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Unidad 3 Transformadas de Laplace y Z Fase 1 – Aprendizaje Basado en Problemas Aplicado a la Unidad 3 Grupo 203042_27

Presentado por: Iván Rene Saldarriaga Chicangana Pablo Emilio Vargas

Presentado a: Oscar Iván Valderrama Tutor

Universidad Nacional Abierta y a Distancia UNAD Colombia mayo 2018

INTRODUCCION

En el siguiente trabajo se desarrollaran ejercicios aplicados a la transformada y transformada inversa de Laplace, en donde se verifican a través de un simulador online la veracidad de la tabla planteada en el libro de Ambardar referente a unos casos básicos, además de realizar un ejercicio en donde se aplican las fracciones parciales y otros métodos de solución matemáticos , así como también el cálculo de la transformada Z para hallar la respuesta de un sistema discreto a partir de la función de transferencia.

OBJETIVOS

OBJETIVO GENERAL 

Desarrollar los ejercicios planteados en la guia aplicando los procesos matemáticos respectivos.

OBJETIVOS ESPECIFICOS 

Comprender las operaciones que conllevan el aplicar la transformada y transformada inversa de Laplace además de la transformada Z.



Simular en un software online la solución de unos ejercicios básicos de transformada de Laplace.



Aplicar fracciones parciales, derivadas y otros métodos matemáticos para hallar la solución a los ejercicios propuestos.



Conocer la respuesta de un sistema discreto a partir de la función de transferencia.

IVAN RENE SALDARRIAGA Parte 1: Desarrolle las siguientes transformadas de Laplace utilizando la herramienta online

que

se

encuentra

en

la

siguiente

página

web:

https://es.symbolab.com/solver/inverse-laplace calculator/laplace%20%5Cfrac%7B1%7D%7Bs%2B2%7D Verifique si sus resultados corresponden con la tabla de transformadas de la página 331 del libro guía. a) (𝑡)=1. (𝑡) b) (𝑡)=𝑡. (𝑡) c) (𝑡)=𝑡2. (𝑡) d) (𝑡)=𝑡4. (𝑡) e) (𝑡)=𝑡∗𝑒−2𝑡. (𝑡) Nota: Para no sobrecargar su informe, debe enviar capturas de pantalla solamente para los ítems d y e

SOLUCION •

Tabla de Transformadas de Laplace básicas-Libro Ambardar

ccc

TABLA AMBARDAR

SIMULADOR a) 𝑥(𝑡)=1.𝑢(𝑡)

b) 𝑥(𝑡)=𝑡.𝑢(𝑡)

c) 𝑥(𝑡)=𝑡2.𝑢(𝑡)

d) 𝑥(𝑡)=𝑡4.𝑢(𝑡)

e) 𝑥(𝑡)=𝑡∗𝑒−2𝑡.𝑢(𝑡)

Como podemos observar en la anterior tabla en donde se realiza la comparación entre los resultados obtenidos del simulador y la tabla de transformadas de Laplace básicas del libro Ambardar nos damos cuenta que en ambos ítems los resultados son iguales. Parte 2: Usando como guía el ejemplo 11.6 de la página 342 del libro guía (Ambardar, Tema a estudiar: Transformada inversa de Laplace), determine analíticamente h(t), sabiendo que: 10 (𝑠 2 + 2𝑠 + 4)(𝑠 + 𝑎)2 Dónde: la constante “a” corresponde con el último digito del número de su grupo, y la 𝐻(𝑠) =

constante “b” con el último digito de su número de identificación. Si alguno de ellos es cero, utilice a=4 o b=4 según corresponda. SOLUCION Numero de grupo: 203042_27, por ende, a=7 -Reemplazamos

𝐻(𝑠) =

10 (𝑠 2 + 2𝑠 + 4)(𝑠 + 7)2

-Factorizamos el denominador de la expresión, resolvemos el polinomio a través de la cuadrática ya que no se puede aplicar ningún método de factorización: 𝑠 2 + 2𝑠 + 4 Empleamos la ecuación cuadrática 𝑥= Donde a=1, b=2 y c=4

−𝑏 ± √𝑏 2 − 4𝑎𝑐 2𝑎

𝑥=

−2 ± √(2)2 − 4(1)(4) 2(1) −2 ± √4 − 16 𝑥= 2 𝑥=

−2 ± √−12 2

𝑥1 = −1 + √3𝑖 𝑥2 = −1 − √3𝑖

El ejercicio queda de la siguiente manera: 𝐻(𝑠) =

10 (𝑠 + 1 + √3𝑖)(𝑠 + 1 − √3𝑖)(𝑠 + 7)2

-De acuerdo al libro de Ambardar utilizamos el método de FRACCIONES PARCIALES, donde: 𝐻(𝑠) =

