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SESION 1 •

Presentación

El profesor hará su presentación personal frente al grupo, indicando sus estudios, carrera, experiencia laboral y/o docente, así como el lugar y horario de localización dentro de la FIME. •

Criterios de evaluación

El profesor mencionará al grupo los criterios de evaluación acordados por la Academia. La calificación del periodo ordinario, será de acuerdo a los criterios de evaluación La calificación del periodo extraordinario, será a través de la aplicación de examen. •

Explicación de cómo se llevará a cabo el taller.

Se formarán Equipos de trabajo, para la solución de las sesiones. Las sesiones se realizaran y resolverán única y exclusivamente durante el horario de clase. Las sesiones NO SON EXTRACLASE (no se las llevarán de tarea.) •

Explicación del contenido que deberá tener la preparación del tema (marco teórico)

El marco teórico deberá contener por escrito conocimientos relacionados con el tema de la sesión. •

los

elementos-

Solicitar el material

El profesor indicará el material para la siguiente sesión, si así lo requiere la sesión.

Página 1

SESION 2 FUNCIONES ALGEBRAICAS Y TRANSCENDENTALES Hallar el valor de la variable independiente que cumpla con la condición dada en cada una de las siguientes funciones. I.-FUNCIONES ALGEBRAICAS. 1.-Función lineal f ( x) =

x −3 2

;

x −3 2 x 1+3 = 2

Si f (x) =1

1=

x =8

4( 2) = x

2.- Función cuadrática f ( x) = x 2 + 2 x + 5 ;

Si f ( x ) = 0

x2 + 2x + 5 = 0 a =1, b = 2, c = 5

Usando la formula general x = −2 ±

− 2 ± 4 − 20 2 − 2 ± −16 x= 2 − 2 ± 4i x= 2 x=

( 2) 2 − 4(1)( 5)

x = −1 + 2i x = −1 − 2i

2(1)

3.- Función polinomial f ( x) = 2 x 3 + 5 x 2 − 28 x −15

;

Si f ( x ) = 0 x =3

2 x +5 x − 28 x −15 = 0 3

2

División sintética

2 x 2 + 11x + 5 = 0

x =3 2 5

factorizas

-28 -15

Página 2

1 2 x = −5 x =−

2x +1 = 0 1 x =− 2

6 +33 +15 2 11

5

0

4.- Función racional x x −3

f ( x) =

; Si f ( x) = 2

x =2 x −3

x = 2( x − 3)

x =6

x = 2x − 6 2x − x = 6

5.- Función irracional ; Si f ( x) = 4

f ( x ) = 2 − x −3

(

x −3 = 2 − 4

x −3

)

2

x −3 = 4 x = 4 +3

= ( − 2)

x =7

2

II.- FUNCIONES TRANSCENDENTALES 6.- Funciones exponenciales a)

f ( x ) = 53 x −1 ; Si f ( x) = 500 3 x −1 log 5 = log 500 log 500 4.86 3 x −1 = x= log 5 3

3x −1 = 3.86 3 x = 4.86

b) f ( x) = e x

2

x = 1.62

; Si

= log 4 log 4 x2 = log e

log e

f ( x) = 4

x2

x = 1.1774

x 2 = 1.3862

Página 3

x +5 = 0 x = −5

7.- Funciones logarítmicas a) f ( x ) = 8.8 +10 log 3 x ; Si f ( x) =16 .48 10 log 3 x = 16 .48 − 8.8 10 log 3 x = 7.68 log x 10 = 7.68 log 3 10 log x = 7.68 (log 3)

x = 0.36643

10 log x = 3.6643

log x =

3.6643 10

f ( x ) = ln x 4

b)

; Si

4 = ln x 4 ln x = 4 4 ln x = 4 ln x = 1 x = e x1

f ( x) = 4

4

x=e

8.- Funciones trigonométricas a) f ( x ) = Cosx −

; Si f ( x) = −

1 = Cosx 2

x = arcCos −

x = 120 1 2

b) f ( x) = arcSenx arcSenx =

1 2

; Si

f ( x) =

π 2

π

2 arcSenx = 1.5707 x = Sen 1.5707

x = 0.0274

Página 4

c)

; Si f ( x ) =

f ( x ) = Sec 2 x

2 = Sec 2 x 3 2 1 = Cos 2 x 3 1 Cos 2 x = 1.1547 2 x = Cos −1 0.866

2 3

30 2 x = 15 x=

Sesión 3 Aplicación de Funciones Cuadráticas

Página 5

1.- La altura h que alcanza una piedra que se arroja verticalmente hacia arriba esta dada por la ecuación , donde h se mide en pies y t en segundos. Encuentre: a) El tiempo que tarda en alcanzar su altura máxima. b) La altura máxima alcanzada.

