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• Sandy Clemente

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Contenido INTRODUCCION................................................................................................................................. 2 OBJETIVOS ........................................................................................................................................ 2 General ................................................................................................................................................ 2 Especifico ............................................................................................................................................ 2 TRANSFORMADA DE LAPLACE. ...................................................................................................... 3 3.1 Teoría preliminar. .......................................................................................................................... 3 3.1.1 Definición de la transformada de Laplace. ................................................................................. 5 3.1.2 Condiciones suficientes de existencia para la transformada de Laplace. ................................. 5 3.2 Transformada directa. ................................................................................................................... 6 3.3 Transformada inversa. .................................................................................................................. 6 3.4 Propiedades. ................................................................................................................................. 7 3.4.1 Transformada de Laplace de funciones definidas por tramos. .................................................. 8 3.4.2 Función escalón unitario. ........................................................................................................... 9 3.4.3 Propiedades de la transformada de Laplace (linealidad, teoremas de traslación). ................. 10 3.4.4 Transformada de funciones multiplicadas por t n, y divididas entre t... ................................... 10 3.4.5 Transformada de derivadas (teorema). .................................................................................... 11 3.4.6 Transformada de integrales (teorema). .................................................................................... 12 3.4.7 Teorema de la convolución. ..................................................................................................... 12 3.4.8 Transformada de Laplace de una función periódica. ............................................................... 15 3.4.9 Función delta Dirac. ................................................................................................................. 17 3.4.10 Transformada de Laplace de la función delta Dirac .............................................................. 19 3.5 Solución de ecuaciones. ............................................................................................................. 21 SISTEMAS DE ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES. ........................................................ 23 4.1 Teoría preliminar. ........................................................................................................................ 23 4.1.1 Sistemas de EDL. ..................................................................................................................... 23 4.1.2 Sistemas de EDL homogéneos. ............................................................................................... 25 4.1.3 Solución general y solución particular de sistemas de EDL. ................................................... 28 4.2 Métodos de solución para sistemas de EDL. .............................................................................. 31 4.2.1 Método de los operadores........................................................................................................ 32 4.2.2 Utilizando transformada de Laplace. ........................................................................................ 32 4.3 Aplicaciones. ............................................................................................................................... 32 CONCLUSIONES .............................................................................................................................. 33

REFERENCIAS ................................................................................................................................. 34

INTRODUCCION La transformada de Laplace es una herramienta de gran alcance formulada para solucionar una variedad amplia de problemas de la inicial-valor. La estrategia es transformar las ecuaciones diferenciales difíciles en los problemas simples del álgebra donde las soluciones pueden ser obtenidas fácilmente. Entonces se aplica La transformada inversa de Laplace para recuperar las soluciones de los problemas originales. Es un procedimiento desarrollado por el matemático y astrónomo francés Pierre Simón Marques de Laplace (1749 - 1827) que permite cambiar funciones de la variable del tiempo t a una función de la variable complejas. Las características fundamentales de la transformada de Laplace son: Es un método operacional que puede usarse para resolver ecuaciones diferenciales lineales. Las funciones sinodales, senoidales amortiguadas y exponenciales se pueden convertir en funciones algebraicas lineales en la variable S. Sirve para reemplazar operaciones como derivación e integración, por operaciones algebraicas en el plano complejo de la variable S. Este método permite usar técnicas gráficas para predecir el funcionamiento de un sistema sin necesidad de resolver el sistema de ecuaciones diferenciales correspondiente.

OBJETIVOS General Investigar los conceptos mas importantes sobre la aplicación de la transformada de Laplace. Especifico A partir de los conceptos investigados desarrollar problemas de ecuaciones diferenciales y darles una solución. Comprender el concepto de ecuación diferencial y su aplicación.

TRANSFORMADA DE LAPLACE. 3.1 Teoría preliminar. La transformada de Laplace recibe su nombre en honor del matemático francés Pierre-Simón Laplace, que la presentó dentro de su teoría de la probabilidad. En 1744,Leonhard Eulerhabía investigado un conjunto de integrales de la forma:

Como soluciones de ecuaciones diferenciales, pero no profundizó en ellas y pronto abandonó su investigación. Joseph Louis Lagrange, admirador de Euler, también investigó ese tipo de integrales, y las ligó a la teoría de la probabilidad en un trabajo sobre funciones de densidad de probabilidad de la forma:

Que algunos historiadores interpretan como auténticas transformadas de Laplace. Este tipo de integrales atrajeron la atención de Laplace cuando, en 1782, y siguiendo la idea de Euler, trató de emplear estas integrales como soluciones de ecuaciones diferenciales. Parece ser que en 1785 dio un paso más allá, y reenfocó el problema para en vez de usar las integrales como soluciones, aplicarlas a las ecuaciones dando lugar a las transformadas de Laplace tal y como hoy en día se entienden. Usó una integral de la forma:

