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• Shamash Ramírez

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Taller Modelos de Probabilidad

Probabilidad y Estadística Fundamental 2018

Facultad de Ciencias-Estadística

1. Una máquina embotelladora puede ser regulada para que descargue un promedio de µ onzas por botella. Se ha observado que la cantidad de líquido dosificado por la máquina está distribuida normalmente con σ = 1.0 onza. Una muestra de n = 9 botellas se selecciona aleatoriamente de la producción de la máquina en un día determinado (todas embotelladas con el mismo ajuste de la máquina) y las onzas de contenido líquido se miden para cada una. Determine la probabilidad de que la media muestral se encuentre a no más de 0.3 onzas de verdadera media µ para el ajuste seleccionado de la máquina. 2. Supóngase que un instructor asume que las calificaciones finales de los estudiantes son los valores de una variable aleatoria X con distribución normal de parámetros µ y σ. El instructor decide asignar la calificación A a aquellos estudiantes cuyos puntajes exceda a µ + σ, la calificación B a aquellos estudiantes cuyos puntajes estén entre µ y µ+σ, la calificación C a aquellos estudiantes cuyos puntajes estén entre µ−σ y µ, la calificación D a aquellos estudiantes cuyos puntajes estén entre µ − 2σ y µ − σ, y la calificación F a aquellos estudiantes cuyos puntajes sean inferiores a µ − 2σ. Encontrar el porcentaje de estudiantes que obtienen como calificación A, B, C, D o F . 3. Un par de dados se lanzan 180 veces.¿Cuál es la probabilidad de que ocurra un total de 7 entre 33 y 41 veces inclusive? 4. Un jugador apuesta a uno de los números del 1 al 6. Una vez apuesta, se lanzan tres dados corrientes. Si el número apostado por el jugador aparece i veces; con i = 1, 2, 3, entonces el jugador gana 2i lo unidades monetarias. Si el número apostado por el jugador no aparece en ninguno de los dados, el jugador pierde 3 unidades monetarias. ¿Éste es un juego justo para el jugador?. Explique su respuesta. 5. Se lanza un dado corriente cinco veces consecutivas. Sea X la variable aleatoria que denota el número de veces que se obtiene el número 5 como resultado. Hallar la función de probabilidad de X. 6. Sea X ∼ N (3, 4). Encontrar un número α tal que P (X > α) = 2P (X ≤ α) 7. La variable aleatoria X, que representa el número de cerezas en una tarta, tiene la siguiente distribución de probabilidad: x P (X = x)

4 0.2

5 0.4

6 0.3

7 0.1

a) Encuentre la media µ y la varianza σ 2 de X 2 b) Encuentre la media µX y la varianza σX de la media X para muestras aleatorias de 36 tartas de cereza.

c) Encuentre la probabilidad de que el número promedio de cerezas en 36 tartas sea menor que 5.5 8. El tiempo en que el cajero de un banco con servicio en el automóvil atiende a un cliente es una variable aleatoria con una media µ = 3.2 minutos y una desviación estándar σ = 1.6 minutos. Si se observa una muestra aleatoria de 64 clientes, encuentre la probabilidad de que su tiempo medio con el cajero sea a lo más 2.7 minutos. 9. Una persona pide prestado un llavero con siete llaves y no sabe cuál de ellas abre un candado. Por lo tanto, intenta con cada una hasta que consigue abrirlo. Sea Y la variable aleatoria que indica el número de intentos necesarios para conseguir abrir el candado. a) Determinar la función de probabilidad de la variable aleatoria Y . b) Calcular P (Y ≤ 2) y P (Y = 5).

Leonardo Aponte N.

Presentado el día 12-04-2018

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Probabilidad y Estadística Fundamental 2018

Facultad de Ciencias-Estadística

10. Un vendedor de planes de turismo, sabe, por experiencia, que la oportunidad de vender un plan es mayor, mientras más contactos realice con los clientes potenciales. Empíricamente él estableció que la probabilidad de que una persona compre un plan, luego de su visita, es constante e igual a 0.01. Si el conjunto de visitas que realiza el vendedor constituye un conjunto independiente de ensayos, ¿cuántos compradores potenciales debe visitar para que la probabilidad de vender por lo menos un plan sea igual a 0.85?. 11. En una central teléfonica se reciben llamadas, según las leyes de un proceso de Poisson, con un promedio de diez llamadas por hora. ¿cuál es la probabilidad de que ninguna llamada sea recibida entre las 8 am y las 12m? 12. Las ruletas que se usan en los casinos, tienen 38 lugares de los cuales 18 son negros, 18 son rojos y 2 son verdes. Sea X la variable aleatoria que denota el número de veces que es necesario hacer girar la ruleta, para obtener por primera vez un número rojo. Hallar la función de densidad de X. 13. La policía sospecha que un camión cargado con 40 bultos de arroz se han camuflado paquetes de cocaína. Para confirmar su sospecha, la policía escoge al azar 5 bultos para inspeccionarlos. Si en efecto, de los 40 bultos de arroz, que contiene el camión, 10 tiene camuflada cocaína, ¿cuál es la probabilidad de que por lo menos uno de los bultos de la muestra contenga cocaína? 14. Se tiene tres urnas A, B y C. La urna A contiene 5 bolas rojas y 4 blancas, la urna B contiene 8 bolas rojas y 5 blancas y la urna C contiene 2 bolas rojas y 6 blancas. Se extrae al azar una bola de cada urna. Sea X el número de bolas blancas extraídas. Calcular la función de densidad de X. 15. Un comerciante tiene dos puntos de venta de computadores. La probabilidad de que venda, en un día, un computador en el primer punto de venta es de 0.4 e independiente, la probabilidad de que venda, en un día, un computador en el segundo punto de venta es de 0.7. Supóngase además, que es igualmente probable que él venda un computador de marca o un clon. Un computador de marca tiene un costo de 1800 dólares, en tanto que un clon, con las mismas especificaciones tiene un costo de 1000 dólares. Sea X la cantidad, en dólares, que el comerciante vende en un día. Hallar la distribución de la variable aleatoria X. 16. Suponga un tipo especial de empresa de procesamiento de datos pequeña está tan especializada que algunas tienen dificultades para obtener utilidades durante su primer año de operación. la función de densidad de probabilidad que caracteriza la proporción Y que obtiene utilidades está dada por  ky 4 (1 − y)3 , 0 ≤ y ≤ 1; f (x) = 0, e.o.c. a) ¿Cuál es el valor de k que hace de la anterior una función de densidad válida? b) Encuentre la probabilidad de que al menos el 50 % de las empresas tengan utilidades durante el primer año. c) Encuentre la probabilidad de que al menos 80 % de las empresas tengan utilidades durante el primer año. 17. El Departamento de Energía (DE) asigna proyectos mediante licitación y, por lo general, estima lo que debería ser una licitación razonable. Sea b el estimado. El DE determinó que la función de densidad de la licitación ganadora (baja) es  5 2 8b , 5 b ≤ y ≤ 2b; f (y) = 0, e.o.c. Encuentre F (y) y utilícela para determinar la probabilidad de que la licitación ganadora sea menor que la estimación b preliminar del DE.

Leonardo Aponte N.

Presentado el día 12-04-2018

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