𝐴 𝑠 + 1 + √3𝑖

+

𝐴0 𝑠 + 1 − √3𝑖

+

𝐾 𝐾0 + (𝑠 + 7)2 𝑠 + 7

-Evaluamos los coeficientes 𝐴 = (𝑠 + 1 + √3𝑖)𝐻(𝑠)|𝑠=−1−√3𝑖 =

10

| (𝑠 + 1 − √3𝑖)(𝑠 + 7)2 𝑠=−1−√3𝑖 10 10 = = (−1 − √3𝑖 + 1 − √3𝑖)(−1 − √3𝑖 + 7)2 (−2√3𝑖)(6 − √3𝑖)2 10 10 10 = = = (−2√3𝑖)(36 − 12√3𝑖 − 3) (−2√3𝑖)(33 − 12√3𝑖) −66√3𝑖 − 72 10 = −72 − 114,31𝑖

Realizamos la división de números complejos 10 10 ± 0𝑖 −72 + 114,31𝑖 −720 + 1143,1𝑖 = ∙ = −72 − 114,31𝑖 −72 − 114,31𝑖 −72 + 114,31𝑖 18250,77 𝐴 = −0,039 + 0,062𝑖

𝐴=

𝐴0 = −0,039 − 0,062𝑖

Para hallar los valores de K y K0, según el libro de Ambardar se calcula de manera sucesiva: 10

𝐾 = (𝑠 + 7)2 𝐻(𝑠)|𝑠=−7 =

| (𝑠 + 1 + √3𝑖)(𝑠 + 1 − √3𝑖) 𝑠=−7 10 10 = = (−7 + 1 + √3𝑖)(−7 + 1 − √3𝑖) (−6 + √3𝑖)(−6 − √3𝑖) 10 10 = = (36 + 6√3𝑖 − 6√3𝑖 + 3) 39

𝐾 = 0,25

𝐾0 =

𝑑 10 [ ]| 𝑑𝑠 (𝑠 + 1 + √3𝑖)(𝑠 + 1 − √3𝑖)

𝑠=−7

Hallamos la derivada 𝑑 10 𝑑 10 10(2𝑠 + 2) ( )= ( 2 )= − 2 (𝑠 + 2𝑠 + 4)2 𝑑𝑠 (𝑠 + 1 + √3𝑖)(𝑠 + 1 − √3𝑖) 𝑑𝑠 𝑠 + 2𝑠 + 4 Reemplazamos 𝐾0 =

𝑑 10 [ ]| 𝑑𝑠 (𝑠 + 1 + √3𝑖)(𝑠 + 1 − √3𝑖)

=− 𝑠=−7

10(2𝑠 + 2) | (𝑠 2 + 2𝑠 + 4)2 𝑠=−7

(−120) 10(2(−7) + 2) 10(−12) 120 =− = − = − = ((−7)2 + 2(−7) + 4)2 (49 − 14 + 4)2 (39)2 1521 𝐾 0 = 0,078 Reemplazamos lo valores halladas en la ecuación de fracciones parciales 𝐻(𝑠) = 𝐻(𝑠) =

𝐴 𝑠 + 1 + √3𝑖

−0,039 + 0,062𝑖 𝑠 + 1 + √3𝑖

+ +

𝐴0 𝑠 + 1 − √3𝑖

+

𝐾 𝐾0 + (𝑠 + 7)2 𝑠 + 7

−0,039 − 0,062𝑖 𝑠 + 1 − √3𝑖

+

0,25 0,078 + (𝑠 + 7)2 𝑠 + 7

La anterior expresión la relacionamos con la tabla 11.3 del libro Ambardar para hallar la transformada inversa de Laplace para los términos que aparecen en el desarrollo de fracciones parciales

𝐻(𝑠) =



𝑠 + 1 + √3𝑖

+

−0,039 − 0,062𝑖 𝑠 + 1 − √3𝑖

+

0,25 0,078 + 2 (𝑠 + 7) 𝑠+7

Para los dos primeros términos aplicamos la entrada 4

−0,039 + 0,062𝑖 𝑠 + 1 + √3𝑖 

−0,039 + 0,062𝑖

+

−0,039 − 0,062𝑖 𝑠 + 1 − √3𝑖

= 2𝑒 −𝑡 [−0,039 cos(√3𝑡) + 0,062𝑠𝑒𝑛(√3𝑡)]𝑢(𝑡)

Para el tercer término aplicamos la entrada 2

0,25 0,25 2−1 −7𝑡 0,25 1 −7𝑡 = 𝑡 𝑒 𝑢(𝑡) = 𝑡 𝑒 𝑢(𝑡) = 0,25𝑡𝑒 −7𝑡 𝑢(𝑡) 2 (𝑠 + 7) (2 − 1)! 1 