Variables a utilizar: h(t): Altura

t: Tiempo

v(t): Velocidad (Derivada de la Ecuación de Altura)

Tiempo en alcanzar Altura Máxima.Se procedió a derivar la ecuación de la altura que nos dieron para encontrar una fórmula de velocidad.

Ahora igualamos a cero ya que la velocidad en el punto donde alcanza su altura máxima es cero.

En este momento despejamos la incógnita del tiempo (t) para conocer el tiempo que tarda en alcanzar su altura máxima.

Resolvemos las operaciones y el resultado que obtenemos es el tiempo que tardo la piedra en alcanzar su altura máxima.

Altura Máxima Alcanzada.-

Página 6

Para conocer la altura máxima alcanzada debemos usar la ecuación original que se nos da en el problema:

Ahora sustituimos el valor del tiempo obtenido en la ecuación anterior en esta fórmula.

Realizamos las operaciones correspondientes.

Y el resultado que se obtiene es la altura máxima alcanzada por la piedra al ser lanzada hacia arriba.

2.- Un ingeniero compró un carrete de alambre de púas para cercar un área rectangular máxima, como se muestra. Determine el ancho y largo máximo que puede encerrarse en 80 metros de cerca.

Primero se procedió a encontrar una ecuación que diera la igualdad requerida.

Ahora se despeja la variable x de la ecuación que encontramos.

Ahora si sabemos que el área de una región es base por altura obtenemos.

Página 7

Al sustituir el valor de la x por el que obtuvimos al despejarla de la ecuación anterior se obtiene.

Se procede a realizar las operaciones correspondientes en la ecuación.

Ahora se iguala a cero la ecuación que obtuvimos para encontrar el valor de la variable y.

Al realizar las operaciones correspondientes se obtiene el valor de la variable y.

Ahora con la ecuación que obtuvimos al despejar la variable x se procede a sustituir el valor de la variable y que encontramos.

Se procede a realizar las operaciones y se obtiene el valor de la variable x.

Página 8

Sesión 4 Aplicación de la Derivada como Razón de Cambio

1.- Se estima que la población de cierta ciudad en miles de habitantes dentro de t años se calcula por la expresión:

Calcular la rapidez con que estará creciendo la población dentro de 2 años.

Variables a utilizar. P(t) : Población con respecto al tiempo t : Tiempo Δt : Razón de cambio

Se procedió a derivar la ecuación inicial para encontrar la razón de cambio.

Se realizan las operaciones correspondientes.

Página 9

Ahora se sustituye el valor del tiempo en la ecuación que se obtuvo para conocer la razón de cambio.

Se realizan las operaciones.

Se obtiene que la razón de cambio de la población de la ciudad en dos años sea:

2.- La cantidad de carga eléctrica (q) en coulomb que pasa a través de un alambre después de t segundos se calcula con la expresión:

Página 10

Determine la razón de cambio q(t) con respecto a t a los 3 segundos. Considere que: 1 coulomb=6.2x1018 electrones y que 1 coulomb/s=1 ampere

Variables a utilizar. q(t) : Carga eléctrica con respecto al tiempo t : Tiempo Δt : Razón de cambio

Primero se procede a derivar la ecuación inicial de la carga eléctrica para encontrar la ecuación de la razón de cambio.

Ahora se sustituye el valor del tiempo que nos dan para encontrar la razón de cambio.

Se realizan las operaciones correspondientes.

Se obtiene que el valor de la razón de cambio de la carga en 3 segundos es de:

Página 11

SESION 5 APLICACIÓN DE LA DERIVADA COMO RAZON DE CAMBIO

1.- Suponer que la cantidad de agua en litros que fluye en una llave en un minutos despues de haber sido abierta, se calcula la presión q(t) = 12 / (2t-5)1/2.

