T ema: Apuntes d e clases
U N IV E R S ID A D T E C N O L Ó G IC A N A C IO N A L FACULTAD R E G IO N A L CÓRDOBA P r o f . I ng . M i g u e l Á
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U N IV E R S ID A D T E C N O L Ó G IC A N A C IO N A L
FACULTAD R E G IO N A L CÓRDOBA
P r o f . I ng . M i g u e l Á ng e l Ramadán
Apuntes de clases
ANÁL I SI S MAT E MÁT I CO I I
9 6 ma r 1 3 @ g ma i l. co m Ecuaciones diferenciales ordinar ia s T ema Po r f a vo r , si se e n cu en t r a a lg ú n er r or ( sí mb o l o s, le t r a s, n ú me r o s, e t c. ) a visa r me d i a n t e e ma i l a l a di re cció n d el e n ca b e zad o . Gr a cia s . -
Definiciones Se llama ecuación diferencial a una expresión funcional, de estructura similar a la de las ecuaciones algebraicas, en donde al menos un elemento es un diferencial, o una derivada, de alguna variable. Por lo tanto, todas las expresiones que hemos estado utilizando, en donde han int ervenido derivaciones, constituyen algún tipo de ecuación diferencial. Por ejemplo, si tenemos la expresión algebraica:
y 3.x 2 1
la
reconocemos de inmediato como una función de segundo grado, o cuadrática. Derivando la expresión una vez, tenemos: y' 6.x
que, por contener
una derivada en su estructura, y de acuerdo a la definición de más arriba, constituye una ecuación diferencial. Cambiando la nomenclatura de la derivada, podemos escribir:
dy 6.x dx
que sigue siendo la misma ecuación diferencial anterior. Si ahora multiplicamos a ambos miembros por dx e integramos, tenemos:
dy
dx dx 6.x.dx
que nos lleva a:
y
6 2 x C 3 x2 C 2
Observamos que las expresiones y poseen el mismo tipo de estructura; pero en una se ti ene un valor C que, como sabemos, es un conjunto denso de números reales, mient ras que en la otra C es igual a 1. Si graficamos en un sistema ortogonal cart esiano a la expresión , sabemos que resulta una curva conocida , la parábola, con ramas ascendentes, simétrica con respecto al eje y, que tiene como ordenada al origen el valor 1, y que no corta al eje x en ningún punto (raíces complejas conjugadas), figura 297. Y si graficamos la expresión se tendrán infinitas parábolas como la de la figura 297, una por cada valor de C, como vemos en el gráfico de la figura 2 98. Entonces, diremos: qu e la expresión es una ecuación diferencial en la que para conocer el valor de la variable y es necesario integrarla, obteniéndose la expresión , la cual grafica un conjunto denso de curvas. Se define a la expresión como solución de la ecuación diferen cial. Ello significa que resolver una ecuación diferencial es encontrar la expresión
funcional
de
la variable dependiente (o función ) mediante una
integración. UTN
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Es interesante observar que ant es de integrar se puede aplicar un artificio operacio nal que consiste en suponer que la expresión de la derivada puede tomarse como un cociente de diferenciales, de modo que se pueda operar algebraicamente con ellos, y tras disponerlos convenientement e, integrar: en este caso, de la , hacemos: dy 6.x.dx
y luego:
dy 6.x.dx ,
obteniéndose el
mismo resultado .
Cambiando el valor de la const ante C, a partir de la , permite obtener una nueva expresión con las mismas cualidades de la , por lo que ésta constituye lo que se define como la familia de expresiones, o funciones, del mismo tipo, siendo entonces la expresión un miembro de tal familia; los demás miembros de la familia se distinguen por el valor de la constante C. Un
sinnúmero
expresiones
de
funcionales
ecuaciones de
la
Física
diferenciales General
se
y de
encuentran la
F ísica
en
las
Especifica
(Electrónica, Mecánica, etc.). La ecuación diferencial es una ecuación que contiene una derivada primera, por lo que se dice que es de orden 1, o ecuación diferencial de primer orden. Esto induce a pensar que las ecuaciones diferenciales que poseen derivadas de orden n serán denominadas ecuaciones diferenciales de orden n. Siendo x la única variable independiente de la ecuación diferencial, y de la solución, la ecuación difer encial se denomina ordinaria. En el caso de existir más de una variable independiente en la ecuación UTN
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diferencial, se la denomin a ecuación diferencial a derivadas parciales , o ecuación diferencial parcial, por cuanto las derivadas que pudieren estar presentes en tal ecuación, necesariamente deben ser derivadas parciales. Entonces, una ecuación diferencial ordinaria de primer orden, es:
ecuación: por el parecido estructural con las ecuaciones algebraicas;
diferencial:
porque
posee
al
menos
una
derivad a,
o
un
par
de
diferenciales;
ordinaria: porque en su estruct ura es posible identificar sólo una variable independiente;
de primer orden: porque el orden de la derivada de mayor orden presente en la ecuación es 1. Sinteticemos
a
continuación
un conjunto
de
particularidades de
las
ecuaciones diferenciales: Expresión generalizada de ecuación diferencial de primer orden: f(x;y;y’)=0 Expresión generalizada de ecuaciones diferenciales de orden n: f(x;y;y’; y’’;y’’’;...;y n’ )=0 Orden de la ecuación diferencial: es tá dado por el orden de la derivada de mayor orden que conforma la ecuación: f(x;y;y’; y’’;y’’’)=0
es una ecuación diferencial de tercer orden.
Grado: lo da el exponente al que está elevada la derivada de mayor orden que conforma la ecuación: 3
x2
d2y dy y 0 2 dx dx
es de segundo orden y de primer grado.
Ecuación diferencial lineal: cuando el grado de la variable dependiente (o función incógnita) y sus der ivadas es uno (de primer grado):
d2y dy x 2 y 0 dx dx 2
Solución de la ecuación diferencia l:
es
la
relación
emergente
(estructura funcional) entre las variables dependiente e independiente de la ecuación, al integrar la misma, y que satisface a la ecuación.
T ambién
se la conoce como integral de la ecuación. Constant e de integración (C): es la constante numérica que forma parte de la solución y que emerge del proceso de integración de la ecuación diferencial, correspondiendo una constante a cada orden de la ecuación , por lo que una ecuación de primer orden tiene una sola c onstante, la ecuación de segundo orden tiene dos constantes de integración, etc. . UTN
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Solución general (SG): es la estructura funcional que es solución de la ecuación diferencial, pero con sus constantes de integración aún sin delimitarse mediante las condici ones del problema. Ejemplo: , cuya gráfica es el conjunto de todas las curvas (roja y azules) de la figura 298. Condiciones iniciales (CI): también llamadas condiciones de contorno o condiciones del problema, es el valor particular que debe tomar la varia ble dependiente frente a un valor particular de la variable independiente, determinado por el propio fenómeno, o problema. Por ejemplo, la velocidad y de un móvil que asciende hast a una
Solución
particular
determinado
el
(SP):
valor
de
km h
y( x 20m) 0
cierta altura x debe ser nula: es
la
solución
la
constante
general
de
en
la
que
se
ha
integración a través de las
condiciones iniciales. Ejemplo: , cuya gráfica es la curva roja de las figuras 297 y 298. Formato P+Q : es la estructura a que generalmente se lleva una ecuación diferencial, mediante operaciones algebraicas, para, de allí, solucionarla mediante los procedimientos det erminados por la experiencia investigativa . Existe
una
clasificación
simple
del
vasto
número
de
ecuaciones
diferenciales que se presentan en la Ciencia y en la T écnica : las ecuaciones diferenciales ordinarias
de
primer
orden, las
de segundo
orden, las de orden superior, las a derivadas parciales, etc. Ecuaciones diferenciales de primer orden (EDOPO): Existen varias estruct uras de aplicación, de las que , en este programa, veremos: Ecuaciones diferenciales a variables separables ( EDVS). Ecuaciones diferenciales homogéneas de grado cero (EDHº). Ecuaciones diferenciales totales, o exactas (EDE). Ecuaciones diferenciale s lineales (EDL). Ecuación diferencial de Bernoulli. Búsqueda de las soluciones de las ecuaciones diferenciales: a.- siempre que sea posible, tras una organización previa de la estructura mediante operaciones algebraicas, procederemos a la integración directa, como se hizo en la presentación de más arriba. b.- en los casos en que tal modo no sea posible, se utilizan propuestas de solución suministradas por los investigadores del tema (Lagrange, D’Alembert, Cauchy, etc.), las que conllevan procedimientos pro pios de cada propuest a. UTN
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c.- En general, el procedimient o de búsqueda de las soluciones consiste en llevar a la ecuación,
mediante operaciones algebraicas permitidas , a
expresiones que responden a un determinado formato; logrado éste se le aplica la propuesta de solución dada por la investigación, y se procede a integrar, tras lo cual, nuevamente con operaciones algebraicas convenientes, se le da a la solución obtenida una mínima expresión que responda a formatos convenidos.
* * * Ecuación Diferencial a Vari ables Separables F(x;y;y’)=0 es la expresión simbólica de una ecuación diferencial completa de primer orden.
F(y;y’)=0
es la expresión simbólica de una ED incompleta.
F(x;y’)=0
es también una ED incompleta, al igual que: F(y’)=0.
Para generalizar, partiendo de podemos explicitar:
y'
la
expresión completa, supongamos que
dy F ( x; y ) g ( x) h( y) dx
y
aplicando
el
artificio
de
operar algebraicamente con los diferenciales que constituyen la derivada
dy g ( x) h( y) dx
indicada, haremos :
que
es una estructur a que
llamaremos ecuación diferencial a variables separables , dado que desde la misma es posible separar las variables, algebraicamente, asignándoles un miembro a cada una. Por lo tanto, desde tal estructura se procede a separar a las variables de modo que cada función de cada variable “busque” el dif erencial de dicha
dy g ( x) dx h( y )
variable:
g ( x) dx
y agrupando todo en el primer miembro:
P( x ) g ( x )
y haciendo:
Q( y )
y
al
operar
con
una
ecuación
1 h( y ) P( x) dx Q( y) dy 0
se tiene la ecuación en el llamado formato P+Q: Si
dy 0 h( y )
diferencial
podemos
llevarla
a este
formato, diremos que es una ecuación diferencial a variables separables. La resolución de esta EDVS implica la siguiente secuencia de pasos: 1.- mediante procedimientos algebraicos se separan las variables llevando la función de la variable dependiente, con su diferencial, al primer miembro, y la función de la variable independiente, con su diferencial, al segundo miembro; con ello se obtiene una ecuación diferencial a variables separadas:
Q( y) dy P( x) dx UTN
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2.- A continuación se procede a integrar ambos miembros:
Q( y).dy P( x) dx lo que nos lleva a sendas primitivas y sendas const antes de int egración en cada
q( y) C1 p( x) C2
miembro:
q( y) p( x) C2 C1 p( x) C
de donde:
que es la solución general (SG) de la ecuación diferencial, en donde se ve que la constante de integración C unifica a las constantes de integración que resultan de cada una de las etapas de integración. La solución lograda debe satisf acer, o verificar, la ecuación diferencial, lo que significa que si insertamos en la ecuación diferencial a la solución y a su derivada, y operamos algebr aicamente, deberemos encontrar una identidad del tipo 0=0. Por último, se procurará explicitar la variable dependiente, desde la expresión funcional
que la contiene ( q( y ) ),
y f ( x) C
funcional del tipo: Así
como
hablamos
de
un
arribándose
y f ( x; C )
o bien: formato
para
a una expresión
la
ecuación
diferencial,
también hablaremos de formatos convenidos para la expresión funcional de la solución general de una ecuación diferencial: Formato 1:
y f ( x) C
o bien:
y f ( x; C )
Formato 2:
C f ( x; y)
Formato 3:
x f ( y) C
o bien:
x f ( y; C )
Formato 4:
0 f ( x; y) C
o bien:
0 f ( x; y; C )
El formato 1 es al que hay que arribar, como mínima expresión , una vez lograda una expresión de la solución ; o sea, es el formato prioritario. Si ello no es posible, se procurará acceder al formato 3. Si éste tampoco fuera posible, entonces se obtendrá el format o 2, en su mínima expresión, el cual siempre es posible de obtener. El formato 4, u otros, carecen de interés para las aplicaciones de la Ciencia y de la T écnica. El formato 2, como veremos en los prácticos, es muy útil para determinar el valor de la constante de in t egración y de allí pasar a la solución particular (SP). Por ello, es común solucionar las ecuaciones diferenciales arribando a una pareja de expresiones de la solución: el formato 2 y el formato 1, pref erentemente ; UTN
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o el formato 2 y el formato 3. En términos de funciones , decimos que la SG de la ED representa una familia de funciones de igual estructura, diferenciadas unas de otras por el valor de la constante C. La SP representa así a una función particular que pertenece a esa familia de igual estruct ura. Y en términos gráficos la SG representa una familia de curvas iguales (curvas
integrales)
desplazadas
conforme
así
lo
indiquen
las
distintas
constantes de su estructura (figura 298, por ejemplo) , siendo la SP una curva miembro de dicha familia (curv a roja de la figura 298, por ejemplo) y según su particular valor de C. Ejemplo:
Supongamos que un determinado problema presenta entre sus
x. y' y 2 x 0
modelos funcionales, la expresión
que reconoceremos como una
EDOPO. A fin de encontrar su solución, es decir, explicitar su función
y f (x) ,
intentaremos separar sus variables para proceder a su integración:
x. y' 2 x y
dy
y entonces: vemos
que
no
es
dy 2x y dx
x.dy (2 x y).dx
de donde:
y
x
luego:
(2 x y).dx 2 x.dx y y dx 2.dx dx x x x x
posible el separar las variables de modo que la
independiente esté en el segundo miembro, y la dependiente (o función, o incógnita) esté en el primer miembro. Por lo que concluimos que no es una EDVS y deberemos a nalizar a qué otro tipo de ecuación diferencial puede corresponder esa expresión, a fin de obtener
su solución mediante la aplicación del método correspondiente.
En cambio, si en otro problema, nos encontramos con la expresión :
2 y y' 2 x 3 iniciamos el procedimient o algebraico para ver si responde al formato P+Q de una EDVS:
2 dy y 2x 3 dx
dy 2x 3x 2 dx y y 3
1 2 3 y C1 x 2 C2 2 2 UTN
y.dy 3 x.dx
1 2 3 2 y x C0 2 2
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y.dy 3x.dx
y 2 3 x 2 2.C0 3 x 2 C
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Finalmente, la solución general, en el formato 1, es:
SG: y 3 x 2 C
cuya interpretación gráfica es la de la figura 299. Si las condiciones del problema, o condiciones iniciales ( CI) fuesen tales que para un valor x=1 (por ejemplo), el valor de y debe ser y=3, es decir, si
y( x) y(1) 3 , desde la solución general hacemos: 9 3C
y entonces:
3 3 12 C
C 6
con lo que:
9 3 12 C
de modo que
y 3 x2 6 3 x2 2 ,
la solución particular de la ecuación diferenci al es SP: cuya gráfica es la curva azul de la figura 299.
Entonces, en la interpretación gráfica de las soluciones de la ecuación diferencial (figura 299), vemos que una única curva , de estructura similar a las de la SG, represent a a la SP, mientras que las restantes curvas, incluyendo a la particular, constituyen un conjunto denso (o familia de curvas) de las funciones componentes de la solución general ; si C representa al conjunto de los números reales, el número de funciones com ponentes de la SG de la ED es infinito, mientras que si, por ejemplo, la constante C representara al conjunto de los números naturales, el conjunto de funciones, si bien infinito, grafica un conjunto discreto (no denso) de curvas representativas de la SG. Veremos en las clases prácticas, y en el Ejemplario, que según como sea la estructura de la solución general hallada en primera instancia, se podrá operar con la constante de integración C de modo de adecuarla a una expresión elegida, o más conveniente . *
*
*
Ecuación Diferencial Homogénea de grado cero: Partiendo
de
la
expresión
ordinaria de primer orden
general
de
una ecuación diferencial lineal
F ( x; y; y' ) 0
se obtiene
y' g ( x; y) h( x; y )
que puede pensarse como:
y' f ( x; y)
dy dx
de donde, aplicando el artificio más arriba mencionado de separación de
dy g ( x; y) h( x; y) dx
diferenciales, se obtiene : y entonces:
dy g ( x; y) dx h( x; y )
y anulando el primer miembro (o el
0 g ( x; y ) dx
segundo, es indistinto):
dy h( x; y )
y redenominando las funciones factores de los diferenciales, se obtiene:
P( x; y) dx Q( x; y) dy 0 UTN
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que es el formato P+Q de la ED con la que estamos operando. Si este formato P+Q de la ED repres enta una ED homogénea de grado cero, las funciones componentes ( P y Q) de la ED deberán ser homogéneas de grado n, y la derivada de la función buscada será homogénea de grado cero , es decir que:
P( x; y) t n .P( x; y) P( x.t; y.t )
y del mismo modo:
Q( x; y) Q( x.t; y.t ) t n .Q( x; y)
por lo que la derivada de la incógnita, obtenida desde el formato P+Q, será:
P( x; y ) P(t x;t y ) t n .P( x; y ) P( x; y ) P( x; y ) P( x; y ) dy n t n n t 0 dx Q( x; y ) Q(t x;t y ) Q( x; y ) Q( x; y ) Q( x; y ) t .Q( x; y ) Esto confirma que la derivada que origina la ecuación diferencial es una expresión homogénea de grado cero. Si intentamos resolver esta ecuación diferencial homogénea de grado cero procediendo a separar las variables veremos que, en general, no es posible, dado que los componentes P y Q son funciones portadoras de funciones implícitas (de P( x; y) y f ( x) ), y lo propio sucede con Q( x; y) y no siempre se pueden explicitar simultáneamente estas funciones en ambos componentes; de ser ello posible, el proceso nos llevaría a una ecuación diferencial a variables separables. Para hallar la soluc ión se recurre a la propuesta elaborada por los
y U ( x) x
investigadores, que proponen como solución:
Es decir que se propone una solución ya dada en el formato 1 (que recordemos que es el priorit ario),
y que es el producto de la variable
independiente por una función desconocida de esta misma variable. Esta propuesta transforma del siguiente modo a los component es P y Q de la ecuación diferencial:
P( x; y) P( x;U .x) x n .P(1;U ) por lo que:
Q( x; y) Q( x;U .x) x n .Q(1;U )
y
x n .P(1;U ).dx x n .Q(1;U ).dy 0
entonces:
P( x; y ) x n .P(1;U ) P(1;U ) dy y' n G(1;U ) F(U ) dx Q( x; y ) Q(1;U ) x .Q(1;U ) y' U '( x) x U .x' U '.x U
y derivando la solución propuest a es: y por lo tanto:
U '.x U F (U )
luego:
U '.x F (U ) U
expresión que es una ecuación diferencial a variables separables (U y x), por lo que separando variables e integrando: UTN
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dU dU 1 x F (U ) U dU x [ F (U ) U ] dx dx dx F (U ) U x
dU
1
F (U ) U x dx
dU
F (U ) U Ln( x) C
para F (U ) U 0
SG(U ; x)
Desde la solución propuesta obtenemos:
U
y x
y d( ) y x y Ln( x) C F( ) x x
que hace que SG(U ; x) sea:
lo que representa la solución general en las variables del problema (en este caso: SG( x; y) ). Desde
esta expresión se llegará al formato
1 de la solución general
y d( ) x y y F( ) x x
SG si la variable dependiente es expli citable desde la expresión
y d( ) x C Ln( x) y y F( ) x x
El formato 2 de la SG es, simplemente:
Y el formato 3, se obtiene a part ir de :
entonces:
x
y d( ) x C y y 0 F ( ) e x x
y d( ) x Ln( x) C0 y y F( ) x x y d( ) x y y F ( ) e x x
y d( ) x y y F ( ) eC0 e x x
y d( ) y x y Ln( x) C Ln( x) C0 F( ) x x
lo que permite expresar :
(
C
o también:
x C e
1 y ) d ( ) y y x F ( ) x x .