Análoga a la transformada de Mellin, con la que transformó una ecuación diferencial en una ecuación algebraica de la que buscó su solución. Planteó alguna de las principales propiedades de su transformada, y de alguna forma reconoció que el método de Joseph Fourier para resolver por medio de series de Fourier la ecuación de difusión podría relacionarse con su transformada integral para un espacio finito con soluciones periódicas. Pese al logro, las transformadas de Laplace pronto cayeron en un relativo olvido, al haber sido presentadas en el campo de la probabilidad –ajeno a su moderna aplicación en la física y la ingeniería–, y ser tratadas sobre todo como objetos matemáticos meramente teóricos. La moderna aplicación de las transformadas de Laplace y toda su teoría subyacente surge en realidad en la segunda mitad del siglo XIX. Al tratar de resolver ecuaciones diferenciales relacionadas con la teoría de vibraciones, el ingeniero inglés Oliver Heaviside (1850-1925) descubrió que los operadores diferenciales podían tratarse

analíticamente como variables algebraicas. De acuerdo con el "cálculo operacional", si se tiene una ecuación diferencial de la forma:

Donde D es el operador diferencial, esto es, D = d / dx, entonces la solución general a dicha ecuación es de la forma:

Heaviside observó que si se trataba al operador D como una variable algebraica, era posible alcanzar igualmente la solución de toda ecuación pareja a la de arriba. En efecto, según la solución general, se cumple que:

Entonces, si se considera una ecuación diferencial de segundo orden como la siguiente:

Esta puede reescribirse en para resaltar el operador D como:

Heaviside propuso despejar y y tratar a D algebraicamente, en cuyo caso se tendría que:

Sustituyendo las fracciones en D por la expresión integral de las mismas arriba presentada, se llega a la solución de la ecuación diferencial:

Heaviside publicó sus resultados, cuya utilidad a la hora de resolver ecuaciones de la física y la ingeniería hizo que pronto se extendieran. Sin embargo, el trabajo de Heaviside, formal y poco riguroso, atrajo las críticas de algunos matemáticos puristas que los rechazaron argumentando que los resultados de Heaviside no

podían surgir de tal forma. No obstante, el éxito del método hizo que pronto fuera adoptado por ingenieros y físicos de todo el mundo, de manera que al final atrajo la atención de cierto número de matemáticos tratando de justificar el método de manera rigurosa. Tras varias décadas de intentos, se descubrió que la Transformada descubierta por Laplace hacía un siglo no sólo ofrecía un fundamento teórico al método de cálculo operacional de Heaviside, sino que además ofrecía una alternativa mucho más sistemática a tales métodos. Hacia principios del siglo XX, la transformada de Laplace se convirtió en una herramienta común de la teoría de vibraciones y de la teoría de circuitos, dos de los campos donde ha sido aplicada con más éxito. En general, la transformada es adecuada para resolver sistemas de ecuaciones diferenciales lineales con condiciones iniciales en el origen. Una de sus ventajas más significativas radica en que la integración y derivación se convierten en multiplicación y división. Esto transforma las ecuaciones diferenciales e integrales en ecuaciones polinómicas, mucho más fáciles de resolver. 3.1.1 Definición de la transformada de Laplace. Las transformadas de Laplace fueron formuladas para transformar una ecuación diferencial que contiene las diferenciales de una función indefinida, a partir de una ecuación t-espaciada hacia una ecuación s-espaciada que puede ser resuelta con mucha facilidad. También pueden ser utilizadas para resolver un sistema de ecuaciones diferenciales. Están dirigidas a una amplia gama de problemas de valor inicial. La transformada de Laplace se denomina a veces transformada operacional; esto es porque transforma las operaciones de integración en simples operaciones algebraicas que son mucho más convenientes de resolver. Después de la cual la aplicación de la técnica de la transformada inversa produce la solución exacta para la ecuación diferencial dada. 3.1.2 Condiciones suficientes de existencia para la transformada de Laplace. Antes de establecer las condiciones para la existencia de la transformada de Laplace es esencial entender dos conceptos fundamentales que constituyen la base de la transformada de Laplace. Estos son: 1. Función continua a trozos: Se dice que una función es a trozos seccionalmente continua en un intervalo finito a 0 si,

Esto significa que la gráfica de tal función a repetirá su forma para cada intervalo (na, (n + 1) a). Un ejemplo de tal función es el seno ( ), el cual es una función periódica del período 2. El valor de la función debe convertirse en cero en la porción negativa de la recta numérica real. Si f (t) es una función periódica con período a entonces,

