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1 EJERCICIOS UNIDAD 2 ESTIMACIÓN TEORÍA Ejercicios propuestos Nro. 3 Texto guía páginas 330 – 334 Ejercicio 10.1 Si X1, X2,…, Xn constituyen una muestra aleatoria de una población con la media  , ¿qué condición se debe imponer a las constantes a1 , a2 ,..., an de manera que

a1 X 1  a2 X 2  sea un estimador insesgado de  ?

 an X n

Ejercicio 10.2 Si ˆ1 y ˆ2 son estimadores insesgados del mismo parámetro  , ¿qué condición se debe imponer a las constantes k1 y k2 de manera que

k1ˆ1  k2ˆ2

también sea un estimador insesgado de  ?

Ejercicio 10.5 Dada una muestra aleatoria de tamaño n de una población que tiene la media  conocida y la varianza finita  2 , muestre que 1 n 2  Xi    n i 1 es un estimador insesgado de  2 .

X 1 es un estimador sesgado del parámetro binomial  . ¿Es n2 este estimador asintóticamente insesgado? Ejercicio 10.7 Muestre que

Ejercicio 10.10 Si X1, X2,…, Xn constituyen una muestra aleatoria de una población normal con   0 , muestre que

X i2  i 1 n n

es un estimador insesgado de  2 . Ejercicio 10.11 Si X es una variable aleatoria que tiene la distribución binomial con los X  X parámetros n y  , muestre que n   1   es un estimador sesgado de la varianza de X. n  n

 

Ejercicio 10.13 Muestre que si ˆ es un estimador insesgado de  y var ˆ  0 , entonces ˆ 2 no es un estimador insesgado de  2 .

2

X es un estimador insesgado de n X varianza mínima del parámetro binomial  . (Sugerencia: trate como la media de una n muestra aleatoria de tamaño n de una población de Bernoulli con el parámetro  .) Ejercicio 10.14 Muestre que la proporción muestral

Ejercicio 10.15 Demuestre que la media de una muestra aleatoria de tamaño n es un estimador insesgado de varianza mínima del parámetro  de una población de Poisson. Ejercicio 10.16 Si ˆ1 y ˆ2 son estimadores insesgados independientes de un parámetro dado  y var ˆ1  3  var ˆ2 , encuentre las constantes a1 y a2 tales que a1ˆ1  a2ˆ2

 

 

sea un estimador insesgado con varianza mínima para una combinación lineal como ésta. Ejercicio 10.21 Si X 1 es la media de una muestra aleatoria de tamaño n de una población normal con la media  y la varianza  12 , X 2 es la media de una muestra aleatoria de tamaño n de una población normal con la media  y la varianza  22 , y las dos muestras son independientes, muestre que a)   X1  1     X 2 , donde 0    1, es un estimador insesgado de  ; b) La varianza de este estimador es un mínimo cuando

 22  2  1   22 Ejercicio 10.22 Con respecto al ejercicio 10.21, encuentre la eficiencia del estimador del 1 inciso (a) con   relativa a este estimador con 2

 22  2  1   22 Ejercicio 10.23 Si X 1 y X 2 son las medias de variables aleatorias independientes de tamaño n1 y n2 de una población normal con la media  y la varianza  2 , muestre que la varianza del estimador insesgado

  X1  1     X 2

es un mínimo cuando



n1 . n1  n2

Ejercicio 10.25 Si X1, X2,…, X3 constituyen una muestra aleatoria de tamaño n = 3 de una población normal con media  y la varianza  2 , encuentre la eficiencia de X1  2 X 2  X 3 X  X2  X3 relativa a 1 . 4 3

3

Ejercicio 10.31 Demuestre que si ˆ es un estimador sesgado de  , entonces 2 2 E  ˆ     var ˆ  b     





 