El esfuerzo, o decisión, por llegar a cada uno de los formatos posibles, dependerá de la exigencia del problema y/o de las posibilidades operativas de las expresiones. Observación: La forma en que se denotan las expresiones que se van obteniendo tiene cierta arbitrariedad, siempre
en el marco de las reglas del álgebra , como por
ejemplo, si partimos de la expresión de más arriba podría haber expresado
U '.x F (U ) U R(U )
U '.x F (U ) U , tal vez se y separando variables e
integrando: UTN
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dU x R(U ) dU x R(U ) dx dx dU
1
R(U ) x dx
dU 1 dx para R (U ) 0 R(U ) x
S (U ).dU Ln( x) C U
Desde la solución propuesta obtenemos: sea:
SG(U ; x)
y
y
S ( x ).d ( x ) Ln( x) C
SG(U ; x)
y x
que hace que
lo que representa la solución general en
las variables del problema (en este caso: SG( x; y) ). Desde esta expresión se llegará al formato 1 de la solución general SG si la variable dependiente es explicitable desde
y T ( ) C1 Ln( x) C2 x
tendría:
y
y
y
S ( x ).d ( x ) T ( x ) C1 ,
desde donde:
o sea que se
y V ( x) Ln( x) C0 f ( x) C
En resumen, el procedimiento de resolución de una ecuación diferencial lineal homogénea de grado cero , es: 1.- se lleva la ecuación d iferencial, mediante operaciones algebraicas, al
P( x; y) dx Q( x; y) dy 0
formato:
2.- se verifica que los componentes P y Q sean homogéneos de grado n.
y'
3.- se obtiene, desde el formato P+Q, la derivada de la solución: 4.- se propone como solución general, en el formato 1: 5.- se determina la derivada de la solución propuesta:
P( x; y ) Q( x; y )
y U ( x) x y' U '.x U
6.- se sustituyen las expresiones de los pasos 4 y 5 en el paso 3 y se procede a operar hasta encontrar la solución general, en las variables del problema, y en el formato elegido y/o posible. 7.- si el problema las define, se aplican las condiciones del problema (o condiciones iniciales) a la solución general obtenida, y se obtiene, a su vez, la solución particular correspondiente a tales condiciones. Soluciones singulares: Es interesante observar que si la solución que se propone fuese tal que derivase en que
F (U ) U 0 , las raíces U1; U 2 ; ...U n de esta expresión son
números reales ki , es decir, constantes, y si se sustituye en la solución que se propone, se tendrá:
y U ( x) x
y U1 x k1 x; y U 2 x k2 x; .......; y U n x kn x
es decir que se obtienen n soluciones posibles como solución general de la UTN
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ecuación diferencial, sin la intervención de las condiciones iniciales; ellas son las llamadas soluciones singulares , que representan un conjunto de rectas que pasan por el origen de coordenadas. T ambién se observa que, en est e caso:
U
y y y k1 k2 ..... kn ; x x x
Ejemplo:
Supongamos
que
y que U ' k1 ' 0 k2 ' ..... kn '
estamos
frente
a
la
misma
expresión
que
anteriormente analizamos que no pertenecía al formato de una EDVS:
x. y' y 2 x 0 . Una vez comprobado que no pertenece al formato EDVS, se intenta detectar a qué formato conocido puede pertenecer la expresión; supongamos que se piensa que puede ser una EDHº. Entonces intentamos llevarla al formato correspondiente mediante algunos
y'
pasos algebraicos lícitos:
y 2 x 2 x y P( x; y ) x x Q( x; y )
Veamos si es homogénea de grado cero; para ello hagamos la sustitución:
x x.t
y
y y.t
desde donde, si es posible, factoreamos el elemento t:
UTN
y'
con lo que obtendremos:
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y'
2 x y 2.x.t y.t x x.t
t.(2.x y ) t.( x)
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lo
que
nos
permite
observar
que,
denominador, el factor sale con grado
tanto
en
el
numerador
como
1; pero lo más importante
en
es
el que
sale, arriba y abajo, con el mismo grado, lo que nos indica que es homogénea de grado cero. Podemos entonces aplicar la propuest a que corresponde a este formato:
y U ( x) x
y' U '.x U
y, correspondientemente:
sustituimos en
y'
2x y x
expresiones
U '.x U
obteniendo:
dU x 2.(1 U ) dx
que
2.x U .x x.(2 U ) 2 U x x
dU x 2.(1 U ).dx
y entonces:
dU 2 dx 1 U x
y separando variables:
las
U '.x 2 U U 2 2.U 2.(1 U )
que es una EDVS en U y en x, por lo tanto: luego:
con
luego, integrando:
1
2
1 U dU x dx
1.Ln(1 U ) C1 2 Ln( x) C2
por lo que:
y en busca de una mínima expresión, tenemos varias opciones; elegimos, por ejemplo, la siguiente:
1.Ln(1 U ) 2 Ln( x) C2 C1 2 Ln( x) C0 Ln( x)2 C0 y entonces:
Ln(1 U ) Ln( x)2 C0
por lo que:
Ln(1 U ) Ln( x)2 C0
y por propiedad de los logarit mos:
Ln[(1 U ) x 2 ] C0
donde,
sustituyendo
U,
a
partir de la solución
y Ln[(1 ) x 2 ] C0 x
propuesta:
y operando algebraicament e, en busca de una mínima expresión:
Ln[ x 2 de donde:
y.x 2 ] Ln[ x 2 y.x] Ln[ x.( x y)] C0 x
eC0 x.( x y)
y
x 2 eC0 x
y como ya parece que no es necesario seguir operando, hacemos:
eC0 C
con lo que, finalmente , la solución general, en el formato 1, es: SG:
y
x2 C f ( x; C ) x
Supongamos que el problema fija una condición inicial tal como
y( 1) 4 ,
lo que significa que cuando la variable x pasa por el valor x=-1 la función, o variable y, debe pasar obligat oriamente por el valor y=- 4; ello nos permite, primero encontrar el valor particular de C, y luego la expresión particular de la UTN
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solución (SP):
x. y x 2 C
C [ x. y x 2 ]CI 1.(4) (1)2 3
y
con lo que SP:
x2 3 x
En la figura 300 se observan algunas componentes de la solución general, y la solución particular para las CI dadas. Observación: notar que si bien están estrechamente ligadas, la constante particular (C) no es la solución particular (SP), ni viceversa. *
*
*
Ecuación Diferencial Exacta o Total: Si
al
partir
de
la
expresión
general
F(x;y; y’)=0
se
obtiene
P( x; y) dx Q( x; y) dy 0 , vimos que tal expresión puede responder al tipo de ED homogénea. Pero también puede responder al tipo de ED total o exact a, cuyo nombre deviene del hecho que tal formato P+Q puede ser el de un diferencial exacto de una función (U, por ejemplo) de las mismas variables de P y de Q. Es decir:
P x; y dx Q x; y dy dU x; y
desde la que se deduce que:
P x; y
y también que
U x
U U dx dy 0 x y
expresión
Q x; y
y que
dU 0 U ( x; y ) k
U y
Que U(x; y)=k significa que se está ante un plano paralelo al plano del dominio de la función cuyas componentes son P y Q. Por otra parte, si la función U es continua y d iferenciable en algún punto de interés del dominio bajo análisis, todas sus funciones derivadas también deben existir en dicho punto, y entre ellas, las de segundo orden cruzadas, o sea:
2U xy
2U yx
que, por el teorema de Schwarz, deben ser igu ales,
2U P x; y 2U Q x; y xy y yx x
lo que, a su vez, implica que:
P x; y
En consecuencia, la igualdad
y
Q x; y
x
se
constituye
en
una vinculación entre las funciones componentes P y Q de la ED bajo análisis, lo que indica que, efectivamente, el form ato P+Q pertenece al dif erencial exacto de una función U, por el momento desconocida . Dicha
vinculación
establece
la
condición
de
simetría ,
necesaria
suficiente, para calificar a la ED como ED total o exacta. UTN
Fac ult ad Reg io na l Cór doba
473
P r of . I ng . M i g ue l Á n g e l R a m a d á n
y
Una vez verificada la existencia de la condición de simetría, se tiene la certeza de que se trata de una ecuación diferencial lineal exacta que, para encontrar su solución general se utiliza , bien la expresión , o bien la , indistintamente, a fin de obtener ella,
si
su
la
función
desconocida
U(x;y),
y
desde
estructura lo permite, obtener la solución general en el formato
prioritario (el 1) o bien en las opciones 2 y 3.
U x; y U P x; y x
Partiendo de , por ejemplo, se obtiene:
donde la int egración es una integración parcia l en la variable que indica el diferencial, manteniéndose a la otra variable como si fuera una constante. Esto significa que la resultante del proceso de integración es una función primitiva en las mismas variables de P, más una constante de integración , C, que en realidad no es una constante propiamente dicha sino una función en la
U x; y P x; y x C ( y)
variable no integrada ( y en est e caso) , por lo tanto:
y si bien la integral de P nos da una expresión funcional de U, C(y) todavía no está revelada como función, por lo que la función U está determinada sólo parcialment e. C(y) está vinculada con la función U a través de su derivada C’(y), por medio de la expresión , por lo que derivando a la expresión de la función U que se encontró a parti r de la , con relación a la otra variable, se obtiene:
Q x; y
P x; y P x; y U C ( y) [ P x; y x C ( y)] x x C ' ( y) y y y y y
expresión desde la cual quedará relacionada la derivada de C(y) con las funciones P y Q componentes del formato tipo de la ecuación diferencial exacta:
C ' ( y ) Q x; y
P x; y y
x
y en consecuencia, también C(y) quedará
expresada en función de las mismas componentes, ya que:
C ( y ) C ' ( y) dy [Q x; y
P x; y y
x] dy C0
por lo que sustit uyendo en la relación previamente encontrada de U(x; y), y haciendo uso de la condición :
U x; y P x; y x C ( y) P x; y x [Q x; y
P x; y y
x] dy C0 k
expresión que, llevada a minimizarse, contiene a la solución general de la ecuación diferencial exacta, en el formato 2:
C P x; y x [Q x; y UTN
Fac ult ad Reg io na l Cór doba
P x; y y
474
x] dy
SG
P r of . I ng . M i g ue l Á n g e l R a m a d á n
Como en todos los casos de ecuaciones diferenciales, a partir de la SG se llega a la SP, a trav és de las CI del problema. Observación: al solucionar la EDE, la función U no aparece directamente en la estructura de la solución sino que es “absorbida” por la constante C. Por ello, se debe tomar nota, concept ualmente hablando, que nunca debe visualizarse U en la SG. El procedimiento de resolución de una ecuación diferencial lineal exacta, o total, es, entonces: 1.- se lleva, mediante operaciones algebraicas, la ecuación diferencial al
P( x; y) dx Q( x; y) dy 0
formato
2.- se verifica que la ecuación es exacta mediante la condición de simetría:
P x; y y 3.-
se
busca
una
expresión
Q x; y x
funcional
de
la
función
U=k
mediante
las
expresiones , y , en el formato 2; 4.- se intenta obtener la solución general en el formato 1, o bien en el formato 3 ; 5.- si el problema las define, se aplican las condiciones del problema (o condiciones iniciales) a la solución general obtenida, y se obtiene, a su vez, la solución particular correspondiente a tales condiciones. Ejemplo:
Supongamos
que
estamos
frente
a
la
misma
expresión
que
anteriormente analizamos que no pertenecía al formato de una EDVS, pero que
x. y' y 2 x 0
sí respondía al formato de una EDHº:
Veamos si se cumple la condición de simetría, en cuyo
caso estaremos
frente a una ecuación diferencial exacta ( EDE); para ello, busquemos el formato P+Q:
x.
dy y 2x 0 dx
x.dy ( y 2 x).dx 0
( y 2 x).dx x.dy 0
que responde al formato P+Q, y entonces derivamos las componentes:
P x; y y
( y 2 x) 1 y
y
Q x; y x
( x) 1 x
por lo que se satisface la condición
de simetría, y entonces la expresión corresponde también a una ecuación diferencial exacta, y en consecuencia, su formato P+Q es también el de un diferencial exacto de una función U(x;y) (por ejemplo), por lo que, podemos expresar:
U U dx dy dU 0 U(x; y) k x y
( y 2 x).dx x.dy 0 dU ( x; y)
Para hallar la función U partimos de
UTN
Fac ult ad Reg io na l Cór doba
475
P x; y
U x
o de
Q x; y
U ; optemos y
P r of . I ng . M i g ue l Á n g e l R a m a d á n
de donde:
U Px; y x
U P x; y x
por la primera expresión, poniendo:
U P x; y x C ( y) ( y 2 x) x C ( y) y.x x 2 C ( y)
y como no se conoce C(y), para encontrarla, hacemos:
U ( y.x x 2 C ( y)) x C ' ( y) Q( x; y) x y y
C' ( y) dy 0 dy
y ahora int egrando:
C ' ( y) x x 0
y despejando:
C ( y) C1
se obtiene:
lo que nos permite volver a la expresión de U:
U y.x x 2 C1 k
y.x x 2 k C1 C
y combinando las constantes:
que es la SG en el formato 2. Intentemos obtener el formato 1:
y
x2 C x
SG
que es la misma expresión obtenida como EDHº, y cuyas gráf icas están en la figura 300. *
*
*
Ecuación Diferencial Lineal El formato tipo, P+Q, de una ecuación diferencial lineal, es:
y' P( x) . y Q( x)
donde P(x) y/o Q(x) pueden ser constantes. Para resolver este tipo de ecuaciones diferenciales, Lagrange propone
y U ( x).V( x)
como solución general:
donde U y V son funciones
desconocidas. Pero si arbitrariamente se determina una estructura para una de e llas (U o V), la otra resulta de satisfacer con la primera a la estructura o formato de la EDL. En el caso de que Q( x) 0 , se tiene que el formato tipo de la ecuación diferencial lineal es:
y' P(x).y 0
que es una ecuación dif erencial a variables
separables, por lo que:
dy P(x).y 0 dx de donde:
dy P(x).dx y
dy P(x).y dx
entonces:
cuya integral es:
dy P(x).dx y
Ln( y) P(x).dx C 0
y entonces:
y e P ( x) .dxC0 C e P ( x) .d x
y también:
es decir que la solución general de la ecuación lineal, para segundo miembro nulo es, en formato 1: UTN
Fac ult ad Reg io na l Cór doba
y C e P(x).dx 476
P r of . I ng . M i g ue l Á n g e l R a m a d á n
En el caso de que el segundo miembro no sea nulo ( Q( x) 0 ), se deriva a la solución sugerida y se insert an ambas, la solución propuesta y su derivada, en el formato de la EDL:
y'
derivada de la solución propuesta:
y' P( x). y
dy dU dV V U dx dx dx
dU dV V U P x U V Q x dx dx
luego:
a partir de la cual, a los
efectos de obtener una EDVS, se factorea o U o V, obteniéndose:
dV dU V P x U U Q x dx dx La
expresión
del
agrupamiento
para resolverla, se elige que sea nula:
responde
a
una
EDVS
dU dx P x U 0
en
a los
la
que,
efectos
de
que se obtenga una función U determinad a, lo que significa un modo de proponer una estructura funcional (la que emerja de la resolución de la EDVS ) de una de las dos component es (en este caso U) que forman parte de la solución propuesta por Lagrange (nótese la similitud de esta expresión con la para el caso de Q=0; ello permite deducir que U es un caso particular para y tiene una solución idéntica a la , para C=1).
dU P x dx U
En consecuencia, de obtenemos:
y entonces:
dU P x dx 0 U
donde,
el
valor
0
de
la
constante de integración es el operativamente más conveniente, y es lícito por cuanto al suponer arbitrariamente una U que anule la t ambién podemos inducir
que
tal
función
permita
una
constante
nula;
por
otra
parte,
es
demostrable que dicha constant e desaparece, o es absorbida, por las restantes constantes de integración que aparecen en el desarrollo; y por otra parte, el no considerarla, es equivalente a tomar la constante como en , o sea C=1, como factor de la integral solución, dad o el caso particular de U más arriba mencionado.
