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• DanielStauffenberg

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Taller N.4 Algebra Lineal Universidad Nacional de Colombia 1. Determinar si el conjunto dado V es un espacio vectorial bajo las operaciones ⊕, en caso contrario indicar las propiedades que no satisfacen. y . a) V = {(x, y) ∈ R2 |x > 0, y > 0}, donde: (x, y) ⊕ (x0 , y 0 ) = (x + x0 , y + y 0 ) c (x, y) = (cx, cy) b) V = {(x, y, z) ∈ R3 |x = 0}, donde: (0, y, z) ⊕ (0, y 0 , z 0 ) = (0, y + y 0 , z + z 0 ) c (0, y, z) = (0, 0, cz) c) V = {at2 + bt + c ∈ P2 |a, b, c ∈ R;

b = a + 1}

(a1 t2 + b1 t + c1 ) ⊕ (a2 t2 + b2 t + c) = (a1 + a2 )t2 + (b1 + b2 )t + (c1 + c2 )   a b d) V = { |a = d} y ⊕ es la suma matricial ,y la multiplicaci´on por escalar. c d e) El conjunto de todas las ternas ordenadas de n´ umeros reales (x, y, z) con la operaciones: (x, y, z) ⊕ (a, b, c) = (x, y + b, c) c (x, y, z) = (cx, cy, cz) f ) El conjunto de todas las ternas ordenadas de n´ umeros reales (x, y, z) con la operaciones: (x, y, z) ⊕ (a, b, c) = (x + a, y + b, z + c) c (x, y, z) = (x, 1, z) g) El conjunto de todas las ternas ordenadas de n´ umeros reales (x, y, z) con la operaciones: (x, y, z) ⊕ (a, b, c) = (0, 0, z + c) c (x, y, z) = (cx, cy, cz) 2. ¿Cu´ales de los siguientes subconjuntos de R4 son subespacios de R4 ? El conjunto de todos los vectores de la forma: a) (a, b, c, d), donde a − b = 2. 1

b) (a, b, c, d), donde c = a + 2b y d = a − 3d. c) (a, b, c, d), donde a = 0 y b = −d. d ) (a, b, c, d), donde a + b + c + d = 0. e) (a, b, c, d), donde a = b = 0. f ) (a, b, c, d), donde a = 1, b = 0 y c + d = 1. g) (a, b, c, d), donde a > 0 y b < 0 3. ¿Cu´ales de los siguientes subconjuntos de P2 son subespacios? El conjunto de todos los polinomios de la forma: a) a2 t2 + a1 t + a0 , donde a0 = 0. b) a2 t2 + a1 t + a0 , donde a0 = 2. c) a2 t2 + a1 t + a0 , donde a0 + a1 + a2 = 0. d ) a2 t2 + a1 t + a0 , donde a2 + a1 = a0 . e) a2 t2 + a1 t + a0 , donde a1 = 2a0 . f ) a2 t2 + a1 t + a0 , donde a2 + a1 + a0 = 2 4. Demuestre que Pm es un subespacio de Pn si m < n. 5. Determine, en cada parte si el vector dado v pertenece a gen{v1 , v2 , v3 }, donde v1 = (1, 0, 0, 1), v2 = (1, −1, 0, 0) y v3 = (0, 1, 2, 1). a) v = (−1, 4, 2, 2) b) v = (1, 2, 0, 1) c) v = (−1, 1, 4, 3) d ) v = (1, 1, 1, 0) 6. ¿Cu´ales de los siguientes conjuntos de vectores generan a R4 ? a) (1, 0, 0, 1), (0, 1, 0, 0), (1, 1, 1, 1), (1, 1, 1, 0). b) (1, 2, 1, 0), (1, 1, −1, 0), (0, 0, 0, 1). c) (6, 4, −1, 4), (2, 0, 0, 1), (3, 2, −1, 2), (5, 6, −3, 2), (0, 4, −2, −1) d ) (1, 1, 0, 0), (1, 2, −1, 1), (0, 0, 1, 1), (2, 1, 2, 1). e) (1, 0, 0, 1), (0, 1, 1, 0), (1, 2, 3, 4), (2, 3, 4, 5) 7. ¿Cu´ales de los siguientes conjuntos de polinomios generan a P2 ? a) {t2 + 1, t2 + t, t + 1} 2