Esto puede reorganizarse como,

En términos simples, podemos decir que para la función periódica f (t) con período a, la transformada de Laplace es equivalente a la transformada de Laplace en un período único de esa función dividida por el término (1 - e-as). También existe una prueba del teorema indicado arriba. Dado que f (t) es una función periódica con período a, F (t + a) = f (t), f (t + 2a) = f(t) y así sucesivamente. Ahora, L{f(t)} = e-st f(t) dt = e-stf(t) dt + e-st f(t) dt + e-st f(t) dt + … Estableciendo t = (u + a) en la segunda integral, t = (u + 2a) en el tercer integral etc. Entonces obtenemos, = e-stf(t) dt + e-s(u + a) f(u + a) du + e-s(u + 2a) f(u + 2a) du + … = e-suf(u) du + e-su f(u + a) du + e-2sa e-su f(u) du + … = (1 + e-as + e-2as+ …) esu f(u) du = (1 - e-as)−1 e-stf(t) dt [Dado que 1 + x + x2 + … = (1 – x)−1] L{f(t)} = [1/ (1 - e-as)] e-st f(t) dt Por consiguiente, podemos ver que para llevar a cabo la operación de transformación de Laplace a una función periódica necesitamos romper esa función en los sub-intervalos, lo cual depende de los intervalos para los cuales la función dada estádefinida. La sumatoria de todas las integrales produce la transformada de Laplace para esa función. Sin embargo, es posible aplicar directamente el teorema discutido anteriormente con propósitos de conveniencia para la solución de problemas. Se provee un ejemplo ilustrando el uso de este teorema para hacer más claro los conceptos. Muestra que si f(t + a) = -f(t), entonces, L{f(t)} = [1/ (1 + e-as)] e-st f(t) dt Dado quef(t + 2a) = f[(t + a) + a)] = -f(t + a) = -[-f(t)] = f(t) La función f(t) dada es una función periódica con período 2a. Ahora, utilizando el teorema para la transformada de Laplace de funciones periódicas con el período ha reemplazado por 2a tenemos que, L{f(t)} = [1/ (1 - e-2as)] e-st f(t) dt

= [1/ (1 - e-2as)] [ e-stf(t) dt + e-st f(t) dt] Estableciendo t = (u + a) en la segunda integral, tenemos que L{f(t)} = [1/ (1 - e-2as)] [ e-st f(t) dt + e-s(u + a) f(u + a) du] = [1/ (1 - e-2as)] [ e-stf(t) dt – e-as e-su f(u) du] = [(1 - e-as)/ (1 - e-2as)] e-stf(t) dt L{f(t)} = [1/ (1 + e-as)] e-st f(t) dt 3.4.9 Función delta Dirac. Las funciones delta de Dirac son las funciones que ejercen una enorme cantidad de fuerza sobre un objeto, por una gran cantidad de tiempo. Aunque a veces una función escalonada unitaria es comparada con una función fuerza, la comparación no es muy adecuada dado que la cantidad de fuerza ejercida por ellas es muy limitada. Una función delta de Dirac es una diferencial de la función escalón unitario. Esta puede entenderse como secuencias delta de funciones de fuerza generalizadas.

Esto implica que la función delta de Dirac no es una función real sino que es una distribución que se extiende por un intervalo definido para la función dada. También es llamada una función singular. Como tal, no existe una definición formal de esta función. Pero puede ser definida mediante utilizar la propiedad de la propia función, la cual es,

En términos simples, podemos decir que una función delta de Dirac es aquella cuya salida se calcula a cero para cada valor del argumento de entrada, excepto cuando el valor del argumento de la función en sí es igual a cero. Aquí el argumento de la función es un parámetro valorado real. La integral de la función en el rango de parámetros (- ,) es uno. A la luz de la afirmación anterior, podemos concluir que esta es una función real desde el punto de vista matemático, ya que para cualquier función real cuyo valor es constante, excepto en un punto, el valor de la integral debe calcularse a cero, el cual no es este caso. La gráfica de la función se vería algo así como:

Debido a esta propiedad de la función, es ampliamente utilizada para modelar el sistema que experimenta fuerzas extremas repentinas. Una propiedad muy importante de esta función es,

En este caso, sabemos que la función (t) toma el valor de cero para todos los valores de t, excepto en t = 0. Esto implica que el valor de la función f(t) también se vuelve insignificante, excepto cuando el argumento t de la función se convierte en cero. En tal situación, tenemos el valor del integrando f(0) (t), f(0)que puede tomarse fuera dado que se convierte en una constante, haciéndolo de esta manera obtenemos el lado derecho de la ecuación. Por lo tanto, podemos pensar en (t) dt como el operador funcional que saca el valor de la función cuando el argumento de la función es igual a cero. Otra forma popular de definir una función delta de Dirac es una medida, ya que la función delta de Dirac tiene como su argumento un subconjunto de los números reales, es decir, S R. Aquí, el valor de S es cero cuando la salida de la función es uno o infinita y en otro caso, el subconjunto S puede tomar elementos infinitos. Veamos ahora un ejemplo de la función delta de Dirac. Resuelve y’ + 2y’ – 15y = 6 (t – 9) dados y(0) = −5 ey’(0) = 7 Aplicando la transformada de Laplace para la función dada obtenemos, s2Y(s) – sy(0) – y’(0) + 2(sY(s) – y(0)) – 15Y(s) = 6e-9s = (s2 + 2s – 15)Y(s) + 5s + 3 = 6e-9s

Resolviendo la ecuación anterior obtenemos, Y(s) = 6e-9s F(s) – G(s) Ahora haciendo uso de las fracciones parciales para obtener la transformada inversa de Laplace como, F(s) = 1/ [(s + 5) (s – 3)] = [(1/ 8)/ (s – 3)] – [(1/ 8)/ (s + 5)] f(t) = (1/8) e3t - (1/8)e-5t G(s) = [5s + 3/(s + 5) (s – 3)] = [(9/4)/ (s – 3)] + [(11/4)/ (s + 5)] f(t) = (9/4) e3t - (11/4)e-5t Por lo tanto, la solución es Y(s) = 6e-9s F(s) – G(s) 3.4.10 Transformada de Laplace de la función delta Dirac Una función delta de Dirac es una función especial cuyo valor es cero en todos los puntos, excepto en un punto, este es cuando el argumento de la función es igual a cero. Esto se denota como,

