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09400906

INGENIERÍ A MECATRÓ NICA

09400906| Nathaniel Armin Sida Contreras

“TRANSFORMADA Z” CONTROL DIGITAL

Unidad 1 Transformada Z 1.1 introducción 1.2 aplicaciones de la transformada Z 1.3 funciones de variable neutral 1.4 funciones discretas básicas 1.5 definición de transformada Z 1.6 transformada de las funciones discretas básicas 1.7 teoremas 1.8 tabla de transformadas Z 1.9 ecuaciones diferenciales con diferencias 1.10 definición de ecuación diferencial 1.11 transformada Z de ecuaciones diferenciales 1.12 solución de ecuaciones diferenciales por el método de transformada Z 1.13 teorema de valor inicial 1.14 teorema de valor final 1.15 la transformada Z inversa (Z-1) 1.16 búsquedas en tablas 1.17 obtención de Z-1 en fracciones parciales 1.18 obtención de Z-1 en una serie infinita de potencias

Introducción Sistema

Fig. 1.1

Sistema

Entrada

Salida

Ʈ= la salida es una relación proporcional de la entrada

Sist. Mod. Matemático Ʈ Posición

Par

Fig. 1.2

Propiedades de los sistemas Linealidad Ay 1(t )+by 2(t)=T [ax 1(t)+bx 2( t)]

Ecu. 1.1

Se dice que un sistema es lineal si dados t x 1(t), x 2 ¿ ),

y 1 (t) , y 2(t )

son

las

entradas

“ a”

y

y

“b ”

salidas

respetivamente y si se cumplen las siguientes ecuaciones y 1(t)=T [x 1(t)]

y 2(t)=T [ x 2(t)]

Ecu. 1.2 y 1.3

Un sistema lineal es aquel que cumple con el principio de superposición (donde la salida siempre está relacionada a la entrada)

Invariancia temporal Se dice que un sistema es invariante en el tiempo si dado T 0 ; x (t); y (t)

, donde

producto de

T∗x (t)

y (t)=0

directamente proporcional al

es la salida del sistema para entrada

x (t ) , se cumple entonces que:

Ecu. 1.4

y (t−t 0)=T [ x (t−t 0)]

Es invariante en el tiempo cuando un corrimiento en la señal de entrada causa un corrimiento en la señal de la salida

Para determinar si un sistema es invariante en el tiempo conviene seguir este procedimiento: 1

suponer que el sistema tiene una entrada

salida

x (t)

y una

y (t)

1 suponer ahora que el sistema tiene una entrada obtener

x 2(t )

y 2( t)

2 suponer que x 2(t )=x 2(t−t 0) Si la salida obtenida con que se obtiene con

t o = Corrimiento

x 2(t−t 0) en el paso es el mismo

x 2(t )

en el paso 2 entonces es

invariante

Fig. 1.3

ʄ (x)=sen x +cos x

ʄ (t)=e t

y

ʄ (s)=1/s

ʄ (w)=w 2+2 w+3

Algunas definiciones básicas  Variable: es siempre aquel termino que se le puede dar un valor según se desee  Ecuación en función de = ʄ (t)  Variable independiente: es aquella a la que se le da un valor que nosotros elijamos  Variable Dependiente: es la que varía según la variable independiente

Clasificaciones de los sistemas Cada propiedad de las anteriormente vistas nos da un tipo de sistema puede haber una mezcla de propiedades en un sistema como por ejemplo un sistema lineal que es invariante en el tiempo causal y estable comúnmente los sistemas con los que se traba son lineales e invariantes en el tiempo (LTI) además suelen cumplir las propiedades de causalidad y estabilidad Ahora veremos otra clasificación dependiendo del tiempo de señal presente a la entrada y a la salida

Continuo

~

Continuo

Fig. 1.4

Es un sistema que mapea una señal continua en otra continua. Son los sistemas que normalmente se utilizan en todos los ámbitos cotidianos procesa señales analógicas.

q(t)

t

Fig. 1.5

Fig. 1.6

Sistema discreto – discreto Es un sistema que mapea una señal discreta en otra discreta. Este sistema se utiliza para el ara el caso de estas señales, normalmente se dan periodos de muestro constantes de manera que los instantes de muestro de la señal son t=nT Pueden expresarse en términos de variable

“n ”

Fig. 1.7

Fig. 1.8

Fig. 1.9

Sistema Digital - Digital Es un sistema que mapea una señal digital en otra digital. Este sistema se utiliza para el tratamiento digital de una señal

Continúo a discreto Es un sistema que mapea una señal continua a en una discreta. Este sistema se le denomina muestreador C-D

Fig. 1.10

Sirve para discretizar una señal continua

Encoder

Fig. 1.11

Sistema Discreto a Digital Discreto a digital es un sistema que mapea una señal discreta en una digital. Este sistema se denomina cuantificador. Sirve para digitalizar una señal discreta es decir discretizar su amplitud suele venir acompañada de un codificador Discreto a digital

Fig. 1.12

Sistema continuo – digital Es un sistema que mapea una señal continua en una digital, este sistema está formado por un muestreador (sistema continuo discreto), un cuantificador (sistema discreto digital) y normalmente un codificador. Sirve por lo tanto

para digitalizar una señal continua. El sistema en conjunto se suele denominar digitalizador o conversor análogo digital A-D.

Control digital

Continúo discreto

Discreto digital

Sistema discreto continúo Es un sistema que mapea una señal discreta en una continua, este sistema se denomina conversor D-C es el inverso al C-D. Sirve para convertir una señal sintetizada a una señal continua.

Sistema digital continúo Este sistema se denomina conversor D-A. la desventaja de estos sistemas que a pesar de recuperar la señal continua a partir de la señal digital siempre existe una perdida por lo que la señal continua que se le genera no es totalmente fiel a su primitiva. Transformada Z Del mismo modo que la transformada de Laplace permite simplificar el análisis de sistemas continuos para los sistemas discretos se usa la transformada z de modo que si se tiene una función discreta “f(n)” entonces su

transformada z “f(z)” se obtiene a partir de la sig. Expresión:

Si se tiene un sistema discreto como el mostrado a continuación

Entonces si se obtiene la transformada Z tenemos:

La transformada “ Z ” es una herramienta matemática que simplifica el análisis de sistemas lineales en el tiempo discreto del mismo modo que la transformada de Laplace significa el análisis en tiempo continuo. Si se tiene una señal discreta transformada

Z

x (n) ,

entonces la

de esa función queda definida en la

formula anteriormente vista. Teorema de superposición

Ahora bien parte de una señal en tiempo continuo obtener su transformada

Z

x (t)

par

es necesario muestrear la

señal (digitalizar, discretizar); si se considera un periodo de tiempo de muestreo

T

, entonces la señal muestreada

seria:

Y su transformada ℤ seria

Ecu. 1.8

Continua MuestrasPeriodo

La transformada dada por las ecuaciones anteriores se conoce como la transformada bilateral y permite trabajar con funciones que están definidas de todo el dominio de es n>0 y n