b) {t2 + 1, t − 1, t2 + t + 1} c) {t2 + 2, 2t2 − t, t2 + t + 4} d ) {t2 + 2t − 1, t2 − 1} 8. ¿Cu´ales de los siguientes conjuntos de vectores en R3 son linealmente dependientes? Cuando lo sean, exprese un vector del conjunto como combinaci´on lineal de los dem´as. a) {(1, 2, −1), (3, 2, 5)}. b) {(4, 2, 1), (2, 6, −5), (1, −2, 3)} c) {(1, 1, 0), (0, 2, 3), (1, 2, 3), (3, 6, 6)}. d ) {(1, 2, 3), (1, 1, 1), (1, 0, 1)} e) {(1, 0, 1), (0, 1, 1), (1, 1, 0), (1, 1, 1)} 9. ¿Cu´ales de los siguientes conjuntos de vectores en P2 son linealmente dependientes? Cuando lo sean, exprese un vector del conjunto como combinaci´on lineal de los dem´as. a) {t2 + 1, t2 + t, t + 1} b) {t2 + 1, t − 1, t2 + t + 1} c) {t2 + 2, 2t2 − t, t2 + t + 4} d ) {t2 + 2t − 1, t2 − 1} e) {t2 + 1, t − 2, t + 3} f ) {2t2 + 1, t2 + 3, t} g) {3t + 1, 3t2 + 1, 2t2 + t + 1} h) {t2 − 4, 5t2 − 5t − 6, 3t2 − 5t + 2} 10. ¿Cu´ales de los siguientes conjuntos de vectores son bases para P2 ? a) {−t2 + t + 2, 2t2 + 2t + 3, 4t2 − 1} b) {t2 + 2t − 1, 2t2 + 3t − 2, −4} c) {t2 + 1, 3t2 + 2t, 3t2 + 2t + 1, 6t2 + 6t + 3} d ) {3t2 + 2t + 1, t2 + t + 1, t2 − 3t + 4} 11. ¿Cu´ales de los siguientes conjuntos de vectores son bases para P3 ? a) {t3 + 2t2 + 3t, 2t3 + 1, 6t3 + 8t2 + 6t + 4, t3 + 2t2 + t + 1} b) {t3 + t2 + 1, t3 − 1, t3 + t2 − 2t} c) {t3 + t2 + t + 1, t3 + 2t2 + t + 3, 2t3 + t2 + 3t + 2, t3 + t2 + 2t + 2} 3

d ) {t3 − t, t3 + t2 , t2 − 2t + 3, t − 1} 12. Sea V un espacio vectorial real. a) Muestre que si u + v = u + w, entonces v = w b) Muestre que si u 6= 0 y au = bu, entonces a = b c) Muestre que un espacio vectorial s´olo tiene un vector cero. 13. Demuestre que un subconjunto W de un espacio vectorial V es un subespacio si, y s´olo si se cumple la siguiente condici´on: Si u, v ∈ W y a, b ∈ R son escalares arbitrarios, entonces au + bv ∈ W . 14. Demuestre que el conjunto de todas las soluciones de Ax = b donde A ∈ Mm×n (R) no es un subespacio de Rn si b 6= 0. 15. Sea S = {v1 , v2 , . . . , vn } un conjunto de vectores en un espacio vectorial V , y sea W un subespacio de V que contiene a S. Muestre que W contiene a genS. 16. Sean S1 ⊆ S2 subconjuntos finitos de un espacio vectorial. Muestre que: a) Si S1 es linealmente dependiente, tambi´en lo es S2 . b) Si S2 es linealmente independiente, tambi´en lo es S1 . 17. Suponga que {v1 , v2 , v3 } es un conjunto linealmente independiente de vectores en un espacio vectorial V . Muestre que T = {w1 , w2 , w3 }, donde w1 = v1 + v2 + v3 , w2 = v2 + v3 y w3 = v3 , tambi´en es linealmente independiente. Si w1 = v1 + v2 , w2 = v1 + v3 y w3 = v2 + v3 es linealmente independiente, Justifique. 18. Sean v1 , v2 y v3 vectores en un espacio vectorial, tales que {v1 , v2 } es linealmente independiente. Muestre que si v3 no pertenece a gen{v1 , v2 } entonces {v1 , v2 , v3 } es linealmente independiente. 19. Sea S = {u1 , u2 , . . . , uk } un conjunto de vectores en un espacio vectorial, y sea T = {v1 , v2 , . . . , vm }, donde cada vi , 1 6 i 6 m, es un combinaci´on lineal de los vectores en S. Muestre que W = b1 v1 + · · · + bm vm es una combinaci´on lineal de los vectores de S. 20. Suponga que S = {u1 , u2 , . . . , un } es un conjunto linealmente independiente de vectores en Rn . Muestre que si A es una matriz no singunlar n × n, entonces T = {Au1 , Au2 , . . . , Aun } es linealmente independiente. 21. Sean S1 y S2 subconjuntos finitos de un espacio vectorial V , donde S1 es un subconjunto de S2 . Si S2 es linealmente dependiente , muestre, mediante algunos ejemplos, que S1 puede ser linealmente independiente. De igual forma si S1 es linealmente independiente, muestre con algunos ejemplos, que S2 puede ser linealmente dependiente.

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