¿Con que rapidez sale el agua a los 7 minutos despues de abrirse la llave?

Se aplica la formula para aplicar la expresión q(t) = 12 / (2t-5)1/2

La “t” (tiempo) se sustituye por 7 que son los minutos que permaneció abierta la llave q(t) = 12 / (2 (7) -5)1/2

Se hacen las operaciones necesarias para simplificar la cantidad sobre la que se dividirá 12.

Se multiplica 2 por 7

Página 12

q(t) = 12 / (14 -5)1/2

Se le resta 5 a 14

q(t) = 12 / (9)1/2

Se saca raiz cuadrada de 9

q(t) = 12 / 3

Así, se divide 12 entre 3 dando resultado a la cantidad de agua que sale en 7 minutos durante la apertura de la llave, debido a que no especifica el modo de medición del agua, la expresión de dejara acorde al resultado.

q(t) = 4

2.-La función de la posición de una flecha que se lanza verticalmente hacia arriba es: s(t) = 20 + 63.7 + 4.9t2 , donde “s” se mide en metros y “t” en segundos. Determinar:

a) La velocidad de la flecha a los 2 segundos b) El tiempo que tarda la flecha en alcanzar su máxima altura c) El tiempo total del vuelo de la flecha

Página 13

A) Se derivara la formula s(t)=20 + 63.7 + 4.9t2 a 63.7+ 9.8t y se sustituirá la t por 2

63.7 + 9.8t

63.7 + 9.8(2)

63.7 + 17.8

= 44.1

B) Se despejara la formula 63.7 + 9.8t para obtener el tiempo que tyarda la flecha en alcanzar su máxima altura

V= 63.7 + 9.8t

T= 63.7 / 9.8

T=6.42

C) Se multiplicara el resultado del punto anterior para obtener el tiempo total del vuelo de la flecha

Página 14

T=2 (t)

2 (6.42)

= 12.84

SESION 6 APLICACIONES DE LA DERIVADA

1.- Una empresa determina que el costo de producir x unidades de cierto articulo esta dado por C(X) = 0.0004x2 + 0.07x + 6000. Calcular:

a) La ecuación del costo marginal b) El costo marginal cuando se producen 2000 unidades c) El costo real de producir la unidad 2001

Considere: Si el costo de producir x unidades de cierto artículo es C(X), entonces el costo marginal es una aproximación al costo real de producir una unidad más.

A)

La ecuación del costo marginal se obtiene derivando la ecuación

C(X) = 0.0004x2 + 0.07x + 6000

Página 15

C(X) = 0.0004x2 + 0.07x + 6000

C(X) = 0.0008x + 0.07

B) El costo marginal cuando se producen 2000 unidades se obtiene sustituyendo x en la ecuación C(X) = 0.0008x + 0.07

C(X) = 0.0008(2000) + 0.07

C(X) = 1.6 + .07

C(X) = 1.67

C) El costo real de producir la unidad 2001 se obtiene restando 2000 a 2001 al sustituir x en la ecuación C(X) = 0.0004x2 + 0.07x + 6000

C(X) = 0.0004(2001)2 + 0.07x + 6000 = 7741.6704 C(X) = 0.0004(2000)2 + 0.07x + 6000 = 7740

7741.6704 - 7740

= 1.6704

2.- El ingreso mensual de una empresa es de R(x) = 300x + 0.6x2 dólares cuando se producen x unidades por mes. Calcular: Página 16

a) ) La ecuación del costo marginal b) El costo marginal cuando se producen 800 unidades por mes c) El incremento del ingreso cuando el nivel de producción cambia de 800 a 801 unidades por mes.

A) La ecuación del costo marginal se obtiene al derivar la ecuación R(x) = 300x + 0.6x2

R(x) = 300x + 0.6x2

= 300 + .12x

B) El costo marginal cuando se producen 800 unidades por mes se obtiene sustituyendo la x de la ecuación derivada en el punto anterior por 800

300 + .12x

300 + .12(800)

300 + 960

= 1260

Página 17

C)

El incremento del ingreso cuando el nivel de producción cambia de 800 a

801 unidades por mes se obtiene restando 800 a 801 sustituyendo x en la ecuación R(x) = 300x + 0.6x2

