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• Renato Proleon

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UNI – FACULTAD DE INGENIERIA AMBIENTAL Curso: AA232 - Bioestadística Profesora: Mg. Beatriz Castañeda S.

PRACTICA MODELOS DE PROBABILIDAD 1. El tiempo que transcurre entre llamadas a una empresa de artículos de plomería tiene una distribución exponencial con un tiempo promedio entre llamadas de 15 minutos. a) ¿Cuál es la probabilidad de que no haya llamadas en un lapso de 30 minutos? b) ¿Cuál es la probabilidad de recibir al menos una llamada en un intervalo de 10 minutos? c) ¿Cuál es la probabilidad de recibir la primera llamada entre 5 y 10 minutos después de haber abierto la empresa? d) Calcule la dimensión de un intervalo de tiempo, de modo tal que la probabilidad de recibir al menos una llamada en ese lapso sea 0.90. 2. Un cargamento de 120 alarmas contra robo contiene 20 defectuosas. a) Si 25 de ellas son seleccionadas aleatoriamente y embarcadas por un cliente, encuentre la probabilidad de que al cliente le toque 2 defectuosas. b) Si 5 de ellas son seleccionadas aleatoriamente y embarcadas por un cliente, encuentre la probabilidad de que al cliente le toque 2 defectuosas. 3. En un astillero el personal de servicio técnico para reparaciones recibe en promedio 3 pedidos de atención por jornada de trabajo. Cada pedido es atendido por un técnico. Si el servicio cuenta con 5 técnicos ¿cuál es la probabilidad de que en una jornada de trabajo no pueda atender a todos los pedidos que recibe? 4. Un reloj de pared es alimentado por 3 pilas. Supóngase que la vida de una pila está normalmente distribuida con  = 1200 horas y  = 100 horas. El reloj cesará de funcionar si se agota al menos 2 de sus pilas. Suponiendo que las vidas de las pilas son independientes calcule la probabilidad de que el reloj funcione más de 1000 horas. 5. Una serie de ocho lámparas se conecta de tal forma que si una de ellas falla, el sistema no funcionará. Si dos lámparas fallan: a) ¿Cuál es la probabilidad de que la primera que se inspecciones, sea la que haya fallado? b) ¿Cuál es la probabilidad de encontrar las dos que fallan si se inspeccionan cuatro de ellas? c) ¿cuántas lámparas se deben inspeccionar para tener un 70% de probabilidad de encontrar las dos lámparas defectuosas? 6. Se ha encontrado que el número de fallas en los transistores en un computador electrónico ocurren a un promedio de una falla en el transistor cada 10 horas. Se inicia cierto proceso que necesita 20 horas de tiempo de cómputo, en un computador que utiliza 8 transistores. Encontrar la probabilidad de que el proceso anterior pueda completarse exitosamente sin una falla. (Se supone que la máquina se considera inoperante sólo si fallan 3 o más transistores.) 7. Una compañía alquila tiempo en computadora por periodo de t horas por lo cual recibe S/.60 por hora. El número de veces que la computadora falla durante t horas ocurre a una tasa de 0.8t y si la computadora falla x veces durante t horas la reparación tiene un costo de 5x² soles. ¿Cómo debería la compañía elegir t en forma tal que maximice la utilidad esperada? 8. El número de personas que comen en un restaurante es aproximadamente normal, con una media de 500 y una desviación estándar de 40 por día. a) En determinado día, ¿cuál es la probabilidad de que por lo menos haya 400 clientes? b) Calcule la probabilidad de que 450 a 530 clientes coman en el restaurante.