Para el cuarto y último término aplicamos la entrada 1

0,078 = 0,078𝑒 −7𝑡 𝑢(𝑡) 𝑠+7

RESULTADO FINAL: 𝑥(𝑡) = 2𝑒 −𝑡 [−0,039 cos(√3𝑡) + 0,062𝑠𝑒𝑛(√3𝑡)]𝑢(𝑡) + 0,25𝑡𝑒 −7𝑡 𝑢(𝑡) + 0,078𝑒 −7𝑡 𝑢(𝑡)

PABLO EMILIO VARGAS Parte 2: Usando como guía el ejemplo 11.6 de la página 342 del libro guía (Ambardar, Tema a estudiar: Transformada inversa de Laplace), determine analíticamente h(t), sabiendo que:

𝐻(𝑠) =

(𝑠 2

10 + 2𝑠 + 4)(𝑠 + 𝑎)2

Dónde: la constante “a” corresponde con el último digito del número de su grupo, y la constante “b” con el ultimo digito de su número de identificación. Si alguno de ellos es cero, utilice a=4 o b=4 según corresponda. Solución:

Reemplazamos 𝑎 = 7 (último dígito del número del grupo 203042_27).

𝐻(𝑠) =

(𝑠 2

10 + 2𝑠 + 4)(𝑠 + 7)2

Utilizamos la ecuación cuadrática para factorizar el denominador.

−𝑏 ± √𝑏 2 − 4𝑎𝑐 𝑥= 2𝑎

𝑥=

−2 ± √22 − 4(1)(4) 2(1)

𝑥=

−2 ± √4 − 16 2

𝑥=

−2 ± √−12 2

𝑥1 = −1 + √3i

𝑥2 = −1 − √3i Reemplazamos las raíces en la expresión:

𝐻(𝑠) =

10 (𝑠 + 1 + √3𝑖)(𝑠 + 1 − √3𝑖)(𝑠 + 7)2

Desarrollamos fracciones parciales

𝐻(𝑠) =

𝐴 𝑠 + 1 + √3𝑖

+

𝐴0 𝑠 + 1 − √3𝑖

𝐾 𝐾0 + (𝑠 + 7)2 𝑠 + 7

+

Evaluamos los coeficientes

𝐴 = (𝑠 + 1 + √3𝑖)𝐻(𝑠) |

=

=

𝑠=−1−√3𝑖

=

10 (𝑠 + 1 − √3𝑖)(𝑠 + 7)2

10 (−1 − √3𝑖 + 1 − √3𝑖)(−1 − √3𝑖 +

10 (−2√3𝑖)(36 − 12√3𝑖 − 3)

=

7)2

=

10 (−2√3𝑖)(33 − 12√3𝑖)

|

𝑠=−1−√3𝑖

10 (−2√3𝑖)(6 − √3𝑖)2

=

10 −66√3𝑖 − 72

=

10 −72 − 114.31𝑖

Efectuamos la división de números complejos

𝐴=

10 10 ± 0𝑖 −72 − 114.31𝑖 −720 + 1143.1𝑖 = ∗ = −72 − 114.31𝑖 −72 − 114.31𝑖 −72 + 114.31𝑖 18250.77

𝐴 = −0.039 + 0.062𝑖

𝐴0 = −0.039 − 0.062𝑖

Para hallar los valores de 𝐾 𝑦 𝐾 0 de manera sucesiva:

𝐾 = (𝑠 + 7)2 𝐻(𝑠) | 𝑠=−7 =

=

10 (𝑠 + 1 + √3𝑖)(𝑠 + 1 − √3𝑖)

10 (−7 + 1 + √3𝑖)(−7 + 1 − √3𝑖)

=

=

𝑠=−7

10 (−6 + √3𝑖)(−6 − √3𝑖)

10 (36 + 6√3𝑖 − 6√3𝑖 + 3)

=

10 39

𝐾 = 0.25

𝐾0 =

|

𝑑 10 [ ]| 𝑑𝑠 (𝑠 + 1 + √3𝑖)(𝑠 + 1 − √3𝑖)

𝑠=−7

Hallamos la expresión de la derivada

𝑑 10 𝑑 10 10(2𝑠 + 2) ( )= ( 2 )=− 2 (𝑠 + 2𝑠 + 4)2 𝑑𝑠 (𝑠 + 1 + √3𝑖)(𝑠 + 1 − √3𝑖) 𝑑𝑠 𝑠 + 2𝑠 + 4

Reemplazamos

𝐾0 =

=−

𝑑 10 [ ]| 𝑑𝑠 (𝑠 + 1 + √3𝑖)(𝑠 + 1 − √3𝑖)

