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• Juan Sebastian Tarache Medina

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Taller Tercer Corte - F´ısica del Mec´ anica y de Fluidos Realizar todos los ejercicios de manera individual o por parejas, con fecha limite de entrega por correo el 23 de noviembre de 2020 PROBLEMA A 1. Una esfera maciza de radio R y masa M se coloca a una altura h0 sobre un plano inclinado de pendiente θ. Cuando se suelta, rueda sin deslizarse hacia la base del plano inclinado. En seguida se suelta un cilindro de la misma masa y el mismo radio en el mismo plano inclinado. ¿Desde qu´e altura h se debe soltar para que tenga en la base la misma rapidez que la esfera?

Figura 1: Ejercicios 1, problema A 2. Un cuerpo redondo de masa M , radio R y momento de inercia I alrededor de su centro de masa, recibe un golpe horizontal seco a lo largo de una l´ınea a la altura h por arriba de su centro (con 0 ≤ h ≤ R, por supuesto). El cuerpo rueda de manera continua sin deslizarse inmediatamente despu´es de recibir el golpe. Calcule la relaci´on I/(M R2 ) para este cuerpo.

Figura 2: Ejercicios 2, problema A 3. Determine el momento de inercia para tres ni˜ nos que pesan 60.0, 45.0 y 80.0 lb, sentados en puntos diferentes sobre el borde de un carrusel en rotaci´on, que tiene un radio de 12.0 ft. 4. Una bola s´ olida y una hueca, cada una con una masa de 1.00 kg y radio de 0.100 m, parte del reposo y rueda hacia abajo por una rampa de longitud 3.00 m, con inclinaci´on de 35.0◦ . Un cubo de hielo de la misma masa se desliza sin fricci´on por la misma rampa. a) ¿Cu´ al bola llegar´ a primero a la base? ¡Explique! b) ¿El cubo de hielo viaja m´ as r´apido o m´as lento que la bola s´olida en la base de la rampa? Explique su razonamiento. c) ¿Cu´ al es la rapidez de la bola s´olida en la base de la rampa? PROBLEMA B 1. Un bloque de masa m = 4,00 kg est´a fijado a un resorte (k = 32,0 N/m) mediante una cuerda que lo mantiene suspendido pasando por una polea de masa M = 8,00 kg y radio R = 5,00 cm, como se muestra en la figura 3. Considerando la polea como un disco macizo homog´eneo, despreciando la fricci´on en el eje de la polea, y suponiendo que el sistema parte del reposo con el resorte en su longitud natural, encuentre: 1

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a) La rapidez del bloque despu´es de que cae 1.00 m. b) La extensi´ on m´ axima del resorte.

Figura 3: Ejercicio 1, problema B 2. Un objeto circular peque˜ no con masa m y radio r tiene un momento de inercia dado por I = cmr2 . El objeto rueda sin deslizarse a lo largo de la pista que se muestra en la figura 4. La pista termina en una rampa de altura R = 2,5 m que lanza verticalmente el objeto. El objeto comienza desde una altura H = 6,0 m. ¿A qu´e altura m´axima se elevar´a despu´es de salir de la rampa si c = 0,40?