Cambiemos la función delta de Dirac por una constante, digamos c. Entonces ahora la definición de esta función delta de Dirac desplazada es, (t – c) = 0,

t c

t=c Esto es sólo una pseudodefinición de la función. Ahora bien, si derivamos el área de la función para los límites de integración (- , ), y resulta ser uno, esto es, (t – c) dt = 1 Se trata de una derivación importante y esta también nos da la noción de pseudoinfinidad, como en la definición función delta de Dirac desplazada. Aquí, la palabra pseudo se utiliza ya que pueden existir diferentes medidas del infinito mediante tomar un producto del infinito con un número entero. Para entenderlo, integremos el producto de la función delta de Dirac y un entero, digamos dos para los mismos límites de integración, esto es, (- , ). 2 (t – c) dt

Uno podría suponer que la salida de la integración debería ser igual a dos, ya que, = 2 (t – c) dt = (2) (1) =2 Es decir, si la función delta de Dirac se multiplica por dos, el infinito sería dos veces más grande que antes. Ahora, multiplicando la función delta de Dirac desplazada por alguna otra función, digamos f(t) y tomando la transformada de Laplace de esta, es decir, L{ (t – c) f(t)} En el caso de que uno desee determinar únicamente la transformada de Laplace de la función delta de Dirac desplazada, asumimos que el valor de f(t) es uno. Esto es, tenemos, e-st f(t) (t – c) dt Como sabemos, el proceso de integración nos da el área de la función que está siendo integrada. Por lo tanto, primero dibujemos el área de las dos funciones para averiguar qué área estamos determinando realmente. Mientras lo hacemos, asume que f (t) es arbitrario. Por tanto, tenemos el gráfico de la función como,

Aquí se dibuja una línea recta donde t = c ya que el valor de la función delta de Dirac es siempre cero, excepto en t = c. Por lo tanto, el espacio común de las dos curvas, cuyo valor será determinado por la operación de integración viene a ser un solo punto, el cual es el punto de intersección de las dos curvas, y el valor de la primera función en ese punto será e-sc. Este es sólo un punto, el cual tiene un valor constante. En consecuencia, tenemos un término constante dentro de la operación de integración que se puede mover fuera y, por lo tanto, quedamos con,

e-sc f© (t – c) dt Como sabemos, el valor de la integral (t – c) dtes uno, por esto, la transformada de Laplace de la función delta de Dirac desplazada es e-sc f©. Esto nos da la transformada de Laplace de la función delta de Dirac, donde el valor de c = 0 y f(t) = 1, como, L{ (t)} = e0 (1) = 1 L{ (t - c)} = e-cs (1) = e-cs 3.5 Solución de ecuaciones. La transformada de Laplace es especialmente útil para obtener la solución de las ecuaciones diferenciales ordinarias no homogéneas con coeficientes constantes, donde todas las condiciones de contorno se dan para la función desconocida y sus diferencias en un solo punto. El procedimiento de trabajo de la misma es la siguiente: Sea el problema de valores iniciales dado como

Donde y(0) = k0 e y’(0) = k1. Además a1, a2, k0, k1son todos constantes y f(t) es función de t solamente. 1. Aplicando la transformada de Laplace en ambos lados de la ecuación (i) tomando en cuenta que L(d2y/ dt2) = s2Y(s) – sy(0) – y’(0) y, L(dy/ dt) = sY(s) – y(0) Donde, Y(s) = L{y(t)} e F(s) = L{f(t)} Entonces, la ecuación (i) produce, [s2Y(s) – sy(0) – y’(0)] + a1[sY(s) – y(0)] + a2Y = F(s) Ahora, haciendo uso de las condiciones iniciales tenemos que, (s2 + a1s + a2) Y(s) = F(s) + sk0 + k1 + a1k0 (ii) 2. Resuelve la ecuación (ii) y luego expresa el lado derecho como una sumatoria de fracciones parciales. Aplica la transformada inversa de Laplace a Y(s), obtenida en el paso anterior. Esto dará la solución de la ecuación dada (i) con condiciones iniciales, y(t) = L-1{Y(s)}

