• Author / Uploaded
• Ivan NC

Citation preview

UNIVERSIDAD NACIONAL DE COLOMBIA ´ DEPARTAMENTO DE MATEMATICAS ECUACIONES DIFERENCIALES Taller: Modelos Matem´aticos con EDO de Primer Orden 1. En 1980 el departamento de recursos naturales liber´o 1000 ejemplares de una especie de pez en un lago, en 1987, la poblaci´on de estos peces en el lago se estim´o en 3000. no 2010 a) Estime la poblaci´on de estos peces en el a˜ b) En que a˜ no se obtuvo una poblaci´on de 9.000 peces. 2. En 1970 la poblaci´on de lagartos en los terrenos del Centro Espacial Kennedy se estim´o en 300. En 1980, la poblaci´on hab´ıa aumentado hasta un estimado de 1500. a) Hallar la poblaci´on de lagartos en el instante t. b) Estime la poblaci´on de lagartos en dichos terrenos, en el a˜ no 2000. 3. La poblaci´on de un pueblo crece con una raz´on proporcional a la poblaci´on en el tiempo t. la poblaci´on inicial de 500 aumenta 15 % en 10 a˜ nos. a) Hallar la poblaci´on en el instante t. b) Estime la poblaci´on pasados 30 a˜ nos? c) ¿Qu´e tan r´apido est´a creciendo la poblaci´on en t = 30 a˜ nos? 4. Una taza de caf´e caliente, inicialmente a 95◦ C, se enfriar hasta 80◦ C en 5 minutos, al estar en un cuarto con temperatura de 21◦ C. Use solo la ley de enfriamiento de Newton y determine el momento en que la temperatura del caf´e estar´a a unos agradables 50◦ C. 5. Un vino blanco a la temperatura ambiental de 70◦ F, se enfr´ıa en hielo (32◦ F). Si se necesitan 15 minutos para que el vino se enfri´e hasta 60◦ F, ¿cu´anto tiempo se necesita para que el vino llegue a 56◦ F? 6. Era el mediod´ıa en un fr´ıo de agosto en Bogot´a: 16◦ C. El detective Pedro lleg´o a la escena del crimen para hallar al sargento sobre el cad´aver. El sargento dijo que hab´ıa varios sospechosos. Si supieran el momento exacto de la muerte, podr´ıan reducir la lista de sospechosos. El detective Pedro sac´o un term´ometro y midi´o la temperatura del cuerpo: 34.5◦ C. Luego sali´o a comer. Al regresar, a la 1:00 p.m., hall´o que la temperatura del cuerpo era de 33.7◦ C. ¿En qu´e momento ocurri´o el asesinato? [Sugerencia: La temperatura normal del cuerpo es de 37 ◦ C]. nana de s´abado, cuando las personas trabajan dentro del un 7. En una calurosa ma˜ edificio, el aire acondicionado mantiene la temperatura interior en 24◦ C. A mediod´ıa, el aire acondicionado se apaga y las personas se van a casa. La temperatura exterior es constante e igual a 35◦ C durante el resto de la tarde. Si la temperatura a las 4 de la tarde es de 30.92 ◦ C

a) Hallar la temperatura dentro del edificio a las 2:00 P.M. b) Hallar la temperatura dentro del edificio a las 6:00 P.M. c) ¿En qu´e momento llegara la temperatura interior del edificio a 27◦ C? 8. Una soluci´on salina entra a una raz´on constante de 8 litros/minuto en un tanque de gran tama˜ no que en un principio conten´ıa 100 litros de soluci´on salina en que se hab´ıan disuelto 0.5 kg de sal. La soluci´on dentro del tanque se mantiene bien revuelta y sale del tanque con la misma raz´on. Si la concentraci´on de sal en la soluci´on que entra al tanque es de 0.05 kg/litro. a) Determine la masa de sal en el tanque despu´es de t minutos. b) ¿Cu´ando llegar´a la concentraci´on de sal en el tanque a 0.02 kg/litro? 9. Un gran tanque de 500 galones est´a lleno de agua pura. Le entra salmuera que tiene 2 lb de sal por gal´on a raz´on de 5 gal/min. La soluci´on bien mezclada sale del tanque con la misma raz´on. a) Determine la cantidad x(t) de libras de sal que hay en el tanque a tiempo t. b) Hallar la concentraci´on de sal en el tanque en el instante t. c) Determine la cantidad sal que hay en el tanque despu´es de 100 minutos. d ) Cual es la concentraci´on en el tanque despu´es de un largo tiempo, es decir conforme t → ∞. 10. Resuelva el problema anterior suponiendo que la soluci´on sale con una raz´on de 10 gal/min. 11. Una soluci´on de ´acido n´ıtrico entra a una raz´on constante de 6 litros/minuto en un tanque de gran tama˜ no que en un principio conten´ıa 200 litros de una soluci´on de ´acido n´ıtrico al 0.5 %. La soluci´on dentro del tanque se mantiene bien revuelta y sale del tanque a raz´on de 8 litros/minuto. Si la soluci´on que entra al tanque tiene ´acido n´ıtrico al 20 %. a) Determine el volumen de ´acido n´ıtrico en el tanque despu´es de t minutos. b) ¿Cu´ando llegara el porcentaje de ´acido n´ıtrico en el tanque al 10 %? 12. Desde el instante t = 0 se bombea agua fresca a raz´on de 3 galones/minuto en un tanque de 60 galones llenos con una soluci´on salina. La mezcla resultante se desborda con la misma raz´on en un segundo tanque de 60 galones que inicialmente conten´ıa solo agua pura, y de ah´ı se derrama al piso. Suponiendo una mezcla perfecta en ambos tanques a) Hallar la cantidad de sal x(t) en el instante t del primer tanque. b) Hallar la cantidad de sal y(t) en el instante t del segundo tanque. c) Hallar el tiempo donde ser´a m´as salada el agua del segundo tanque