Ejercicio 10.33 Se toman muestras aleatorias de tamaño n de poblaciones normales con la media  y las varianzas  2  4 y  2  9 . Si x1  26.0 y x2  32.5, estime  usando el estimador del inciso (b) del ejercicio 10.21. Ejercicio 10.34 Se toman muestras aleatorias de tamaño n1 y n2 de una población normal con la media  y la varianza  2 . Si n1 = 25, n2 = 50, x1  27.6 y x2  38.1, estime  usando el estimador del ejercicio 10.23. Texto de Newbold páginas 227 – 228; 230 – 231. Ejercicio 4. Sea X1 y X2 una muestra aleatoria de dos observaciones de una población con media  y varianza  2 . Considerar los siguientes tres estimadores puntuales de  : 1 1 X  X1  X 2 2 2 1 3 ˆ 1  X1  X 2 4 4 1 2 ˆ  2  X1  X 2 3 3 a) Probar que los tres estimadores son insesgados. b) ¿Cuál de los tres estimadores es más eficiente? c) Hallar la eficiencia relativa de X con respecto a los otros dos estimadores. Ejercicio 5. Una muestra de 16 familias americanas del distrito de Elm Park mostró unos ingresos medios de 69.200 dólares y una desviación típica muestral de 6.200 dólares. Una muestra independiente de 10 familias en el distrito de Cherry Hills mostró unos ingresos medios de 86.700 dólares y una desviación típica de 9.400 dólares. Sean 1 y  22 la media y la varianza poblacionales de los ingresos familiares en Cherry Hills. a) Utilizar un procedimiento de estimación insesgado para hallar una estimación puntual de  2  1  , la diferencia de las medias poblacionales. b) Sean X 1 y X 2 las medias muestrales. Utilizar un procedimiento de estimación insesgado para hallar una estimación puntual de la varianza de  X 2  X1  .

Ejercicio 6. Sea X1, X2 y X3 una muestra aleatoria de una población con media  y varianza  2 . Considerar los siguientes dos estimadores puntuales de  : X  2 X 2  3X 3 X  4X2  X3 ˆ 1  1 ˆ  2  1 6 6

4 a) b) c) d)

Probar que ambos estimadores son insesgados. ¿Cuál de los dos estimadores es más eficiente? Hallar su eficiencia relativa. Hallar un estimador insesgado para la media poblacional que sea más eficiente que los dos estimadores propuestos.

Ejercicio 7. Sea X1, X2, X3 y X4 una muestra aleatoria de una población con media  y varianza  2 . Considerar los siguientes dos estimadores puntuales de  : X  2 X 2  3X 3  4 X 4 ˆ 1  1 10 X  4 X 2 2  4X3  X4 ˆ    1 10 a) Probar que ambos estimadores son insesgados. b) ¿Cuál de los dos estimadores es más eficiente? c) Hallar su eficiencia relativa. d) Hallar un estimador insesgado para la media poblacional que sea más eficiente que los dos estimadores propuestos. Ejercicio 9. Tomando una muestra de 100 votantes, se encontró que 68 de ellos estaban preocupados por el déficit presupuestario y que 62 estaban en contra de los impuestos de la gasolina. Cuarenta y dos de los encuestados se declararon preocupados por el déficit presupuestario y también se opusieron a los impuestos a la gasolina. a) Utilizar un procedimiento de estimación insesgado para estimar la proporción poblacional de votantes que están preocupados por el déficit presupuestario y se oponen a los impuestos a la gasolina. b) Utilizar un procedimiento de estimación insesgado para estimar la proporción poblacional de votantes preocupados por el déficit presupuestario que se oponen a los impuestos a la gasolina. Ejercicio 19. Sea X1, X2,…, Xn una muestra aleatoria de una población con media  y varianza  2 . Sean además c1, c2,…, cn un conjunto de constantes, y considérese el estimador de  ˆ  c1 X 1  c2 X 2   cn X n a) Probar que ˆ es un estimador insesgado de  sí y sólo si c1  c2   cn  1 b) Probar que la varianza de ˆ es