El procedimiento anterior también puede aplicarse a las ecuaciones diferenciales ordinarias de orden superior. Ahora demos un vistazo a un ejemplo ilustrativo en la categoría anterior. Resuelve y’’ + 2y’ + 5y = e-t sin (t) dados y(0) = 0 e y’(0) = 1. Al tomar la transformada de Laplace de ambos lados conseguimos, L{y’’} + L{2y’} + L{5y} = L{e-t sin (t)} O, [s2Y(s) – sy(0) – y’(0)] + 2[sY(s) – y(0)] + 5Y = [1/ ((s + 1)2 + 1)] Usando y(0) = 0 e y’(0) = 1 tenemos, (s2 + 2s + 5) Y(s) – 1 = [1/ (s2 + 2s + 2)] Y(s) = [1/ (s2 + 2s + 2) (s2 + 2s + 2)] + [1/ (s2 + 2s + 2)] = (1/ 3) {[1/ (s2 + 2s + 2)] – [1/ (s2 + 2s + 2)]} + [1/ (s2 + 2s + 2)] = (1/ 3) [1/ (s2 + 2s + 2)] + (2/ 3) [1/ (s2 + 2s + 2)] = (1/ 3) [1/ ((s + 1)2 + 1)] + (2/ 3) [1/ ((s + 1)2 + 4)] Invirtiendo ambos lados tenemos y(t) = (1/ 3) L-1[1/ ((s + 1)2 + 1)] + (2/ 3) L-1[1/ ((s + 1)2 + 4)] = (1/ 3) e-t L-1[1/ (s2 + 1)] + (2/ 3) e-t L-1[1/ (s2 + 4)] [Utilizando el primer teorema de desplazamiento] = (1/ 3) e-t sin (t) + (1/ 3) e-t sin (2t) = (1/ 3) e-t (sin (t) + sin (2t)) La transformada de Laplace también puede utilizarse para resolver un sistema de n ecuaciones diferenciales ordinarias simultáneas en n variables dependientes, las cuales son funciones de la variable independiente t. Considera un sistema de dos ecuaciones diferenciales ordinarias simultáneas en dos variables dependientes x e y, las cuales son funciones de t. (a1D2 + a2D + a3)x + (a4D2 + a5D + a6)y = f1(t) (b1D2 + b2D + b3)x + (b4D2 + b5D + b6)y = f2(t) Aquí D = (d/ dt) y las condiciones iniciales son x(0) = c1, x’(0) = c2, y(0) = c3, y’(0) = c4. También ai(i = 1, ), bi(i = 1, ), ci(i = 1, ) son constantes. El procedimiento de trabajo de la misma es la siguiente:

1. Aplicando la transformada de Laplace a ambos lados de las dos ecuaciones diferenciales ordinarias dadas, obtenemos {a1[s2X(s) – sx(0) – x’(0)] + a2[sX – x(0)] + a3X} + {a4[s2Y(s) – sy(0) – y’(0)] + a5[sY – y(0)] + a6Y} = F1(s) {b1[s2X(s) – sx(0) – x’(0)] + b2[sX – x(0)] + b3X} + {b4[s2Y(s) – sy(0) – y’(0)] + b5[sY – y(0)] + b6Y} = F2(s) O, (a1s2 + a2s + a3)X + (a4s2 + a5s + a6)Y = F1(s) + s(a1c1 + a4c3) + (a1c2 + a2c1 + a4c4 + a5c3) (b1s2 + b2s + b3)X + (b4s2 + b5s + b6)Y = F2(s) + s(b1c1 + b4c3) + (b1c2 + b2c1 + b4c4 + b5c3) Donde, X(s) = L-1{x(t)} Y(s) = L-1{y(t)}

SISTEMAS DE ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES. 4.1 Teoría preliminar. Un sistema de ecuaciones diferenciales es un conjunto de varias ecuaciones diferenciales con varias funciones incógnitas y un conjunto de condiciones de contorno. Una solución del mismo es un conjunto de funciones diferenciables que satisfacen todas y cada una de las ecuaciones del sistema. Según el tipo de ecuaciones diferenciales pude tenerse un sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias o un sistema de ecuaciones en derivadas parciales. Un sistema con la forma de las ecuaciones se denomina sistema lineal de orden n, o simplemente sistema lineal. Se supone que los coeficientes, a,, y las funciones, $, son continuos en un intervalo común, Z. Cuando j(t) = 0, i = 1,2, . . ., n, se dice que el sistema lineal es homogéneo; en caso contrario, es no homogéneo. Si el sistema es homogéneo, su forma matricial es X’ = AX.(4)(5) 4.1.1 Sistemas de EDL. Los problemas de la vida real pueden representarse de mejor manera con la ayuda de múltiples variables. Por ejemplo, piensaen el conteo de la población representado con la ayuda de una sola variable. Pero, esta depende del conteo de la población de depredadores así como también de las condiciones climáticas y la disponibilidad de alimentos. Todas estas condiciones en sí mismas forman una ecuación diferente definida en una variable separada. Por lo tanto, para estudiar las relaciones complejas, requerimos de varias ecuaciones diferentes para definir diferentes variables. Tal sistema es el sistema de ecuaciones diferenciales. Un sistema de ecuaciones diferenciales lineales se puede denotar como,

