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TALLER POR GRUPOS MENORES O IGUALES A CUATRO (Fecha de entrega día del parcial 15 min antes de iniciar el final aula de clases)

DISTRIBUCION UNIFORME

1.

La variable aleatoria X tiene una distribución uniforme discreta sobre los enteros 91≤x≤100. Determine la media y la varianza de X Media: 91+92+93+94+95+96+97+98+99+100=955/10=95.5 Varianza:

𝜎 2 = 16.5

2.

En un proceso de recubrimiento se toman varias mediciones del espesor, hasta la centésima de milímetro más cercana. Si las mediciones están distribuidas uniforme con valores 0.15, 0.16, 0.17, 01.8 y 0.19, calcule la media y la varianza del espesor.

Mediciones: 0.15, 0.16, 0.17, 0.18 y 0.19 Media: 0,17 Varianza: 0,025

3.

Suponga que X sigue unan distribución uniforme sobre los dígitos del 0 al 9. Determine a) b) c) d) e) f)

La función de probabilidad de X La media, la varianza y la desviación estándar de la variable X. P(X≤4) P(X4) P(X≥4)

b) Media: X= (0+1+2+3+4+5+6+7+8+9)/10= 4.5 Varianza: V(x)= 8.33

Desviación. Estándar c) P(X≤4) P (x=0) + P (x=1) + P (x=2) + P (x=3) + P (x=4) P = 0.1 + 0.1 + 0.1 + 0.1 + 0.1 P = 0.5 d) P(X4) P (x ≤ a) + P (x>a) = 1 P (x>4) = 1 - P (x ≤ 4) P (x>4) = 1-0.5 P (x>4) =0.5 f) P(X ≥ 4) P (x10)= 1-(x≤9) 𝑝(𝑥 ≥ 9) = 𝑝(𝑥 = 0) + 𝑝(𝑥 = 1) + 𝑝(𝑥 = 2)+ 𝑝(𝑥 = 3) + 𝑝(𝑥 = 4) … . . +𝑝(𝑥 = 9) =0.8857

d) n= 20

x=2

𝑝(𝑥 = 2) = (

2.

q= 0.85

P=0.15

20 ) 0,152 . 0,8518 = 0,229 2

Se sabe que el 20% de ciertas semillas no germinan. Las semillas se empacan en cajas de 20 semillas con la garantía de que por lo menos 14 de ellas germinen.

Si se selecciona una caja al azar, calcule la probabilidad de que a)

La caja cumpla con la garantía

b) La caja contenga más de 3 semillas que no germinen c)

Si se venden 5 cajas, cual es la probabilidad de que todas cumplan con la garantía

Respuestas: a) n= 20 r= 6

𝑝(𝑥 = 14) = (

20 ) 0,814 . 0,26 = 0,109 14

b)

P(x>3)= 1-p (x≤3) 𝑝(𝑥 = 0) + 𝑝(𝑥 = 1) + 𝑝(𝑥 = 2)+ 𝑝(𝑥 = 3) 𝑝(𝑥 = 0) = (

20 ) 0,200 . 0,8020 = 0,011 0

𝑝(𝑥 = 1) = (

20 ) 0,201 . 0,8019 = 0,057 0

𝑝(𝑥 = 2) = (

20 ) 0,202 . 0,8018 = 0,013 0

𝑝(𝑥 = 3) = (

20 ) 0,203 . 0,8017 = 0,020 0

𝑝(𝑥 = 0) + 𝑝(𝑥 = 1) + 𝑝(𝑥 = 2)+ 𝑝(𝑥 = 3) = 0,411 =1-0,411=0,589 c)

n=5

x= 5 5

𝑝(𝑥 = 5) = ( ) 0,80 . 0,25 =0,00032 0

3.