V ar  ˆ    2  c12  c22 

c

2 n

   c n

2

2 i

i 1

c) Probar que si ˆ es un estimador insesgado de  entonces 2

c    ci  n1   n1     ci  n1   n1  i 1 i 1 i 1 n

n

2 i

n

2

5 Nótese que, si tenemos libertad para escoger las constantes ci, la expresión se minimiza tomando

ci  n 1

para i = 1, 2,…, n d) Usando los resultados obtenidos en (a) y (c), probar que de todos los estimadores de la forma ˆ , la media muestral es el más eficiente. Ejercicio 20. Sea X1, X2,…, Xn una muestra aleatoria de una población con media  y varianza  2 . Sea además X la media muestral. a) Probar que n

ˆ12    X i    / n 2

i 1

es un estimador insesgado de  . b) Probar que 2

n

ˆ 22    X i  X  / n 2

i 1

Ejercicio 24. Se toma una muestra aleatoria X1, X2,…, Xn de una población con media  y varianza  2 . Se considera el siguiente estimador de  : 2 ˆ   X 1  2 X 2  3 X 3   nX n  n  n  1 a) Probar que ˆ es un estimador insesgado de  . b) Hallar la eficiencia relativa de ˆ con respecto a X , la media muestral.

  Indicación :  

n

i  i 1

n n  n  1 n  n  1 2n  1  y  i2   2 6 i 1 

Texto de Canavos páginas 294 – 295: Ejercicios 8.1, 8.2, 8.6, 8.7.

Ejercicio 8.1 En un experimento binomial se observan x éxitos en n ensayos independientes. Se proponen las siguientes dos estadísticas como estimadores del parámetro de proporción p: T1  X / n y T2   X  1 /  n  2 . a) Obtener y comparar los errores cuadráticos medios para T1 y T2. b) Hacer una gráfica del ECM de cada estadística como funciones de p para n=10 y n=25. ¿Es alguno de estos estimadores uniformemente mejor que el otro? Ejercicio 8.2 Sea X1, X2, X3 y X4 una muestra aleatoria de tamaño cuatro de una población cuya distribución es exponencial con parámetro  desconocido. De las siguientes estadísticas, ¿cuáles son estimadores insesgados de  ?

6

1 1  X1  X 2    X 3  X 4  6 3 T2   X1  2 X 2  3X 3  4 X 4  / 5

T1 

T3   X1  X 2  X 3  X 4  / 4

Ejercicio 8.6 Sea X1, X2, X3, X4 y X5 una muestra aleatoria de una población cuya distribución es normal con media  y varianza  2 . Considérense las estadísticas T1   X1  X 2   X 5  / 5 y T2   X1  X 2  2X 3  X 4  X 5  / 6 como estimadores de  . Identificar la estadística que posee la varianza más pequeña. Ejercicio 8.7 Mediante el uso de la cota inferior de Cramér-Rao determinar la varianza del estimador insesgado de varianza mínima de  cuando se muestrea una población cuya distribución es exponencial con una densidad f  x;    1/   exp   x /   , x  0. Deducir que el estimador eficiente de  es la media muestral.

Ejercicios propuestos Nro. 4 Texto guía (Freud): Páginas 349 – 350 Ejercicio 10.53 Si X1, X2,…, Xn constituyen una muestra aleatoria de una población con la media  y la varianza  2 , use el método de momentos para encontrar los estimadores de

 y 2. Ejercicio 10.54 Dada una muestra aleatoria de tamaño n de una población exponencial, use el método de momentos para encontrar un estimador del parámetro  . Ejercicio 10.58 Si X1, X2,…, Xn constituyen una muestra aleatoria de tamaño n de una población dada por:  2   x  para 0  x    f  x;      2 0 en cualquier otra parte  encuentre un estimador para  por el método de momentos.

