Tecnológico

Asignatura Diagnóstico de fallas Profesor Dr. Luis Gerardo Vela Valdés Reporte1 Circuito RC Presenta Adolfo Valdez Bahena Patricia de los Ángeles Quijano Hau

Cuernavaca, Morelos, 21 de agosto de 2018

Índice 1.

Introducción .............................................................................................................................................3

2.

Objetivo .....................................................................................................................................................3

3.

Desarrollo .................................................................................................................................................3 3.1.

Diagrama eléctrico .........................................................................................................................3

3.2.

Modo de operación ........................................................................................................................4

3.3.

Modelado matemático ...................................................................................................................4

3.3.1.

Circuito RC configuración pasa bajas .......................................................................................4

3.3.2.

Circuito RC con respuesta a un escalón de entrada...............................................................6

3.3.3.

Circuito RC como integrador .......................................................................................................8

3.4. 3.4.1.

Circuito RC en MatLab.................................................................................................................9

3.4.2.

Circuito RC en PSIM ................................................................................................................. 10

3.5. 4.

Simulación........................................................................................................................................8

Implementación en el laboratorio ........................................................................................... 12

Conclusiones ........................................................................................................................................ 13

Referencias ................................................................................................................................................... 14 Anexos ...............................................................................................................¡Error! Marcador no definido.

1. Introducción En el análisis de circuitos es de gran utilidad el estudio de circuitos que contienen varias combinaciones de dos o tres elementos pasivos. Existen dos tipos de circuitos simples: un circuito que comprende una resistencia y un capacitor y un circuito con una resistencia y un inductor. Estos se llaman circuitos RC y RL respectivamente. Este trabajo se limita al estudio del circuito RC el cual es un circuito de primer orden caracterizado por una ecuación de primer orden. Entre las características de los circuitos RC está la propiedad de ser sistemas lineales e invariantes en el tiempo. Los circuitos RC también son conocidos como filtros debido a que son capaces de filtrar señales eléctricas de acuerdo a su frecuencia. En consecuencia, es importante describir las relaciones que dependen de la frecuencia, tanto de la amplitud como de la fase. Los filtros RC más comunes son el filtro paso alto, paso bajo, paso banda, y elimina banda. Los filtros RC tienen infinidad de aplicaciones en el campo de la electrónica, comunicaciones y sistemas de control. En este trabajo se describe el modelo matemático, las ecuaciones y la función de transferencia del sistema, todo ello con la finalidad de comprender y tal vez poder predecir su comportamiento, se realizaron simulaciones en el programa Matlab y pspice y se implementó el circuito en el laboratorio para comparar los resultados obtenidos y establecer las conclusiones pertinentes

2. Objetivo Estudiar y analizar un circuito RC a diferentes frecuencias de operación para predecir su comportamiento.

3. Desarrollo

3.1. Diagrama eléctrico

Figura 1. Diagrama del circuito RC

3

3.2. Modo de operación El circuito RC mostrado en la ¡Error! No se encuentra el origen de la referencia. se encuentra en serie por lo que la corriente que pasa por el resistor y el capacitor es la misma y el voltaje es igual a la suma fasorial del voltaje en el resistor y el voltaje en el capacitor.

Aplicando la Ley de Ohm se tiene que:

𝑣1 = 𝑖𝑅

(1)

𝑣2 = 𝑖𝐶

(2)

Aplicando la Ley de tensiones de Kirchhoff:

𝑣 = 𝑣1 + 𝑣2

(3)

Esto significa que cuando la corriente está en su punto más alto (corriente pico), será así tanto en el capacitor como en el resistor. Algo diferente ocurre con los voltajes. En el resistor, el voltaje y la corriente están en fase (sus valores máximos y mínimos coinciden en el tiempo). Pero el voltaje en el capacitor no. El capacitor se opone a cambios bruscos de voltaje, el voltaje en el capacitor está retrasado con respecto a la corriente que pasa por él. (El valor máximo de voltaje en el capacitor sucede después del valor máximo de corriente en 90 o). Estos 90º equivalen a un cuarto de la longitud de onda dada por la frecuencia de la corriente que está pasando por el circuito.