Ln(U) P x dx
P x dx U e
de donde
Ue
P
x
dx
que, como puede observarse, está en función de una de las componentes (P(x))de la EDL. Insertando y en se tiene una nueva EDVS de la que es posible UTN
Fac ult ad Reg io na l Cór doba
477
P r of . I ng . M i g ue l Á n g e l R a m a d á n
V 0
integrar a la otra función V:
V dV
y entonces:
dV U Q x dx
Q x P dx dx Q x e x dx C U
Q x dx U
dV
por lo que la SG será,
P dx P dx y U.V e x Q x e x dx C
en formato 1:
Para encontrar la SP se sigue el procedimiento ya detallado ant erior mente. Ejemplo:
Supongamos, una vez más, que estamos frente a la misma expresión
que anteriormente analizamos que no pertenecía al formato de una EDVS, pero
x. y' y 2 x 0
que sí respondía a los formatos de un a EDHº y de una EDE: Veamos si se la puede llevar al formato de una EDL:
1 y ' y 2 x
de la expresión dada , dividamos por x: formato P+Q de una EDL, donde P( x)
1 x
y vemos que tiene el
Q( x ) 2 .
y
y U ( x) V( x)
Entonces proponemos como solución (ya en el formato 1):
y' U '( x) V( x) U .V '
por lo que su derivada es
y llevando la propuesta y su
1 U 'V U .V ' U V 2 x
derivada a la ED:
en
donde
sacamos
fa ctor
común U (o V, a elección nuestra) para arribar a una primera EDVS:
1 U .(V ' V ) U 'V 2 x donde la EDVS es:
dV 1 dx V x
1 V ' V 0 x
que para resolverla separamos variables:
dV
V
y entonces:
1 dx x
Ln(V ) Ln( x)
luego:
donde no ponemos la constant e de integración por lo que se fundamentó en el
V
teórico, entonces: EDVS
encontrada,
1 U .0 U ' 2 x que, integrando:
volvemos
1 x
expresión a
,
obteniéndose
dU 1 2 dx x
o sea:
U x 2 C0 y U .V ( x 2 C0 )
que,
luego:
junto
con
la
una
segunda
primera EDVS:
dU 2 x dx
y la propuesta nos queda:
1 x2 C C x x x x
SG
Una conclusión que sacamos de lo hasta aquí visto es que ciertas ecuaciones diferenciales (no todas) tienen la propiedad de comportarse con más UTN
Fac ult ad Reg io na l Cór doba
478
P r of . I ng . M i g ue l Á n g e l R a m a d á n
de un formato tipo, dependiendo de nuestra particular manera de analizarla por cuál propuesta de solución nos inclinare mos para resolverla. Otras, sólo pertenecen a un único tipo de ecuación diferencial. *
*
*
Ecuación Diferencial de Bernoulli:
y' P( x). y Q( x). y n
Su formato tipo es:
formato muy similar al de la
lineal, por lo que para encontrar su solución general se opera algebraicamente con el formato para llevarlo al formato de la lineal:
y ' P( x). y Q( x). y n yn yn
z y1 n
haciendo
1 y y ' P( x) n Q( x) n y y
dz dy (1 n) y n dx dx
dy 1 dz yn dx 1 n dx
1 dz P( x ) z Q( x) 1 n dx
1 y ' P( x) y1 n Q( x) n y 1 y ' P( x) z Q( x) yn
se tiene
1 1 dz y n P ( x) z Q( x) n 1 n dx y
1 n dz (1 n) P( x) z (1 n) Q( x) 1 n dx
dz (1 n) P( x) z (1 n) Q( x) dx
z'(1 n) P( x) z (1 n) Q( x)
que es una ecuación diferencial lineal en z.
z uv
Se propone:
z' u'v u v'
y sustituyendo en la ecuación:
u'v u v'(1 n) P( x) u v (1 n) Q( x) u'v u [v'(1 n) P( x) v] (1 n) Q( x)
y factoreando u (o v ): donde se propone una
v que resuelva la ecuación diferencial a variables
separables con constante nula:
v'(1 n) P( x) v 0
integrando:
v' (1 n) P( x) v
dv (1 n) P( x) dx v
dv (1 n) P( x) dx Ln(v) (1 n) P( x) dx v
desde donde se obtiene la expresión de una component e de la solución: v e (1n)P( x)dx
Con
esta
expresión,
y
con
el
corchete
nulo, tenemos la restante
ecuación diferencial a variables separables de donde podemos obtener la expresión de la otra component e de la solución general:
u'e (1n)P( x)dx u [0] (1 n) Q( x)
u'
(1 n) Q( x) e (1 n)P( x)dx
UTN
u'e (1n)P( x)dx (1 n) Q( x)
(1 n) e (1 n)P( x)dxQ( x)
Fac ult ad Reg io na l Cór doba
479
du (1 n) e (1n)P( x)dx Q( x) dx P r of . I ng . M i g ue l Á n g e l R a m a d á n
u du (1 n) e (1 n)P( x)dx Q( x) dx C
entonces:
z [(1 n) e(1 n) P ( x )dx Q( x) dx C ] e(1 n) P ( x )dx y1 n con lo que la solución general, en formato 1, es: 1
y {[(1 n) e(1 n ) P ( x )dx Q( x) dx C ] e (1 n ) P ( x )dx}1 n
SG:
*
*
*
Ecuación diferencial de Bernoulli como ecuación diferencial lineal directa: A
través
de
un
ejemplo
de
afirmación
veremos
que
una
ecuación
diferencial del formato de Bernoullí se resuelve como si fuera una ecuación diferencial lineal directa. Encontrar la solución general de la ecuación diferencial cuya estructura
1 y' y 4 Ln( x) y 2 x
funcional es:
a.- Por Bernoullí:
y' 1 y y2 y ' 1 1 dz 1 dy dy 1 2 dz 4 Ln ( x ) y 4 Ln ( x ) z y y dx dx dx y2 x y2 y2 y2 x y 2 dx
dz dx 1 z 4 Ln( x) dz 1 z 4 Ln( x) z ' 1 z 4 Ln( x) : EDL en z. x dx x x y2
y2
z uv
Proponemos:
z' u' v uv'
1 u ' v uv' uv 4 Ln( x) x
Con y en :
Factoreamos, para encontrar la primera ecuación diferencial a variables
1 u ' v u (v' v) 4 Ln( x) x
separables:
Proponemos v mediante:
dv 1 dx v x
1 v' v 0 x
dv 1 dx v x
y resolvemos:
Ln(v) Ln( x)
dv 1 v dx x
vx
Con y en tenemos la segunda ecuación diferencial a variables separables:
du 4
u'x 4 Ln( x)
du Ln( x) 4 dx x
du 4
Ln( x) dx x
Ln( x) Ln2 ( x) dx u 4 C 2 Ln2 ( x) C C 2 Ln2 ( x) C Ln2 ( x)2 x 2
Con y en :
z [C Ln2 ( x)2 ] x
1 y
y
1 x [C Ln2 ( x)2 ]
b.- Por EDL directa: UTN
Fac ult ad Reg io na l Cór doba
480
P r of . I ng . M i g ue l Á n g e l R a m a d á n
SG
y uv
Proponemos:
y' u' v uv'
1 u ' v uv' uv 4 Ln( x) u 2v 2 x
Con y en :
Factoreamos, para encontrar la primera ecuación diferencial a variabl es
1 u ' v u (v' v) 4 Ln( x) u 2v 2 x
separables:
1 v' v 0 x
Proponemos v mediante:
dv 1 v dx x
dv 1 dx v x
luego, para resolver:
dv 1 dx Ln(v) Ln( x) v x
v x 1
Con y en tenemos la segunda ecuación diferencial a variables
u 'x
separables:
du Ln( x) 4 dx 2 x u
u
1
du 4 Ln( x) u 2 dx x
4 Ln( x) u 2 4 Ln( x) u ( x ) x2
1 2
2
du Ln( x) u 2 4 x dx
1 1 1 2 2 2 Ln ( x) C0 Ln ( x) C0 C Ln2 ( x)2
2
1 Ln2 ( x) 4 C0 Ln2 ( x)2 C0 u 2 y u v
SG:
1 x.[C Ln2 ( x) 2 ]
En consecuencia, para resolver una ecuación diferencial del formato Bernoullí se la resuelve directamente como una ecuación diferencial lineal. * Recreo:
*
Rara vez pienso sólo con palabras. *
U N IV E R S ID A D T E C N O L Ó G IC A N A C IO N A L
508.-
*
FACULTAD R E G IO N A L CÓRDOBA
*
*
ANÁL I SI S MAT E MÁT I CO I I
a) Hallar la solución general de
Albert Einstein. -
Ejemplario
y x 2( y xy ' ) 4 xe
P r o f . I ng . M i g u e l A ng e l R a m a d á n
0 ; b) Hallar la solución
particular si y=0 cuando x=e. Planteo, Desarrollo, Respuesta Primero tratamos de llevar la ED a alguno de los format os P+Q conocidos,
para,
de
allí,
aplicar
el
procedimiento
correspondiente
resolverla. a) a variables separables: Según el cálculo auxilia r, llegamos a la expresión: y x (2 xe
y) dx x dy 0 P(x) dx Q( x) dy 0 no es EDVS
b) lineal: y
Reordenando nuevament e, llegamos a: UTN
Fac ult ad Reg io na l Cór doba
481
1 y ' y 2 e x x
P r of . I ng . M i g ue l Á n g e l R a m a d á n
para
que no responde al formato lineal , puesto que el 2º miembro no es monovariable en x. c) exacta: y x (2 xe
y) dx x dy 0 P(x; y).dx Q(x; y).dy
P Q no es EDE y x
pero
d) homogénea: y (2 xe x
0
y ) dx x dy 0 P(x; y).dx Q(x; y).dy
y x (2 xe
y)
es EDH
x
y'
se propone: y u.x
y
y 2xe x
y x
y' u' x u
^
y x (2 xe
y) x
para aplicar a :
ux
2 xe x y 2 xe x ux x(2eu u ) y' u' x u (2eu u ) u' x (2eu u ) u x x x
u' x -2eu u u 2eu
- e-u 2.Ln( x) C
u'
du x 2eu dx
du
2 dx x e u
- u Ln[ Ln( x 2 ) C ] -
2
y Ln[ Ln( x 2 ) C ] x
y -x Ln[ Ln( x 2 ) C ] x Ln[ Ln( x 2 ) C ]1 x Ln[
du
eu x dx
1 ] Ln( x 2 ) C
que es la solución general en formato 1; aplicando condiciones in iciales:
0 e Ln[Ln(e2 ) C ]
2 C 1
* 509.-
*
C -1
*
*
*
y x Ln[ Ln( x2 ) 1]1
S.P. : *
*
1 3 y'( x 3 y ) 2 xCos ( x 2 ) 0 x 3y
a) Hallar la solución general de:
b) Hallar la solución particular si y(3)=0. Planteo, Desarrollo, Respuesta: Primero tratamos de llevar la ED a alguno de los format os P+Q conocidos,
para,
de
allí,
aplicar
el
procedimiento
correspondiente
para
resolverla. A) a variables separables: a través del cálculo auxiliar, llegamos a la expresión:
3
1 1 dy ( x 3 y) 2 xCos ( x 2 ) 0 3dy ( x 3 y) 2 xCos ( x 2 ) dx 0 dx x 3y x 3y
1 ( x 3 y) 2 xCos ( x 2 ) dx 3dy 0 x 3y UTN
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1 3 2 xCos ( x 2 ) dx dy 0 ( x 3 y) x 3y 482
P r of . I ng . M i g ue l Á n g e l R a m a d á n
1 3 - 2 xCos ( x 2 ) dx dy 0 ( x 3 y) x 3y
1 3 2 x 3 y 2 xCos ( x ) dx ( x 3 y) dy 0
que es formato de exacta y de homogénea y desde el cual parece no poder llegarse al de la EDVS, en consecuencia, en principio decimos que no es EDVS. B) a lineal:
reordenando nuevamente, llegamos a:
3 y'1 ( x 3 y) 2 xCos ( x2 ) 0
3y' 1 ( x 3 y) 2 xCos ( x 2 )
3y' 1 2 x 2Cos( x 2 ) 6 xCos(x 2 ). y
y entonces:
3y'6 xCos(x 2 ). y 1 2 x2Cos( x 2 )
luego:
y'2 xCos(x 2 ). y
y finalmente:
1 2 x 2Cos ( x 2 ) 3
que responde al formato lineal. Ya tenemos que la ED responde a un formato y podemos aplicar el procedimiento de resolución de las EDL. Pero veamos si respo nde a ot ro tipo de ecuación y luego decidimos el camino a seguir. C) a exacta:
1 3 2 x 3 y 2 xCos ( x ) dx ( x 3 y) dy 0
P 3 Q es EDE 2 y x 3 y x
con lo que ya tenemos que la ED propuesta responde a dos formatos. D) a homogénea:
reordenamos a partir de la estructura lograda en a), en
donde es fácil observar que no es homogénea de grado cero, al hacer el cambio de variables mediante los operadores λ.
1 3 2 x 3 y 2 xCos ( x ) dx ( x 3 y) dy 0
y'
1 2 xCos ( x 2 ).( x y) 3 3
E) Decisión: Hay que
decidir por cuál de los dos formatos procederemos a la
resolución. 1) Si elegimos Lineal:
1 2 x 2Cos( x 2 ) y'2xCos(x ). y 3 2
se proponecomo solución
y u.v y' u' v uv'
entonces:
u' v uv'2xCos(x 2 ).uv
1 2 x 2Cos( x 2 ) 3
v.[u'2xCos(x 2 )u ] uv'
si u'2xCos(x 2 )u 0 u' 2xCos(x 2 )u
UTN
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483
1 2 x 2Cos( x 2 ) 3
du 2xCos(x 2 )dx u
P r of . I ng . M i g ue l Á n g e l R a m a d á n
du 2 2 -Sen(x2 ) 2xCos(x ) dx Ln(u) -Sen(x ) u e u
2
v.0 e-Sen(x ) .v'
entonces :
2 2 dv 1 2 x 2Cos ( x 2 ) 1 2 x 2Cos( x 2 ) 1 2 x 2Cos( x 2 ) e-Sen(x ) .v' e-Sen(x ) . 3 3 dx 3
dv 1 2 x 2Cos ( x 2 ) 1 2 x 2Cos ( x 2 ) 1 Sen(x2 ) Sen(x2 ) 2 e e 2 x Cos ( x 2 ) 2 2 2 dx 3 e-Sen(x ) .3 e-Sen(x ) .3 e-Sen(x ) .3
dv
1 Sen(x2 ) Sen(x2 ) 2 e e 2 x Cos( x 2 ) dx 3
2 2 1 v eSen(x ) eSen(x ) 2 x 2Cos( x 2 ) dx 3
expresión que, en principio, y dependiendo de la experiencia del operador, no es de integración inmediata y que asumimos como un desafío a resolver en el domicilio para incorporar mayo r experiencia en la resolución de integrales, ya con procedimientos, ya con tablas, ya con ambos. Mientras tanto, probemos si con el otro formato encontrado arribamos a una integración más inmediata. 2) Si elegimos Exacta:
Partimos del formato de má s arriba:
1 3 u u 2 x 3 y 2 xCos ( x ) dx ( x 3 y) dy 0 du x dx y dy P( x; y)dx Q( x; y)dy 0
u P( x; y ) x
^
u Q( x; y ) y
^ du 0 u k
Si partimos de :
u Q(x; y)y
3 y ( x 3 y)
u
3 y Ln(x - 3y) C(x) ( x 3 y)
entonces:
u 1 1 P( x; y) Ln(x - 3y) C(x) C ' ( x) 2 xCos ( x 2 ) x x x 3y x 3y de donde: C' (x)
1 1 2 xCos ( x 2 ) 2 xCos ( x 2 ) C(x) C' (x).dx 2 xCos ( x 2 )dx Sen( x 2 ) C1 x 3y x 3y
que llevándolo a :
u Ln(x - 3y) Sen( x 2 ) C1
k Ln(x - 3y) Sen( x 2 ) C1
que por es:
por lo que:
C Ln(x - 3y) Sen( x 2 )
que es la SG en el formato 2 de las SG. Y vemos que se puede llevar al formato 1, es decir, explicitar la función:
x - eC - Sen(x y 3 b) La SP:
Aplicando las condiciones iniciales en :
C Ln(3 3.0) Sen(32 ) Ln(3) Sen(9) UTN
2)
Fac ult ad Reg io na l Cór doba
484
con lo que la SP es: P r of . I ng . M i g ue l Á n g e l R a m a d á n
y * 510.-
2 1 [ x e Ln(3) Sen(9 ) Sen( x ) ] 3
*
*
x 2 (1 y 2 ) (1 x3 ) yy ' 0 ,
Si
*
*
*
*
hallar: a) la solución general; b) la solución y(0 ) 2 .
particular si las condiciones del problema e stablecen que Planteo, desarrollo, respuesta a)
Si reordenamos convenientemente la expresión dada, obtenemos:
y 1 y2
dy
x2 1 x3
dx que es una EDVS que pasamos a integrar: y
1 y2
x2 1 x3
dx
1 1 1 Ln(1 y 2 ) Ln(1 x 3 ) C1 Ln(1 x3 ) Ln(C2 ) 2 3 3
Entonces:
Ln(1
luego:
dy
1 2 2 y )
Ln(1
1 3 3 x )
Ln(C2 ) Ln[(1
1 3 3 x )
C2 ]
lo que indica que los argumentos de los logarit mos son iguales, por lo tanto:
(1
1 2 2 y )
(1
1 3 3 x )
C2
expresión desde la cual comenzamos a intentar explicitar la función (o solución, o incógnita):
primero elevamos al cuadrado ambos miembros:
1 y 2
2 3 3 (1 x )
y (1
C2 2
2 3 3 x )
entonces:
C2 2
C2 2 1
(1
2 3 3 x )
y
Luego. la solución general es: b)
C
1
3
(1 x 3 )2
C 3
(1 x 3 )2
1
1
A partir de la solución general y utilizando las condic iones del problema, se
obtiene la solución particular:
2
C 3
(1 0 3 )2
C
1
3 2
1
1
22 C 1 4 C 1 C 5
luego:
y
Finalmente, la solución particular es: * UTN
C 1 C 1 1
*
*
Fac ult ad Reg io na l Cór doba
*
* 485
*
5 3
(1 x 3 )2
1
*
P r of . I ng . M i g ue l Á n g e l R a m a d á n
Resolver las siguientes ecuacione s diferenciales a variables separables. Hallar las soluciones general y particular de x x. y 2 y'. 1 x2 0 si las
511.-
condiciones iniciales indican que cuando x
1 es 3
y 1.
Planteo, desarrollo, respuesta Procurando colocar la variable independiente en el 2º miembro y la variable dependiente (o solución, o int egral, o función) en el primero, hacemos cambio de notación de la derivada y pasamos algunos términos al 2º miembro: dy. dy. x 1 x 2 x x. y 2 dy 1 x 2 ( x x. y 2 ).dx x.(1 y 2 ).dx dx 2 dx 1 y 1 x2
Para solucionar, integramos: x
dy.
1 y2
1 x
2
dx arctg ( y) C1 1 x 2 C2 arctg ( y) 1 x 2 C
de donde podemos arribar a la solución general en formato 2:
C arctg ( y) 1 x 2 Desde este tipo de formato de la solución general es más cómodo e inmediato arribar al valor de la constante de integración a partir de las condiciones iniciales para, de allí, insertarla en la solución general tanto en formato 2 como en formato 1. 2
8 1 C tg (1) 1 4 3 3 1
Entonces, aplicando las C.I.:
Como en este caso es posible expresar la solución general (SG) en
y tg C 1 x 2
formato I, tenemos: de
la
constante
particular,
obtenemos
la
e insertando en ella el valor solución
particular
(SP),
cuya
estructura es un sí mil de la SG pero con la constante explicitada: 8 y tg 1 x 2 3 4
512.-
Verificar que
*
*
y
2 2 Sen(2 x)
*
*
*
es la SP
* de
*
y' y 2 Cos(2 x) para
y( ) 1 .
Planteo, desarrollo, respuesta
dy dy y 2 Cos(2 x) 2 Cos(2 x) dx dx y
-
dy
y 2 Cos(2 x) dx
1 1 Sen(2 x) 2.C1 2 2 Sen(2 x) C1 y SG y 2 2 - Sen(2x) 2.C1 C Sen(2 x) UTN
Fac ult ad Reg io na l Cór doba
486
P r of . I ng . M i g ue l Á n g e l R a m a d á n
C
Aplicando las condiciones iniciales: SG
y
y en formato 1 es:
* 513.-
2 2 Sen(2 x) C Sen(2 ) 2 y 1
en formato 2
2 2 Sen(2 x) *
que es lo que se quería verificar.