Ejercicio 10.59 Si X1, X2,…, Xn constituyen una muestra aleatoria de tamaño n de una población dada por:  1   x     e para x   f  x;     0 en cualquier otra parte 

7

encuentre los estimadores para  y  por el método de momentos. Esta distribución se conoce algunas veces como distribución exponencial de dos parámetros, y para   1 es la distribución del ejemplo 10.3. Ejercicio 10.60 Dada una muestra aleatoria de tamaño n de una población uniforme continua, use el método de momentos para encontrar fórmulas para estimar los parámetros  y . Ejercicio 10.72 Dada una muestra aleatoria de tamaño n de una población gamma con el parámetro conocido  , encuentre un estimador de máxima verosimilitud para a)  ; b)    2  1 . 2

Texto de Newbold: Ejercicio 1. Se toma una muestra de ocho lotes de un producto químico para comprobar la concentración de impurezas. Los niveles porcentuales de impurezas encontrados en las muestras fueron: 3,2 4,3 2,1 2,8 3,2 3,6 4,0 3,8 a) Hallar la media, la varianza y la desviación típica muestrales. Hallar la proporción muestral de lotes con nivel porcentual de impurezas mayor que el 3,75% b) ¿Para qué parámetros poblacionales se han hallado en la parte (a) estimaciones por procedimientos insesgados? Ejercicio 2. Se toma una muestra aleatoria de ocho hogares en la ciudad de Londres, los precios de venta de estos hogares (en miles de libras) son 92 83 112 127 109 96 102 90 a) Hallar la media, la varianza y la desviación típica muestrales. b) ¿Para qué parámetros poblacionales se han hallado en la parte (a) estimaciones por procedimientos insesgados? c) Utilizar un procedimiento de estimación insesgado para hallar una estimación puntual de la varianza de la media muestral. d) Utilizar un estimador insesgado para estimar la proporción de hogares de este bario cuyo precio de venta es menor que 92.500 libras. Ejercicio 4. Sea X1 y X2 una muestra aleatoria de dos observaciones de una población con media  y varianza  2 . Considerar los siguientes tres estimadores puntuales de  : 1 1 X  X1  X 2 2 2 1 3 ˆ 1  X1  X 2 4 4

8

1 2 3 3 a) Probar que los tres estimadores son insesgados. b) ¿Cuál de los tres estimadores es más eficiente? c) Hallar la eficiencia relativa de X con respecto a los otros dos estimadores.

ˆ  2  X1  X 2

Ejercicio 5. Una muestra de 16 familias americanas del distrito de Elm Park mostró unos ingresos medios de 69.200 dólares y una desviación típica muestral de 6.200 dólares. Una muestra independiente de 10 familias en el distrito de Cherry Hills mostró unos ingresos medios de 86.700 dólares y una desviación típica de 9.400 dólares. Sean 1 y  12 la media y varianza poblacionales de los ingresos familiares en Elm Park y  2 y  22 la media y varianza poblacionales de los ingresos familiares en Cherry Hills. a) Utilizar un procedimiento de estimación insesgado para hallar una estimación puntual de  2  1  , la diferencia de las medias poblacionales. b) Sean X 1 y X 2 las medias muestrales. Utilizar un procedimiento de estimación insesgado para hallar una estimación puntual de la varianza de  X 2  X1  .

Ejercicio 6. Sea X1, X2 y X3 una muestra aleatoria de una población con media  y varianza  2 . Considerar los siguientes dos estimadores puntuales de  : X  2 X 2  3X 3 X  4X2  X3 ˆ 1  1 ˆ  2  1 6 6 a) Probar que ambos estimadores son insesgados. b) ¿Cuál de los dos estimadores es más eficiente? c) Hallar su eficiencia relativa. d) Hallar un estimador insesgado para la media poblacional que sea más eficiente que los dos estimadores propuestos. Ejercicio 11. De una muestra de 100 votantes en una ciudad, 62 estaban a favor de una inmediata reducción de los impuestos a la propiedad. De otra muestra independiente de 200 votantes de la misma población, 102 estaban a favor de extender los servicios del sistema de bibliotecas públicas. Sea p1 la proporción poblacional de votantes a favor de la reducción de impuestos a la propiedad y p2 la proporción poblacional de votantes a favor de extender los servicios de las bibliotecas públicas. a) Utilizar un procedimiento de estimación insesgado para hallar una estimación puntual de  p1  p2  , la diferencia entre las proporciones poblacionales. b) Si pˆ 1 y pˆ 2 son las dos proporciones muestrales, hallar la varianza de  pˆ1  pˆ 2  .

