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• Juan Carlos Motta Medina

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TALLER – CADENAS DE MARKOV DE TIEMPO DISCRETO RESOLVER POR GRUPOS FECHA DE ENTREGA FISICA – LUNES 16 DE OCTUBRE DE 2017

1. Un jugador tiene $2. Apuesta $1 cada vez y gana $1 con probabilidad ½ . Deja de jugar si pierde los $2 o si gana $4. a) Cual es la probabilidad de que pierda su dinero al final de, a lo sumo, 5 juegos ? b) Cual es la probabilidad de que el juego dure más de 7 juegos ? 2. Considérese lanzamientos repetidos de un dado corriente. Sea Xn el máximo de los números que resulten de las n pruebas. a) Hallar la matriz de transición p de la cadena de markov. ¿la matriz es regular ? b) Hallar el vector V1 de la matriz P1, la distribución de probabilidad después del primer lanzamiento. c) Hallar el vector V1 de las matrices P2 y P3. 3. Una tienda de café ofrece a sus clientes la siguiente promoción: por la compra de cada taza de café se le sella una tarjeta, con 7 sellos puede reclamar una taza de café gratis, si continúan hasta obtener 10 sellos en su tarjeta a los clientes se les obsequian 2 tazas de café. En un dia cualquiera un cliente consume taza de café con la siguiente distribución de probabilidad.

Tasa de café Probabilidad

0 0.30

1 0.45

2 0.25

Después que un cliente obtiene 7 o más sellos puede pagar una taza de café con la tarjeta pero pierde los sellos adicionales (si consume un segundo café en el día es pago y se le da una nueva tarjeta con una primera marca), la probabilidad que pague con la tarjeta una taza de café si solo consume una es de 0.7 y 0.8 si consume dos. Cuando un cliente obtiene los 10 sellos siempre consume los 2 cafés gratuitos, es decir, si inicia el día con 9 sellos consumirá 0,1 0 3 cafés con probabilidad de 0.3, 0.45 y 0.25. Modele el anterior problema a través de una cadena de tiempo discreto. Asuma que solo se da una tarjeta a cada cliente y que este siempre la presenta al momento de la compra.

4. Una costurera trabaja exclusivamente en una fase del proceso de producción de un diseño especial de prendas de vestir. Esta fase requiere exactamente media hora para terminar una prenda. Cada 30 minutos llega un mensajero a la mesa de la costurera, para recoger todas aquellas prendas que estén terminadas y para entregar las nuevas prendas que deben ser cosidas. El número de nuevas prendas que lleva el mensajero es inseguro: 30% del tiempo, el mensajero llega sin prendas para ser cosidas; 50% de las veces, el mensajero trae solo una prenda para dejar; 20% de las veces, el mensajero trae dos prendas para la costurera. Sin embargo, el mensajero tiene instrucciones de nunca dejar más de 3 prendas juntas no terminadas a la costurera. (Las prendas no terminadas que no puedan dejarse a la costurera, a resultas de esta política, se llevan a otra costurera para ser procesadas.) Plantee un modelo para este proceso como una cadena de markov de 3 estados. Determínese el porcentaje del tiempo que la costurera permanece ociosa, considerando que cualquier cantidad de prendas no terminadas que estén en la mesa de la costurera al final de un turno de trabajo, permanecen ahí para ser procesadas durante el siguiente día de trabajo. Determine los estados como el número de prendas que no han sido terminadas por la costurera justo antes de que llegue el mensajero. 5. Un profesor continuamente da exámenes a sus estudiantes. El profesor puede dar 3 tipos de exámenes, y su clase se evalúa como “paso” o “rajo”. Sea Pi la probabilidad que la clase “paso” en el tipo de examen i, y suponga que P1 = 0.3, P2 = 0.6, P3 = 0.9. Si la clase “pasa” el examen, entonces el siguiente examen es igualmente probable que sea cualquiera de los 3 tipos. Si la clase se “raja” en un examen, entonces el siguiente examen es siempre tipo 1. Qué proporción de exámenes son del tipo i, i=1,2,3.