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Taller del tercer corte Estad´ıstica y probabilidad 1. Una variable aleatoria x puede tomar cinco valores: 0, 1, 2, 3, 4. Una parte de la distribuci´on de probabilidad se muestra aqu´ı: x p(x) a) b) c) d) e)

0 1 2 3 .1 .3 .3 ?

4 .1

Encuentre p(3). Construya un histograma de probabilidad para p(x). Calcule la media poblacional, varianza y desviaci´on est´andar. ¿Cu´al es la probabilidad de que x sea mayor que 2? ¿Cu´al es la probabilidad de que x sea 3 o menor?

2. Una persona puede asegurar un diamante de 50000 d´olares por su valor total si paga una prima de C d´olares. Si la probabilidad de robo en un a˜no determinado se calcula que es .01, ¿qu´e prima debe cobrar la compa˜n´ıa de seguros si desea que la ganancia esperada sea igual a 1000 dolares? 3. Use la f´ormula para la distribuci´on binomial de probabilidad para calcular los valores de p(x) y construya el histograma de probabilidad para x cuando n = 6 y p = .2. [Sugerencia: Calcule P(x = k) para siete valores diferentes de k.] 4. El sistema de seguridad de una casa est´a dise˜nado para tener un 99 % de confiabilidad. Suponga que nueve casas equipadas con este sistema experimentan un intento de robo. Encuentre las probabilidades de estos eventos a) Al menos una de las alarmas se activ´o. b) M´as de siete de las alarmas se activaron. c) Ocho o menos alarmas se activaron. 5. De todos los libros de Harry Potter comprados en un a˜no reciente, alrededor del 60 % fueron comprados por lectores de 14 a˜nos de edad o m´as. Si se entrevista a 12 aficionados de Harry Potter que compraron libros ese a˜no, encuentre las siguientes probabilidades. a) Al menos cinco de ellos ten´ıan 14 a˜nos o m´as. b) Exactamente nueve de ellos ten´ıan 14 a˜nos o m´as. c) Menos de tres de ellos ten´ıan 14 a˜nos o m´as. 6. Calcule el a´ rea bajo la curva normal est´andar a la izquierda de estos valores: a) z = 1.6

b) z = 1.83

c) z = −1.4

d) z = 1.4

Omar Daniel Palacios Fonseca Fundaci´on Universitaria Los Libertadores, correo electr´onico: [email protected]

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Estad´ıstica y probabilidad

7. Encuentre las siguientes probabilidades para la variable aleatoria normal est´andar z: a) P(−1.43 < z < .68) b) P(−1.55 < z < −.44)

c) P(z > 1.34) d) P(z < −4.32)

8. Encuentre el valor de z0 tal que a) P(z > z0 ) = .025 b) P(z < z0 ) = .9251

c) P(−z0 < z < z0 ) = .90 d) P(−z0 < z < z0 ) = .99

9. El departamento de carnes en un supermercado local espec´ıficamente prepara sus paquetes de “1 libra” de carne molida, para que haya una variedad de pesos, algunos ligeramente m´as y otros ligeramente menos de 1 libra. Suponga que los pesos de estos paquetes de “1 libra” est´an normalmente distribuidos con una media de 1.00 libra y una desviaci´on est´andar de .15 libras. a) ¿Qu´e proporci´on de los paquetes pesar´a m´as de una libra? b) ¿Qu´e proporci´on de los paquetes pesar´a entre .95 y 1.05 libras? c) ¿Cu´al es la probabilidad de que un paquete de carne molida seleccionado al azar pese menos de .80 libras? d) ¿Ser´ıa poco com´un hallar un paquete de carne molida que pese m´as de 1.45 libras? justifique. e) ¿C´omo explicar´ıa usted un paquete tan grande? 10. Suponga que los n´umeros de un tipo particular de bacterias, en muestras de 1 mililitro (ml) de agua potable, tienden a estar normalmente distribuidos en forma aproximada con media de 85 y desviaci´on est´andar de 9. ¿Cu´al es la probabilidad de que una muestra determinada de 1 ml contenga m´as de 100 bacterias? Ejercicios tomados o adaptados del libro Introducci´on a la probabilidad y estad´ıstica (Mendenhall, Beaver, y Beaver, 2015).

Referencias Mendenhall, W., Beaver, R., y Beaver, B. (2015). Introducci´on a la probabilidad y estad´ıstica. (14.a ed.). M´exico: Cengage Learning.