300(801) + 0.6(801)2 = 625,260.6

300(800) + 0.6(800)2 = 624,000

625,260.6 - 624,000

= 1260.6

SESION 8 MÁXIMOS Y MÍNIMOS ABSOLUTOS 1.- la suma de un número y el triple de otro es 120. ¿Cuáles serán dichos números para que su producto sea máximo? Ecuación 1 x + 3 y = 120

Ecuación 2

P = xy

Despejamos y de la ecuación 1 x + 3 y = 120 120 − x y= 3

Sustituimos Y en la ecuación 2

Página 18

P = xy 120 − x  P = x  3  

P = 40 x −

x2 3

Derivamos la ecuación 2 ya sustituida P ′ = 40 −

2 x 3

2 x =0 3 − 40 (3) x= −2 x = 60

40 −

Sustituimos la x en la ecuación 1 con la y despejada 120 − 60 3 y = 20 y=

2.- Las páginas de un libro deben contener un área impresa de 216 cm con márgenes superior e inferior de 3 cm y los laterales de 2 cm (ver figura). Calcular las dimensiones de la página para que su área total sea mínima. a b Y+6

a=3

X+4

Página 19

b=2

xy = 216 216 y= x 216 y= 12 y =18 cm

A =b * h A = ( x + 4)( y + 6) A = xy = 216 A=

216 x

A = ( x + 4) ( 216 + 6) 4

Exterior de la página

216x 864 + 6x + + 24 x x 864 A = 6x + + 240 x

x + 4 =12 + 4 =16

A=

y + 6 =18 + 6 = 24

Derivamos A 864 =0 x2 864 6

A′ = 6 − x=

A = xy A = (16 )( 24 ) A = 384 cm 2

x = 12 cm

SESION 9 MÁXIMOS Y MINIMOS ABSOLUTOS 1.- Una viga de madera tiene sección rectangular (ver figura). Su resistencia es directamente proporcional a su anchura x y al cuadrado de su altura h. ¿Cuáles deben ser las dimensiones de la viga más resistente que puede cortarse de un tronco de 60 cm de diámetro?

d h

x

Página 20

R = xh 2

−3 x 2 = −3600

x 2 + h 2 = 3600

x=

h = 3600 − x

x = 34 .641 cm

2

2

Sustituimos

−3600 −3

en la ecuación

Sustituimos en la ecuación h 2 = 3600 − ( 34 .641 )

R = x (3600 − x 2 )

2

h 2 = 2400

R = 3600 x − x 3

h 2 = 2400 h = 48 .989 cm

Derivamos R ′ = 3600 − 3 x 2

2.- Se requiere diseñar una caja abierta con una lámina cuadrada de 42 cm de lado, cortando cuadrados iguales en cada esquina y doblando hacia arriba los bordes, como se muestra en la figura. Determinarlas dimensiones de la caja para que tenga el mayor volumen que pueda hacerse de esta manera.

x

x

x

x

x

x x

x

Página 21

V = LxLxL V = ( 42 − 2 x ) x 2

(

)

V = 1764 −168 x + 4 x 2 x V =1764 x −168 x + 4 x 3 2

V ′ =1764 −336 x +12 x 2

x= x=

Utilizando formula general V = ( 42 − 2( 7 ) ) ( 7 ) V = 5488 V = 28 x 28 x 7 2

− b ± b 2 − 4ac 2a 336 ±

( 336 ) 2 − 4( −12 )(1764 ) 24

336 ± 168 24 x =7 x=

Sesión 10 Aplicaciones de la integral 1- Una taza de café cuya temperatura constante es de 88°c se deja

en un cuarto cuya temperatura constante es de 18°c . dos minutos más tarde la temperatura del café es d 79°c . ¿después de cuánto tiempo la temperatura del café será de 66°c?

Sea (t) la temperatura del café en el instante t, con t ≥ 0. Sabemos que la ecuación que rige este tipo de fenómenos de enfriamiento es. Dt/dt= k(T-Ta) , donde Ta es la temperatura del ambiente en donde está el objeto en estudio. Esta temperatura del ambiente se supone constante.

Datos:

Página 22

Tca= 88°c Ta= 18°c = cte. Tci = 79°c To1= 2 min. To2= 66°c To2= ¿? Ta= temperatura ambiente

Sea T(t) la temperatura t≥0

dT/dt = K(T-Ta).

dT/ (T-Ta) = Kdt

dT/(t-18) = Kdt

.