Aquí xi (t) es una variable en términos de tiempo y el valor de i = 1, 2, 3, …, n. También A es una matriz que contiene todos los términos constantes, como [ai,j]. Dado que los coeficientes de la matriz constante A no están definidos explícitamente en términos de tiempo, por lo tanto, un sistema de ecuaciones diferenciales lineales es llamado a veces autónomo. La notación convencional general para el sistema de ecuaciones diferenciales lineales es, dx/ dt = f(t, x, y) dy/ dt = g(t, x, y) El sistema anterior de ecuaciones diferenciales tendrá numerosas funciones para satisfacerla. Mediante la modificación de la variable tiempo obtendremos un conjunto de puntos que se encuentran en el plano de dos dimensiones x-y, los cuales se denominan trayectoria. La velocidad con respecto a esta trayectoria, en algún tiempo t es, = (dx/ dt, dy/ dt) Un ejemplo de un sistema de ecuaciones diferenciales lineales es el siguiente, dx1/ dt = −4×1 + 2×2 dx2/ dt = 0×1 + −2×2 Con el fin de determinar el conjunto completo de fórmulas para la variable dependiente de tiempo xi(t) para todos los valores de i, es necesario obtener primero los vectores propios y valores propios de la matriz constante A. En el caso que la matriz constante A posea un conjunto de valores propios repetidos para sus componentes, sería necesario un vector propio generalizado. Este es t, toma en cuenta que los vectores propios y valores propios de la matriz constante puede ser un subconjunto de los números reales o también un subconjunto de los números complejos. La representación de la matriz del problema anterior es la siguiente, dx/ dt = A * x En este caso, A es la matriz constante que puede ser representada como,

Y x(t)T es un vector de variables definidas en términos de tiempo, el cual es representado como,

En caso de que el vector propio de la matriz constante A sea un subconjunto de los números reales para este ejemplo, podemos escribir, A = S * D * S-1 Aquí D es la matriz diagonal de la matriz de vectores propios de la matriz constante A y S es la matriz que contiene los vectores propios en forma de columnas, en el mismo orden como los valores propios se escriben en la matriz diagonal D. En consecuencia, la forma de la matriz del ejemplo anterior se puede escribir como, dx/ dt = A * x dx1/ dt dx2/ dt = −4 2 0 −4 * x1 x2 4.1.2 Sistemas de EDL homogéneos. Sabemos que una ecuación diferencial lineal es de la forma,

Si esta misma ecuación se transforma en la forma,

Obtenemos una ecuación diferencial lineal homogénea. Esta se da cuando la función conocida no está presente en la ecuación diferencial lineal, entonces se le llama una ecuación diferencial homogénea. Y si tenemos una gran cantidad de tales ecuaciones juntas, de manera tal que dependen unas de las otras, y definen colectivamente un problema común, entonces se les llama un sistema de ecuaciones diferenciales lineal es homogéneo. Tales sistemas pueden ser resueltos de manera eficiente con la ayuda de las matrices, las cuales son denominadas matriz fundamental. Sean X1, X2 … X3 las soluciones de la matriz fundamental del sistema de entrada de ecuaciones diferenciales homogéneas, entonces puede representarse de manera condensada como,

En la ecuación anterior, las soluciones del sistema de ecuaciones diferenciales están definidas en algún intervalo, digamos I y la solución general del sistema de ecuaciones diferenciales es este

En la ecuación anterior, los términos que se mantienen dentro de los corchetes son los vectores fila, donde X1 = [xi1j], X2 = [xi2j] …Xn = [xinj]. Estas son las soluciones n fundamentales del sistema de entrada de ecuaciones diferenciales lineales homogéneas para el intervalo dado I. Entonces tenemos que la matriz fundamental para el sistema homogéneo de ecuaciones diferenciales lineales para el intervalo dado como I es,

Los pasos para resolver un sistema homogéneo de ecuaciones diferenciales lineales son los siguientes: 1.Construye la matriz de coeficientes para las ecuaciones del sistema dado. 2. Determina los valores propios de esta matriz de coeficientes del sistema dado de ecuaciones diferenciales lineales homogéneas. 3. Ahora, busca el vector propio inicial de este conjunto de valores propios y nómbralo como EV1.

4. Determina la primera ecuación de este vector en términos de constantes k1, k2. 5. Después de esto, determina el siguiente conjunto de valores propios, sus vectores propios correspondientes y su ecuación. 6. Anota la solución general para las ecuaciones en términos de constantes k1, k2. 7. Por último, deriva la solución general para el sistema de ecuaciones. Aunque el procedimiento para solucionar el sistema de ecuaciones diferenciales lineales homogéneo es bastante fácil, se da un ejemplo ilustrativo que te ayudará a hacer los conceptos más claros. dx/ dt = 2x + 3y dy/ dt = 2x + y Primero, escribamos la matriz constante para el sistema de ecuaciones diferenciales homogéneas dado. Esto es,

La matriz columna de los valores propios construida a partir de esta matriz de coeficientes es la siguiente,

Esto nos da 1 = −1 y 2 = 4. A partir de estos valores propios el vector propio asociado se construye como,

Colocando el valor de 1 = −1 en lugar, el valor exacto deEV1se obtiene como,

El determinante de este se obtiene como, | EV1 | = 0. La ecuación asociada de este vector propio es, 3k1 + 3k2 = 0

2k1 + 2k2 = 0 De manera similar, la otra ecuación para el segundo vector propio es, -2k1 + 3k2 = 0 2k1 - 3k2 = 0 Cuando t = 0, c1 = 1 y c2 = 1. X1 = e-t K1

Del mismo modo,

Esto nos da la solución general,

4.1.3 Solución general y solución particular de sistemas de EDL. Solución general de los sistemas de ecuaciones diferenciales lineales y solución particular de los sistemas de ecuaciones diferenciales lineales Para resolver un sistema de ecuaciones diferenciales lineales, es absolutamente esencial conocer los conceptos de valor propio y vector propio. Para una matriz M dada, es llamadolos valores propios, si la condición es verdadera,

Aquí x se llama vector propio de la matriz M. Es decir, los vectores propios son aquellos vectores que luego de ser multiplicados por la matriz de entrada permanecen proporcionales a la matriz de entrada o resultan cero. Sea A la matriz que contiene los valores propios, como [ 1, 2, 3 … n]. A continuación se indican los pasos para resolver un sistema de ecuaciones diferenciales.