*
*
*
*
*
(y xy).dx ( xy x).dy
Hallar las soluciones general y particular de
siendo
la condición inicial (x; y) (1;1) . Planteo, desarrollo, respuesta SG:
Iniciamos el proceso de separar las variables factoreando ambos
miembros:
y (1 x) dx x ( y 1) dy
1 x y 1 dx dy x y
1 x y 1 dx dy x y
y - Ln(y) Ln(x) x C C y - Ln(y)- Ln(x) - x y - x - Ln(x.y) SG(F2) Como se ve, no es posible explicitar la función, por lo que no se puede llegar al formato 1 de la SG de la EDO. Aplicando las CI a la SG llegamos, primero al valor de la constante particular, y luego a la estructura de la SP:
C y - x - Ln(x.y) 1 - 1 - Ln(1.1) 0 * 514.-
Verificar que y
*
*
*
SP :
*
*
0 y - x - Ln(x.y) *
1 es la SP de y 2 ( x 3) y' 0 para y(4 ) . 2
1 Ln( x 3) 2
Planteo, desarrollo, respuesta
y entonces:
1
1
y 2 dy x 3 dx C
que con las CI:
y la SG en F1:
-
1
dx. y 2 ( x 3) dy 0
Separamos las variables:
-
y
2
dy
1 dx x3
1 1 Ln( x 3) C C Ln( x 3) y y
1 Ln(4 3) 2 Ln(1) 2 1 2
1 -1 Ln( x 3) C y y - Ln(x - 3) 2
y
1 Ln(x - 3) 2
que es lo que se quería verificar. * 515.-
Hallar SG y SP:
*
*
y. y' e2 x y
*
con
*
*
*
y(0) 0
Planteo, desarrollo, respuesta UTN
Fac ult ad Reg io na l Cór doba
487
P r of . I ng . M i g ue l Á n g e l R a m a d á n
SG:
y.
dy e 2 x e- y dx
y dy e2 x dx -y e
-y 2x y y.e dy e dx e ( y 1)
C 2 e y y - 1 - e2x
Como no se puede explicitar y, entonces la SG es: SP:
C 2 e0 0 - 1 - e2.0 -2 - 1 -3
aplicando las CI:
con lo que la SP es:
3 2 e y y - 1 - e2x *
516.-
e2 x C1 2
*
Escribir la expresión
*
3 2 e y 1 - y e2x
o sea (mejor): *
*
de la recta, de
*
*
pendiente –2, que pasa por el
punto (-1;2). Planteo, desarrollo, respuesta
y a.x b
La ecuación general de una recta es:
donde:
dy 2.dx y dy 2.dx
por lo que:
expresión que al pasar por el punto indicado hace que:
C 0
517.-
*
*
*
*
*
dy 2 dx
y -2.x C
2 2.(1) C
con lo que la expresión de la recta buscada es: *
a
y de allí:
y 2 x
*
Hallar la curva en la cual la pendiente de la tangente en cualquiera de
sus puntos es igual a la abscisa del mismo punto multiplicada por 2 y que pase por el punto (2;1). Planteo, desarrollo, respuesta
dy 2.x dx
dy -2.x.dx
1 22 C
dy - 2.x.dx
C 1 - 4 -3
*
*
y x 2 C que debe satisfacer :
y la curva buscada es :
*
*
*
*
y x2 3
*
Homogéneas: 518.-
2. y 2 x2 . y'2.x. y. y' 0 Planteo, desarrollo, respuesta
Primero verifiquemos si es homogénea:
y'.(-x2 2 xy ) 2 y 2 0
Factoreamos : dy 2 y2 2 dx x 2 xy es decir :
y explicitam os :
y'
- 2y 2 ( x 2 2 xy )
entonces :
Hacemos cambio de variable :
dy 2(. y) 2 2 .2. y 2 dx (.x) 2 2.(.x).(. y) 2 .( x 2 2.x. y )
dy 0 .2 y 2 2 y2 2 2 dx x 2 xy x 2 xy
luego, es homogénea de grado cero.
(1)
Entonces, se propone como solución: UTN
Fac ult ad Reg io na l Cór doba
488
P r of . I ng . M i g ue l Á n g e l R a m a d á n
y U ( x ) . x ( 2)
dy dU x U dx dx
(3)
Ahora, con (2) y (3) en (1): dU 2 U 2 x 2 x 2 2 U 2 2 U 2 x U 2 2 dx x 2 x U x x 1 2 U 1 2 U
dU 2 U 2 2 U 2 U (1 2 U ) x U dx 1 2 U 1 2 U
entonces: dU 2 U 2 U 2 U 2 U x dx 1 2 U 1 2 U
(E D V S)
1 2 U dx dU U x
1 2 U dx dU U x
y y Ln(U ) 2.U Ln( x) C C Ln(U ) Ln( x) 2.U C Ln( ) Ln( x) 2. x x y y 2y C Ln( x) 2. Ln( y) x x x
SG en F2 pues no se puede despejar y.
Si las condiciones iniciales fuesen: C Ln(10)
ser:
la solución particular debe
2.10 2. y Ln(10) 4 6 ,30 6 ,30 Ln( y) 5 x
* 519.-
y(5) 10
*
*
*
*
*
SP
*
2.x. y.dy x. x2 y 2 .dx 2. y 2 .dx 0 Planteo, desarrollo, resp uesta
y u.x
Propuest a solución:
y' u'.x u
Preparamos el formato para introducir las propuestas:
dy x. x 2 u 2 .x 2 2.u 2 .x 2 du x. x 2 u 2 .x 2 2.u 2 .x 2 1 u 2 2.u 2 u dx 2.x.u.x dx 2.x.u.x 2.u du 1 u 2 2.u 2 1 u 2 2.u 2 2.u 2 1 u2 u dx 2.u 2.u 2.u
2.u.du 1 u2
dx x
2.u.du 1 u2
dx x
2. 1 u 2 Ln( x) C C 2. 1 u 2 Ln( x) 2
y C 2. 1 Ln( x) SG ( F 2) x Veamos si se puede ir al format o 1:
y C Ln( x) 2 1 x
2
y Ln(C1 ) Ln( x) 2 1 x 2
UTN
Ln( x.C1 )2
2
2 y 2 y 2 1 4.1 x x
Fac ult ad Reg io na l Cór doba
489
y Ln( x.C1 ) 2 1 x
Ln( x.C1 )2 4
y 1 x
2
P r of . I ng . M i g ue l Á n g e l R a m a d á n
2
Ln( x).Ln(C1 )2
4
Ln2 ( x).Ln2 (C1 ) y k.Ln2 ( x) 1 4 x
y 2 x 2 k.Ln2 ( x) 1
2
y2
k.Ln2 ( x) 1
y x k.Ln2 ( x) 1
x2
SG( F 1)
x. y' x 2 4. y 2 y
520.-
Planteo, desarrollo, respuesta
dy dy x x 2 4. y 2 y dx dx
du
1 4.u 2
dx x
*
x 2 4.u.x 2 u.x x
du 1 4.u 2
dx x
1 2. y arcSen(2.u ) Ln( x) C1 Sen 1 ( ) Ln( x 2 ) 2.C1 2 x
2. y Sen Ln( x 2 ) 2.C1 Sen Ln( x 2 ) C x
du xu dx
x 1 4.u 2 u u 1 4.u 2 u u 1 4.u 2 x
du x dx
x 2 4. y 2 y x
*
*
*
y *
x Sen Ln( x 2 ) C 2 *
SG( F 1)
*
Lineales: 521.-
y' x. y'3. y 1 x 3 Planteo, desarrollo, respuesta
y' P( x) y Q( x) :
Primero la llevamos al formato
y'.(1 x) 3. y 1 x 3
y'
3 y 1 x 2 1 x y u( x) v( x)
luego le aplicamos la solución combinada: Entonces la ED se transforma en: busca de una EDVS, le factoreamos u o v:
u '.v u.v' v (u '
(1)
y' u'.v u.v'
3 u v (1 x)2 1 x
3 u ) u v' (1 x)2 1 x
que, en
(2)
En el paréntesis se tiene una EDVS en la que se propone que la función u (a determinar) sea tal que:
u '
3 u 0 (3) 1 x
u' -
3 u 1- x
du 3 u dx 1- x
du 3 dx u 1- x
du 3 dx u 1- x
Ln(u) 3 Ln(1 - x) Ln(1 - x) 3 u (1 - x) 3 (4) Con (3) y (4) en (2):
(1 x)3 v' (1 x) 2 (1 - x) v' 1 v'
UTN
Fac ult ad Reg io na l Cór doba
1 dv 1 1 dv dx 1- x dx 1 - x 1- x
490
P r of . I ng . M i g ue l Á n g e l R a m a d á n
v dv
1 dx 1- x
v -Ln(1 - x) C (5)
Con (4) y (5) en (1) se tiene la solución general en formato 1:
y (1 x)3 C Ln(1 x) *
*
*
*
*
*
*
y' x2 . y'2 x y 2 x 2 x3 0
522.-
Planteo, desarrollo, respuesta
2 x 2 x (1 x 2 ) y'(1 x 2 ) 2 x y 2 x 2 x3 2 x (1 x 2 ) y' y 2 x 1 x2 1 x2 Entonces:
u '.v u.v'
2x 1 x
v.(u'-
u
du 2x dx u 1 x2
u 1 x2
(1 x 2 )
u'
2x
u v 2.x
2
1 x
2
*
2x 1 x
dv 2x dx
2
u ) u.v' 2.x du 2x dx u 1 x2 v dv
y (1 x 2 ) Ln(1 x 2 ) C *
*
*
si u'-
*
2x 1 x
2
2x 1 x2
u 0
Ln(u) Ln(1 x 2 )
dx Ln(1 x 2 ) C
SG(F1)
*
*
x. y' y 2 x 0
523.-
Planteo, desarrollo, respuesta
1 y' y 2 x
du dx u x
1 u'.v u.v' u.v 2 x
du dx u x
dv 2.x.dx *
u v.(u' ) u.v' 2 x
u'
u u 0 u' x x
Ln(u) -Ln(x) Ln(x -1)
u
1 x
v 2x.dx x 2 C *
*
*
y
*
1 dv 2 x dx
1 2 C ( x C) x x x
*
*
Exactas: 524.-
y 2 .Sen( x. y 2 ).dx [2.x. y.Sen( x. y 2 ) 3. y 2 ].dy 0 Planteo, desarrollo, respuesta Veamos si verifica la condición de simetría:
P 2 y.Sen( x. y 2 ) 2 xy 3 .Cos( xy 2 ) y
Q 2 y.Sen( x. y 2 ) 2 xy 3 .Cos( xy 2 ) x
como verifica, se trata de una EDE. Esto implica que:
UTN
P x; y dx Q x; y dy dU x; y
Fac ult ad Reg io na l Cór doba
491
U U dx dy 0 x y
U k
P r of . I ng . M i g ue l Á n g e l R a m a d á n
U u P x; y x y 2 .Sen( x. y 2 ).x Cos( x. y 2 ) C y
Por lo tanto:
Para encontrar la incógnita representada por la const ante C, recurrimos al otro dato, Q, mediante la derivación de la u recién obtenida: 2 U [Cos ( x. y ) C( y ) ] 2 xySen ( xy 2 ) C' y Q x; y 2 xySen ( xy 2 ) 3 y 2 y y
de donde:
C' y 2 xySen ( xy 2 ) 3 y 2 2 xySen ( xy 2 ) 3. y 2 C y C' y .dy 3. y 2 .dy y 3 C1 Entonces:
2 u -Cos(x.y ) y 3 C1 k
C y 3 - Cos(x.y 2 )
de donde:
SG
que es solución general en formato 2 , en donde, si las CI del problema fueran
C 23 - Cos(1.22 ) 8 Cos(4)
(x; y) (1;2) la SG se convierte en:
8 Cos(4) y 3 - Cos(x.y 2 )
con lo que la SP será:
En caso de permitirse valores aproximados de la SP, se tendría:
y 3 - Cos(x.y 2 ) 8,65 Del formato 2 de la SG no se puede obtener el formato 1, pero sí es
Cos-1(y3 C) x y2
posible el formato 3:
x
con SP:
525.-
Cos-1(y3 8 Cos (4)) Cos-1(y3 8,65) y2 y2
2 3 2 y 4 3.x .dx x. y x .dy 0 2 y y2 y 4
Planteo, desarrollo, respuesta u 3.x 2 2 y 4 x y
2 3.x 2 1 3 2 u u y 4 .x x. y 4 x C( y ) y y
u 2y x3 x. 2 C '( y ) y 2. y 2 4 y
x. y y 4 2
C( y ) C '( y ) .dy 0.dy C1
* 526.-
x3
y2
*
UTN
Fac ult ad Reg io na l Cór doba
x3 y
*
2 2 x dx Sen(3. y ) 2 x x 2 y. 2 x 2 y2
y 4 2
u x. y 2 4
C x. y 2 4 *
x. y
C'(y)
*
x3 y2
x. y y 4 2
x3 y2
1 3 x C1 k y
SG *
*
.dy 492
P r of . I ng . M i g ue l Á n g e l R a m a d á n
0
Planteo, desarrollo, respuesta u 2 x 2 x x y. 2 x 2
2 x u u 2 x y. 2 - x 2
2 2 x2 .x C( y ) x y.
u 2 2 x2 2 - x2 2 - x2 C( y ) C' Sen(3.y) (y) y y x y y2 y2 C'(y) Sen(3. y)
C( y ) C '( y ) .dy Sen(3. y).dy
2 2 x 2 Cos(3. y) u C1 k x y 3
C
*
*
*
527.-
Hallar
las
*
*
soluciones
general
Cos(3. y) C1 3
2 x 2 Cos(3. y) 2 y 3 x * y
SG
*
particular
de
la
e cuación
y 2 y'.x 2 x. y. y' 0 , con la condición inicial y(1) 1 . Planteo, Desarrollo, Respuesta
y 2 y'.( x 2 x. y) 0
1. Buscamos el formato P+Q:
y 2 .dx ( x 2 x. y).dy 0
entonces:
P( x; y) y 2
y2
dy 2 .( x x. y ) 0 dx
Q( x; y) x 2 x. y
2. explicitamos y’ para ver si es homogénea de grado cero:
y'
y2 y2 t 2 y2 0 t sí, es EDHº. x2 x y x2 x y t x 2 t x t y
y U ( x).x
3. se propone:
luego:
4. se obtiene la ED a variables separables:
5. se separa n las variables:
y' U '.x U U '.x U
U 2 .x 2 U2 1 U x 2 x.U .x
dU U2 U 2 U 1 U U x U dx 1 U 1 U U 1
U 1 dx dU U x
de donde: 6. se integra:
y
U 1 dx dU U x
U 1 1 dU dU dU U Ln(U ) C1 U U
dx Ln( x) C2 x
entonces:
U Ln(U ) C1 Ln( x) C2 Ln(U ) Ln( x) C2 C1 U Ln(U ) Ln( x) C3 U
de donde:
y y y y Ln(U x) C3 U Ln( x) C3 Ln( y) C3 Ln( y) Ln(C3 ) x x x x
UTN
Fac ult ad Reg io na l Cór doba
493
P r of . I ng . M i g ue l Á n g e l R a m a d á n
y y y Ln e y / x y C3 e y / x y C e y / x C3 C3 x 7.
1 C.e1 / 1 C.e
se encuentra la SP: por lo que:
y e1.e y / x *
528.-
*
*
C e1
de donde:
y e( y / x) 1
y la SP es: *
SG
*
*
*
Hallar las soluciones gen eral y particular de 2 x3 y ' (2 x 2 y 2 ). y sabiendo
que la condición del problema establece que y(1)
1 . 3
Planteo, Desarrollo, Respuesta Busquemos un formato P+Q:
2 x3
dy (2 x 2 y 2 ). y dx
2 x3dy (2 x 2 y 2 ). y.dx
( y 2 2 x 2 ). y.dx 2 x3dy 0
( y 3 2 x 2 . y).dx 2 x3dy 0 P( x; y).dx Q( x; y).dy 0
por lo que podría tratarse de una EDHº o de una EDE. Veamos si es homogénea de grado cero:
(t 3 . y 3 2.t 2 .x2 .t. y).dx 2t 3.x3dy t 3.[( y 3 2 x2 . y).dx 2 x3dy] 0
sí, lo es, por lo
dy 2 x 2 . y y 3 dx 2 x3
que llevamos el formato al de la derivada explícita:
y U .x
y proponemos como solución:
y ' U '.x U
por lo que:
y entonces:
dy 2 x 2 .U .x U 3 .x3 x3 .(2U U 3 ) 2U U 3 U '.x U dx 2 2 x3 2 x3
2U U 3 2U U 3 2U U3 U entonces: U '.x 2 2 2 de donde:
dU dx 1 1 dx 3 2.x 2 x U
U
dU U3 .x dx 2
dU
U3
integrando:
U 2 1 1 1 Ln( x) C0 Ln( x) C1 2 2 2 2
con lo que:
EDVS
1 Ln( x) C1
y
U 2 Ln( x) C1 y x
1 Ln( x) C1
x Ln( x) C1
x Ln( x) C
y sustituyendo:
por lo que la solución general es:
1 1 dx 2 x
y la solución particular, para la condición inicial dada, es:
1 3
1 1 1 Ln(1) C 0C C UTN
de donde:
Fac ult ad Reg io na l Cór doba
494
C 3
y
C 9
P r of . I ng . M i g ue l Á n g e l R a m a d á n
entonces:
x Ln( x) 9
y
SP:
En la figura 301 se visualizan algunas curvas de la familia, y la de la SP.
* 529.-
*
*
*
*
*
*
Resolver: ( x y). y' y 0 Planteo, Desarrollo, Respuesta
y.dx ( x y).dy 0
t. y.dx (t.x t. y).dy t.[ y.dx ( x y).dy] 0
dy y dx x y
es homogénea de grado cero, entonces:
U '.x U
y entonces:
U .x U x U .x 1 U
dU 2U U 2 2U U 2 .x dx 1U 1U
1U 1 dU dx U .(2 U ) x
1
1
1
[U .(2 U ) 2 U ] dU x dx
Ln(
U '.x
[
2u ) 2.Ln(2 U ) 2.[ Ln( x) C0 ] U
Ln(U ) Ln(2 U ) 2.Ln( x) C1 UTN
Fac ult ad Reg io na l Cór doba
495
1U 1 dU dx 2 x 2U U
1 2u Ln( ) Ln(2 U ) [ Ln( x) C0 ] 2 U Ln(
1 1 1 ] dU dx U .(2 U ) 2 U x
Ln(2 u) Ln(U ) 2.Ln(2 U ) 2.Ln( x) 2.C0
y U .x
U U U U 2 2U U 2 U 1U 1U 1U
dU .x dx 2U U 2 1U
se propone:
2u ) 2.Ln(2 U ) 2.Ln( x) 2.C0 U
Ln(U ) Ln(2 U ) 2.Ln( x) 2.C0
[ Ln(U ) Ln(2 U )] 2.Ln( x) C1 P r of . I ng . M i g ue l Á n g e l R a m a d á n
[ Ln(2U U 2 )] 2.Ln( x) C1 2 xy y 2 )] 2.Ln( x) C1 x2
y y2 )] 2.Ln( x) C1 x x2
[ Ln(
[ Ln(2 xy y 2 ) Ln( x2 )] 2.Ln( x) C1
[ Ln(2 xy y 2 ) Ln( x2 )] Ln( x2 ) C1
[ Ln(U (2 U )] 2.Ln( x) C1 [ Ln(2
Ln(2 xy y 2 ) Ln( x 2 ) Ln( x 2 ) C1
Ln(2 xy y 2 ) C1
Ln(2 xy y 2 ) Ln(C )
2 xy y 2 C
que es la solución general en el formato 2 y se ve claramente que no es posible llegar al formato 1, pero sí se puede expresar como formato 3: * 530.-
*
*
*
*
*
x
C y2 2y
SG.
