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• jorgejunier

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2.119 El sistema que se muestra en la figura 2.113 tiene una frecuencia natural de 5 Hz con los siguientes datos: m= 10 kg, J0 =5 kg-m2, r1 =10 cm, r2= 25 cm. Cuando el sistema experimenta un desplazamiento inicial, la amplitud de vibración libre se reduce en 80 por ciento en 10 ciclos. Determine los valores de k y c.

Ecuaciones de restricción:

X =r 2 senθ=r 2 θ X 1=r 1 senθ=r 1 θ

Ecuación de movimiento Para la polea:

∑ M 0=J o θ´ −F c ( r 1 )−F ( r 2) =J o θ´ −C r 1 θ´ ( r 1 ) −F ( r 2 )=J o θ´ Para la masa:

∑ F=m ´x F−kx=m ´x F−k r 2 θ=m r 2 θ´

REEMPLAZANDO F de una ecuación en otra se tiene que:

´ k r θ ] ( r 2 )=J θ´ −C r 1 θ´ ( r 1 ) −[ m r 2 θ+ 2 o

La ecuación de movimiento será:

´ ´ r 22 θ=0 r 12 θ+k ( J o + mr 22 ) θ+C Reemplazando:

´ ´ k 0.252 θ=0 ( 5+10(0.25)2 ) θ+C 0.12 θ+

´ 0.0625 θ=0 5.625 θ´ +C 0.01 θ+k

δ=

(1)

1 1 ln =0.161 10 1−0.8

(

)

δ=

2 πξ −−−→ ξ=0.0256 1−ξ 2

w n=2 π∗5=31.416rad /s

w n2∗m=k

(2)

(3)

(4)

Por lo tanto, podemos encontrar k y c: 2

31.416 ∗5.625=k , → k=5551.6 N /m ξ=c /2 m wn C= 0.0256∗2∗5.625∗31.4−−−−−−−→C=9.0432 Nseg/m

2.141 Una masa de 10 kg se conecta a un resorte de 3000 N/m de rigidez y se deja libre después de que se desplaza 100 mm. Suponiendo que la masa se mueve sobre una superficie horizontal, como se muestra en la figura 2.42(a), determine la posición en la cual la masa se detiene. Suponga que el coeficiente de fricción entre la masa y la superficie de 0.12.

Solución: Para que el movimiento cese se debe cumplir que: xn ≤

μN k

μN 0.12 (10∗9.8 ) ≤ =0.00392m ≤3.92 mm k 3000

Ya que el desplazamiento es de izquierda a derecha podemos utilizar la siguiente ecuación: Esto ocurre en el semiciclo :

μN k r≥ μN 2 k x n−

0.12 ( 10∗9.8 ) 3000 0.12 ( 10∗9.8 ) 2 3000

100 x 10−3− r≥

r ≥12.25

Por lo que se puede ver que el desplazamiento terminara después del semiciclo 12 0−¿ 24

0.12 ( 10∗9.8 ) μN =100 x 10−3−24 =0.00592m=5.92 mm k 3000 x 12=x ¿

Ya que desde el máximo del semiciclo 12 el movimiento es hacia la izquierda se tiene que: 12−¿

μN k

x¿ ¿ x ( t )=¿ El tiempo que pasa desde que la masa llega al semiciclo 12 hasta detenerse es: 12−¿

μN k

x¿ μN x ( t )− k ( ¿¿ ) =t wn cos−1 ¿ ¿

cos−1

((

0.12 (10∗9.8 ) 3000 0.12 (10∗9.8 ) 0.00592 m− 3000 0.00392 m−

√

3000 10

)

)

=t=0.09069 s

El tiempo que le toma al sistema para estabilizarse es:

T=

12 π +0.09069=2.268 seg 3000 10

√