Ejercicio 16. Sea ˆ1 un estimador insesgado de  1 , y ˆ2 un estimador insesgado de  2 . a) Probar que ˆ  ˆ es un estimador insesgado de     .



1

2



1

2

9





b) Probar que ˆ1  ˆ2 es un estimador insesgado de 1  2  . Ejercicio 19. Sea X1, X2,…, Xn una muestra aleatoria de una población con media  y varianza  2 . Sean además c1, c2,…, cn un conjunto de constantes, y considérese el estimador de  ˆ  c1 X 1  c2 X 2   cn X n a) Probar que ˆ es un estimador insesgado de  si y sólo si c1  c2   cn  1 b) Probar que la varianza de ˆ es var  ˆ    2  c12  c2 2 

 cn 2    2  ci2 n

i 1

c) Probar que si ˆ es un estimador insesgado de  entonces

 ci2    ci  n1   n1     ci  n1   n1 n

n

i 1

i 1

2

n

2

i 1

Nótese que, si tenemos libertad para escoger las constantes ci , la expresión se minimiza tomando ci  n 1 para i  1, 2, , n d) Usando los resultados obtenidos en (a) y (c), probar que de todos los estimadores de la forma ˆ , la media muestral es más eficiente. Ejercicio 20. Sea X1, X2,…, Xn una muestra aleatoria de una población con media  y varianza  2 . Sea además X la media muestral. a) Probar que n

ˆ12    X i    / n 2

i 1

b) Probar que n

ˆ 22    X i  X  / n 2

i 1

es un estimador sesgado de  2 y hallar su sesgo. (Utilizar el hecho de que la varianza muestral es un estimador insesgado de  2 . ) Ejercicio 21. Existen algunos problemas de estimación para los cuales no se puede encontrar ningún estimador insesgado. Por ejemplo, si se toma una muestra de una sola observación de una población con media  y varianza  2 , tenemos un estimador insesgado de  pero no podemos encontrar ningún estimador insesgado de  2 . Explicar por qué esto es posible. Ejercicio 24. Se toma una muestra aleatoria X1, X2,…, Xn de una población con media  y varianza  2 . Se considera el siguiente estimador de  :

10

ˆ 

2  X1  2 X 2  3X 3  n  n  1

 nX n 

a) Probar que ˆ es un estimador insesgado de  . b) Hallar la eficiencia relativa de ˆ con respecto a X , la media muestral.

  Indicación :  y n

i

2



i 1

n

i  i 1

n  n  1 2

n  n  1 2n  1   6 

Texto de Canavos: Páginas 294 – 302 Ejercicio 8.11 Sea X1, X2,…, Xn una muestra aleatoria de una población cuya distribución es la de Rayleigh, con densidad f  x;  2    x /  2  exp   x 2 / 2 2  , x  0. Obtener el estimador de máxima verosimilitud de  2 . ¿Es ésta una estadística para  2 ? Ejercicio 8.17 Los siguientes datos son tiempos de falla, ordenados en horas de diez componentes que fallarán de un total de 40 en una prueba de duración: 421, 436, 448, 474, 496, 499, 510,525, 593, 675. Supóngase que el tiempo de falla es una variable aleatoria exponencialmente distribuida. a) Obtener un estimador de máxima verosimilitud para el parámetro  . b) Úsese la respuesta de la parte a para estimar la confiabilidad de este componente para t = 4.000 horas. Ejercicio 4.19 Se desea obtener un indicador del éxito financiero de ciertas tiendas que venden artículos especiales en los centros comerciales de una gran ciudad. Se selecciona una muestra aleatoria de 30 tiendas ubicadas en distintos centros comerciales y en donde el interés recae en el tiempo que éstas permanecen en operación. Se tendrá un dato significativo cuando se observen las primeras ocho tiendas que dejen de funcionar. Los siguientes datos son el tiempo en orden ascendente, de operación en meses: 3.2, 3.9, 5.9, 6.5, 16.5, 20.3, 40.4, 50.9. Supóngase que el tiempo en el que permanece operando una tienda de esta clase es una variable aleatoria de Weibull con   0.8. a) Usando el resultado del ejercicio 8.18, obtener el estimador de máxima verosimilitud para  . b) Con base en la respuesta del inciso a, ¿cuál es la probabilidad de que una tienda permanezca en operación después de haber transcurrido dos años de su apertura? ¿Después de diez años? Ejercicio 4.20. El tiempo total de procesamiento para programas en tarjetas perforadas de computadora se define como el tiempo que transcurre desde que se lee la primera tarjeta hasta que se imprime la última línea, y está constituido por tres componentes; el tiempo de espera de entrada, el tiempo utilizado por el procesador central y el tiempo de espera de