=− 𝑠=−7

10(2𝑠 + 2) | (𝑠 2 + 2𝑠 + 4)2 𝑠=−7

(−120) 10(2(−7) + 2) 10(−12) 120 =− =− = 2 2 2 2 ((−7) + 2(−7) + 4) (49 − 14 + 4) (39) 1521

𝐾 0 = 0.078

Ahora reemplazamos los valores (𝐴, 𝐴0 , 𝐾, 𝐾 0 )

𝐻(𝑠) =

𝐻(𝑠) =

𝐴 𝑠 + 1 + √3𝑖

−0.039 + 0.062𝑖 𝑠 + 1 + √3𝑖

+

+

𝐴0 𝑠 + 1 − √3𝑖

+

𝐾 𝐾0 + (𝑠 + 7)2 𝑠 + 7

−0.039 − 0.062𝑖 𝑠 + 1 − √3𝑖

+

0.25 0.078 + (𝑠 + 7)2 𝑠 + 7

Utilizamos la tabla 11.3 del libro Ambardar para hallar la transformada inversa de Laplace para los términos de las fracciones parciales.

Como podemos ver, las entradas 1,2 y 4 aplican a nuestro ejercicio.

Veamos:

Los primeros dos términos entrada 4

−0.039 + 0.062𝑖 𝑠 + 1 + √3𝑖

+

−0.039 − 0.062𝑖 𝑠 + 1 − √3𝑖

= 2𝑒−𝑡 [−0.039 cos(√3𝑡) + 0.062𝑠𝑒𝑛(√3𝑡)]𝑢(𝑡)

Tercer término entrada 2

0.25 0.25 2−1 −7𝑡 0.25 −7𝑡 = 𝑡 𝑒 𝑢(𝑡) = 𝑡𝑒 𝑢(𝑡) = 0.25𝑡𝑒 −7𝑡 𝑢(𝑡) 2 (𝑠 + 7) (2 − 1)! 1

Cuarto término entrada 1 0.078 = 0.078𝑒 −7𝑡 𝑢(𝑡) 𝑠+7 La expresión queda:

𝑥(𝑡) = 2𝑒−𝑡 [−0.039 cos(√3𝑡) + 0.062𝑠𝑒𝑛(√3𝑡)]𝑢(𝑡) + 0.25𝑡𝑒 −7𝑡 𝑢(𝑡) + 0.078𝑒 −7𝑡 𝑢(𝑡)

JUAN DAVID QUILINDO PALECHOR Parte 2: Usando como guía el ejemplo 11.6 de la página 342 del libro guía (Ambardar, Tema a estudiar: Transformada inversa de Laplace), determine analíticamente h(t), sabiendo que:

𝐻(𝑠) =

(𝑠 2

10 + 2𝑠 + 4)(𝑠 + 𝑎)2

Dónde: la constante “a” corresponde con el último digito del número de su grupo, y la constante “b” con el último digito de su número de identificación. Si alguno de ellos es cero, utilice a=4 o b=4 según corresponda. Dónde: la constante “a” corresponde con el último digito del número de su grupo, y la constante “b” con el último digito de su número de identificación. Si alguno de ellos es cero, utilice a=4 o b=4 según corresponda. SOLUCION Dado que mi grupo colaborativo termina en 27 queda, a=7 𝑎𝑙 𝑠𝑢𝑠𝑡𝑖𝑡𝑢𝑖𝑟 𝑎 = 7 𝐻(𝑠) =

(𝑠 2

10 10 = 2 2 + 2𝑠 + 4)(𝑠 + 7) 𝑠 + 2𝑠 + 4

𝑝𝑎𝑟𝑎 ℎ𝑎𝑙𝑙𝑎𝑟 𝑙𝑎 𝑠𝑜𝑙𝑢𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑑𝑒 𝑠 2 + 2𝑠 + 4 𝑠𝑒 ℎ𝑎𝑐𝑒 𝑛𝑒𝑐𝑒𝑠𝑎𝑟𝑖𝑜 𝑢𝑡𝑖𝑙𝑖𝑧𝑎𝑟 𝑙𝑎 −𝑏 ± √𝑏 2 − 4𝑎𝑐 𝑒𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑐𝑢𝑎𝑑𝑟𝑎𝑡𝑖𝑐𝑎 𝑥 = 2𝑎 𝑠𝑒 𝑡𝑜𝑚𝑎 𝑎 = 1, 𝑏 = 2, 𝑐 = 4 𝑥=

−2 ± √(2)2 − 4(1)(4) 2(1)