.

. si u= T-18 Du = dT

=k

.

Página 23

Ln u

Ln (T-18) [Ln (Tf-18) – Ln (To-18)] = K (tf-to)

Analizando el primer intervalo

Ln

Ln Ln

= 2K

LN (.871428571) = 2K K= K= Por las unidades de rapidez Por el signo - , disminuye masa Ahora consideramos K (tf-to) = Ln [ Si Tf = 66°c Si To = 88°c K ΔT = [0.6857142857] K ΔT = ΔT = 5.483075989 min. Tiempo para que pase de 88°c a 66°c

Página 24

2- Una pelota se deja caer desde lo alto de un edificio de 400 pies de altura. a) ¿cuánto tardara en llegar al suelo? b) ¿Con que velocidad golpeara el piso?

Gravedad = 32 pies/seg. Ma + Kv + F M m

=0

Dv/dt + g = 0 Dv/dt = -g Dv= -gdt Dx/dt = -g(t)

Xf –Xo = -1/2 g Xf = -1/2g

Vf = vo – g (tf-to) Vf0 –gtf Vf= -9.8m/s[9.03]

Página 25

Vf= -88.49 m/s

=t T = 9.03s

Sesion 12 Aplicaciones de la integral 1- Una pelota es arrojada directamente hacia abajo desde lo alto de un edificio. La velocidad inicial de la pelota es de 10 m/s. si llega al piso con una velocidad de 60m/s. ¿Cuál es la altura del edificio?

Considere que la gravedad es = 9.8m/s, Fm = fuerza aplicada sobre masa Fg = fuerza gravitacional Fv = fuerza del viento M = masa del proyectil (pelota) G = aceleración gravitacional A = aceleración que se le imprime al proyectil K= constante de proporcionalidad a la velocidad del proyectil con la posición que presenta el medio al desplazamiento del proyectil. V = velocidad del proyectil Dv= diferencia de velocidad variación en velocidad T = tiempo Dt = diferencia de tiempo o intervalo de tiempo Dv/dt = rapidez con la que cambia la velocidad, ritmo de cambio en la velocidad , aceleración. Y = altura, posición. Dy= diferencia de altura, cambio de posición Datos Pelota = se considera como partícula, no dan masa, ni dimensiones ni forma. Fricción= se despreciara Vo = -10 m/s; velocidad inicial, signo negativo por ir hacia abajo Vf= -60 m/s; velocidad final signo negativo por ir hacia abajo

Página 26

Y= ¿? Altura del edificio G= 9.8m/s valor estandarizado de la aceleración gravitacional. *nota: las variaciones en la aceleración gravitacional pueden deberse a la presencia de ríos , cavernas o minerales debajo de la tierra.

1- Planteamiento :

Fm + Fg+ Fo = 0 Ma + mg = 0 Si

Se usa a veces al concepto de los operadores para que aparentemente simplifiquemos la solución de ec. Dif. .

M M .

.

Do = -gdt .

Haciendo sustitución.

.

.

*

[(D)(D)] y =-g

. (vf – vo ) = (-g) ( tf – to )

La teoría dice que cuando se tiene raíces reales y repetidas se utiliza la formula:

Vf-vo = -g (tf – 0 )

Y= ( c1 + c2x )

Vf – vo = -gt Vf = vo -gt A= m

= + mg = 0

Y= ( c1 + c2t ) Al tener dos raíces igual a cero Y= ( c1 + c2t ) Y= ( c1 + c2t ) Y= ( c1 + c2t ) (1) Y= ( c1 + c2t ) Solución general Página 27

m

= -mg

.

La forma alternativa de encontrar la fórmula para altura . Encontrar valores de constantes c1 yc2 . V = -gt + c ( dy/ dt ) = -gt + c Dy = ( -gt + c ) dt Dy = -gtdt + cdt . Para determinar el valor de constante “C” para t= 0 V = vo = 10 V = -gt + c V=c C=v = 10 . * .

+c

. Y = (-g) ( Y = (-10 ) t – ½ gt + c Para t= 0 y=c Y = (-10) t – ½ gt . T = 5.10 Y = ( -10 ) ( 5.10 ) – ½ ( 9.8) -51 – 127.44 Y = -178. 44

Página 28