11 salida. Los siguientes datos son los tiempos totales de procesamiento, en minutos, para una muestra aleatoria de 15 programas similares: 12.5, 5.2, 6.8, 3.6, 10.9, 12.8, 7.8, 8.6, 6.3, 6.9, 18.2, 15.4, 9.2, 10.3, 73. Supóngase que el tiempo total de procesamiento está modelado, en forma adecuada, por una distribución gama con   3. a) Obtener el estimador de máxima verosimilitud para el parámetro de escala  . b) El método de momentos, ¿daría un estimado diferente de  al determinado en el inciso a? c) Mediante la respuesta del inciso a), calcular la probabilidad de que el tiempo de procesamiento sea mayor a 20 minutos.

12 Apéndice 1. La Cota de Cramer – Rao. Si ˆ un estimador insesgado de  y no hay ningún otro estimador insesgado para  que tenga menor varianza que ˆ , entonces decimos ˆ es el estimador insesgado más eficiente para  . Este estimador se conoce como el VMU de  . Para determinar si un estimador es el más eficiente usamos el siguiente resultado. Cota de Cramer – Rao. Sea ˆ un estimador insesgado para  , la varianza de ˆ satisface la siguiente desigualdad: 1 ˆ) var(   Lnf ( x, )  2  nE         donde n es el tamaño muestral y f es la fdp de la población. Definición 4. Si ˆ es un estimador insesgado de  y la varianza de este estimador es igual a la cota inferior de Cramer – Rao, entonces se dice que ˆ es el estimador más eficiente para  . Es decir, si ˆ es un estimador insesgado para  y su varianza iguala a la cota inferior de CRAMER – RAO, entonces ˆ es el estimador más eficiente de  . Por lo tanto, para encontrar el estimador VMU de un parámetro se procede de la siguiente forma:  Paso 1: Encuentre la cota inferior de Cramer – Rao.  Paso 2: Identifique el estimador insesgado cuya varianza iguale la cota. Ejemplo 4: Si X ~ Poisson (λ) entonces ˆ  X es un estimador VMU de λ. Solución: Si X ~ P( ) entonces se tiene que

f ( x) 

e  x x!

Además,

E ( X )     y var( X )   2 Para mostrar que ˆ  X es el estimador VMU de  procedemos de la siguiente forma. i)

Inicialmente, verificamos que ˆ  X efecto, E (ˆ )  E ( X )    

es un estimador insesgado para  . En

13 ii) A continuación mostramos que la cota de Cramer-Rao coincide con la varianza de ˆ  X ; para ello buscamos la cota de Cramer – Rao y verificamos que es igual var( X )   2 / n   / n . Para encontrar la cota de Cramer – Rao  procedemos asi, a. Obtenemos la fdp de X. En este caso, como X ~ P( ) entonces se tienen

e  x x! b. A continuación se obtiene el logaritmo de la fdp de X, que viene dado por que f ( x) 

 e   x   x ln[ f ( x)]  ln    ln e  ln   ln x !  x!     x ln   ln x ! c. Ahora derivamos ln[ f ( x)] con respecto  ; esto es   x x ln[ f ( x)]     x ln   ln x !  1       d. A continuación se obtiene la esperanza del cuadrado de la derivada anterior; esto es, 2     x    2  E[( x   ) 2 ]   E   ln[ f ( x)]   E       2        