*
x 2 . y'2.x. y y 2 . y'
Resolver:
Planteo, Desarrollo, Respuesta Busquemos formato:
2.x. y.dx ( x 2 y 2 ).dy 0
y 2 . y' x 2 . y'2.x. y 0
y'.( x 2 y 2 ) 2.x. y 0
al introducir mentalmente la variable t se ve
claramente que la ecuación es homogénea de grado cero. Hay que
decidir si buscamos la
posibilidad de otro formato,
o la
resolvemos como EDHº; adoptemos este último criteri o, entonces:
y'
2 xy x y2 2
y' u'.x u
entonces:
y u.x
cuya solución se propone sea:
u '.x u
reemplazando en la ED:
u '.x
du u (3 u 2 ) .x dx 1 u2
y su derivada es:
2 xux 2u 2 2 x u x 1 u2 2
EDVS
2u 2u u (1 u 2 ) 2u u u 3 3u u 3 u (3 u 2 ) u [ ] 1 u2 1 u2 1 u2 1 u2 1 u2
1 u2 1 du dx 2 x u (3 u ) 1
[
u
1 u 1 ] du dx 2 2 x u (3 u ) 3 u 1
[ u(3 u 2 ) 3 u 2 ] du x dx
donde, por medio de una tabla de integrales con potencia suficiente, obtenemos:
1 1 u2 du Ln ( ) u (3 u 2 ) 6 3 u2 y además:
y
u
3u
2
1 du Ln(3 u 2 ) 2
1 x dx Ln ( x) C
ello nos permite expresar la integración de más arriba del siguiente modo:
UTN
Fac ult ad Reg io na l Cór doba
496
P r of . I ng . M i g ue l Á n g e l R a m a d á n
1 u2 1 Ln( ) Ln(3 u 2 ) [ Ln( x) C0 ] 2 6 2 3u que hacemos:
Ln(
u2 ) 3 Ln(3 u 2 ) 6[ Ln( x) C0 ] 2 3u y entonces:
u2 Ln( ) Ln(3 u 2 )3 [ Ln( x6 ) 6 C0 ] 2 3u
u 2 (3 u 2 ) 3 Ln( ) [ Ln( x6 ) 6 C0 ] 2 3u
Ln[
Ln[u 2 (3 u 2 )2 ] Ln( x6 ) 6 C0 y 2 3x2 y 2 2 Ln[ 2 ( ) ] Ln( x6 ) 6 C0 2 x x
Ln[
y2 x6
y2 Ln[ 6 (3 x 2 y 2 )2 ] Ln( x6 ) 6 C0 x
(3 x 2 y 2 ) 2 ] Ln( x6 ) 6 C0
Ln[
Ln[ y 2 (3 x 2 y 2 )2 ] 6 C0
y2 y2 2 ( 3 ) ] Ln( x6 ) 6 C0 2 2 x x
y 2 x6 (3 x 2 y 2 )2 ] 6 C0 6 x
Ln[ y 2 (3 x 2 y 2 )2 ] Ln(C )
y 2 (3 x 2 y 2 )2 C
que es la solución general en formato 2, no pudiéndose encontrar ni el formato 1 ni el formato 3. * 531.-
Resolver:
*
*
*
*
*
*
y'3.x 2 . y 3 x 2 0 Planteo, Desarrollo, Respuesta
Buscamos ver si es posible el formato EDVS:
dy 3.x 2 .dx y 1
y 1 e x
dy
y 1 3.x
3 C 0
y' 3.x 2 0 y 1
y'3.x 2 . y 3 x 2 y'3.x 2 .( y 1) 0
3
2
3
e x .eCo e x .C
.dx
dy 3.x 2 .dx 0 y 1
Ln( y 1) x3 C0 3
y 1 e x .C
SG
Generalmente este es el desarrollo que hacemos para resolver una EDOPO, primero vemos si responde al formato EDVS; si no lo hace, buscamos algún otro formato. No obstante, a veces es casi visible a simple vista que la ED responde a
uno determinado;
por
ejemplo,
la
de
este ejercicio, se ve que
puede desarrollarse como una ecuación diferencial lineal (EDL):
y'3.x 2 . y 3 x 2 y' P( x). y Q( x) cuya derivada es: u'.v u.v'3.x 2 .u.v 3 x2 UTN
por lo que proponemos
y' u'.v u.v'
y u.v
y reemplazando en la EDL:
luego, sacando factor común u , en busca de la primera
Fac ult ad Reg io na l Cór doba
497
P r of . I ng . M i g ue l Á n g e l R a m a d á n
u.(v'3.x 2 .v) u'.v 3 x 2
EDVS:
1 dv 3.x 2 .dx v
y entonces:
3
3
.dx
Ln(v) x3
3
2 x du 3 x .e .dx
du 3 x 2 .e x .dx
3
y entonces, la SG es: y u.v (e x Co ).e x
u e x Co
finalmente, en su mínima expresión: * 532.-
2
volviendo a la expr esión con y : u.(0) u '.e x 3 x 2
3 du 3 x 2 .e x dx
1
v dv 3.x
3
3
v e x
v' 3.x 2 v
v'3.x 2 .v 0
*
*
*
SG: *
*
3
3
y 1 e x .Co
*
dx 1 2 Ln( x) ( ).dy 0 2 y y x y3
Resolver:
Planteo, Desarrollo, Respuesta A simple vista parece estar en formato P+Q de una ecuación diferencial exacta; también se aprecia que no es EDHº, las variables no son separables y parece que no es posible llevarla hacia el formato de una EDL. Por lo tanto, la abordamos como EDE:
1 2 Ln( x) U ( x; y ) Q( x; y ) 3 y y y
1 U ( x; y ) ; P( x; y ) 2 x y x
P( x; y ) 2 Q( x; y) 3 y y x x
dU k
Entonces, partiendo de :
U
Ln( x) C ( y) y2
2 Ln( x) 1 2 Ln( x) C ' ( y) 3 y y y3
1 x y2 x
U Ln( x) [ 2 C ( y )] Q( x; y ) y y y
C ' ( y)
1 y
U
que llevando, junto con , a :
Ln( x) Ln( y ) C y2
U ( x; y )
1 C ( y) C ' ( y).dy .dy Ln( y ) Co y Ln( x) Ln( y ) Co k y2
es la SG, que también podría expresarse como:
o también como:
C y.x y *
2
1
U ( x; y) y 2 x x
entonces:
, según mejor convenga al problema bajo análisis. *
*
*
*
*
*
Resolver por Bernoulli: UTN
2
C Ln( x y . y)
Fac ult ad Reg io na l Cór doba
498
P r of . I ng . M i g ue l Á n g e l R a m a d á n
1 1 y ' y y 2 x x
533.-
Planteo, Desarrollo, Respuesta Como se vio en el teórico, la ecuación de Bernoulli se la puede resolver directamente como una EDL, por lo que se propone:
y u.v 1 1 u '.v u.v' u.v u 2 .v 2 x x
dv 1 dx v x
du 1 1 x 2 dx 2 x x u
1 x Co u
u
y'
du
u2
* 534.-
1 1 u.(v' v) u '.v u 2 .v 2 x x
Ln(v) Ln( x)
y' u'.v u.v'
1 x Co
*
vx
*
1 u.(0) u '.x u 2 .x 2 x
dx
y u.v
*
*
*
1 v' v 0 x
1 x Co u
1 x x x Co x Co
SG
*
1 y Ln( x) y 4 3x Planteo, Desarrollo, Respuesta
T ambién la resolveremos direct amente como EDL:
u '.v u.v'
1 u.v u 4 .v4 .Ln( x) 3x
dv 1 dx v 3x
y' u'.v u.v'
u.(v'
1 v) u '.v u 4 .v4 .Ln( x) 3x
1 Ln(v) Ln( x) 3
du x Ln( x) dx u4
y u.v
Proponemos:
u
4
v
du x Ln( x) dx
1 x3
1 0 u '.x 3
v'
u
4
1 v 0 3x
4 .x 3
1 Ln( x) 1 x2[ ] Co 3 2 4 3u
1 1 Ln( x) 3 3.Ln( x) 3.x 2 [ ] 3.Co x 2[ ] C1 x 2[0,75 1,5 Ln( x)] C1 3 4 2 4 2 u
u3
1 x 2 [0,75 1,5 Ln( x)] C1
y u.v
3 3
x
x 2 [0,75 1,5 Ln( x)] C1
*
u
3
1 3
x 2 [0,75 1,5 Ln( x)] C1
x x 2 [0,75 1,5 Ln( x)] C 1
y {x.[0,75 1,5 Ln( x)] x .C}
Finalmente, en formato 1: *
*
*
*
*
1 3
SG
*
“Llegará una época en que nuestros descendientes se asombrarán de
Recreo:
que ignoráramos cosas que para ellos son tan claras”. Séneca ( f il ó so f o , p ol í ti co , o r a do r UTN
Fac ult ad Reg io na l Cór doba
499
P r of . I ng . M i g ue l Á n g e l R a m a d á n
y e scri t o r r o ma n o , q u e vi vió d e sde el a ñ o 4 AC h a st a el a ñ o 6 5 DC, a pr o xima d a me n t e . ) T a mb i é n e xp r e só :
¡Estudia! No para saber una cosa más, sino para saberla mejor.
No nos atrevemos a muchas cosas porque son difíciles, pero son difíciles porque no nos atrevemos a hacerlas.
Largo es el camino de la enseñanza por medio de teorías; breve y eficaz por medio de ejemplos.
Ningún descubrimiento se haría ya si nos contentásemos con lo que sabemos. Sin estudiar se enferma el alma.
*
*
*
*
*
*
*
Ecuaciones diferenciales ordinarias de segundo orden: EDOSO
A. y' ' B. y'C. y f ( x)
El formato general de estas ecuaciones es:
donde los coeficientes A, B y C, pueden ser coeficientes v ariables, dependientes de la misma v ariable independiente de la función principal ( y g (x) , p o r e j e m p l o ) ; e n e s t e c a s o : A a( x); B b( x); C c( x) . Este tipo de ecuaciones es de difícil solución y hay que analizar cada
caso
en
particular
para
determinar
las
posibilidades
de
solucionarlas, por lo que se deja para un curso más av anzado el método de resolución de ecuaciones diferen ciales con coeficientes variables. C u a n d o l o s c o e f i c i e n t e s A , B y C s o n c o n s t a n t e s ( A a; B b; C c ) , las ecuaciones diferenciales de este tipo tienen procedimientos sencillos de resolución que han surgido de la investigación. A s u v e z , l a f u n c i ó n f (x) d e l s e g u n d o m i e m b r o p u e d e s e r c u a l q u i e r función de la v ariable independiente,
inclusive una constante, o bien,
n u l a ( f ( x) 0 ) .
a. y' 'b. y'c. y f ( x)
Al formato
se
le
denomina
ecuación
diferencial ordinaria de segundo orden no homogénea (o completa) a coeficientes
constantes
(EDOSONHCC),
y
es
objeto
se
le
de
estudio
de
nuestro programa.
a. y' 'b. y'c. y 0
Al formato
diferencial ordinaria de segundo orden
denomina
ecuación
homogénea (o incompleta) a
coeficientes constantes (EDOSOHCC), y también es objeto de estudio de nuestro programa. Ecuación diferencial ordinaria de segundo orden homogénea a coeficientes constantes El formato tipo de esta ecuación es, entonces: D’Alembert
propuso
diferencial, a la función: UTN
como
y erx
Fac ult ad Reg io na l Cór doba
solución 500
lo
particular que
a. y' 'b. y'c. y 0 de
significa
esta ecuación que
si
P r of . I ng . M i g ue l Á n g e l R a m a d á n
esta
solución propuesta, y sus dos primeras deriv adas, se insertan en la ecuación diferencial , se obtendrá una ident idad: 0 0 . La primera derivada de la solución propuesta por D’Alembert es:
y' r.erx
y' ' r 2 .erx
y la segunda deriv ada:
Introduciendo , , y , en :
erx.(a.r 2 b.r c) 0
a.r 2 .erx b.r.erx c.erx 0
Como
un
producto
de
dos
factores
es
nulo
cuando
uno
de
los dos factores lo es, o cuando ambos factores son nulos, y como el factor exponencial nunca puede anularse, se deduce que: a.r 2 b.r c 0
q u e , a l s e r u n a e c u a c i ó n d e s e g u n d o g r a d o e n r t e n d r á d o s r a í c e s ( r1; r2 ) ,
y erx s e r á e f e c t i v a m e n t e u n a s o l u c i ó n d e l a
y por ello, la expresión
ecuación diferencial para todo valor de r que sea raíz de la función ,
cuadrática
llamada
ecuación
característica
de
la
ecuación
diferencial. Con las raíces de la ecuación diferencial se conforman, entonces, dos
expresiones
de
la
s i y1 e
serán
y1 e
ecuación diferencial: Teorema 1:
que
r1 x
soluciones
r1 x
particulares
y2 e
e
r2 x
de
la
.
e s s o l u c i ó n p a r t i c u l a r d e , t a m b i é n ya C1. y1 e s
solución de la ecuación diferencial. Como
a. y1 ' 'b. y1 'c. y1 0
y1 e s s o l u c i ó n , e n t o n c e s :
D e r i v a n d o ya C1. y1
y sustituyendo en la anterior:
a.C1. y1 ' 'b.C1. y1 'c.C1. y1 0 C1.(a. y1 ' 'b. y1 'c. y1 ) 0
y también:
y finalmente:
a. y1 ' 'b. y1 'c. y1 0 ,
lo que significa que la hipótesis es verdadera. De
igual
modo se encuentra
que
yb C 2 . y2
es también
solución
particular de la ecuación diferencial. Generalizando,
yb C2 . y2 C2 .e
r2 x
decimos
entonces
que
ya C1. y1 C1.e
r1 x
e
, son soluciones particulares de la ecuación diferencial
ordinaria de segundo orden ho mogénea a coeficientes constantes. Teorema 2:
si
dos
soluciones
particulares
de
una
ecuación
diferencial conforman una combinación lineal, ésta es también solución de la ecuación diferencial. UTN
Fac ult ad Reg io na l Cór doba
501
P r of . I ng . M i g ue l Á n g e l R a m a d á n
y ya yb C1. y1 C2 . y2
L a c o m b i n a c i ó n l i n e a l d e ya e yb e s :
Derivando y sustituyendo en la ecuación diferencial :
y' C1. y1 'C2 . y2 '
a.(C1. y1 ' 'C2 . y2 ' ' ) b.(C1. y1 'C2 . y2 ' ) c.(C1. y1 C2 . y2 ) 0
a.C1. y1 ' 'a.C2 . y2 ' 'b.C1. y1 'b.C2 . y2 'c.C1. y1 c.C2 . y2 0
y
como
e
y1
C2 .(a. y2 ' 'b. y2 'c. y2 ) C1.(a. y1 ' 'b. y1 'c. y1 ) 0 y2
son
soluciones
paréntesis son nulos: satisfacerse
y' ' C1. y1 ' 'C2 . y2 ' '
y
la
de
la
ecuación
C2 .(0) C1.(0) 0
ecuación,
la
diferencial,
los
lo que significa que, al
combinación
lineal
de
soluciones
particulares también es solución de la ecuación diferencial. Observemos que si ambas soluciones particulares son linealmente dependientes,
es
decir,
una
solución
es
proporcional
a
la
otra,
la
combinación lineal de ambas es, en realidad, una nueva estructura de una de ellas y, lógicament e, por el T eorema 2 es solución: ya C1. y1 ; yb C2 . y2 p. y1 ; y y1 y2 C1. y1 p. y1 (C1 p). y1 k. y1
y' k. y1 '
por lo tanto:
y' ' k. y1 ' '
y
y entonces:
k.(a. y1 ' 'b. y1 'c. y1 ) 0
por lo
que es solución, como se preveía. Concluimos
entonces
que
la
combinación
de
dos
soluciones
p a r t i c u l a r e s d e l a e c u a c i ó n d i f e r e n c i a l ( y C1. y1 C2 . y2 ) s ó l o e s p e r t i n e n t e cuando las
expresiones de las soluciones particulares son linealmente
independientes, es decir: Definición:
las
independientes
si
no
expresiones son
e
y1
proporcionales
son
y2
entre
sí
a
linealmente
través
de
una
constante de proporcionalidad (o sea, una no es igual al producto de
y1 k1. y2 ; y2 k2 . y1
una constante por la otra):
y1 k. y2
o, lo que es lo mismo : Existe
un
determinante,
llamado
W ronskiano,
que
es
una
combinación de un número de funciones y sus derivadas primeras, el que, si las funciones son linealmente dependientes, es nulo, mientras que si las funciones son linealmente independientes no lo es; para el caso de dos funciones linealmente dependientes, es:
w
UTN
y1
y2
y1'
y2 '
y1 k .y1 y1'
k.y1 '
y1.k.y1 ' y1'.k .y1 0
Fac ult ad Reg io na l Cór doba
502
para (
y1 k) y2
P r of . I ng . M i g ue l Á n g e l R a m a d á n
y p a r a l i n e a l m e n t e i n d e p e n d i e n t e s ( y1 k y2 ) e s :
w
y1
y2
y1'
y2 '
C1 .e
r1 x r x .C2 .r2 .e 2
C1 .r1 e
r1 x r x .C2 .e 2
C1 .C2 .e
r1 x r 2 x .e (r2
r1 ) 0
Raíces de la ecuación característica (ec) Dada su condición
de cuadrática,
(r1; r2 )
característica se obtienen de:
las raíces de la ecuación
b b 2 4 ac y que, como sabemos, 2a
sus valores dependen de lo que reconocemos como discriminante: D b2 4ac .
Cuando el discriminante es positivo, la ecuación característica tiene dos raíces reales distintas:
r1 r2 , e s d e c i r : r1; r2 : 2 R R D .