Se sabe que el 20% de los chips en un proceso de emisión son defectuosos. Se seleccionan 15 chips. Calcule las siguientes probabilidades usando Excel a) P(X=4) b) P(X≤4) c) P(X>4) Para este mismo ejercicio 3: En los siguientes numerales llene los espacios en blanco y calcule las probabilidades respectivas usando Excel d) P(3 ≤ X ≤ 8) =P(X≤ ) - P(X≤ )= e) P(3 < X < 8) =P(X≤ ) - P(X≤ )= f) P(3 ≤ X < 8) =P(X≤ ) - P(X≤ )= g) P(3 < X ≤ 8) =P(X≤ ) - P(X≤ )= k) Cual es la probabilidad de que se emitan cuando mucho 12 chips buenos l) Cual es la probabilidad de que se emitan mínimo 10 chips buenos Recuerden que para un valor cualquiera k: P(X ≤ k) + P(X > k)=1 P(X< k) + P(X ≥ k)=1 Respuestas: a) P(X=4)=0.1876 b) P(X≤4)=0.8357 c) P(X>4)= 1-P(X≤4)= 0.1643 e) P(3 ≤ X ≤ 8) =P(X≤8) – P(X≤2)= 0.601 f) P(3 < X < 8) = P(X≤7) – P(X≤3)= 0.3475 g) P(3 ≤ X < 8) = P(X≤7) – P(X≤2) = 0.5977 h) P(3 < X ≤ 8)= P(X≤8) – P(X≤3) = 0.3510 k) P(X≤12)= 0.6019 l) P(X≥10)= 1-P(X≤9)= 1- 0.0610= 0.9383

DISTRIBUCION BINOMIAL NEGATIVA En este modelo el interés se centra en la probabilidad de ocurrencia del k-ésimo éxito en X ensayos donde: X: Es el numero de ensayos hasta que ocurra el k-ésimo éxito k: Es el numero de éxitos p: Probabilidad de éxito La función de probabilidad está dada por:

P(X = x) =

4.

x-1Ck-1

pkqx-k𝐸(𝑋) =

𝑘 𝑝

𝑉(𝑋) =

𝑘𝑞 𝑝2

En la emisión de señales de prueba de un satélite, el 20% salen distorsionadas a) Cuál es la probabilidad de que la cuarta señal distorsionada aparezca en la decima señal. b) Cuál es la probabilidad de que la segunda señal distorsionada aparezca en la séptima señal c) Cuál es la probabilidad de que la octava señal no distorsionada aparezca en la decimosegunda señal

Respuestas

a)

K=4 P= 0.20 Q = 0.80 9

𝑝(𝑥 = 10) = (3) 0,204 . 0,806 = 0,0352 b) K=2 P= 0.20 Q = 0.80

6 𝑝(𝑥 = 7) = ( ) 0,202 . 0,805 = 0,0786 1 c)

K=8 P= 0.80 Q = 0.20

𝑝(𝑥 = 12) = (

11 ) 0,808 . 0,204 = 0,088 7

5.

Para tratar a un paciente de una afección de pulmón han de ser operados en operaciones independientes sus 5 lóbulos pulmonares. La técnica a utilizar es tal que si todo va bien, lo que ocurre con probabilidad de 7/11, el lóbulo queda definitivamente sano, pero si no es así se deberá esperar el tiempo suficiente para intentarlo posteriormente de nuevo. Se practicará la cirugía hasta que 4 de sus 5lóbulos funcionen correctamente. ¿Cuál es el valor esperado de intervenciones que se espera que deba padecer el paciente? ¿Cuál es la probabilidad de que se necesiten 10 intervenciones?

Respuesta

K=4 P= 7/11 Q = 4/11 9

𝑝(𝑥 = 10) = (3) 7/114 . 4/116 = 0,0318

6.

Un matrimonio quiere tener una hija, y por ello deciden tener hijos hasta el nacimiento de una hija. Calcular el número esperado de hijos (entre varones y hembras) que tendrá el matrimonio. Calcular la probabilidad de que la pareja acabe teniendo tres hijos o más.

Sabemos que el número esperado de hijos varones es 1, por tanto, el número esperado en total entre hijos varones y la niña es 2. La probabilidad de que la pareja acabe teniendo tres o más hijos, es la de que tenga 2 o más hijos varones (la niña está del tercer lugar en adelante), es decir,

7.

Si la probabilidad de que un niño expuesto a una enfermedad contagiosa la contraiga es 0,40, ¿cuál es la probabilidad de que el décimo niño expuesto a la enfermedad sea el tercero en contraerla? Respuesta a)

K=3 P= 0.40 Q = 0.60 X = 10 9 2

𝑝(𝑥 = 10) = ( ) 0,403 . 0,607 = 0,0644

DISTRIBUCION HIPERGEOMETRICA

a)

Entre las 20 celdas solares que se presentan en una expresión comercial, 12 son celdas planas y las otras son celdas de concentración. Si una persona que visita la exposición selecciona al azar 6 de las salas solares para revisarlas. ¿Cuál es la probabilidad de que 3 de estas sean planas? N = 20

n=6

K=8 X=3

𝑝(𝑥 = 3) = (

b)

(83)(12 3)

) = 0,3178

(20 6)