Ahora, como E[( x   ) 2 ]  var( X )   entonces se obtiene que 2 2      E[( x   ) ] var( X )  1 E   ln[ f ( x)]     2  2 2       

e. Finalmente, obtenemos la cota inferior de Cramer – Rao que es Cota 

1



1    var( X ) 1 n n

      n  E   ln[ f ( x)]          Por lo tanto, ˆ  X es el estimador VMU de  2

Ejemplo 5: Sea X ~ N (  ,  2 ) . a) Muestre que X es el estimador VMU de  Solución: Para encontrar el estimador VMU X es el estimador VMU de  es necesario tener en cuenta que: var( X )  2 E ( X )  E ( X )   , var( X )   n n

14 Para mostrar que X es el estimador VMU de  hay que encontrar la cota de Camer – Rao y verificar que coincide con la var( X ) y para ello procedemos así: a. La densidad de X ~ N (  ,  2 ) es:

f ( x;  ,  ) 

1

2

2 2

( x   )2

e

2 2

b. Buscamos el logaritmo de la densidad; esto es, ( x )  1  2 ln[ f ( x;  ,  )]  ln  e 2  2 2

2

2

 ( x   )2 1   2 ln  2  12 ln 2 2 2 

c. Buscamos la derivada de ln[ f ( x;  ,  2 )] con respecto a  ; esto es,

  ln[ f ( x;  ,  2 )]   ( x   )2 1 2( x   ) (x  )   2 ln  2  12 ln 2    (1)   2 2    2 2 2  d.

A continuación elevamos al cuadrado la derivada y buscamos la esperanza; esto es,   ln[ f ( x;  ,  2 )] 2   ( x   ) 2  E[( x   ) 2 ] E     E    2  4        var( X )  2 1   4  2 4    e. Finalmente, la cota de Cramer - Rao es: Cota 

1   Lnf ( x,  )  2  nE        



1 n

1





2 n

2

Como la cota de Cramer – Rao coincide con var( X ) , entonces podemos concluir que X es el estimador VMU de  b) Encontrar la cota inferior de Cramer – Rao para los estimadores de  2 .

15 Apéndice 2. La distribución en el muestreo de la proporción muestral. X Sea ˆ  la proporción de éxitos en una muestra aleatoria de tamaño n donde X es el n total de éxitos en la muestra y  es la proporción poblacional de éxitos, entonces se cumple que: i) E (ˆ)  E ( X / n)   ii) var(ˆ)   ˆ  2

 (1   ) n

iii) La raíz cuadrada de ˆ es:

 ˆ 

 2ˆ

es el error estándar de ˆ Esto es, el error estándar de

 (1   ) n

iv) Si el tamaño muestral es grande, entonces

Z v) En la práctica

ˆˆ 

ˆ   ~ N (0,1)  ˆ a

 ˆ es desconocida y se estima como

ˆ(1  ˆ) n

Entonces, para tamaños muestrales grandes se cumple que:

Z

ˆ   ˆ    ~ N (0,1) ˆˆ ˆ ˆ  (1   ) a n

Ejemplo. Una compañía quiere estimar la proporción de personas que son posibles compradores de afeitadoras eléctricas que ven las retransmisiones de fútbol de la liga nacional. Se toma una muestra aleatoria de 120 individuos que se identifican como posibles comparadores de afeitadoras eléctricas. Supongamos que la proporción de posibles compradores de afeitadoras en la población que ven estas retransmisiones es 0.25. a) 0.10 es la probabilidad de que la proporción muestral exceda a la proporción poblacional ¿en qué valor? b) 0.05 es la probabilidad de que la proporción muestral esté por debajo de la proporción poblacional ¿en qué cantidad? c) 0.30 es la probabilidad de que la proporción muestral difiera de la proporción poblacional ¿en qué cantidad?