• Author / Uploaded
• Juan Pablo Arango

Citation preview

Taller Cadenas de Markov Nota: Los siguientes 4 ejercicios son tomados del libro Hillier F. y Lieberman G. (2010). Investigación de operaciones 9ª edición. Mc Graw Hill. 1. Dadas las siguientes matrices de transición (de un paso) de una cadena de Markov, determine las clases de las cadenas de Markov y si son recurrentes o no. a) P=

0 1 2 3

b) P=

0 1 2 3

0 0 1 0 0

0 1 0 0 ½

1 0 0 1 1

2 1/3 0 0 0

1 0 ½ ½ 0

3 2/3 0 0 0

2 0 ½ ½ 0

3 0 0 0 ½

2. La cervecería más importante de la costa oeste (denotada con la letra A) ha contratado a un experto en IO para que analice su posición en el mercado. En especial, la empresa está preocupada por las actividades de su mayor competidor (denotada con la letra B). El analista piensa que el cambio de marca se puede modelar como una cadena de Markov que incluya tres estados: los estados A y B representan a los clientes que beben cerveza que producen las mencionadas cervecerías y el estado C representa todas las demás marcas. Los datos se toman cada mes y el analista construye la siguiente matriz de transición (de un paso) con datos históricos. A B C A 0,8 0,15 0,05 B 0,25 0,7 0,05 C 0,15 0,05 0,8 a) Encuentre e interprete las probabilidades de estado estable 3. Un fabricante de videograbadoras está tan seguro de su calidad que ofrece garantía de reposición total si un aparato falla dentro de los dos primeros años. Con base en datos compilados, la compañía ha notado que sólo 1% de sus grabadoras fallan durante el primer año, mientras que 5% de ellas sobreviven el primer año pero fallan durante el segundo. La garantía no cubre grabadoras ya reemplazadas. a) Formule la evolución del estado de una grabadora como una cadena de Markov cuyos estados incluyen dos estados absorbentes que representan la necesidad de cubrir la garantía o el hecho de que una grabadora sobreviva el periodo de garantía. Después construya la matriz de transición (de un paso). b) ¿Cuál es la probabilidad de que el fabricante tenga que cubrir una garantía? Página 1 de 3

Taller Cadenas de Markov

4. Un proceso de producción incluye una máquina que se deteriora con rapidez tanto en la calidad como en la cantidad de producción con el trabajo pesado, por lo que se inspecciona al final de cada día. Después de la inspección se clasifica la condición de la máquina en uno de cuatro estados posibles: Estados: 0: 1: 2: 3:

Tan buena como nueva Operable: deterioro mínimo Operable: deterioro mayor Inoperable y reemplazada por una tan buena como nueva

El proceso se puede modelar como una cadena de Markov con matriz de transición (de un paso) P dada por: Estado 0 1 2 3

0 0 0 0 1

1 7/8 ¾ 0 0

2 1/16 1/8 ½ 0

3 1/16 1/8 ½ 0

a) Encuentre las probabilidades de estado estable b) Si los costos respectivos por estar en los estados 0,1, 2, 3 son: 0, 1000, 3000 y 6000 dólares, ¿Cuál es el costo diario esperado a largo plazo? c) Encuentre e interprete el tiempo de recurrencia al estado 0.

Nota: Los siguientes dos ejercicios (ejercicio 5 y 6) son tomados de los talleres del curso Investigación de Operaciones II de la Universidad Nacional de Colombia Sede Medellín, profesor Luis Fernando Moreno. 5. El Villano Voldemort le ha robado la varita mágica a Harry Potter (HP) y la ha puesto en el vértice 4 de un laberinto trapezoidal. HP para poder recuperarla tendrá que someterse a un juego diseñado por el malvado. El juego consiste en tirar de manera instantánea una moneda con dos lados, Cara y Sello. La probabilidad de que salga Cara es de 0.2. Si sale Cara HP irá hacia el vértice adyacente con número par, de lo contrario irá hacia el vértice adyacente con número impar. HP confía plenamente en la moneda y sabe que el villano la ha embrujado para que de cada 10 tiros n resultados sean opuestos a lo que de verdad salió, donde n corresponde al vértice donde se encuentra HP. Éste debe caminar a una velocidad constante de 1 metro/minuto para no despertar la atención del villano. Además, Voldemort ha creado a mitad del camino de 2 hasta 4 una trampa que de caer en ella, con una probabilidad de 0.4, HP quedaría encerrado para siempre dentro de la pirámide. Si HP logra recuperar su varita termina el juego.

Página 2 de 3

Taller Cadenas de Markov 1 metro

1

3

2

4 2 metros

a) Plantee el sistema como un proceso de Markov, definiendo claramente los estados y la matriz de transición de un paso. b) Si HP sale del vértice 1, ¿Cuál es la probabilidad de que HP recupere su varita mágica? c) ¿Cuál es la probabilidad de que HP en 2 minutos se encuentre en el vértice 1 si tiene la misma probabilidad de iniciar en cualquier vértice? 6. Una empresa de telefonía ha recibido numerosas quejas tanto de que la señal es mala como de que las llamadas se cortan. Para corregir el problema se envió un equipo de técnicos a hacer un seguimiento a las llamadas y al final de cada minuto se identifica la señal de la llamada como buena o ruidosa. Adicionalmente es posible que la llamada se corte o que la persona cuelgue voluntariamente (termine la llamada). El 30% de las personas que están comunicadas al inicio de un minuto cuelgan (terminan voluntariamente la comunicación durante ese minuto). La probabilidad de que una llamada con señal (buena o ruidosa) al inicio de un minuto se corte durante el siguiente minuto es del 10% si la señal estaba buena y del 30% si la señal esta ruidosa. Cuando una llamada está en curso al final de un minuto, al siguiente minuto hay el doble de probabilidades de que la llamada esté buena a que esté ruidosa si no se ha colgado voluntariamente ni se ha cortado. a) ¿Cuál es la probabilidad de que una llamada que inició un minuto con buena señal se corte antes de que la persona quisiera colgar voluntariamente? b) ¿Cuál es la probabilidad de que una llamada con señal buena aguante exactamente dos minutos al cabo de los cuales se vuelva la señal mala? Tenga en cuenta que cuando a una persona se le corta la llamada y vuelve a reiniciarla se considera otra llamada diferente.

Página 3 de 3