Un inspector de aduanas decide revisar 3 de 16 embarques provenientes de Madrid por la vía aérea. Si la selección es aleatoria y 5 de los embarques contienen contrabando, calcule la probabilidad de que el inspector de aduanas, encuentre mínimo tres embarques con contrabando Respuesta N = 16

n=3

K=5 X=3

𝑝(𝑥 = 3) = (

c)

(53)(11 0)

) = 0,0178

(16 3)

En una prisión federal, 2 de 5 internos están purgando condenas por delitos contra la salud, 2 por delitos contra la propiedad privada y 1 por delitos contra el comercio. Si se selecciona aleatoriamente a 3 de los internos para comparecer ante un comité legislativo a) ¿Cuál es la probabilidad de que 1 de los 5 estén purgando condenas por delitos contra la salud?

N=5

n=2

K=2 X=1

𝑝(𝑥 = 1) = (

(21)(31) (52)

) = 0,6

b)

¿Cuál es la probabilidad de que 2 de los 5 estén purgando condenas por delitos contra la propiedad privada?

N=5

n=2

K=2 X=2

𝑝(𝑥 = 2) = (

(22)(30)

) = 0,1

(52)

DISTRIBUCION POISSON

d) Se sabe que la emisión de partículas alfa por una fuente radiactiva sigue una distribución poisson a un ritmo de 4 partículas por minuto. En un momento cualquiera, cual es la probabilidad de que la fuente emita:

a)

Exactamente 6 partículas en un minuto P(x=6) = 0.1041

b) Exactamente 15 partículas en 5 minutos P(x=15) = 0.0516 c)

Cuando mucho 15 en 5 minutos P(x≤15) = 0.1565

d) Más de 15 en 5 min P(x>15) = 1 – P(x≤15) P(x>15) = 1 – 0.1565 = 0.8435 e)

Mínimo 15 en 5 min P(x≤15) = 1 – P(x≤14) P(x≤15) = 1 – 0.1048 P(x≤15) = 0.8952

f)

Menos de 15 en 5 min P(x≤14) = 0.1048

g) P (12≤ X ≤ 25) en 5 min P(x≤25) - P(x≤11) 0.8878-0.0213 = 0.8665 h) P (12 < X < 25) en 5 minutos P(x≤24) - P(x≤12) 0.8432 – 0.0213 = 0.8219 i)

P (12≤ X < 25) en 5 minutos 0.8432 – 0.1048 = 0.7384

e)

El número de errores que comete una digitadora en un computador sigue un comportamiento poisson con una frecuencia de 3 errores por hoja. Calcule la probabilidad de que:

a)

Hayan 5 errores en una hoja

b) Hayan más de 17 errores en 5 hojas seguidas c)

Hayan menos de 25 errores en un folleto de 6 hojas

d) Si de 100 hojas, dos son gravemente defectuosas y hay que volver a hacerla, cual es la probabilidad de que la vigésima hoja sea la primera en salir gravemente defectuosa.

DISTRIBUCION MULTINOMIAL

f)

En un partido de baloncesto hay tres jugadores con características similares, es por ello que el técnico decide ponerlos en el partido crucial. Se sabe que del total de cestas de tres puntos logradas por los tres jugadores están repartidas así: A registra un 40%, B un 35% y C un 25% ¿Si se estima que en un partido se consigan 16 cestas de tres puntos, cual es la probabilidad de que A haga 7 cestas B seis y C tres? Respuesta 3!

𝑝(7, 6, 3) = (7!6!3!) 0,407 𝑥 0,356 𝑥 0,253 = 1,29𝑥10−14 a)

Cuál es la probabilidad de que A haga diez, B dos y C cuatro

3! 𝑝(10, 2, 4) = ( ) 0,4010 𝑥 0,352 𝑥 0,254 = 1,72𝑥10−15 10! 2! 4! b) Cuál es la probabilidad de que A haga once, B siete y C cero

3! 𝑝(11, 7, 0) = ( ) 0,4011 𝑥 0,357 𝑥 0,250 = 8,04𝑥10−19 11! 7! 0! g) Una gran avenida pintada y sin huecos, tiene 10 semáforos. Cada semáforo esta programados así: En rojo 45 segundos En amarillo 5 segundos En verde 40 segundos

Cuál es la probabilidad de que en un instante dado: a) Todos estén en verde b) 5 en rojo, tres en verde y dos en amarillo c) 8 en rojo y dos en verde d) Todos en rojo e) 7 en verde y tres en amarillo