Cuando el discriminante es nulo,
las dos raíces son reales e
i g u a l e s : r1 r2 , e s d e c i r : r1; r2 : 2 R R I . Cuando
el
discriminante
es
negativo
las
dos
raíces
son
d i s t i n t a s y c o m p l e j a s c o n j u g a d a s : r1 r2 , e s d e c i r : r1; r2 : 2 R C C . Resolución de la ecuación diferencial homogénea de segundo orden Primer caso: las raíces de la ecuación característica de la ecuación diferencial son dos raíces reales y distintas. En este caso, las soluciones particulares de la ecuación son:
y1 e
r1 x
y2 e
e
r2 x r x
y1 e 1 k y2 e r 2 x
y son linealmente independientes: La solución general es:
SG:
y C1. y1 C2 . y2 C1.e
r1 x
C2 .e
r2 x
Observamos que en la solución general aparecen dos con stantes, lo
que
implica
que
la
expresión
constituye
una
familia
doblemente
infinita de soluciones, equivalente a un conjunto doblemente infinito de curvas integrales representativ as de la solución. Esta circunstancia se corresponde con el: Teorema de existencia de las ecuaciones diferenciales de segundo orden, de Cauchy: Dado un punto (x0;y0) del plano por el que pasa una pendiente y’(x0), de las doblemente infinitas curvas que componen la solución general de la ecuación diferencial de segundo orden F(x, y, y’,y’’)=0, hay una, y sólo una de tales curvas , que pasa por dicho punto, teniendo UTN
Fac ult ad Reg io na l Cór doba
503
P r of . I ng . M i g ue l Á n g e l R a m a d á n
por pendiente la indicada, lo que implica que, conocidas las condiciones de contorno y0 e y’0, las constantes C1 y C2 quedan unívocamente determinadas. Esto significa, que la terna x0, y0, y’0, constituye la condición de contorno, o condiciones iniciales del problema, a través de las cuales se logra la solución particular ( SP) de la ecuación diferencial, a partir de la solución general ( SG), determinándose los valores de las constantes C1 y C2. La solución general lograda para el caso de dos raíces reales distintas
de
la
ecuación
característica
de
la
ecuación
x x0 , t o m a e l
homogénea de segundo orden, para la condición inicial valor:
y0 C1.e
r x 1 0
C2 .e
r x 2 0
y r e c o r d a n d o q u e y1 C1.e
r1 x
e y2 C2 .e
r x
C2 r2 e
r2 x 0
C1 e
r2 x 0
C2 .e 0
r x 1 0
r2 .C2 .e
r x 2 0
, e l W r o n s k i a n o e n x x0 e s :
r x0
C1.r1.e 1 r1 x 0
r2 x
C1.e 1
W
C1 e
y0' r1.C1.e
y su derivada es:
diferencial
r2 x0
C2 .r2 .e
C2 r1 e
r1 x 0
r x 2 0
C1 C2 e
r1 x 0
e
r2 x 0
(r2 r1 ) 0
l o q u e r a t i f i c a q u e y1 e y2 s o n l i n e a l m e n t e i n d e p e n d i e n t e s . A s u v e z c o n l a s e x p r e s i o n e s d e y0 e y0' , a r m a m o s u n s i s t e m a d e dos ecuaciones con dos incógnitas desde el que podremos determinar el valor de las constantes C1 y C2, al amparo del teorema de Cauchy: y C .er1 x 0 C .er 2 x 0 0 1 2 r x r x ' 1 0 r .C .e 2 0 2 2 y0 r1.C1.e
y0
C1( x
0
)
e
y0' 1 r x e1 0 r1.e
r2 .e
r x 2 0
r2 x 0
e
r1 x 0
e
y:
r2 x 0
r2 .e
C2 ( x
0
)
r2 x 0
r x 1 0
r1.e 2 r x e1 0 r1.e
r1 x 0
r1 x 0
y0 y0' e
r2 x 0
r2 .e
r2 x 0
donde el determinante principal es el W ronskiano de las soluciones part iculares que, al ser distinto de cero, por ser linealmente independientes las soluciones particulares, permite determinar las constantes C1 y C2 , y con ellas, determinar la solución particular completa de la ecuación diferencial: SP: UTN
y C1( x ) .e
Fac ult ad Reg io na l Cór doba
r x 1
0
504
C2( x ) .e
r x 2
0
P r of . I ng . M i g ue l Á n g e l R a m a d á n
Determinar las soluciones general y particular de y' ' y'2 y 0 ,
Ejemplo:
siendo las condiciones iniciales: para x 0
y2
es
y' 1 .
y
Planteo, desarrollo, respuestas
y erx
se propone como solución:
y' ' r 2 .erx .
y
lo
(r1; r2 )
que
la
ec
r2 r 2 0
es:
1 12 4.1.(2) (1;2) 2.1
W
y2
y1'
y'2
cuyas
raíces
C1.e
r1 x
y1 C1.e x k y2 C2 .e 2 x
C1.r1
C2 .e
r x .e 1
y2 C2 .e2 x
y
linealment e independient es ya que: y1
erx.(r 2 r 2) 0 son:
con las que se obtienen las soluciones
y1 C1.er1x C1.e x
particulares:
r 2 .erx r.erx 2.erx 0
Entonces, en la ED: por
y' r.erx
y por lo tanto:
C2 .r2
r2 x
r x .e 2
C1.e x
o bien porque: C2 .e2 x
C1.e x
que son
2.C2 .e2 x
C1.e x .2.C2.e2 x C1.e x .C2.e2 x 3.e x .e2 x .C1.C2 0 y
tales
soluciones
son
las
que
permiten
expresar
la
SG
como
y C1.e x C2 .e2 x .
combinación lineal de ambas:
Para determinar la SP a partir de la SG, utilizamos las CI:
2 C1.e0 C2 .e2.0 C1 C2
y' C1.e x 2.C2 .e2 x
y
1 C1.e0 2.C2 .e2.0 C1 2.C2
sistema:
2 C1 C2 1 C1 2.C2
por lo que debemos resolver el
y entonces:
2 1 C 1 1 2 3 1 1 1 1 3 1 2 1 2 1 1 3 C 2 2 1 1 1 3 1 2
y e x e2 x .
con lo que la SP es:
Segundo caso:
que debe ser:
las
raíces
de
la
ecuación
característica
de
la
ecuación diferencial son dos raíces reales e iguales. Al plantear como solución general en el formato 1 a la combinación UTN
Fac ult ad Reg io na l Cór doba
505
P r of . I ng . M i g ue l Á n g e l R a m a d á n
l i n e a l d e l a s s o l u c i o n e s p a r t i c u l a r e s ya e yb , t e n d r e m o s :
y C1. y1 C2 . y2 C1.e
r1 x
C2 .e
r2 x
C1.e
r1 x
C2 .e
r1 x
e
r1 x .(C1
C2 ) C.e
r1 x
que es solución, por aplicación del teorema 1, como sabemos. Por
lo
tanto
combinación
es
una
solución
lineal; es decir
triv ial
que
hace
innecesaria
la
que ésta es una combinación de dos
funciones linealmente dependientes. Se hace necesario entonces buscar otra solución particular para c o m b i n a r l i n e a l m e n t e c o n ya C1.e
r1 x ,
que sea linealmente independiente
con ésta.
yb C2 .x. y2 C2 .x.e
Y Lagrange propone que sea: que
el
wronsk iano
de
y1
y
r2 x
comprueba
x. y2
C2 .x.e
que
r1 x
son
ya
linealmente
independientes: W
y1
x.y2 y 2 x. y2'
y1'
y1 ( y 2 x. y2' ) y1' .x.y2 y1 y 2 x ( y1 y2' y1' y2 )
y1 y1 x ( y1 y1' y1' y1 ) y12 x (0) y12 (e
r1 x 2 )
e
2.r1 . x
0
Para comprobar que la propuesta es efectivamente una solución particular, se la deriv a dos v eces y se v erifica que satisface a la r x
r x
r x
yb' C2 e 1 C2 x r1 e 1 C2 e 1 (1 x r1 )
ecuación diferencial: r x
r x
r x
y
r x
yb'' C2 r1 e 1 (1 x r1 ) C2 e 1 r1 C2 e 1 ( r1 (1 x r1 ) r1 ) C2 e 1 (2 r1 x r12 ) Con , y en :
a C2 e
C2 e
r1 x
r1 x
(2 r1 x r12 ) b C2 e
r1 x
(1 x r1 ) c C2 x e
[a (2 r1 x r12 ) b (1 x r1 ) c x] C2 e r x
r1 x
r1 x
[a 2 r1 a x r12 b b x r1 c x] r x
C2 e 1 [ x (a r12 b r1 c) a 2 r1 b] C2 e 1 [ x (0) a 2 r1 b] porque la expresión del parént esis es la ecuación característica, expresada en
C2 e
función de una de las raíces, entonces:
r1 x
[a 2 r1 b] C2 e
r1 x
[0] 0 ,
porque la expresión del corchete es igual al valor de la raíz cuadrada del discriminante nulo; en consecuencia, se obtiene, con el segundo miembro de la , la identidad
0 0 , lo que verifica que la propuesta es solución particular
de la ecuación diferencial. De esta forma, la solución general, en formato 1, de la ecuación diferencial es: UTN
y C1 y1 C2 y2 C1 e Fac ult ad Reg io na l Cór doba
r1 x
506
C2 x e
r1 x
e
r1 x
(C1 x C2 )
P r of . I ng . M i g ue l Á n g e l R a m a d á n
SG
Aplicando las condiciones iniciales, como en el caso anterior, se llega a la expresión completa de la solución particular:
ye
r x 1
(C1( x
x C2( x ) )
)
0
SP
0
Determinar las soluciones general y particular de y' '2 y' y 0
Ejemplo:
siendo las condiciones iniciales: para x 0
es
y2
y' 1 .
y
Planteo, desarrol lo, respuestas
y erx
se propone como solución:
y' r.erx
y por lo tanto:
y
y' ' r 2 .erx . r 2 .erx 2.r.erx erx 0
Entonces, en la ED: por
lo
que
la
ec
(r1; r2 )
2 22 4.1.1 (1;1) 2.1
r 2 2r 1 0
es:
erx.(r 2 2r 1) 0
cuyas
raíces
son:
con las que se obtienen las soluciones
y1 C1.er1x C1.e x
particulares:
y
y2 C2 .x.e x
que son LI, y que permiten expresar la SG como combinación lineal de
y C1.e x C2 .x.e x e x (C1 C2 .x) .
ambas:
Para determinar la SP a partir de la SG, utilizamos las CI: x y e .(C1 x.C2 ) x x y ' e .(C1 x.C2 ) e .C2
2 C1 0.C2 1 C1 C2
2 0 C 1 1 1 2 2 1 1 0 1 1 1 1 2 1 1 1 1 C2 2 1 1
y entonces:
y e x .(2 x)
con lo que la SP es: Tercer caso:
0 2 e .(C1 0.C2 ) 0 0 1 e .(C1 0.C2 ) e .C2
las raíces de la ecuación característica de la ecuación
diferencial son dos raíces complejas conjugadas. En este caso, las raíces que con forman las soluciones particulares adoptan el siguiente formato: y entonces:
(r1; r2 )
r1 i
b i b 2 4 ac b i b2 4 ac i 2a 2a 2a
r2 i
y
La solución general es: UTN
Fac ult ad Reg io na l Cór doba
507
P r of . I ng . M i g ue l Á n g e l R a m a d á n
y C1 y1 C2 y2 C1 e
r1 x
C2 e
r2 x
C1 e( i ) x C2 e( i ) x C1 ex e xi C2 ex exi
y ex (C1 e xi C2 exi )
Finalmente:
SG
Que es una expresión exponencial, o compleja, de la solución general de la ecuación diferencial.
w 0, o bien que
Es fácil comprobar que soluciones
particulares
que
conforman
la
y1 k , por lo que las y2
combinación
lineal
de
la
solución general son linealment e independientes. Generalmente, en las aplicaciones técnicas, es preferible una expresión de
apariencia real
de
la
solución
general exponencial de más arriba;
para ello, se recurre a las expresiones de Euler: ix Cos ( x) Sen( x) i e ix e Cos ( x) Sen( x) i
Llev ando estas expresiones al formato exponencial de la solución:
y ex (C1 e xi C2 exi ) ex [C1 (Cos(x) Sen(x) i) C2 (Cos(x) Sen(x) i] ex [C1 Cos(x) C1 Sen(x) i C2 Cos(x) C2 Sen(x) i] ex [Cos(x) (C1 C2 ) Sen(x) (C1 i C2 i)] ex [k1 Cos(x) k2 Sen(x)] Que ecuación,
es
una
donde,
expresión
trigonométrica
intercambian do
la
de
la
asignación
de
solución general de la constantes
entre
la
exponencial y la trigonométrica, se tiene:
y ex (k1 e xi k2 exi ) Aplicando
las
y ex [C1 Cos(x) C2 Sen(x)]
e
condiciones
iniciales, como
en
el
primer
caso, se
obtiene la solución particular completa:
y ex [C1( x
SP: Ejemplo:
0)
Cos(x) C2( x
0)
Sen(x)]
Determinar las soluciones general y particular de y' '2 y'2 y 0 ,
siendo las condiciones iniciales: para x 0
es
y2
y
y' 1 .
Planteo, desarrol lo, respuestas se propone como solución:
y erx
r 2 2r 2 0
(r1; r2 )
y por lo tanto la ec es: cuyas raíces son:
2 22 4.1.2 2 4 8 2 4 2 j.2 1 j (1 j;1 j ) 2.1 2 2 2
con las que se obtienen las soluciones particulares: UTN
Fac ult ad Reg io na l Cór doba
508
P r of . I ng . M i g ue l Á n g e l R a m a d á n
y1 C1.er1x C1.e(1 j ).x C1.e(1 j ).x
y2 C2 .e r2 x C2 .e( 1 j ).x
y
que son LI, y que permiten expresar la SG como combinación lineal de
y C1.e(1 j ).x C2 .e(1 j ).x e x .(C1.e j.x C2 .e j.x )
ambas:
que es la expresión exponencial de la SG. La expresión real, o trigonométrica, de la SG, es:
y e x .[k1.Cos( x) k2 .Sen( x)] Para determinar la SP a partir de la SG, utilizamos las CI: x y e .[k1.Cos ( x) k2 .Sen( x)] x x y ' e .[k1.Cos ( x) k2 .Sen( x)] e .[k1.Sen( x) k2 .Cos ( x)] 0 2 e .[k1.Cos (0) k2 .Sen(0)] k1 0.k2 0 0 1 e .[k1.Cos (0) k2 .Sen(0)] e .[k1.Sen(0) k2 .Cos(0)] k1 k2
2 0 k 1 1 1 2 2 1 1 0 1 -1 1 1 2 -1 1 3 3 k 2 2 1 1
y entonces:
y e x .[2.Cos( x) 3.Sen( x)] .
con lo que la SP es:
*
*
*
Ecuación diferencial ordinaria de segundo orden no homogénea a coeficientes constantes Su formato tipo es:
f (x) ,
puede
independiente,
ser o
una una
a. y' 'b. y'c. y f ( x) función
propiamente
constante;
pero
no
El segundo miembro, dicha
nula,
de
pues
la
variable
entonces
es
homogénea. Los inv estigadores del tema proponen, a través de un teorema, que la solución general de esta ecuación diferencial sea la combinación lineal de la solución general
yh d e l a e c u a c i ó n d i f e r e n c i a l c o n s i d e r a d a
como homogénea (es decir, como si
f ( x) 0 ) , y u n a s o l u c i ó n p a r t i c u l a r
( y p ) a d e t e r m i n a r b a j o l a c o n s i d e r a c i ó n d e q u e f ( x) 0 . Es decir: Si
la
solución
ecuación diferencial, UTN
particular
SG:
yp
es
y yh y p
efectivamente
solución
de
la
significa que debe satisfacer a la expresión , es
Fac ult ad Reg io na l Cór doba
509
P r of . I ng . M i g ue l Á n g e l R a m a d á n
decir que:
a. y 'p' b. y 'p c. y p f ( x)
f ( x ) f ( x) .
lográndose la identidad
Si es solución general, deriv ándola dos veces y operando en :
y ' y 'h y 'p
e
y '' y 'h' y 'p'
es
a ( y 'h' y 'p' ) b ( y 'h y 'p ) c ( yh y p ) f ( x)
reordenando y asociando convenientemente:
[a y 'h' b y 'h c yh ] [a y 'p' b y 'p c y p ] f ( x)
d o n d e e l p r i m e r c o r c h e t e e s n u l o p o r s e r yh s o l u c i ó n d e l a e c u a c i ó n e n el formato
homogénea, y el segundo corchete es
f (x) s e g ú n l o e x p r e s a
la . En
consecuencia, se
llega
a
l a i d e n t i d a d f ( x ) f ( x) l o q u e i n d i c a
que, efectiv amente, la es solución general de la . P a r a d et er mi n a r l a ex pr e s i ón f u n ci o n a l d e yp se u t i l i za el Método de v ariación de las constantes (o de v ariación de los parámetros, o de Euler*Lagrange) A
partir
de
la
solución
homogénea
yh C1 y1 C2 y2
del
formato
h o m o g é n e a ( f ( x) 0 ) d e l a e c u a c i ó n , L a g r a n g e p r o p o n e q u e l a s o l u c i ó n particular
tenga una estructura idéntica a
yp
yh ,
que contenga las
mismas funciones componentes, linealmente independientes, pero con coeficientes v ariables (funciones en la misma v ariable independiente),
y p C1 ( x) y1 C2 ( x) y2
es decir: Derivando :
y 'p C1' ( x) y1 C2' ( x) y2 C1 ( x) y1' C2 ( x) y2'
en donde, suponiendo que al elegir la propuesta , la misma sea tal que:
C1' ( x) y1 C2' ( x) y2 0
y 'p C1 ( x ) y1' C2 ( x ) y2'
lo que permite que la sea:
que derivándola:
y 'p' C1' ( x ) y1' C1 ( x ) y1'' C2' ( x) y2' C2 ( x) y2''
Con , y en :
a [C1' y1' C1 y1'' C2' y2' C2 y2'' ] b [C1 y1' C2 y2' ] c [C1 y1 C2 y2 ] f ( x) a C1' y1' a C1 y1'' a C2' y2' a C2 y2'' b C1 y1' b C2 y2' c C1 y1 c C2 y2 f ( x) C1 [a y1'' b y1' c y1 ] C2 [a y2'' b y2' c y2 ] a C1' y1' a C2' y2' f ( x) donde los corchetes representan las soluciones particulares aplicadas al formato homogéneo de la ecuación diferencial, por lo que son nulos, obteniéndose: UTN
a C1' y1' a C2' y2' f ( x) Fac ult ad Reg io na l Cór doba
510
P r of . I ng . M i g ue l Á n g e l R a m a d á n
Con
expresiones y se conforma un sistema de dos
las
' ' C1 y1 C2 y2 0 ' ' ' ' a C1 y1 a C2 y2 f ( x)
ecuaciones con dos incógnitas:
' y2 C2' 0 y1 C1 ' ' ' ' a y1 C1 a y2 C2 f ( x)
o sea: desde el que se obtienen:
0 C1'
y2
f ( x) a y'2 y2 f ( x ) 1 h( x ) h( x ) F1 ( x) y1 y2 a y1 y'2 a y 2 y1' a w( y1; y 2 ) m( x) a y1' a y'2
y1 C2'
0
' 2 a y1 f ( x) y1 y2
y1 f ( x) a
y1 y'2
a y 2 y1'
n( x ) F2 ( x) a w( y1; y 2 )
a y1' a y'2 e integrando las expresiones obtenidas:
C1 ( x) C1' ( x) dx F1 ( x) dx
C2 ( x) C2' ( x) dx F2 ( x) dx
y
11
12
Con 11 y 12 en , se obtiene la solución de la ecuación diferencial no homogénea de segundo grado a coeficientes constantes:
y p C1 ( x) y1 C2 ( x) y2 y1 F1 ( x) dx y2 F2 ( x) dx Por último, la solución general es:
y yh y p C1 y1 C2 y2 y1 F1 ( x) dx y2 F2 ( x) dx
SG:
expresión que se l levará algebraicamente a su mínima expresión, con dos constantes arbitrarias. Este método general de obtención de la solución no es v iable cuando las integraciones indicadas no son posibles, si bien es aplicable a e c u a c i o n e s c o n c o e f i c i e n t e s c o n s t a n t e s , y c o n f (x) d e c u a l q u i e r t i p o . Ejemplo 1: yh :
Resolver la ecuación (del Stewart):
Hacemos:
y '' y 0 .