1. Calcula las ecuaciones del sistema de ecuaciones diferenciales y construye la matriz que contiene los coeficientes de todas las ecuaciones en el orden en que aparecen en el sistema de entrada de la ecuación. 2. Los valores propios se obtienen de esta matriz que contiene los términos de los coeficientes. 3. Calcula todos los vectores propios de valores propios como los obtenidos en el paso anterior. Nómbralos en la secuencia a medida que son determinados como EV1, EV2, EV3 …EVn. 4. Calcula las ecuaciones correspondientes para cada uno de los conjuntos de valores propios y los vectores propios asociados. Repite este paso para cada par de valores y vectores propios. 5. Obtén la solución particular para un sistema de ecuaciones no homogéneo como,

Aquí X(t) se define como,X(t) = [x1 x2 x3 … xn] Y en caso de que el sistema de entrada sea una ecuación diferencial homogénea, entonces la solución particular del sistema será dada de la forma,

La ecuación anterior nos da la relación,

En la relación anterior, y son valores propios y vectores propios, respectivamente. 6. Y la solución general para el sistema de ecuaciones diferenciales lineales es dada de la forma,

En general podemos decir que la solución de un sistema de ecuación diferencial es llamada solución general si los valores de las constantes no se obtienen en la solución final. La misma solución puede convertirse en una solución particular cuando tenemos el valor de las constantes determinadas. Esto se hace en el caso que el sistema de entrada de la ecuación diferencial sea un problema de valor inicial con las condiciones iniciales establecidas para la determinación de los términos constantes. El ejemplo siguiente aclarará el procedimiento para resolver un sistema de ecuaciones diferenciales lineales. Determina el conjunto de ecuaciones como xT(t) = [(x1(t), x2(t)] para el sistema de ecuaciones dx/ dt = A * x con las condiciones iniciales establecidas como x(0) = x0 = (x01, x02). El valor de la matriz A está dada como,

La ecuación característica de la matriz de coeficientes arriba es, f( ) = 2 –trace(A) * + det(A) = 2 + 4 + 4 Y las raíces de esta ecuación nos dan repetidos valores propios de la matriz como, 1 = 2 = −2. Entonces, el vector propio de la matriz es dado de la forma, (𝐴𝜋 ∗ 𝐼) ∗ 𝑣 = (𝐴 − (−2) ∗ 𝐼) = |−1 1|*|𝑣1 −1 1 𝑣1

𝑣2 | 1𝑣2

La matriz tiene un solo vector propio ya que ambos valores propios son los mismos. Por lo tanto, la solución general del problema se da como, −1 1 −1𝑣1 ((𝐴 − 2) ∗ 𝐼 − 𝐴) ∗ 𝑣 = 𝑣1 = | |*| −1 1 −1𝑣1

1𝑣2 | 1𝑣2

Por consiguiente, un vector propio generalizado puede ser calculado como, v = vp +s1* vh1 v1 v2 −1 0 +s1* 1 1 La solución particular de este problema sería vT(p) = (−1, 0) = v2, el cual es el valor propio generalizado de esta matriz, junto con los valores propios repetidos y vh es la solución homogénea dando el vector propiov1.

Y la solución general del problema es,

Esto nos da, x1(0) = c1 e0 + c2 (0 – e0) = c1 – c2 = x01 x1(0) = c1 e0 + c2 (0) = c1 = x02 4.2 Métodos de solución para sistemas de EDL. Un sistema de diferenciales lineales puede resolver las ecuaciones. Al igual que existen varias técnicas para resolver una ecuación diferencial lineal, también las hay para un sistema de ecuaciones diferenciales lineales. Como el método de eliminación de Gauss, método separable y reducible etc. Sea un sistema de ecuaciones diferenciales lineales representado como,

Entonces, la representación de la matriz equivalente de este sistema de ecuaciones diferenciales lineales será,

Ahora, la técnica más conveniente para resolver este sistema de ecuaciones diferenciales lineales es recurrir al método de multiplicación de matrices. La fórmula para resolverlo está dada de la forma,