3.3. Modelado matemático

3.3.1. Circuito RC configuración pasa bajas El análisis matemático que se realizó en este trabajo es el circuito RC en esquema divisor de voltaje, siendo la tensión de salida igual al voltaje en el capacitor. Para facilitar el análisis se trasladó el circuito RC al dominio de la frecuencia como se muestra en la Figura 2. Circuto RC en el dominio de la frecuencia

Así el equivalente en el dominio de la frecuencia para cada elemento es el siguiente: .

4

Figura 2. Circuto RC en el dominio de la frecuencia

Así el equivalente en el dominio de la frecuencia para cada elemento es el siguiente: Resistencia: 𝑍1 (𝑠) = 𝑅

(4)

Capacitor: 1

𝑍2 (𝑠) = 𝑠𝐶

(5)

Ecuaciones del sistema: Aplicando el principio de división de voltaje se tiene:

𝑍2 (𝑠) 𝑣2 (𝑠) = 𝑣 (𝑠) ∗ [ ] 𝑍1 (𝑠) + 𝑍2 (𝑠)

Sustituyendo los valores de las impedancias:

𝑣2 (𝑠) = 𝑣 (𝑠) ∗ [

1 𝑠𝐶 1 𝑅 + 𝑠𝐶

]

Despejando para obtener la relación del voltaje de salida con respecto al voltaje de entrada: 1 𝑣2 (𝑠) 𝑠𝐶 = 1 𝑣 (𝑠) 𝑅 + 𝑠𝐶

5

Multiplicando ambos lados de la ecuación para simplificarla: 1 𝑣2 (𝑠) 𝑠𝐶 𝑠𝐶 = ∗ 1 𝑣 (𝑠) 𝑅 + 𝑠𝐶 𝑠𝐶 Función de transferencia

𝑣2 (𝑠) 1 = 𝑣 (𝑠) 𝑅𝐶𝑠 + 1

3.3.2. Circuito RC con respuesta a un escalón de entrada

La respuesta de escalón de un circuito es su comportamiento cuando la excitación es la función escalón, la cual puede ser una fuente de tensión o una de corriente. A continuación, partiendo de la función de transferencia del circuito RC se aplica a la entrada una función escalón para obtener la ecuación de respuesta en el dominio del tiempo. Función de transferencia:

𝑣2 (𝑠) 1 = 𝑣 (𝑠) 𝑅𝐶𝑠 + 1

1 𝑣2 (𝑠) 𝑅𝐶 = 1 𝑣 (𝑠) 𝑠 + 𝑅𝐶

Multiplicando la función de transferencia por la función escalón:

1 𝑣2 (𝑠) 1 𝑅𝐶 =( )( ) 1 𝑣 (𝑠) 𝑠 𝑠 + 𝑅𝐶

6

Aplicando fracciones parciales:

1 𝑅𝐶 1 𝑠 (𝑠 + 𝑅𝐶 )

=

𝐴 𝐵 + 𝑠 𝑠 + 1⁄ 𝑅𝐶

1 𝐴 = 𝐴𝑠 + + 𝐵𝑠 𝑅𝐶 𝑅𝐶

𝐴+𝐵 =0 1 𝐴 = 𝑅𝐶 𝑅𝐶 𝐵 = −𝐴 𝐴=1 𝐵 = −1

𝑣2 (𝑠) 1 1 = − 𝑣 (𝑠) 𝑠 𝑠+ 1 𝑅𝐶

Aplicando la transformada inversa de Laplace:

𝑣2 (𝑡) 1 1 = ℒ −1 { − } 𝑣 (𝑡) 𝑠 𝑠+ 1 𝑅𝐶

Función de transferencia en el dominio del tiempo con respuesta a una entrada escalón:

𝑡 𝑣2 (𝑡) = 1 − 𝑒 −ℐ 𝑣 (𝑡)

7

3.3.3. Circuito RC como integrador

Otra característica importante de mencionar es que a altas frecuencias los filtros RC se comportan como integradores. A alta frecuencia, cuando 𝜔 >>

1 𝑅𝐶

, el capacitor no tiene

tiempo suficiente para cargarse y la tensión en los bornes permanece pequeña. Así:

𝑣1 ≈ 𝑣

(6)

Y la intensidad en el circuito es:

𝑖=

𝑣

(7)

𝑅

Como:

𝑣2=1

𝑡

𝑣2= 1

𝑡

𝐶 ∫0

𝑖𝑑𝑡

Se obtiene,

𝑅𝐶 ∫0

𝑣𝑑𝑡

La tensión en los bornes del condensador integrado se comporta como un filtro de pasobajo.