Ecuación característica: Solución homogénea:
Proponemos:
r '' 1 0
yh C1 e
r1 x
Raíces:
C2 e
r2 x
y erx ;
y '' y tng ( x) .
y yh y p
r1; r2 i
C1 e x.i C2 e x.i A Cos( x) B Sen( x)
P r o p ue st a d e yp :
y p A( x) Cos( x) B( x) Sen( x)
P r i me r a de r iv a d a d e yp :
y 'p A' ( x) Cos( x) B' ( x) Sen( x) A( x) Sen( x) B( x) Cos( x)
UTN
Fac ult ad Reg io na l Cór doba
511
P r of . I ng . M i g ue l Á n g e l R a m a d á n
La propuesta de los coeficientes variables de la solución particular
A' ( x) Cos( x) B' ( x) Sen( x) 0
incluye que:
13
y 'p A( x) Sen( x) B( x) Cos( x)
por lo que la primera derivada es:
S e g u n d a d e r i v a d a d e y p : y 'p' A' ( x) Sen( x) B' ( x) Cos( x) A( x) Cos( x) B( x) Sen( x) I n s e r t a n d o y p , y' p y y ' ' p e n l a e c u a c i ó n d i f e r e n c i a l :
A' ( x) Sen( x) B' ( x) Cos( x) A( x) Cos( x) B( x) Sen( x) A( x) Cos( x) B( x) Sen( x) tng ( x)
B' ( x) Cos( x) A' ( x) Sen( x) tng ( x)
14
Con 1 3 y 1 4 se forma y se resuelve un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas:
A' ( x) Cos( x) B' ( x) Sen( x) 0 A' ( x) Sen( x) B' ( x) Cos( x) tng ( x)
A' ( x)
Sen 2 ( x) Cos ( x)
y
0 Sen ( x) tng(x) Cos( x) Sen ( x).Tng ( x) A' ( x) Cos ( x) Sen ( x) Sen 2 ( x) Cos 2 ( x) Sen ( x) Cos ( x)
Cos(x) 0 Sen ( x) Tng(x) Cos ( x).Tng ( x) B' ( x) Cos ( x) Sen ( x) Sen 2 ( x) Cos 2 ( x) Sen ( x) Cos ( x)
A( x) A' ( x) dx
B' ( x) Sen( x)
Sen 2 ( x) dx Sen( x) Ln[ Sec ( x) Tng ( x)] D Cos( x)
B( x) B' ( x) dx Sen( x) dx Cos( x) E
y
y p {(Sen( x) Ln[Sec( x) Tng ( x)] D} Cos( x) [Cos( x) E ] Sen( x)
Sen( x) Cos( x) Cos( x) Ln[Sec( x) Tng( x)] D Cos( x) Sen( x) Cos( x) E Sen( x) Cos( x) [ Ln(Sec( x) Tng( x)] D Cos( x) E Sen( x) Entonces, la solución general es:
y yh y p A Cos( x) B Sen( x) Cos( x) Ln[Sec( x) Tng ( x)] D Cos( x) E Sen( x)
Sen( x) [ B E] Cos( x) [ A D] Cos( x) Ln[Sec( x) Tng( x)] Finalmente:
SG:
y F Sen( x) G Cos( x) Cos( x) Ln[Sec( x) Tng( x)]
Solución Particular ( SP): Como el teorema
de Cauchy establece
que
las const ant es quedan
unívocamente determinadas mediante la aplicación de las condiciones iniciales del problema a la solución general de la ecuación, buscaremos la solución particular de la misma considerando como condiciones iniciales a los valores:
x 1; y 2; y' 3 , y valoraremos la solución general y su derivada redondeando a dos cifras: UTN
Fac ult ad Reg io na l Cór doba
512
P r of . I ng . M i g ue l Á n g e l R a m a d á n
aplicando en la SG:
2 F Sen(1) G Cos(1) Cos(1) Ln[Sec(1) Tng(1)]
2 F 0,84 G 0,54 0,54 1,23
entonces:
luego:
2,66 0,84 F 0,54 G
( 1)
y' F Cos( x) G Sen( x) [Sen( x) Ln(Sec( x) Tng( x)) 1]
Derivando la SG:
3 F Cos(1) G Sen(1) [Sen(1) Ln(Sec(1) Tng(1)) 1]
que por CI:
3 F 0,54 G 0,84 [0,84 1,23 1] F 0,54 G 0,84 0,03
luego:
2,97 0,54 F 0,84 G
y:
(2)
Resolviendo el sistema conformado por ( 1 ) y ( 2 ) , tenemos:
2 ,66 0 ,54 2 ,97 0,84 2,66 0,84 2,97 0,54 F 3,85 0 ,84 0 ,54 0,84 2 0,54 2
y
0 ,84 2 ,66 0 ,54 2 ,97 G 1,06 0 ,84 0 ,54
0 ,54 0,84
0 ,54 0,84
La solución particular tie ne como expresión:
y 3,85 Sen( x) 1,06 Cos( x) Cos( x) Ln[Sec( x) Tng( x)] H a l l a r l a s o l u c i ó n g e n e r a l d e l a e c u a c i ó n : y ' '
Ejemplo 2:
y' x x
(del texto de Piskunov)
y yh y p
Buscaremos:
yH :
Hacemos:
y' '
yp :
y' 0 entonces: x 1
y' dy x dx
integrando: de donde:
y ' '
y' x C
y' '
se tiene:
y' x
luego:
y' ' 1 y' x
Ln( y' ) Ln( x) Ln(C ) Ln( x C)
e integrando otra vez:
y x 2 C1 C2 yh
y p C1 ( x) x 2 C2 ( x)
a p a r t i r d e yh :
y 'p C1' ( x) x 2 C2' 2 x C1 ( x)
P r i me r a de r iv a d a d e yp :
La propuesta de los coeficientes variables de la solución particular incluye que:
C1' ( x) x 2 C2' 0
y 'p 2 x C1 ( x)
y la segunda deriv ada:
por lo que la pr imera derivada es:
y 'p' 2 C1 2 x C1' ( x)
I n s e r t a n d o y p , y' p y y ' ' p e n l a e c u a c i ó n d i f e r e n c i a l :
2 C1 ( x) 2 x C1' ( x)
2 x C1 ( x) 2 C1 ( x) 2 x C1' ( x) 2 C1 ( x) x x
2 x C1' ( x) x 2 x C1' ( x) 0 C2' ( x) x
Con y se forma y se resuelve un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas: UTN
Fac ult ad Reg io na l Cór doba
513
P r of . I ng . M i g ue l Á n g e l R a m a d á n
' ' x C1 ( x) 1 C2 0 ' ' 2 x C1 ( x) 0 C2 ( x)
0 1 x 0
2
y
C2' ( x)
x2 2 x
0 x
x2 1 2 x 0
C1' ( x)
x
x
2
1
x 1 2 x 2
1 2
C1' ( x)
2 x 0
x3 x2 2 x 2
1 x C1 ( x) C1' ( x) dx dx A 2 2
C2 ( x) C2' ( x) dx
y
x2 2
C2' ( x)
x2 x3 dx B 2 6
x x3 x3 x3 x3 y p C1 ( x) x 2 C2 ( x) [ A] x 2 B A x2 B A x2 B 2 6 2 6 3 Entonces, la solución general es:
y yh y p x 2 C1 C2
x3 x3 x3 A x 2 B ( A C1 ) x 2 B C2 D x 2 E 3 3 3
Finalmente:
y D x2
SG:
x3 E 3
Con las condiciones iniciales, que son: y(3) 2 e y'(3) 1 hallaremos la SP. Aplicando las CI a la solución general:
2 D9 E 9
8 6 D0E
luego:
que con las CI: (b)
7 1 8 0 8 4 D 9 1 6 3 6 0
sistema 2x2 de donde:
(a)
y' 2 x D x 2
La derivada de la SG es:
16D9
-7 9 D E
que conforma con (a) un
y
con lo que la solución particular, es:
9 -7 6 - 8 30 E 5 9 1 6 6 0
4 x3 y x2 5 3 3
SP: *
*
*
Método de los coeficientes indetermina dos, o método de selección y comparación, o método de Euler Este método, que sólo es útil para coeficientes constantes , se basa en
el
hecho
experimental
de
que
un
gran
número
de
diferenciales no homogéneas de segundo orden tienen como función
polinómica,
o
una
función
exponencial,
o
ecuaciones
f (x) a u n a
una
función
trigonométrica, o una combinación de las indicadas. UTN
Fac ult ad Reg io na l Cór doba
514
P r of . I ng . M i g ue l Á n g e l R a m a d á n
Tales expresiones aparecen frecuentemente en los fenómenos y problemas prácticos, o técnicos. El
método
de
solución particular
selección
y comparación consiste en dar como
yp u n a e st r u ct ur a s i mi l ar a l a d e
f (x) , c o m p a r a n d o
algunas de las constantes que la integran con las raíces de la ecuación característica del formato homogéneo de la ecuación diferencial, para ev itar las propuestas que sean linealmente dependientes con alguna de las soluciones particulares homogéneas. a.-
f (x) e s p o l i n ó m i c a : f ( x) P n ( x) e s u n p o l i n o m i o d e g r a d o n , p o r l o q u e s e
En este caso,
y p x m Rn (x)
propone:
donde
es un polinomio
Rn (x)
d e l m i s m o g r a d o d e l d e f (x) . El
factor
independiente
xm con
asegura las
que
soluciones
la
propuesta
particulares
sea
de
linealmente
la
estructura
homogénea, siendo m el orden de multiplicidad de una raíz nula de la ecuación característica, tomándose:
m0
si
r1 0 r2 0 ( n i n g u n a r a í z d e l a e c u a c i ó n c a r a c t e r í s t i c a e s
nula);
m1
si
r1 0 r2 0
(sólo una de las raíces características es nula);
m2
si
r1 0 r2 0
(las dos raíces características son nulas).
O b s e r v e m o s q u e s i e n a. y' 'b. y'c. y 0 es decir que carece de la función
f u e s e c 0 , s e t i e n e a. y' 'b. y' 0 ,
y , y la ecuación característica es:
a.r 2 b.r 0 d e d o n d e r (a.r b) 0 i n d i c a q u e u n a r a í z e s n u l a .
Esto significa que si en la estructura de la ecuación diferencial se ve que no aparece la función y , una raíz es nula, y ello hace que m 1. Deducimos que si tampoco aparece la primera deriv ada, entonces habrá dos raíces nulas y m 2. Pero
es
más
metódico
hallar
primero
las
raíces
y
después
determinar el valor de m . Seleccionada la propuesta se la deriva dos v eces y se la inserta en la ecuación diferencial completa, operándose algebraicamente hasta la mínima expresión del primer miembro. Luego se comparan los términos semejantes (en cuanto a su grado) del primer miembro con los del segundo y se plantean las ecuaciones de UTN
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515
P r of . I ng . M i g ue l Á n g e l R a m a d á n
los coeficientes que afectan al mismo grado de la variabl e en cada miembro a fin de explicitar los v alores de cada uno de los coeficientes desconocidos. Seguidamente, con los coeficientes
ya determinados en la
c o mp a r ac i ó n, s e mo n t a l a e st r uct u ra f i na l d e l a p r o p u est a d e yp y s e l a llev a
hacia
la
combinación
lineal
con
yH ,
obteniéndose
la
mí nima
expresión de la solución general. H a l l a r l a s o l u c i ó n g e n e r a l d e : y' ' y' x 1
Ejemplo:
y' ' y' 0
1.- se halla la solución como homogénea:
r2 r 0
ecuación característica:
yH C1 e
por lo que:
r1 x
C2 e
r2 x
encontrando
r1 0
entonces:
la
r2 1
y
C1 e0.x C2 e x C1 C2 e x y p x ( A x B) A x 2 B x
2. - se propone, t omando m 1:
y 'p 2 A x B
3.- se deriv a dos v eces la propuesta:
y
y 'p' 2 A
4.- se inserta la propuesta y sus derivadas en la ED:
2 A 2 A x B x 1 5.-
se
prepara
la
mínima
expresión
para
la
comparación
coeficientes de los polinomios semejantes entre ambos miembros:
[2 A] x [2 A B] [1] x [1] 6.- se arma el sistema emergente de la comparación:
2 A 0 B 1 2 A 1 B 1 1 0 1 1 1 A 2 0 2 2 1
7.- se resuelve el sistema:
8.- se da estructura def initiva a la propuesta:
yp
2 1 2 1 0 B 0 2 0 2 2 1 1 2 1 x 0 x x2 2 2
9.- se conforma la solución general: SG:
y yH y p C1 C2 e x
1 2 x 2
10.- se comprueba si es solución (opcional):
y C1 C2 e x
1 2 x 2
y' C2 e x x
y' ' C2 e x 1
insertando estas funciones en la ED:
C2 e x 1 C2 e x x x 1 UTN
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516
1 x x 1
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de
los
se obtiene una identidad 0 0 , lo que comprueba que la SG hallada es solución. 11.- si hay condiciones iniciales se determina la SP como se indicó anteriormente. b.-
f ( x) d eh.x
f (x) e s e x p o n e n c i a l :
Es una exponencial de constantes numéricas d y h , por lo que se
y p x m A ehx
propone:
m0
donde:
r1 h r2 h
si
(ninguna raíz de la ecuación característica es h );
m1
si
r1 h r2 h
(sólo una de las raíces características es h );
m2
si
r1 h r2 h
(las dos raíces características son h ).
Se continúa con el mismo procedimiento anterior hasta determinar la solución general y si se solicita, la solución particular. c.-
f (x) e s t r i g o n o m é t r i c a : f ( x) C Sen(h x)
c.1.- si
se propone: siendo
f ( x) D Cos(h x)
y p x m [ A Sen(h x) B Cos(h x)]
el orden de multiplicidad
m
f ( x) C Sen(h x) D Cos(h x)
de un par de raíces imaginarias
c o n j u g a d a s ( r i ) d e l a e c u a c i ó n
característica
cuyo número
coincida con el factor h de la variable independiente en el argumento de la expresión trigonométrica, siendo:
m0
r1 i r2 i
si
(ninguna raíz de la ecuación característica
es imaginaria, o bien, si las raíces son imaginarias conjugadas, el factor
h del argumento no coincide con de la raíz); m1
r1 i r2 i
si
(hay
un
par
de
raíces
imaginarias
conjugadas de la ecuación característica, para h ); c.2.-
si
f ( x) C Sen(h x) D Cos(k x)
donde el seno y el coseno
poseen argumentos distintos se resuelve mediante un procedimiento de selección por el absurdo, proponiéndose de inicio:
y p A Sen(h x) B Cos(h x) G Sen(k x) H Cos(k x) se deriva dos veces y se inserta en la ecuación diferencial. Se llev a el primer miembro a la mínima expresión y se lo compara con el segundo miembro. Si
no
se
obtiene
un
absurdo,
se
procede
a
determ inar
constantes A, B, G y H, por comparación. UTN
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517
P r of . I ng . M i g ue l Á n g e l R a m a d á n
las
Si se obtiene un absurdo entre las expresiones, se multiplica por x a la propuesta y se repite el procedimiento:
y p x [ A Sen(h x) B Cos(h x) G Sen(k x) H Cos(k x)] x2 a l a
Si nuevamente se llega a un absurdo, se multi plica por propuesta inicial:
y p x 2 [ A Sen(h x) B Cos(h x) G Sen(k x) H Cos(k x)] resolviéndose las incógnitas A, B, G y H, por comparación. El método de selección de solución particular por el absurdo puede utilizarse en todos los casos anteriormente men cionados; pero es más rápido seleccionar d.-
f (x) e s c o m b i n a c i ó n d e p o l i n o m i o y e x p o n e n c i a l :
f ( x) Pn ( x) d ehx
d.1.- como suma: Para proponer que
por análisis de las raíces características.
m
dice
y p yg yk
(sin
yp s e r e c u r r e a u n t e o r e m a d e l a s u p e r p o s i c i ó n ,
demostración):
que
f ( x) g ( x) k ( x)
si
entonces
y p yg yk x m Rn ( x) x m A ehx
por lo que:
que significa que la solución
particular se determina por separado y
luego se suman las expresiones halladas. Los v alores de m también se determinan por separado para cada tipo de función. Es decir, si
f (x) e s u n a c o m b i n a c i ó n l i n e a l d e e x p r e s i o n e s , s e
propone una combinación lineal de soluciones para cada componente de la combinación. Ejemplo:
Resolver
y' ' y ( x 2) e x
Para hallar la solución homogénea, hacemos:
r2 1 0
la ecuación característica es:
yH C1 e
por lo que:
r1 x
C2 e
r2 x
y' ' y 0
d e d o n d e r1 1
yg
es la particular para
la particular para
y
y p yg yk
f ( x) x 2
y
yk
es
f ( x) e x .