Figura 4: Ejercicio 2, problema B 3. Una esfera maciza uniforme de masa M y radio R rueda sin deslizarse por un plano nivelado con una rapidez v = 3,00 m/s, cuando encuentra una rampa con un ´angulo θ = 23,0◦ sobre la horizontal. Encuentre la distancia m´axima que la esfera viaja subiendo la rampa en cada uno de los siguientes casos: a) La rampa carece de fricci´ on, de modo que la esfera sigue girando con su rapidez angular inicial hasta que llega a su altura m´axima. b) La rampa provee suficiente fricci´on para evitar que la esfera se deslice, de modo que tanto el movimiento lineal como el de rotaci´on se detienen (instant´aneamente). 4. Un aro delgado de 2.00 kg con un radio de 50.0 cm rueda hacia abajo por una pendiente de 30.0◦ , sin deslizarse. Si el aro parte del reposo en la parte m´as alta de la pendiente, ¿cu´al es su velocidad de traslaci´ on despu´es de rodar 10.0 m sobre la pendiente? PROBLEMA C 1. El sistema que se muestra en la figura 5 se mantiene inicialmente en reposo. Calcule la aceleraci´ on angular del sistema tan pronto como se libera. Usted puede tratar MA (1.00 kg) y MB (10.0 kg) como masas puntuales ubicadas en cada extremo de la varilla de masa MC (20.0 kg) y longitud L (5.00 m). 2. Se aplica una fuerza, F~ = (2ˆi + 3ˆj) N, a un objeto, en un punto cuyo vector de posici´on ˆ m. Calcule el momento de torsi´on con respecto al punto pivote es ~r = (4ˆi + 4ˆj + 4k) generado por la fuerza alrededor de dicho punto pivote.

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Figura 5: Ejercicio 1, problema C 3. Un disco con una masa de 14.0 kg, un di´ametro de 30.0 cm y un espesor de 8.00 cm, est´ a montado en un eje horizontal ´ aspero, como se muestra en la parte izquierda de la figura 6. (Hay una fuerza de fricci´ on ente el eje y el disco.) El disco est´a inicialmente en reposo. Se aplica una fuerza constante, F = 70,0 N, al borde del disco, a un ´angulo de 37.0◦ , como se muestra en la parte derecha de la figura. Despu´es de 2.00 s, la fuerza se reduce a F = 24,0 N, y el disco gira con una velocidad angular constante. a) ¿Cu´ al es la magnitud del momento de torsi´on debido a la fricci´on entre el disco y el eje? b) ¿Cu´ al es la velocidad angular del disco despu´es de 2.00 s? c) ¿Cu´ al es la energ´ıa cin´etica del disco despu´es de 2.00 s?

Figura 6: Ejercicio 3, problema C 4. El volante de una vieja m´ aquina de vapor es un disco met´alico s´olido homog´eneo de masa M = 120 kg y radio R = 80,0 cm. La m´aquina hace girar el volante a 500 rpm. En una emergencia, para detener la m´ aquina, se desembraga el volante de la m´aquina y se aplica una zapata de freno en el borde para dar una fuerza radial hacia dentro, F = 100 N. Si el coeficiente de fricci´ on cin´etica entre la zapata y el volante es µk = 0.200: a) ¿Cu´ antas revoluciones da el volante antes de entrar en reposo? b) ¿Cu´ anto tarda el volante en entrar en reposo? c) Calcule el trabajo realizado por el momento de torsi´on durante este tiempo. PROBLEMA D 1. La Tierra tiene una rapidez angular de 7,272×10−5 rad/s en su rotaci´on diurna. Encuentre la nueva rapidez angular si un asteroide (m = 1,00 × 1022 kg) choca con la Tierra viajando con una rapidez de 1,40 × 103 m/s (suponga que el asteroide es una masa puntual en comparaci´ on con el radio de la Tierra) en cada uno de los siguientes casos: a) El asteroide choca con la Tierra viajando hacia su centro. b) El asteroide choca con la Tierra casi tangencialmente en la direcci´on de la rotaci´ on de la Tierra.

