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UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA DE CAMPECHE MANTENIMIENTO INDUSTRIAL NOMBRE DE LA MATERIA: Matemáticas para ingeniería

NOMBRE DEL MAESTRO: Ing. Marco Antonio Acosta Peralta

NOMBRE DEL ALUMNO: Pérez Jiménez Kimberley

GRADO:

GRUPO: “B”

8° Cuatrimestre CARRERA: Ingeniería en Mantenimiento Industrial

NO. DE LA UNIDAD: II

NOMBRE DE LA UNIDAD: Transformadas de Laplace

FECHA: 20 de Febrero del 2019

UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA DE CAMPECHE MANTENIMIENTO INDUSTRIAL INDICE

UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA DE CAMPECHE MANTENIMIENTO INDUSTRIAL INTRODUCCION

La transformada de Laplace es un operador LINEAL muy útil para la resolución de ecuaciones diferenciales. Laplace demostró como transformar las ecuaciones lineales NO HOMOGENEAS en ecuaciones algebraicas que pueden resolverse por medios algebraicos. El método de Laplace consiste en aplicar esta transformada a ecuaciones diferenciales de difícil resolución, convirtiéndolas así en problemas algebraicos simples, que pueden ser resueltos de manera sencilla. Este método se puede ilustrar con el siguiente esquema: El objetivo del método es que modifica el problema usando la transformada de Laplace y posteriormente usar la Transformada Inversa, sea más fácil que resolverla ecuación diferencial por métodos directos. Esto resulta particularmente útil cuando las funciones involucradas no son continuas.

OBJETIVO

Resolverá ecuaciones diferenciales para resolver situaciones dinámicas de su entorno.

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TRANSFORMADAS DE LAPLACE La transformación de Laplace (Transformada L) es una herramienta matemática que facilita considerablemente la resolución de ecuaciones diferenciales con coeficientes constantes. Concepto y teoremas de valor inicial y final de la transformada de Laplace. El teorema del valor inicial permite determinar las condiciones iniciales de un circuito, es decir el comportamiento de f(t) en t=0, a partir del conocimiento de su transformada de Laplace F(s) El valor inicial de una función f(t) es un valor en t=0, siempre que f(t) sea continua en t=0. Si f(t) es discontinua en t=0, el valor inicial es el límite cuando → + t 0 , donde t tiende a t=0 desde valores positivos del tiempo.

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El teorema del valor final se emplea cuando se desea determinar el valor de una variable, de un circuito eléctrico, cuando se alcanza el régimen permanente, sin necesidad de determinar la transformada inversa de dicha variable.

El teorema del valor final no puede aplicarse a la determinación de funciones con excitación senoidal, pues las raíces del denominador de sF(s) se encuentran en el eje imaginario.

Métodos de solución de transformadas de Laplace directas: Uno de los algoritmos aritméticos más ampliamente utilizados es la transformada rápida de Fourier, un medio eficaz de ejecutar un cálculo matemático básico y de frecuente empleo. La transformada rápida de Fourier es de importancia fundamental en el análisis matemático y ha sido objeto de numerosos estudios. La aparición de un algoritmo eficaz para esta operación fue una piedra angular en la historia de la informática. Las aplicaciones de la transformada rápida de Fourier son múltiples. Es la base de muchas operaciones fundamentales del procesamiento de señales, donde tiene amplia utilización.

UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA DE CAMPECHE MANTENIMIENTO INDUSTRIAL Además, proporciona un medio oportuno para mejorar el rendimiento de los algoritmos para un conjunto de problemas aritméticos comunes.

Transformada inversa Si la transformada de Laplace de una función f(t) es F(s), esto es

Entonces f(t) se denomina la transformada inversa de Laplace de F(s) y se escribe como,

Aquí L-1 es llamado el operador de la transformada inversa de Laplace. Aunque existe una fórmula de inversión compleja la cual proporciona un medio directo para determinar la transformada inversa de Laplace de una función, esta implica un conocimiento amplio de la integración compleja. Sin embargo, no es posible encontrar una transformada inversa de Laplace de todas las funciones por este camino. Un punto interesante a destacar aquí es que la transformada inversa de Laplace de una función puede no ser única. Por ejemplo, sabemos que la transformada de Laplace de f(t) = 1 es 1/ s. Sin embargo, existe una función más para la que la transformada de Laplace resulta en el mismo término, esta es,

Por lo tanto, se puede concluir que la transformada inversa de Laplace de 1/s resulta para dos funciones como se describe anteriormente. Sin embargo, entre las dos, sólo f(t) = 1 es continua, por lo tanto, f(t) = 1 es la única función que tiene la transformada de Laplace como 1/ s. También es posible escribir una transformada inversa de Laplace en

UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA DE CAMPECHE MANTENIMIENTO INDUSTRIAL la forma de integración, la cual es llamada integral de Fourier Millen o integral Bromwich o fórmula inversa de Millen. Se trata de una integral de línea y es denotada como,

Por fracciones parciales Cuando se tiene una función de t, racional con denominador factorizable, se puede expresar esta función en términos de funciones más elementales para poder encontrar la transformada inversa de Laplace. Para poder llevar esta función a una suma o resta de funciones elementales se hace uso de la técnica conocida como fracciones parciales. Luego, gracias a la propiedad de linealidad de la transformada inversa puede calcularse término a término.

En muchas ocasiones encontrar la transformada inversa de Laplace puede implicar que tengamos que hacer una serie de trucos algebraicos para que podamos utilizar las fórmulas comunes que conocemos para la transformada de Laplace.

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SOLUCIÓN DE ECUACIONES TRANSFORMADAS DE LAPLACE

DIFERENCIALES

MEDIANTE

Proceso de solución de las ecuaciones diferenciales con la transformada de Laplace y su inversa. Transformada de Laplace: Solución de ED Una de las principales aplicaciones de la transformada de Laplace es la de resolver ED lineales con condiciones iniciales. El método es esencialmente simple y puede ser descrito en los siguientes pasos. 

Aplicar la transformada en ambos miembros de la ED



Utilizar las propiedades de la transformada para que solo quede en términos de L{y(t)} y despejarla. Lo que se obtiene recibe el nombre de ecuación algebraica o subsidiaria.



Aplicar la transformada inversa para despejar y(t)

Veamos algunos ejemplos de la aplicación de esta metodología. Resuelva el problema:

que satisface:

Solución Aplicando

la

transformada

en

ambos

por la propiedad de linealidad aplicada en el primer miembro Ec 1

miembros

tenemos:

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por el teorema de la transformada de la derivada sabemos que:

y que:

sustituyendo lo anterior en la ecuación 1 tenemos:

Agrupando y solo dejando en el primer miembro los términos que contienen L{y(t)}:

Asi la ecuación subsidiaria o algebraica queda:

Ec. 2 Si aplicamos el método rápido de fracciones parciales en el segundo miembro:

para A; su denominador se hace cero para s=0 así:

para B; su denominador se hace cero para s=3 así:

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para C; su denominador se hace cero para s=-1 así:

Así la Ec 2 queda:

aplicando la transformada inversa:

Por tanto:

Proceso de solución de las ecuaciones diferenciales con la transformada de Laplace y su inversa a través de un software matemático. Actualmente en el mercado existen diferentes tipos de software matemático, que son utilizados como herramientas para programar, realizar cálculos, hacer simulaciones matemáticas, etcétera. Entre los paquetes más conocidos se pueden mencionar el Mathematica, MatLab o Maple. Algunas de las características más comunes que reúnen estos paquetes son:

UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA DE CAMPECHE MANTENIMIENTO INDUSTRIAL 1. Son potentes manipuladores simbólicos. 2. Permiten usar algoritmos de cálculo numérico basados en el método de almacenamiento denominado de Coma Flotante, típico de los lenguajes de programación científicos tradicionalmente usados para la solución numérica de problemas matemáticos y en la aritmética racional, que permite al usuario llegar a obtener la precisión que desee en la solución del problema en cuestión. 3. Es posible trabajar con ellos de modo interactivo, contando con una amplísima biblioteca de funciones y una interface gráfica muy potente y cómoda de usar. 4. Cuentan con un lenguaje de programación de alto nivel, tipo "C", que permite al usuario desarrollar sus propios paquetes o funciones. 5. Son versátiles en su relación con otros programas o lenguajes de programación. Meza (2001) propone que el proceso de enseñanza-aprendizaje de la matemática asistida por computadora debe basarse en los siguientes principios: 1. La computadora debe incorporarse solo cuando sea más eficaz o eficiente que otros medios. 2. La incorporación de la computadora permite aumentar la eficiencia y eficacia de algunas estrategias que el docente utilizaba antes. 3. El empleo de la computadora en el proceso de enseñanza-aprendizaje de la matemática permite diseñar algunas estrategias didácticas que no es posible desarrollar con otros medios.