A.X=C Aquí A es la matriz que contiene los términos coeficientes de toda la ecuación del sistema, C, que es una matriz columna compuesta de elementos no homogéneos y, finalmente, la matriz X es la que contiene los elementos desconocidos. Cuando la matriz C es igual a cero, entonces el sistema dado es un sistema homogéneo de ecuaciones diferenciales lineales. Todo el mundo está familiarizado con el hecho de que multiplicar unas cuantas matrices es mucho mejor que solucionar las ecuaciones algebraicas crípticas para cuatro variables desconocidas. Sin embargo, la técnica anterior nos da la solución en todo momento. Por lo tanto, tenemos que adoptar algunas otras técnicas para resolver las ecuaciones. Dos sistemas de ecuaciones diferenciales lineales se llaman equivalentes en la situación de que ambos produzcan las mismas soluciones para variables desconocidas. Sin embargo, esto puede lograrse mediante aplicar algunas operaciones elementales como la multiplicación con una constante, la reordenación de las ecuaciones, etc. Sea un sistema de ecuaciones diferenciales lineales dado como, x+y+z=0  x – 2y + 2z = 4  x + 2y – z = 2 4.2.1 Método de los operadores. Un operador es un objeto matemático que convierte una función en otra, por ejemplo, el operador derivada convierte una función en una función diferente llamada la función derivada. Podemos definir el operador derivada D que al actuar sobre una función diferenciable produce la derivada: 0f(x) = f(x) ; D1f(x) = f0(x) ; D2f(x) = f00(x) ; : : : ;Dnf(x) = f(n)(x) : Es posible construir la siguiente combinación lineal con los operadores diferenciales: P (D) = a0 + a1D + a2D2 + + anDn ; an 6= 0 : (1) 4.2.2 Utilizando transformada de Laplace. 4.3 Aplicaciones. Los sistemas de ecuaciones diferenciales lineales encuentran sus aplicaciones en varios problemas que surgen en el sistema del mundo real. Algunos de estos problemas se discuten a continuación. 1. Problema mecánico del acoplamiento de los resortes: Dos cuerpos con masa m1, m2, respectivamente, yacen sobre una mesa. La mesa está libre de fricción. Los dos cuerpos están conectados entre sí con la ayuda de un

resorte. Este resorte está en una posición no estirada. También cada uno de estos cuerpos está conectado a una superficie estática con la ayuda de los resortes. Una vez más, estos resortes no están estirados. La constante elástica de cada uno de los resortes es k1, k2, k3, respectivamente. La situación anterior puede ilustrarse como,

Aquí O1 es la posición inicial del primer cuerpo y O2 es la posición inicial del segundo cuerpo. Los cuerpos pueden ser cambiados de su posición de equilibrio mediante mover cualquiera delos cuerpos en cualquier dirección y luego soltarlos. Un ejemplo de esto es,

En la figura anterior, x1 es la cantidad de distancia recorrida por el primer cuerpo cuando este se mueve desde la posición de equilibrio y x2 es la cantidad de distancia recorrida por el segundo cuerpo cuando este se mueve desde la posición de equilibrio. Esto implica que el primer resorte se alarga desde la posición estática por una distancia de x1 y el segundo resorte se alarga desde la posición estática por una distancia de x2 – x1.Esto implica que dos fuerzas restauradoras están actuando sobre el primer cuerpo, estas son:  La fuerza del primer resorte la cual actúa en dirección izquierda. Esta fuerza por la ley de Hooke igual ak1×1.  La fuerza del segundo resorte que actúa en dirección derecha. Esta fuerza es igual a k2(x2 – x1). CONCLUSIONES La transformada de Laplace se aplica en la ingeniería de diferentes formas entre las cuales podemos mencionar varias de ellas tales como: El control de procesos que lo podemos aplicar por ejemplo en: El ámbito doméstico para controlar temperaturas, humedad, en edificios, en el transporte para controlar que autos o aviones se muevan de un lugar a otro de forma segura y exacta), en la industria para controlar un sin número de variables en los procesos.

En ingeniería química tienen especial importancia en el control de procesos. En control de procesos es necesario obtener las funciones de transferencia de los distintos elementos de un lazo de control, estas funciones de transferencia se expresan en el dominio de Laplace porque es mucho más fácil operar en este dominio y predecir cómo se va a comportar el elemento en cuestión. Otra aplicación podría darse en el estudio de la cinética de reacciones complejas, donde pueden existir sistemas de ecuaciones diferenciales fácilmente resolubles por Laplace. En el caso de la ingeniera electrónica Una transformada de Laplace sirve para resolver fácilmente una ecuación diferencial. Resolver ecuaciones diferenciales, en electrónica es fundamental ya que todos los elementos que se utilizan en electricidad, responden conforme este tipo de ecuaciones, fíjate que para resolver cualquier tipo de circuito eléctrico en CA tienes que plantear ecuaciones diferenciales y luego resolverlas. Así mismo en el estudio de transitorios es fundamental, ya que tienes que estudiar en este caso cual es la respuesta a un escalón de tensión, en un circuito dado, en general toda la física se puede explicar en términos de ecuaciones diferenciales. REFERENCIAS http://www.itpn.mx/recursosisc/4semestre/ecuacioneslineales/Unidad%20III.pdf http://itpn.mx/recursosisc/4semestre/ecuacioneslineales/Unidad%20IV.pdf https://www.google.com.mx/search?q=ecuaciones+diferenciales+unidad+4&oq=ec uaciones+diferenciales+unidad+4&aqs=chrome.0.69i59j69i60l2.11068j0j7&sourcei d=chrome&es_sm=93&ie=UTF-8 http://piratatec.blogspot.mx/2011/05/37-transformada-de-funciones.html