c) Si el consumo promedio por cliente es de S/. 8 ¿cuál es el consumo diario esperado? d) ¿Cuál es la probabilidad de que el consumo exceda de S/. 4500 9. Una fábrica elabora artículos que necesitan de cierto componente que es adquirido de un proveedor. De los componentes en almacén, usualmente el 5% es defectuoso. a) Si el fabricante tiene 25 componentes en su almacén ¿Cuál es la probabilidad de que pueda surtir un pedido de 22 artículos, sin tener que pedir más componentes? b) Sí el fabricante tiene 108 componentes en su almacén ¿Cuál es la probabilidad de que pueda surtir un pedido de 100 artículos, sin tener que pedir más componentes? c) Si el porcentaje de componentes defectuosos fuera de 8%, ¿cuál es la probabilidad de que pueda surtir un pedido de 70 artículos, si cuenta con 80 componentes en almacén? 10. Un proceso de fabricar tornillos se comprueba inspeccionando cada hora n tornillos seleccionados aleatoriamente de los producidos en ese tiempo. Si uno o más tornillos son defectuosos, el proceso se detiene y se examina con cuidado. ¿Qué tan grande debe ser n si el fabricante desea que la probabilidad de que el proceso sea detenido sea alrededor de 95%, cuando el 10% de los tornillos que son producidos sean defectuosos? 11. Supóngase que el 24% de los individuos de una población tiene el grupo sanguíneo B. Para una muestra de tamaño 20 extraída de esta población, encuentre la probabilidad de que a) Se encuentren exactamente tres personas con el grupo sanguíneo B b) Se encuentren tres o más personas con la característica de interés. c) Se encuentren menos de tres d) Se encuentren exactamente cinco. 12. Suponga que el número de errores en una superficie de grabación magnética ocurre a una tasa un defecto por cada 105 bits. Un sector de datos está formado por 4096 bytes (un byte = 8 bits). a) ¿Cuál es la probabilidad de que el sector tenga más de un error? b) ¿Cuál es la probabilidad de que de 8 sectores utilizados, máximo 2 sectores tengan exactamente un error? 13. Los mensajes a una computadora utilizada como servidor lo hacen con una tasa promedio de 10 mensajes por hora. a) Determine el intervalo de tiempo necesario para que la probabilidad de que no llegue ningún mensaje durante ese lapso de tiempo sea 0,90. b) ¿Cuál es la probabilidad de que se reciba un mínimo de 15 mensajes durante 2 horas consecutivas de trabajo? 14. El número de fallas de un instrumento de prueba, debido a las partículas contaminantes de un producto, ocurre en promedio a 0.25 fallas por hora. a) ¿Cuál es la probabilidad de que el instrumento no falle en una jornada de 8 horas? b) Calcule la probabilidad de que en 5 días de trabajo (jornada de 8 horas) ocurran fallas máximo en 2 de estos días. 15. El tiempo de incapacidad por enfermedad de los empleados de una compañía en un mes tiene una distribución normal. Si el 40% ha tenido a lo más 95 horas y sólo el 5% ha tenido tiempo de incapacidad mayor a 133 horas al mes. ¿Cuál es la media y la desviación estándar del tiempo de incapacidad mensual para los empleados de la compañía? 16. En un estudio realizado en la ciudad de Lima se concluyó, que el consumo diario de agua por vivienda tiene distribución normal con  = 120 galones y  = 18 galones. a) ¿Qué porcentaje de viviendas tiene consumo mínimo de 100 galones diarios? b) Obtener la cantidad de agua que se consume como máximo en el 95% de las viviendas.

17. Un fabricante de productos electrónicos espera que el 2% de las unidades fallen durante el periodo de garantía. a) Se hace un seguimiento de 18 unidades para determinar su desempeño durante el tiempo de garantía ¿Cuál es la probabilidad de que a lo más una de las unidades falle durante el periodo de garantía? b) Si se hace un seguimiento a 300 unidades, ¿cuál sería el número máximo de unidades que fallaría en el periodo de garantía con probabilidad de 99%? 18. Un modelo de cierta marca de lavadora automática se promociona indicando que su duración promedio es de 4,5 años y que el 98% dura hasta 7 años sin descomposturas. Asumiendo distribución normal a) ¿Cuál es la desviación estándar de la duración? b) Si la garantía cubre el reemplazo de la lavadora hasta los 2 años de adquirida, ¿qué proporción del total de unidades vendidas será reemplazada? c) Si un distribuidor ha recibido un lote de 20 lavadoras, ¿cuál es la probabilidad de que tenga que pedir a la fábrica el reemplazo de a lo más 2 lavadoras? d) Si la fábrica despacha un cargamento de 150 lavadoras, ¿cuál es la probabilidad de que tenga que reemplazar al menos 8 lavadoras? 19. Las remesas de ciertos productos son aprobadas si en una muestra aleatoria de la misma el porcentaje de defectuosos es de hasta un 5%. a) Se ha recibido una remesa de 50 productos, en la cual se tiene 10% de defectuosos, ¿cuál es la probabilidad de que se acepte la remesa si se extrae una muestra de 20 productos? b) Si la remesa recibida es de 500 unidades con 8% de productos defectuosos, ¿cuál es la probabilidad de que se rechace la remesa si se extrae una muestra de 50 productos? c) Si la remesa recibida es de 1000 unidades con 5% de productos defectuosos, ¿cuál es la probabilidad de que se rechace la remesa si se extrae una muestra de 120 productos? 20. Una compañía textil produce rollos de tela con un promedio de 2.2 defectos por metro cuadrado. a) Calcule la probabilidad de que un m2 no presentará más de 4 defectos. b) Si la tela se vende en cortes de 2m 2 cada uno, ¿Cuál es el número esperado de cortes con a lo más 2 defectos, si se adquiere 25 cortes? c) ¿Cuál es la probabilidad de tener al menos 10 cortes con máximo 2 defectos, si se compra 50 cortes? 21. En una gran planta manufacturera, los accidentes industriales serios ocurren en forma aleatoria a razón de 1 por cada 10 días laborables. a) Calcule la probabilidad de que no ocurra más de un accidente serio en la planta durante los próximos 30 días laborables. b) ¿Cuál es la probabilidad de que sólo en 3 de 40 meses, el registro de accidentes haya superado a 4 accidentes por mes? 22. Un proceso de fabricación de tubos electrónicos produce diariamente 1500 tubos, de los cuales el 4% son defectuosos. a) Si se elige una muestra de 20 tubos ¿cuál es la probabilidad de que más del 10% de los tubos sean defectuosos? b) Si se elige una muestra de 120 tubos, ¿cuál es la probabilidad de que máximo 7.5% de la muestra sea defectuosa? 23. En general, el mantenimiento preventivo es más barato que el que se lleva una vez que el equipo falla, debido a que el mantenimiento preventivo se puede efectuar en períodos de tiempo menos críticos. Una planta utiliza 3000 bombillas cuya duración tiene una distribución normal con una duración media de 500 horas y una desviación estándar de 50 horas. Para minimizar el número de bombillas que se funden durante el período de operación, todas las bombillas se cambian después de un número determinado de horas, ¿con qué frecuencia