Las posibles aplicaciones de la transformada de Laplace en la solución de ecuaciones diferenciales en situaciones de su entorno. Teoría de circuitos Teoría de Circuitos La transformada de Laplace proporciona un método muy eficiente para resolver ecuaciones y sistemas de ecuaciones diferenciales ordinarias con coeficientes constantes. Dichas ecuaciones aparecen con mucha frecuencia en Teoría de Circuitos y, en general, en Teoría de Sistemas. Por supuesto, hay otros métodos para

UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA DE CAMPECHE MANTENIMIENTO INDUSTRIAL resolver estas mismas ecuaciones. Sin embargo, por su popularidad entre los ingenieros, mostramos a continuación un sencillo ejemplo de aplicación de esta técnica. En lo que sigue intentaremos usar la notación propia de la Teoría de Circuitos. Supongamos que tenemos un circuito RLC tal y como se muestra en la siguiente figura.

Partiendo de las leyes de Kirchhoff se obtiene el modelo matemático para este circuito el cual está dado por medio de la ecuación diferencial ordinaria

donde L representa la inductancia, R la resistencia, C la capacitancia, q = q (t) es la carga, y finalmente e = e (t) es la entrada del circuito, es decir, la fuerza electromotriz que impulsa una carga eléctrica y produce la corriente i = dq dt . En Teoría de Circuitos la ecuación (8.3) se expresa en términos de la incógnita i, esto es, en términos de la intensidad de corriente. Teniendo en cuenta que si q (0) = 0, entonces q (t) = R t 0 i(t) dt, la ecuación se reescribe como

En nuestro modelo, L, R y C son constantes. Se suele conocer además el estado inicial del sistema, es decir, se suele dar una condición inicial que nos permite obtener unicidad de solución. Si en t = 0 se cierra el circuito, entonces i(0) = 0. En Teoría General de Sistemas (ya sean éstos eléctricos, mecánicos, etc) suele ser de gran interés averiguar la respuesta del sistema (en el caso eléctrico la respuesta es la incógnita i(t)) ante lo que

UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA DE CAMPECHE MANTENIMIENTO INDUSTRIAL se llama un impulso, y que en matemáticas es lo que llamamos una delta de Dirac y representamos por δ. El interés no es otro sino que si se conoce la respuesta del sistema ante el impulso (denotemos por h = h (t) dicha respuesta), entonces se conoce la respuesta i = i(t) ante cualquier otra entrada e = e (t). En efecto, i(t) se expresa como la convolución de h y e, esto es, i(t)=(h ∗ e) (t). En matemáticas, h es lo que llamamos la solución fundamental del operador integrodiferencial

Analicemos un poco más en detalle todo este aluvión de afirmaciones. Para ello hemos de tener en cuenta que L(δ)=1 En lo que sigue procederemos de un modo formal, es decir, no justificaremos matemáticamente los cálculos que hagamos. Para poder justificarlos adecuadamente (incluso el hecho de que L(δ)=1) tendríamos que trabajar dentro del ámbito de la Teoría de Distribuciones Supongamos que h = h (t) es solución del problema

Tomando transformadas de Laplace y teniendo en cuenta el comportamiento de dicha transformada respecto de la derivación y la integración así como la condición inicial h (0) = 0, se obtiene que

es decir,

UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA DE CAMPECHE MANTENIMIENTO INDUSTRIAL que también se suele escribir como

Nótese que estamos usando s para denotar la variable compleja que hasta ahora venimos denotando por z. La función H se suele llamar en Teoría de Sistemas función de transferencia. Sea ahora i = i(t) solución del problema

donde e = e (t) es una función que tiene transformada de Laplace. Tomando de nuevo transformadas de Laplace en este último problema obtenemos que

Finalmente, tomando transformadas inversas,

UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA DE CAMPECHE MANTENIMIENTO INDUSTRIAL CONCLUSIONES Al término de esta actividad se puede concluir que la Transformada de Laplace es una herramienta muy útil que posteriormente se utilizará para resolver Ecuaciones Diferenciales, esta idea radica es transformar operadores en símbolos algebraicos para manipular fácilmente a dichos símbolos con las reglas algebraicas convencionales, después la nueva función es transformada para dejarla en términos y dominio de la función original. Al parecer su aplicación más común es resolver Ecuaciones Diferenciales aplicando este principio, en el área de la ingeniería es esencial saber resolver Ecuaciones Diferenciales y saber manipular Transformadas de Laplace es una gran ventaja que nos ayudará a resolver problemas con un grado de complejidad muy alto.

UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA DE CAMPECHE MANTENIMIENTO INDUSTRIAL BIBLIOGRAFIA

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Steven C. Chapra (2007)Métodos numéricos para Ingenieros México México McGraw-Hill

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Dennis G. Zill (2009) Ecuaciones diferenciales con aplicaciones de modelado México México CENGAGE Learning

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Antonio Nieves Hurtado

(2004) Métodos numéricos aplicados a la Ingeniería

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