d ) En el tiempo del literal anterior, ¿qu´e tan salada estar´a el agua, comparada con la soluci´on original? 13. Un objeto de masa 5 kg se libera desde el reposo a 100 m sobre el suelo y se le permite caer bajo la influencia de la gravedad. Suponiendo que la fuerza debida a la resistencia del aire es proporcional a la velocidad del objeto, con constante de proporcionalidad b = 50N · s/m. a) Determine la ecuaci´on de velocidad del objeto en el tiempo t. b) Determine la ecuaci´on de movimiento del objeto en el instante t. c) Hallar el tiempo que demora en tocar el objeto el suelo. d ) Hallar la velocidad alcanzada por el objeto en el momento que toca el suelo. 14. Un objeto de masa de 5 kg recibe una velocidad inicial hacia debajo de 50 m/s y luego se le permite caer bajo la influencia de la gravedad. Suponga que la fuerza en newtons debida a la resistencia del aire es −10v, donde v es la velocidad del objeto en m/s. Si el objeto esta inicialmente a 500 m sobre el suelo, determine el momento en que el objeto golpeara el suelo. 15. Un velero ha navegado (en l´ınea recta) bajo un viento ligero a 1 m/s. De pronto, el viento comienza a arreciar, soplando lo suficiente como para aplicar una fuerza constante de 600 N al velero. La u ´nica otra fuerza que act´ ua sobre el bote es la resistencia del agua, que es proporcional a la velocidad de la embarcaci´on. Si la contante de proporcionalidad para la resistencia del agua es b = 100N · s/m y la masa del velero es de 50 kg, determine la ecuaci´on de movimiento del velero. ¿Cu´al es la velocidad l´ımite del velero bajo este viento? 16. Un paracaidista cuya masa es de 75 kg se arroja de un helic´optero que vuela a 2000 m sobre el suelo y cae hacia este bajo la influencia de la gravedad. Suponga que la fuerza debida a la resistencia del aire es proporcional a la velocidad de la paracaidista, con la constante de proporcionalidad b1 = 30 N · s/m cuando el paraca´ıdas est´a cerrado y b2 = 90 N · s/m cuando se abre. Si el paraca´ıdas no se abre hasta que la velocidad de la paracaidista es de 20 m/s. a) Hallar el tiempo necesario para abrir el paraca´ıdas b) Hallar la distancia recorrida sin abrir el paraca´ıdas c) Cuanto tiempo demoro en tocar el suelo despu´es de abrir el paraca´ıdas. d ) Hallar la velocidad con la que toca el suelo el paracaidista.

Respuestas 1.) a) 110.868 peces, b) A˜ no 1994. 2.) a) 300(5t/10 ) lagartos, b) 37.500 lagartos 3.) a) 500( 23 )t/10 personas, b) 760 personas, c) Aprox. 11 personas/a˜ nos 20 4.) 20.7 min 5.) 22.6 min 6.) 9:08 a.m. 7.) a) 28.3 ◦ C, b) 32.51◦ C, c) 1:17 p.m. 8.) a) 5 − 4.5e−2t/25 kg, b) 5.07 min. 9.) a) 1000 − 1000e−t/100 , b) 2 − 2e−t/100 , c) 632 lb, d) 2lb/gal 10.) a) 10(100 − t) − 11.) a)

1 (100 10

− t)2 , b) 2 −

1 (100 50

− t), c) 0 lb, d) 2lb/gal

200 − 2t 39(200 − 2t)4 − Litros, b) 19.96 min. 5 2004

12.) a) x(t) = x0 e−t/20 , b) y(t) = x200 te−t/20 , donde x0 es la cantidad de sal inicial, c) 20 minutos m´as tarde, d) e−1 veces m´as salado 13.) a) v(t) = 0,98 − 0,98e−10t , b) x(t) = 0,98t + 0,098e−10t − 0,098, c) 102 s, d) 0.98 m/s 14.) 97.4 s 15.) x(t) = 52 e−2t + 6t − 52 , 6 m/s 16.) a) 4.23 s, b) 53.87 m, c) 237 s, d) 8.16 m/s