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UNIVERSIDAD INDUSTRIAL DE SANTANDER Escuela de Ingenierías Eléctrica, Electrónica y Telecomunicaciones - E³T “Perfecta combinación entre energía e intelecto”

Propiedades de la Transformada Bilateral de Laplace

Propiedad

Señal

Transformada

ROC

x(t)

X (s ) Y (s )

R X : a1 < Re{s} < b1 RY : a 2 < Re{s} < b2

y(t)

RF : a3 < Re{s} < b3

f (t )

F (s) f (t) = Ax(t) + B y(t) F(s) = AX (s) + BY(s)

Linealidad Desplazamiento en el tiempo Desplazamiento en el dominio de s Escalamiento tiempo

en

el

Inversión de tiempo

R F al m enos R X ∩ R

f (t ) = x(t − t0 )

F ( s ) = X ( s ) e − s t0

RF = RX

f (t ) = e s0 t x(t )

F ( s ) = X ( s − s0 )

RF = RX + Re{s0 }

f (t ) = x(at )

1 ⎛s⎞ X⎜ ⎟ |a| ⎝a⎠ F ( s) = X (− s)

F ( s) =

f (t ) = x(−t )

Y

a1 + Re{s0 } < Re{s} < b1 + Re{s0 } RF = a . R X a . a1 < R e{ s} < a . b1 RF = − R X − b1 < R e{ s } < − a1

f (t ) = x* (t )

Conjugación

∞

Convolución

f (t) = ∫ x(τ ) y(t −τ )dτ −∞

Derivada en tiempo

f (t ) =

Derivada en el dominio de s Integración en el tiempo

f (t ) = − t x(t ) t

f (t ) =

∫

dx ( t ) dt

R F al menos R X ∩ R Y

F (s) = s X (s)

RF al menos RX

F (s) =

d X ds

−∞

RF = RX

(s )

1 F (s) = X ( s ) s

x (τ ) d τ

RF = RX

F ( s ) = X * ( s* ) F ( s ) = X ( s ).Y ( s )

RF al menos RX ∩( Re{s} > 0)

Teoremas del valor inicial y final Si x(t) =0 para t 1)

RF = RX

Teorema del valor inicial Si x[n] =0 para n 0

|a|

⎝ a ⎠

G ( jω ) = X ( jω ).Y ( jω )

∞

g (t ) = ∫ x(τ ) y (t −τ )dτ −∞

g (t ) = x(t ) y (t )

Multiplicación

Derivada en tiempo

g (t ) = t

Integración

g (t ) =

∫

G( jω ) =

G ( jω ) = jω X ( jω )

dx ( t ) dt x (τ ) d τ

G( jω) =

−∞

Derivada en frecuencia

g (t ) = t x(t ) ∞

Relación de Parseval

E x (t ) =

1 X ( jω ) * Y ( jω ) 2π

∫

1 jω

X ( jω ) + π X ( j 0) δ (ω)

G ( jω ) = j 2

x(t) dt =

−∞

1 2π

∞

∫ X(jω )

d X dω 2

( jω )

dω

−∞

X(jω)

x(t) Real Par

Real Par

Real Impar

Real Impar

j Imag Impar

j Imag Impar

j Imag Par

j Imag Par Dualidad

Tiempo f(t) M (−t) 2π

M (t )

Frecuencia M (ω ) f(ω )

2π f(−ω )

ESCUELA DE INGENIERÍAS ELÉCTRICA, ELECTRÓNICA Y DE TELECOMUNICACIONES Tratamiento de Señales – 23332. Bucaramanga - Colombia

UNIVERSIDAD INDUSTRIAL DE SANTANDER Escuela de Ingenierías Eléctrica, Electrónica y Telecomunicaciones - E³T “Perfecta combinación entre energía e intelecto” Propiedades de la Serie de Fourier de señales continuas

Propiedad

Señal Periódica x(t ), Periodo T

Coeficientes de Fourier ak

Frecuencia ω 0 = 2π / T

y (t ), Periodo T

bk

z (t ), Periodo T

ck

el

z (t ) = x(t − t 0 )

c k = a k e − jkω 0 t0

ω0 ω0 ω0 ω0

en

z (t ) = e jMω 0 t x(t )

ck = ak −M

ω0

z (t ) = x * (t ) z (t ) = x(−t )

ck = a * −k

ω0

ck = a−k

Escalamiento en tiempo

z (t ) = x(a t ) , a > 0

ck = ak

Convolución periódica

z (t ) = ∫ x(τ ) y (t − τ )dτ

c k = T a k bk

ω0 aω0 ω0

z (t ) = x(t ) y (t )

c k = a k * bk = ∑ al bk −l

ω0

c k = jkω 0 a k

ω0

z (t ) = A x(t ) + B y (t )

Linealidad Desplazamiento tiempo Desplazamiento frecuencia Conjugación

en

c k = A a k + B bk

M entero

Inversión de tiempo

T

Multiplicación

∞

l = −∞

Derivada en tiempo

Integración

z (t ) =

dx(t ) dt

t

ck =

z (t ) = ∫ x(τ )dτ −∞

Relación de Parseval

P x (t ) =

x(t)

(Periódica si a0 = 0), ω 0

ak jkω 0

1 2 x(t ) dt = ∫ TT ak

∞

∑a

k = −∞

Real Par

Real Par

Real Impar

Real Impar

j Imag Impar

j Imag Impar

j Imag Par

j Imag Par

G(t), Período 2π

DUALIDAD SF

2 k

z[k]

G(- ω), Período 2π Si x(t) = - x(t + T/2) (Simetría de Media Onda). Entonces aK = 0 para k número par. z[n]

TF

ESCUELA DE INGENIERÍAS ELÉCTRICA, ELECTRÓNICA Y DE TELECOMUNICACIONES Tratamiento de Señales – 23332. Bucaramanga - Colombia