𝑥= 𝑥=

−2 ± √4 − 16 2

−2 ± √−12 𝑑𝑎𝑑𝑜 𝑞𝑢𝑒 √a < 0 2

𝑙𝑎𝑠 𝑠𝑜𝑙𝑢𝑐𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠 𝑒𝑠𝑡𝑎 𝑑𝑒𝑛𝑡𝑟𝑜 𝑑𝑒𝑙 𝑐𝑜𝑛𝑗𝑢𝑛𝑡𝑜 𝑑𝑒 𝑙𝑜𝑠 𝑛𝑢𝑚𝑒𝑟𝑜𝑠 𝑐𝑜𝑚𝑝𝑙𝑒𝑗𝑜𝑠 𝑥1 = −1 + √3𝑖 𝑥2 = −1 − √3𝑖 𝑙𝑎 𝑓𝑜𝑟𝑚𝑎 𝑑𝑒𝑙 𝑒𝑗𝑒𝑟𝑐𝑐𝑖𝑜 𝑒𝑠: 𝐻(𝑠) =

10 (𝑠 + 1 + √3𝑖)(𝑠 + 1 − √3𝑖)(𝑠 + 7)2

𝑎ℎ𝑜𝑟𝑎 𝑢𝑡𝑖𝑙𝑖𝑧𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑙𝑎𝑠 𝑓𝑟𝑎𝑐𝑐𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠 𝑝𝑎𝑟𝑐𝑖𝑎𝑙𝑒𝑠 𝑠𝑒 𝑡𝑖𝑒𝑛𝑒 𝑞𝑢𝑒

𝐴0

𝐾 𝐾0 𝐻(𝑠) = + + + 𝑠 + 1 + √3𝑖 𝑠 + 1 − √3𝑖 (𝑠 + 7)2 𝑠 + 7 𝐴

𝑎𝑙 𝑒𝑣𝑎𝑙𝑢𝑎𝑟 𝑙𝑜𝑠 𝑐𝑜𝑒𝑓𝑖𝑐𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒𝑠 𝑡𝑒𝑛𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑞𝑢𝑒 ∶

𝐴 = (𝑠 + 1 + √3𝑖)𝐻(𝑠)|𝑠=−1−√3𝑖 =

10 (𝑠 + 1 − √3𝑖)(𝑠 + 7)2

10

=

(−1 − √3𝑖 + 1 − √3𝑖)(−1 − √3𝑖 + 7)

=

10 (−2√3𝑖)(36 − 12√3𝑖 − 3)

=

10 −66√3𝑖 − 72

=

=

2

| 𝑠=−1−√3𝑖

10

=

(−2√3𝑖)(6 − √3𝑖)

10 (−2√3𝑖)(33 − 12√3𝑖)

10 −72 − 114,31𝑖

𝑎ℎ𝑜𝑟𝑎 𝑑𝑖𝑣𝑖𝑑𝑖𝑚𝑜𝑠 𝑙𝑜𝑠 𝑛𝑢𝑚𝑒𝑟𝑜𝑠 𝑐𝑜𝑚𝑝𝑙𝑒𝑗𝑜𝑠 ∶

2

𝐴=

10 −72 − 114,31𝑖

10 ± 0𝑖 −72 + 114,31𝑖 ∙ −72 − 114,31𝑖 −72 + 114,31𝑖

=

=

−720 + 1143,1𝑖 18250,77

𝐴 = −0,039 + 0,062𝑖, 𝐴0 = −0,039 − 0,062𝑖

𝑎ℎ𝑜𝑟𝑎 𝑠𝑒 𝑑𝑒𝑏𝑒𝑛 ℎ𝑎𝑙𝑙𝑎𝑟 𝑙𝑜𝑠 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟𝑒𝑠 𝑑𝑒 𝐾 𝑦 𝐾° 𝑙𝑜 𝑐𝑢𝑎𝑙 𝑠𝑒 𝑑𝑒𝑠𝑎𝑟𝑟𝑜𝑙𝑙𝑎 𝑠𝑢𝑐𝑒𝑠𝑖𝑣𝑎𝑚𝑒𝑛𝑡𝑒 𝐾 = (𝑠 + 7)2 𝐻(𝑠)|𝑠=−7 =

=

10 (𝑠 + 1 + √3𝑖)(𝑠 + 1 − √3𝑖)

10 (−7 + 1 + √3𝑖)(−7 + 1 − √3𝑖)

=

10

=

| 𝑠=−7

10 (−6 + √3𝑖)(−6 − √3𝑖)

=

(36 + 6√3𝑖 − 6√3𝑖 + 3) 10 𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒 𝐾 = = 0,25 39

10 39

𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑒𝑠𝑡𝑒 𝑝𝑎𝑠𝑜 𝑢𝑡𝑖𝑙𝑖𝑧𝑎𝑚𝑜𝑠 𝑙𝑎 𝑑𝑒𝑟𝑖𝑣𝑎𝑑𝑎𝑑:

𝐾0 =

𝑑 10 [ ]| 𝑑𝑠 (𝑠 + 1 + √3𝑖)(𝑠 + 1 − √3𝑖)

𝑠=−7

𝑑 10 𝑑 10 10(2𝑠 + 2) ( )= ( 2 )=− 2 (𝑠 + 2𝑠 + 4)2 𝑑𝑠 (𝑠 + 1 + √3𝑖)(𝑠 + 1 − √3𝑖) 𝑑𝑠 𝑠 + 2𝑠 + 4 𝑎𝑙 𝑟𝑒𝑒𝑚𝑝𝑙𝑎𝑧𝑎𝑟 𝑠𝑒 𝑡𝑖𝑒𝑛𝑒 𝑞𝑢𝑒 ∶

𝐾0 =

𝑑 10 [ ]| 𝑑𝑠 (𝑠 + 1 + √3𝑖)(𝑠 + 1 − √3𝑖)

=−

=−

=− 𝑠=−7

10(2𝑠 + 2) | (𝑠 2 + 2𝑠 + 4)2 𝑠=−7

10(2(−7) + 2) 10(−12) = − ((−7)2 + 2(−7) + 4)2 (49 − 14 + 4)2

(−120) 120 120 = , donde 𝐾 0 = = 0,078 2 (39) 1521 1521

𝑠𝑒𝑔𝑢𝑖𝑑𝑎𝑚𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑠𝑒 𝑟𝑒𝑒𝑚𝑝𝑙𝑎𝑠𝑎𝑛 𝑙𝑜𝑠 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟𝑒𝑠 ℎ𝑎𝑙𝑙𝑎𝑑𝑜𝑠 𝑒𝑛 𝑙𝑎𝑠 𝑓𝑟𝑎𝑐𝑐𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠 𝑝𝑎𝑟𝑐𝑖𝑎𝑙𝑒𝑠:

𝐻(𝑠) =

−0,039 + 0,062𝑖 𝑠 + 1 + √3𝑖

+

−0,039 − 0,062𝑖 𝑠 + 1 − √3𝑖

+

0,25 0,078 + 2 (𝑠 + 7) 𝑠+7

La anterior expresión la relacionamos con la tabla 11.3 del libro Ambardar para hallar la transformada inversa de Laplace para los términos que aparecen en el desarrollo de fracciones parciales

𝐻(𝑠) =



−0,039 + 0,062𝑖 𝑠 + 1 + √3𝑖

+

−0,039 − 0,062𝑖 𝑠 + 1 − √3𝑖

+

0,25 0,078 + 2 (𝑠 + 7) 𝑠+7

Para los dos primeros términos debemos aplicar la entrada 4 −0,039 + 0,062𝑖 𝑠 + 1 + √3𝑖

+

−0,039 − 0,062𝑖 𝑠 + 1 − √3𝑖

= 2𝑒 −𝑡 [−0,039 cos(√3𝑡) + 0,062𝑠𝑒𝑛(√3𝑡)]𝑢(𝑡) 

Para el tercer término debemos aplicar la entrada 2 0,25 0,25 2−1 −7𝑡 = 𝑡 𝑒 𝑢(𝑡) 2 (𝑠 + 7) (2 − 1)!

= 

0,25 1 −7𝑡 𝑡 𝑒 𝑢(𝑡) = 0,25𝑡𝑒 −7𝑡 𝑢(𝑡) 1

Para el cuarto y último término debemos aplicar la entrada 1 0,078 = 0,078𝑒 −7𝑡 𝑢(𝑡) 𝑠+7

𝑓𝑖𝑛𝑎𝑙𝑚𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑒𝑙 𝑟𝑒𝑠𝑢𝑙𝑎𝑑𝑜 𝑠𝑒 𝑝𝑟𝑒𝑠𝑒𝑛𝑡𝑎 𝑐𝑜𝑚𝑜: 𝑥(𝑡) = 2𝑒 −𝑡 [−0,039 cos(√3𝑡) + 0,062𝑠𝑒𝑛(√3𝑡)]𝑢(𝑡) + 0,25𝑡𝑒 −7𝑡 𝑢(𝑡) + 0,078𝑒 −7𝑡 𝑢(𝑡)

2.