3.4. Simulación

Se realizaron simulaciones en MatLab y PSIM con los siguientes valores:

𝐶 = 10𝜇𝐹

8

𝑅 = 1𝑘Ω

𝑇 = 𝑅𝐶 =

1 = 0.01 100

𝑓=

1 1 = 𝑇 𝑅𝐶

𝑓=

1 = 100𝐻𝑧 0.01

3.4.1. Circuito RC en MatLab

Figura 3. Respuesta del filtro considerando una entrada escalón

9

3.4.2. Circuito RC en PSIM

V

Ventrada

1k

V

Vsalida

10u

Figura 4. Filtro RC implementado en PSIM

Caso 1. El periodo de la frecuencia de la señal de entrada es igual a la constante de tiempo del sistema.

Figura 5. Salida para una frecuencia igual a la constante de tiempo

10

Caso 2. El periodo de la frecuencia de la señal de entrada es 10 veces menor a la constante de tiempo del sistema.

Figura 6. Salida para una frecuencia 10 veces menor a la constante de tiempo

Caso 3. El periodo de la frecuencia de la señal de entrada es 10 veces mayor a la constante de tiempo del sistema.

Figura 7. Salida para una frecuencia 10 veces mayor a la constante de tiempo

11

3.5. Implementación en el laboratorio

Al igual que la simulación en PSIM, se implementó el circuito RC en el laboratorio y se midieron las señales de salida para comparar los resultados. Se utilizaron un osciloscopio, un generador de funciones con un voltaje de 10 V a diferentes frecuencias, una resistencia de 10 k y un capacitor de 10 uF. El circuito se conectó en un protoboard y se midieron las señales de entrada y salida, como se muestra en las Figuras 8-10.

Figura 8. Salida para una frecuencia igual a la constante de tiempo

Figura 9. Salida para una frecuencia igual a la constante de tiempo

12

Figura 10. Salida para una frecuencia igual a la constante de tiempo

Se puede observar que la respuesta obtenida en el osciloscopio es idéntica a la obtenida en simulación. Por lo que se comprueba el funcionamiento del filtro.

4. Conclusiones El filtro RC puede comportarse como un filtro pasa altas, si se toma como salida la tensión en la resistencia o como filtro pasa bajas si se toma como salida la tensión en el capacitor. Por medio de la constante de tiempo del sistema es posible determinar el tiempo en el que el capacitor logra cargarse y descargarse. Al incrementar la frecuencia de la tensión de entrada es posible disminuir el rizo en la señal de salida. El circuito RC se comporta como pasabajas cuando la frecuencia es menor a la constante de tiempo del sistema, y como integrador cuando la frecuencia es mayor que la constante de tiempo del sistema.

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Referencias [1] Hayt, W. H., et al. (1975). Análisis de circuitos en ingeniería, McGraw-Hill. [2] Hernández, R. (2011). Introducción A Los Sistemas De Control: Conceptos, aplicaciones y simulación con MATLAB, Pearson Educación de México, SA de CV. [3] Gaviño, R. H. (2010). Introducción a los sistemas de control: conceptos, aplicaciones y simulación con MATLAB, Prentice Hall.

Anexos Programa de Matlab % FILTRO RC CON ENTRADA ESCALÓN UNITARIO % % Numerador y denominador de la función de transferencia num=[0 1]; den=[1/100000 1]; % Orden de respuesta a un escalón unitario step(num,den) % Rejilla, título de la gráfica y etiquetas para los ejes grid title('Respuesta a una entrada escalón unitario: G{s}=1/[(10x10-6)s+1]') text(0.00008,0.125,'R=10') text(0.00008,0.075,'C=1u') xlabel('Tiempo') ylabel('Vsalida (Volts)')

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