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c) El asteroide choca con la Tierra casi tangencialmente en la direcci´on opuesta a la rotaci´ on de la Tierra. 2. Un ni˜ no de 25.0 kg est´ a de pie a 2.00 m del centro de un carrusel sin fricci´on, de un parque de juegos, que tiene un momento de inercia de 200 kg m2 . El ni˜ no comienza a correr en una trayectoria circular con una rapidez de 0.600 m/s en relaci´on con el suelo. a) Calcule la velocidad angular del carrusel. b) Calcule la rapidez del ni˜ no en relaci´on con la superficie del carrusel. 3. Una bala con masa mB = 1,00 × 10−2 kg se mueve con una rapidez de 100 m/s cuando choca con una varilla de masa mL = 5,00 kg y longitud L = 1,00 m (mostrada en la figura 7). La varilla est´ a inicialmente en reposo, en posici´on vertical, y pivotada alrededor de un eje que pasa por su centro de gravedad. La bala se incrusta en la varilla a una distancia L/4 del pivote. Como resultado, el sistema bala-varilla comienza a girar. a) Encuentre la velocidad angular, ω, del sistema bala-varilla despu´es de la colisi´on. Usted puede despreciar la anchura de la varilla y puede tratar a la bala como una masa puntual. b) ¿Cu´ anta energ´ıa cin´etica se pierde en la colisi´on?

Figura 7: Ejercicio 3, problema D 4. Dos peque˜ nas masas de 6.00 kg est´an unidas por una cuerda, que se puede suponer sin masa. La cuerda tiene una mara˜ na como se muestra en la figura 8. Con la cuerda enmara˜ nada, las masas est´ an separadas por 1.00 m. Luego se hacen girar las masas alrededor de su centro de masa sobre una mesa sin fricci´on, a raz´on de 5.00 rad/s. Al girar las masas, la cuerda se desenmara˜ na y su longitud aumenta a 1.40 m. ¿Cu´al es la velocidad angular de las masas despu´es de que la cuerda se desenmara˜ na?

Figura 8: Ejercicio 4, problema D PROBLEMA E 1. Una viga con longitud de 8.00 m y masa de 100 kg est´a fijada mediante un perno grande a un soporte a una distancia de 3.00 m de un extremo. La viga forma un ´angulo θ = 30,0◦ con la horizontal, como se muestra en la figura 9. Una masa M = 500 kg est´a fijada con 4

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una cuerda a un extremo de la viga, y la segunda cuerda est´a fijada en ´angulo recto al otro extremo de la viga. Encuentre la tensi´on T en la segunda cuerda, y la fuerza que ejerce el perno sobre la viga.

Figura 9: Ejercicio 1, problema E 2. Una varilla r´ıgida de masa m3 est´a pivotada en el punto A, y las masas m1 y m2 est´an suspendidas de la varilla como se muestra en la figura 10. a) ¿Cu´ al es la fuerza normal que act´ ua sobre el punto pivote? b) ¿Cu´ al es la relaci´ on de L1 a L2 donde ´estas son las distancias del punto pivote a m1 y m2 , respectivamente? La relaci´on de los pesos de m1 , m2 y m3 es 1:2:3.

Figura 10: Ejercicio 2, problema E 3. En el arreglo experimental que se muestra en la figura 11, una viga, B1 , de masa desconocida M1 y longitud L1 = 1,00 m, pivota alrededor de su punto m´as bajo en P1 . Una segunda viga, B2 , de masa M2 = 0,200 kg y longitud L2 = 0,200 m, est´a suspendida (pivotada) de B1 en un punto P2 que est´a a una distancia horizontal d = 0,550 m de P1 . Para mantener el sistema en equilibrio, se tiene que suspender una masa m = 0,500 kg de una cuerda sin masa que corre horizontalmente de P3 a la parte superior de la viga B1 y pasa por una polea sin fricci´ on. La cuerda corre a una distancia vertical y = 0,707 m arriba del punto pivote P1 . Calcule la masa de la viga B1 . 4. Una tabla con peso mg = 120,0 N y longitud de 5.00 m, est´a suspendida de dos cuerdas verticales, como se muestra en la figura 12. La cuerda A est´a conectada a un extremo de la tabla, y la cuerda B est´ a conectada a una distancia d = 1,00 m desde el final de la tabla. Una caja con peso M g = 20,0 N se coloca sobre la tabla con su centro de masa a d = 1,00 m de la cuerda A. ¿Cu´ ales son las tensiones en las dos cuerdas?

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Figura 11: Ejercicio 3, problema E

Figura 12: Ejercicio 4, problema E

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