se deben cambiar las bombillas para que no más del 1% de ellas se fundan entre los períodos de reemplazo? 24. Un determinado antibiótico se envía en cajas de 24 frascos. El farmacéutico sospecha que la cantidad de antibiótico en algunos frascos es deficiente y decide analizar el contenido de 5 frascos. Suponga que 6 de los 24 frascos tienen cantidad deficiente de antibiótico. Obtenga la probabilidad de que a lo más 2 de los frascos analizados tenga una cantidad deficiente de antibiótico. 25. Se considera que un proceso de producción está bajo control estadístico si la porción defectuosa de la producción es menor o igual a 0.10. Para determinar si el proceso está fuera de control, se han sugerido dos planes: I. Se juzga el proceso como fuera de control si se encuentran dos o más unidades defectuosas en una muestra de 25 II. Se juzga que el proceso está fuera de control si se encuentran dos o más unidades defectuosas en una muestra de 10 Evalué la eficiencia de estos dos planes con respecto a descubrir un proceso que está produciendo 20% de unidades defectuosas. 26. Un comerciante recibe un envío de 50 televisores portátiles. a) Para protegerse contra un mal envío, examinará una muestra de 10 televisores y aceptará el lote si observa máximo dos defectuosos. Suponga que en el lote hay 5 aparatos defectuosos, ¿cuál es la probabilidad de aceptar el lote? b) Si recibe un lote de 300 televisores, de los cuales 30 son defectuosos; y acepta el lote cuando en una muestra de 60 no más de 5 son defectuosos ¿Cuál es la probabilidad de aceptar el lote? 27. Un ingeniero industrial cree que el 30% de todos los accidentes industriales en su planta se deben a que los empleados no siguen las disposiciones de seguridad. Si esta suposición es correcta, calcúlese aproximadamente la probabilidad de que, entre 84 accidentes industriales, de 20 a 30 se deban a esta causa. 28. Se envía un técnico para hacer la instalación de un sistema de comunicación especializado a una ciudad, sólo si se han recibido tres o más pedidos. Suponga que los pedidos tienen una distribución de Poisson con media 0.25 por semana para una ciudad de 100 000 habitantes. a) ¿Cuál es la probabilidad de que sea enviado el técnico después de un periodo de 4 semanas? b) Suponga que se hacen pedidos de una ciudad que tiene 800 000 habitantes, ¿cuál es la probabilidad de que el técnico sea enviado después de un periodo de una semana? 29. La duración de un láser semiconductor a potencia constante tiene una distribución normal con  = 7000 horas y  = 600 horas a) ¿Cuál es la duración, que excede el 90% de todos los láseres? b) ¿cuál debería ser el tiempo de duración promedio para que el 99% de los láseres sea mayor de 10000 horas antes de que fallen? c) Un producto contiene 3 láseres, y el producto falla si cualquiera de los láseres falla. Suponga que los láseres fallan de manera independiente. ¿cuál es la probabilidad de que el producto dure más de 8050 horas? 30. El tiempo de vida de los reguladores de voltaje de los automóviles tiene una distribución exponencial con un tiempo de vida medio de 6 años. Una persona compra un automóvil que tiene una antigüedad de 6 años, con un regulador en funcionamiento, y planea tenerlo por espacio de seis años. a) ¿Cuál es la probabilidad de que el regulador de voltaje falle en el lapso de 6 años? b) Si el regulador falla después de 3 años de haber efectuado la compra del automóvil y se remplaza, ¿cuál es el tiempo promedio que transcurriría hasta que el regulador vuelva a fallar?

31. Supóngase que durante un período de varios años el número promedio de muertes debidas a cierta enfermedad no contagiosa ha sido de diez. Si el número de muertes debidas a esta enfermedad sigue la distribución de Poisson, ¿cuál es la probabilidad de que durante el año que transcurre? a) Mueran exactamente siete personas debido a la enfermedad? b) Mueran diez o más personas debido a la enfermedad? c) Nadie muera debido a la enfermedad?