Usando como guía el ejemplo 17.16 de la página 620 del libro guía. Tema a

estudiar: (Respuesta de un sistema discreto, a partir de la función de transferencia). Determine y[n] dado que: 𝑥[𝑛] = 5𝑢[𝑛] − 𝑏𝛿[𝑛] 𝐻(𝑧) =

−𝑧 𝑧 − (1⁄𝑎)

Dónde: a constante “a” corresponde con el último digito del número de su grupo, y la constante “b” con el ultimo digito de su número de identificación. Si alguno de ellos es cero, utilice a=4 o b=4 según corresponda. Para el presente punto número de grupo termina en 7 y número de código termina en 1 Ayuda: Recuerde la propiedad de superposición para sistemas lineales. −𝑧 𝑧 − (1⁄𝑎) −𝑧 𝐻(𝑧) = 𝑧 − (1⁄7) −𝑧 𝐻(𝑧) = 𝑧 − 0.14

𝐻(𝑧) =

𝑥[𝑛] = 5𝑢[𝑛] − 𝑏𝛿[𝑛] 𝑥[𝑛] = 5𝑢[𝑛] − 𝛿[𝑛] 𝑥[𝑧] = 𝑧{5𝑢[𝑛] − 𝛿[𝑛]} 𝑥[𝑧] = 𝑧{5𝑢[𝑛]} − 𝑧[𝛿𝑛] 𝑋[𝑧] = 5 ∙ 𝑍{𝑢[𝑛]} − 1 ∙ 𝑍{𝛿[𝑛]} 𝑧 𝑋[𝑧] = 5 −1∙1 𝑧−1 𝑋[𝑧] =

5𝑧 −1 𝑧−1

Se halla Y [𝑧] 𝑦[𝑧] = 𝐻[𝑧]𝑥[𝑧] −𝑧 5𝑧 1 )( − ) 𝑧 − 0.14 𝑧 − 1 1

𝑦[𝑧] = (

−5𝑧 2 𝑧 𝑦[𝑧] = + (𝑧 − 0,14)(𝑧 − 1) 𝑧 − 0,14 Según el libro de Ambardar la anterior ecuación se desarrolla por fracciones parciales por lo que se debe dividir la expresión por z 𝑌[𝑧] −5𝑧 2 𝑧 = + 𝑧 𝑧(𝑧 − 0,14)(𝑧 − 1) 𝑧(𝑧 − 0,14) 𝑌[𝑧] −5𝑧 1 = + 𝑧 (𝑧 − 0,14)(𝑧 − 1) 𝑧 − 0,14 Ahora si aplicamos las fracciones parciales: 𝑌[𝑧] −5𝑧 1 = + (𝑧 − 0,14)(𝑧 − 1) 𝑧 − 0,14 𝑧 𝑌[𝑧] 𝐾1 𝐾2 1 = + + (𝑧 − 0,14) (𝑧 − 1) 𝑧 − 0,14 𝑧

Hallamos los valores de K1 y K2 𝐾1 = (𝑧 − 0,14)

−5𝑧 −5𝑧 −5(0,14) 35 | = | = = (𝑧 − 0,14)(𝑧 − 1) 𝑧=0,14 (𝑧 − 1) 𝑧=0,14 (0,14 − 1) 43

𝐾1 = 0,81 𝐾2 = (𝑧 − 1)

−5𝑧 −5𝑧 −5(1) | = | = = −5,813 (𝑧 − 0,14)(𝑧 − 1) 𝑧=1 (𝑧 − 0,14) 𝑧=1 (1 − 0,14)

Reemplazamos K1 y K2 𝑌[𝑧] 0,81 5,81 1 = − + (𝑧 − 0,14) (𝑧 − 1) (𝑧 − 0,14) 𝑧 Despejamos Y[z] 𝑌[𝑧] =

0,81𝑧 5,813𝑧 1𝑧 − + (𝑧 − 0,14) (𝑧 − 1) (𝑧 − 0,14)

𝑌[𝑧] =

1,81𝑧 5,813𝑧 − (𝑧 − 0,14) (𝑧 − 1)

Por ultimo hallamos la transformada zeta inversa a Y[z] 𝑦[𝑛] = 𝑍 −1 {𝑌[𝑧]} 𝑦[𝑛] = 𝑍 −1 { 𝑦[𝑛] = 𝑍 −1 {

1,81𝑧 5,81𝑧 − } 𝑧 − 0,14 𝑧 − 1

1,81𝑧 5,81𝑧 } − 𝑍 −1 { } 𝑧 − 0,14 𝑧−1

𝑦[𝑛] = 1,81 ∙ 𝑍 −1 {

𝑧 𝑧 } − 5,81 ∙ 𝑍 −1 { } 𝑧 − 0,14 𝑧−1

𝑦[𝑛] = 1,81(0,14)𝑛 𝑢[𝑛] − 5,81𝑢[𝑛]

EDUARD ALBERTO ALZATE 2. Usando como guía el ejemplo 17.16 de la página 620 del libro guía. Tema a estudiar: (Respuesta de un sistema discreto, a partir de la función de transferencia). Determine y[n] dado que: 𝑥[𝑛] = 5𝑢[𝑛] − 𝑏𝛿[𝑛] 𝐻(𝑧) =

−𝑧 𝑧 − (1⁄𝑎)

Posteriormente use Matlab o scilab para resolver el ejercicio de forma práctica, y compare sus respuestas con los resultados teóricos.

Dónde: a constante “a” corresponde con el último digito del número de su grupo, y la constante “b” con el ultimo digito de su número de identificación. Si alguno de ellos es cero, utilice a=4 o b=4 según corresponda.

Ayuda: Recuerde la propiedad de superposición para sistemas lineales.

−𝑧 𝑧 − (1⁄𝑎) −𝑧 𝐻(𝑧) = 𝑧 − (1⁄7) −𝑧 𝐻(𝑧) = 𝑧 − 0.2

𝐻(𝑧) =

𝑥[𝑛] = 7𝑢[𝑛] − 𝑏𝛿[𝑛]

𝑥[𝑛] = 7𝑢[𝑛] − 4𝛿[𝑛] 𝑥[𝑧] = 𝑧{𝑥[𝑛]} 𝑥[𝑧] = 𝑧{7𝑢[𝑛] − 4𝛿[𝑛]} 𝑥[𝑧] = 𝑧{7𝑢[𝑛] + 𝑧(4𝛿[𝑛])} 𝑥[𝑧] = 7 ∗ 𝑧{𝑢[𝑛]} + 𝑧(4𝛿[𝑛])} 𝑥[𝑧] = 7 𝑥[𝑧] =

𝑧 +4 𝑧−1

2𝑧 +4 𝑧−1

Se halla Y [𝑧] 𝑦[𝑧] = 𝐻[𝑧]𝑥[𝑧] 𝑦[𝑧] = 𝑦[𝑧] =

−𝑧 2𝑧 ( + 4) 𝑧 − 0.2 𝑧 − 1

−2𝑧 2 4𝑧 − (𝑧 − 0.4)(𝑧 − 0.2) 𝑧 − 0.8

Se divide Y [𝑧] por z antes de sacarle fracciones parciales.

−2𝑧

4𝑧

B[𝑧]=Y[𝑧] = (𝑧−0.4)(𝑧−0.2) − 𝑘1

B[𝑧]=Y[𝑧] = (𝑧−0.4) +

𝑧−0.8

𝑘2

− (𝑧−0.2)

4 𝑧−0.8

Se halla k1 y k2.

−2𝑧

𝑘1 = (𝑧 − 0.4) (𝑧−0.4)(𝑧−0.2)|

𝑧=0.4

−2𝑧

𝑘2 = (𝑧 − 0.2) (𝑧−0.4)(𝑧−0.2)|

𝑧=0.2

Se remplaza k1 y k2 en B[𝑧]

−2𝑧

= (𝑧−0.2)|

= 𝑧=0.4

−2𝑧

= (𝑧−0.4)|

= 𝑧=0.2

−0.8 0.2 −0.4 0.2

= −4 = 2

B[𝑧] =

Y[𝑧] 𝑧

=

−4

+ (𝑧−0.4)

2

− (𝑧−0.2)

4 𝑧−0.2

Se multiplica por z a B[𝑧] para obtener Y[𝑧]

Y[𝑧] = zB[𝑧] =

−4𝑧

+ 𝑧−0.4

2𝑧

− 𝑧−0.2

4𝑧 𝑧−0.2

Se suman los fraccionarios que tienen denominador común (z-0.2)

−4𝑧

Y[𝑧] = 𝑧−0.4 +

4𝑧 𝑧−0.2

CONCLUSION

El desarrollo de las operaciones con transformadas de Laplace y Z son otro método de solución de ecuaciones en los cuales se puede determinar la respuesta y análisis de un sistema, son de gran importancia, ya que su aplicación es muy esencial en procesos de control de variables físicas como por ejemplo un sistema de control de temperatura y otros casos de ingeniería.

BIBLIOGRAFIA •Transformada de Laplace. (2008). In A. Ambardar, Procesamiento de señales analógicas y digitales (2nd ed., p. 248). Mexico City: Cengage Learning. Recuperado dehttp://go.galegroup.com/ps/i.do?id=GALE%7CCX4060300114&v=2.1&u=unad&it=r& p=GVRL&sw=w&asid=3b3e5fdf12c5914a79480c842289fb73

•Transformada z. (2008). In A. Ambardar, Procesamiento de señales analógicas y digitales (2nd ed., p. 592). Mexico City: Cengage Learning. Recuperado de http://go.galegroup.com/ps/i.do?id=GALE%7CCX4060300180&v=2.1&u=unad&it=r&p= GVRL&sw=w&asid=2bd27e3e9ede734f0c9539e4258be694

•Desarrollo Fase 3. UNAD