P r o p o n e m o s p a r a yg :
yg x m Rn ( x) x m ( A x B)
ya que ninguna raíz característica es nula; entonces:
donde m 0
yg A x B
que derivando dos v eces: UTN
r2 1
C1 e x C2 e x
Para hallar la solución particular, proponemos: donde
entonces,
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518
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y 'g A
y 'g' 0
y
con lo que en la ED, tenemos:
0 A x B x 2
A 1 A 1 B 2 B 2
y comparando:
yg A x B x 2 .
por lo que la solución particular parcial es:
P a r a l a o t r a s o l u c i ó n p a r t i c u l a r p a r c i a l yk , s e p r o p o n e : donde
m1
h r2 1
porque
en la ED (para yk s o l a m e n t e ) :
2 A 1
A
luego:
1 2
yp
y:
1 x ex x 2 2
ecuación, es:
SG:
y
yk x A e x
que
y 'k' A e x (2 x)
A e x ( 2 x) x A e x 2 A e x e x
al y
de donde:
1 x ex 2
1 y p y g yk ( x 2) ( x e x ) 2
Entonces, la solución particular es: y finalmente:
yk x A e x
con lo que:
y 'k A e x A x e x A e x (1 x)
derivarla dos veces:
yk x m A ehx
con lo que la solución general SG de la
y C1 e x C2 e x
1 x ex x 2 2
Si queremos comprobar, derivamos dos veces a SG e insertamos en la ED para verificar la existencia de una identidad:
y' C1 e x C2 e x
1 x 1 e x ex 1 2 2
y' ' C1 e x C2 e x e x
y
1 x ex 2
entonces, en la ED:
1 1 y ' ' y C1 e x C2 e x e x x e x (C1 e x C2 e x x e x x 2) e x x 2 ( x 2) e x 2 2 se obtiene una identidad, por lo que la encontrada es solución general de la ecuación diferencial de segundo orden no homogénea que propuso el ejercicio. A partir de las condiciones del problema, aplicadas en la solución general, determinamos los valores de las constantes y obtenemos la solución particular de la ecuación diferencial Observación: diferencial,
n ot e mo s q u e yp e s u n a s o l u ci ó n p ar t i c u la r de l a e c u ac i ón que
debe
combinarse
con
la
solución
homogénea
para
obtener la solución general; mientras que SP es la solución particular de la ecuación diferencial que representa a una función que es miembro de la familia de funciones que representa la solución general, y que, en términos geométricos, UTN
es la expresión funcional de la curva, de las
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519
P r of . I ng . M i g ue l Á n g e l R a m a d á n
d o b l e m e n t e i n f i n i t a s d e l a s o l u c i ó n g e n e r a l , q u e p a s a p o r u n p u n t o ( x0 ; y0 ) d e l p l a n o c o n u n a p e n d i e n t e d e t e r m i n a d a ( y' y x' 0 ) e n d i c h o p u n t o .
f ( x) Pn ( x) d e hx
d.2.- como producto: Para
yp
y p x m Rn ( x) A ehx
se propone:
donde m es el orden de
multiplicidad de raíces características que son iguales a h . Ejemplo:
y' ' y ( x 2) e x
Resolver
y' ' y 0
Para hallar la solución homogénea, hacemos:
r2 1 0
entonces, la ecuación característica es:
r1 1
de donde
yH C1 e
por lo que:
r2 1
y r1 x
C2 e
r2 x
C1 e x C2 e x y p x m Rn ( x) A ehx
Para hallar la solución particular, proponemos: donde
m1
h r2 1
porque
y p x ( B x C ) A e1.x
con lo que:
y 'p A e x [2 B x C ( B x 2 C x)]
entonces:
y 'p' A e x [ B x 2 4 B x C x 2( B C )]
y:
y llev ando a la ecuación diferencial, el primer miembro queda:
A e x [ B x 2 4 B x C x 2( B C )] ( x ( B x C ) A e1.x ) A e x [ B x2 4 B x C x 2( B C )] ( x ( B x C ) A e1.x ) A e x [4 B x 2( B C )] que, incorporando el segundo miembro de la ecuación diferencial, es: A e x [4 B x 2( B C )] ( x 2) e x
comparando:
A ex ex 4 B x 2( B C ) x 2
A 1 4 B 1 2( B C ) 2
E n t o n c e s , l a s o l u c i ó n p a r t i c u l a r e s : yp
A 1 1 B 4 5 1 2( 4 C ) 2 C 4
1 x ( x 5) e x 4
Para tranquilidad comprobaremos si con esta solución particular se logra una identidad en la ecuación diferencial, para lo cual derivamos dos v eces e insertamos en la ED, obteniéndose: llev a a la identidad: UTN
0 0
e x ( x 2) ( x 2) e x
que
lo que nos indica que la solución hallada es
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520
P r of . I ng . M i g ue l Á n g e l R a m a d á n
correcta.
y C1 e x C2 e x
La solución general es, ent onces:
1 x ( x 5) e x 4
que si la derivamos dos v eces e insertamos en la ED, comprobaremos que es correcta. e.-
f (x) e s c a s o g e n e r a l d e c o m b i n a c i ó n , c o m o p r o d u c t o :
f ( x) ehx [ Pp ( x) Cos(k x) Qq ( x) Sen(k x)] d o n d e : h, p, q, k s o n c o n s t a n t e s ; y d o n d e
p y q representan el grado de
l o s p o l i n o m i o s Pp (x) y Qq (x) . En este caso, la solución particular que se propone es:
y p x m {ehx [ Rt ( x) Cos(k x) St ( x) Sen(k x)]} siendo:
m0
si
la
ecuación
característica
(formato
homogéneo
de
la
ecuación diferencial) no tiene raíces complejas conjugadas, o bien h y k , si las hubiere; s i l a s r a í c e s s o n u n p a r d e c o m p l e j a s c o n j u g a d a s ( r1; r2 i )
m1
t a l q u e h y k ; l o s p o l i n o m i o s Rt (x) y St (x) s o n p o l i n o m i o s d e u n grado t que corresponde al mayor de los grados, t p o t q , de los polinomios del formato inicial. Estas consideraciones son igualmente v álidas para el caso de que u n o d e l o s p o l i n o m i o s , Pp (x) o Qq (x) , f u e s e n n u l o s . Lo
propio
ocurre
si
h
es
nula,
o
sea,
si
no
existe
el
factor
exponencial. R e s o l v e r : y' ' y 3 e2.x Cos( x)
Ejemplo:
La solución general es: ejemplo anterior: Para
y yH y p
(del Piskunov) d o n d e yH e s l a m i s m a d e l
yH C1 e x C2 e x , c o n d o s r a í c e s r e a l e s y d i s t i n t a s .
seleccionar
yp ,
observamos
que
f ( x) 3 e2.x Cos( x)
y
corresponde al caso general de combinación como producto:
f ( x) ehx [ Pp ( x) Cos(k x) Qq ( x) Sen(k x)] , d o n d e :
h 2,
Pp ( x) 1 , k 1 ,
Qq ( x) 0 ,
y como no hay raíces características complejas conjugadas, m 0 ; por lo que se propone como solución particular:
y p x m [ehx [ Rt ( x) Cos(k x) St ( x) Sen(k x)] e2 x [ A Cos( x) B Sen( x)] UTN
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521
P r of . I ng . M i g ue l Á n g e l R a m a d á n
siendo su primera derivada:
y 'p 2 e2 x [ A Cos( x) B Sen( x)] e2 x [ A Sen( x) B Cos( x)] y su segunda deriv ada:
y 'p' 4 e2 x [ A Cos ( x) B Sen( x)] 2 e2 x [ A Sen( x) B Cos ( x)] 2 e2 x [ A Sen( x) B Cos ( x)] e2 x [ A Cos ( x) B Sen( x)]
y 'p' e2 x [(3 A 4 B) Cos( x) (3B 4 A) Sen( x)]
o sea que:
e insertando la propuesta y su segunda derivada en la ecuación diferencial:
e2 x [(3 A 4 B) Cos( x) (3B 4 A) Sen( x)] e2 x [ A Cos( x) B Sen( x)] 3 e2.x Cos( x) e2 x [(2 A 4 B) Cos( x) (2 B 4 A) Sen( x)] 3 e2.x Cos( x)
y en su mínima expresión:
y comparando los coeficientes de las funciones semejant es entre ambos miembros: entonces:
2 4 3 4 2 3 2 A 4 B 3 2 A 4B 3 20 A 6 B 12 -4 2 0 2 -4 0 2 B 4 A 0 4 A 2 B 0 A
A 6 3 12 3 B B 20 10 20 5
y p e2 x [
luego:
3 3 Cos( x) Sen( x)] 10 5
con lo que la solución general de la ecuac ión diferencial es:
y yH y p C1 e x C2 e x e2 x [ *
*
*
*
3 3 Cos( x) Sen( x)] 10 5
*
*
*
Ecuaciones diferenciales ordinarias incompletas con coeficientes constantes T i p o f ( x, y' ' ) 0 : Para resolv erlas se integra dos veces a la ecuación, llegándose a una solución general, y de allí, a través de condiciones iniciales, se llega a una solución particular:
y' y' '.dx f ( x).dx g ( x) Co
Si las CI son (por ejemplo): entonces:
yo h( xo ) Co .xo C1
yo' h' ( xo ) Co
y
y ' ' f ( x)
entonces:
y y'.dx ( g ( x) Co ).dx h( x) Co .x C1
y( xo ) yo
e
y'( xo ) y'o
0 [h( xo ) yo ] Co .xo C1 k Co .xo C1
d e d o n d e : 0 [h' ( xo ) yo' ] Co k1 Co 0.C1
y entonces se tiene un sistema de 2 ecuaciones con dos incógnitas:
0 k Co .xo C1 0 k1 Co 0.C1 UTN
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SG
522
P r of . I ng . M i g ue l Á n g e l R a m a d á n
so
cuya solución se obtiene por medio de Co
xo 1 1
0
A
so
y
Co
con lo que:
k 1 k1 0
y de C1
B
B H1 A
y
s1 C1
y
s1
en donde:
xo - k 1
- k1
C
C H2 A
y h( x) H1.x H 2
siendo la SP: Ejemplo: 2 y' '.dx x .dx y'
y' ' x 2
1 x4 y y '.dx ( x3 C1 ) x.C1 C2 3 12
1 3 x C1 3
que es la SG en donde las constantes de integración se determinan mediante
las
condiciones
iniciales ,
tales
y( x 2) 1 ; y'( x 2) 3 , l o q u e n o s p e r m i t e r e s o l v e r a s í :
0
5 C1 0.C2 3
1
(por
ejemplo):
24 2.C1 C2 12
x3 y d e r i v a n d o l a s o l u c i ó n : y' C1 0.C2 3
1 e n t o n c e s : 0 2.C1 C2 3
como
C1
SP:
y
s1 5 3
y
C2
s2 3
x4 5 x3 12 3
Comprobación: Si lo deseamos, podemos saber si las soluciones halladas son correctas;
para
ello
las
deriv amos dos veces y sustituyendo en la ED
dada deberemos encontrar una identidad. Veamos si la solución general es correcta: derivamos dos v eces la SG hallada:
y'
x3 C1 3
la ED dada, obtenemos:
y' ' x 2
y
x2 x2
por lo que sustituyendo en
que es una identidad, por lo que la
solución general hallada es correcta. Veamos ahora si ocurre lo propio con la solución particular: identidad
y'
x3 5 3 3
y
y' ' x 2
y se obtiene la
x2 x2 p o r l o q u e l a s o l u c i ó n p a r t i c u l a r e n c o n t r a d a t a m b i é n e s
correcta. T i p o f ( y, y ' ' ) 0 : Para resolverlas se aplican propiedades sencillas de las derivadas, inclusiv e utilizando sus notaciones, a los efectos de arribar a una EDVS, UTN
Fac ult ad Reg io na l Cór doba
523
P r of . I ng . M i g ue l Á n g e l R a m a d á n
teniendo siempre present e que la solución y su segunda derivada son ambas funciones de x. Veamos el procedimiento analizando un ejemplo.
y' ' 4 y
Ejemplo:
C o m o y ' ' ( y ' )'
dy ' dx
se puede escribir:
y' '
dy ' 4y dx
de donde:
y m u l t i p l i c a n d o m i e m b r o a m i e m b r o p o r y' , s e t i e n e :
dy' 4 y.dx
y'.dy' 4 y. y'.dx 4 y.dx.
dy 4. y.dy dx
y entonces:
la integral del primer miembro es: 2 4. y.dy 2. y C2
miembro es:
y'
y minimizando:
( y' )2 y'.dy' 2 C1
y la del segundo
que es una EDVS, por lo tanto:
por lo que:
4 y 2 C3
donde
( y' )2 C1 2. y 2 C2 2
con lo que:
dy 4 y 2 C3 dx
1
dx
y'.dy' 4. y.dy
dx
1 4 y 2 C3
que, mediante una tabla de integrales (por ejemplo):
1 4 y C3 2
du u a 2
Ln(u u 2 a 2 ) C
2
por lo que:
1 4 y 2 C3
y entonces:
dy 2. y 2 C4
1 Ln[ y y 2 C4 ] C5 Ln [ y y 2 C4 ] C5 2
x Ln y y 2 C4 C5 Ln y y 2 C4 Ln(C6 ) Ln[
e x
luego:
y y 2 C4
de donde:
C6
C e x y y 2 C4
y entonces:
C6
y y 2 C4 C6
]
y y 2 C4 ex
es la SG en el formato 2.
A partir de aquí se podría comprobar la solución encontrada y luego aplicar, si las hay, las condiciones iniciales en la SG a f in de encontrar la SP, la que, a su v ez, podría también comprobarse, como se explicó anteriormente. T i p o f ( x, y' , y' ' ) 0 : También en este caso se busca llegar a una EDVS, a trav és de la UTN
Fac ult ad Reg io na l Cór doba
524
P r of . I ng . M i g ue l Á n g e l R a m a d á n
p r o p u e s t a u ( x) y '
dy , para luego integrar. dx
Utilicemos un ejemplo para analizar la técnica de resolución.
y ' '
Ejemplo:
u
Proponemos
1 y' 0 x2
dy dx
du d dy ( ) y' ' dx dx dx
con lo que:
du 1 u 0 dx x 2
la ED:
du 1 u dx x2
luego:
y se reemplaza en
que es una EDVS, por lo tanto:
du
1 u dx x2
1
du x 2 u dx
Ln(u) Ln( x 2) Co Ln( x 2)1 Co
entonces:
Ln(u ) Ln( x 2)1 Ln(C1 ) Ln[
de donde:
dy
C1 dx x2
C1 ] x2
C
dy x 12 dx
y C1 Ln( x 2) C2
u
dy C 1 dx x 2
y entonces:
que es la SG.
A partir de aquí, se realizan las comprobaciones necesarias y/o la determinación de la SP, como ya se dijo con anterioridad. T i p o f ( y, y ' , y ' ' ) 0 : E n e s t e c a s o s e p r o p o n e u( y)
dy para llegar a una EDVS y luego dx
i n t e g r a r , p e r o c o m o y f (x) s e t i e n e q u e u( y) u( f ( x)) g ( x) c o n s t i t u y e u n a relación tipo función compuesta, por lo que al derivar con respecto a x
du ( y ) d 2 y du dy du 2 y' ' u( y) dx dy dx dy dx
tenemos que:
Insertando convenientemente estas expresiones en la ED dada, se busca el formato EDVS y se integra. Veamos un ejemplo.
y' '
Ejemplo:
9 y' y2
S e p r o p o n e u( y)
UTN
dy dx
du 9 u 2 u dy y
en la ED:
du
9 dy y2
du ( y) d 2 y du dy du 2 y' ' u dx dy dx dy dx
9
du y 2 dy
Fac ult ad Reg io na l Cór doba
525
de donde:
du 9 2 dy y
u
9 dy k y dx
P r of . I ng . M i g ue l Á n g e l R a m a d á n
dx
dy 9 k y
x
y
dx 9 k. y d y
por y u 1 dy du 2 [a b.u a.Ln(a b.u )] C tabla a b.u 9 k. y b
x
dy y dy 9 y.k 9 k . y y
y 1 d y 2 [9 k. y 9.Ln(9 k. y )] C 9 k. y k
la solución general es:
C x k 2 [9 k. y 9.Ln(9 k. y)] *
*
*
Ecuación diferencial ordinaria de orden superior al segundo a coeficientes constantes Tanto homogéneas, como no homogéneas, se resue lv en de manera similar a lo v isto para las de segundo orden, siendo el formato tipo para
a. y n' b. y (n 1)' c. y (n 2)' ..... n f ( x)
la no homogénea:
a. y n' b. y (n 1)' c. y (n 2)' ..... n 0
y para la homogénea: Ejemplo:
y' ' '2 y' ' y' x Cos( x)
Resolver
y' ' '2 y' ' y' 0
la homogénea asociada es
yH :
r3 2 r2 r 0
ecuación característica es: p o r l o q u e r1 0
yH C1 e
entonces:
(r2 ; r3 )
y
r1 x
(C2 x C3 ) e
r2
cuya
d e d o n d e : r (r 2 2 r 1) 0
b b 2 4 ac 2 2 2 4 1 2a 2
C1 e0.x (C2 x C3 ) e x C1 (C2 x C3 ) e x
consideremos la combinación general:
yp :
f ( x) ehx [ Pp ( x) Cos(k x) Qq ( x) Sen(k x)] h 0; Pp ( x) x; k 1; Qq ( x) 0
donde, en este caso:
y p x m [ehx [ Rt ( x) Cos(k x) St ( x) Sen(k x)]
propuesta tendrá el formato:
m0
donde:
conjugadas;
por
no
haber
h 0; Rt ( x) A x B ,
por
St ( x) C x D ; k 1 ; e n t o n c e s :
Insertando diferencial,
la
obteniendo
raíc es ser
características
complejas
Pp (x) un polinomio de grado 1;
y p ( A x B) Cos( x) (C x D) Sen( x)
propuesta la
por lo que la
mínima
y
sus
derivadas
expresión
del
en
primer
la
ecuación
miembro,
comparando ambos miembros, obtenemos los v alores de las constantes:
UTN
Fac ult ad Reg io na l Cór doba
526
P r of . I ng . M i g ue l Á n g e l R a m a d á n
y
1 1 A ; B ; C 0; D 1 2 2
por lo que:
1 1 y p ( x ) Cos( x) Sen( x) 2 2
1 1 y C1 (C2 x C3 ) e x ( x ) Cos( x) Sen( x) 2 2
SG:
* U N IV E R S ID A D T E C N O L Ó G IC A N A C IO N A L
y la solución general:
FACULTAD R E G IO N A L CÓRDOBA
*
*
*
*
ANÁL I SI S MAT E MÁT I CO I I
*
* P r o f . I ng . M i g u e l A ng e l R a m a d á n
Ejemplario
Dado que, como vimos en el teórico, la resolución de una ecuación diferencial
no homogénea de 2º orden a coeficientes const antes incluye la
resolución previa de una ED O H de 2º orden a CC, ejemplificaremos sólo las EDOSONHaCC, encontrando la solución general SG, y la SP cuando se solicite, en su mínima expresión. 535.-
x 4. y ' ' y 5.Cos 2 Planteo, Desarrollo y solución
yG yH y p
La solución general es:
donde y H
es la componente de la
solución obtenida desde la ecuación diferencial (ED) como si ésta fuera homogénea, e
yp
es la función particular de la solución que se obtiene al
x tener en cuenta el segundo miembro de la ED, o sea a f ( x) 5.Cos 2 Encontremos primero y H y después y p :
yH :
Si se supone que la sol ución es
y H y e r.x y' r.e r.x y' H y llevando estas expresiones coeficientes constantes:
a la
ED,
^
y' ' r 2 .e r.x y' ' H
considerada
como homogénea a
4.y' ' y 4.r 2 .e r.x e r.x e r.x . 4.r 2 1 0
de donde:
4.r 2 1 0 que es la ecuación característica ( ec) de la ED que, al resolverla para r:
r1 ; r2
1 i 4 2
es decir que las raíces de la ec son dos raíces
complejas conjugadas del tipo: r .i
donde 0
1 . 2
Esto significa que, al haber dos raíces distintas, la solución presenta dos componentes que son:
y H y1 y2 A1e r1.x A2 e r2 .x A1e ( .i ).x A2 e( - .i).x A1 .e .x .e .x.i A2 .e .x .e b.x.i UTN
Fac ult ad Reg io na l Cór doba
527
P r of . I ng . M i g ue l Á n g e l R a m a d á n
y H e .x . A1 .e .x.i A2 .e .x.i
y entonces:
donde las A son constantes a
determinar según las particularidades de la ED y representan a las constantes de integración. Por otro lado, por las fórmulas de Euler, se pu ede expresar en forma trigonométrica a la solución, pudiéndose optar por expresarla exponencialmente o trigonométricamente según la necesidad (siempre que las raíces de la ec sean complejas conjugadas):
y H e .x . A1 .e .x.i A2 .e .x.i e .x .C1 .Sen( .x) C2 .Cos( .x Atento
entonces
a
los
valores
encontrados, la
componente
homogénea de la solución de la ED es: yH
y H A1
es decir:
yp :
1 1 . x.i . x.i e 0 . C .Sen( 1 .x) C .Cos ( 1 .x) 2 2 e . A1 .e A2 .e 1 2 2 2 0
x .i 2 .e
A2
x .i 2 .e
x x y H C1 .Sen( ) C 2 .Cos( ) 2 2
o
Corresponde analizar el segundo miembro de la ED, o sea:
x f ( x) 5.Cos 2 Como f(x) es de estructura trigonométrica, si f(x) no es solución de la ED (o, igualmente, si no es linealmente dependiente con y H se propondrá como
y p A.Sen(b.x) B.Cos(b.x)
solución al formato:
donde b es el coefic iente de la variable del argumento de la f unción f(x) (
1 en 2
este ejemplo). Si f(x) es solución de la ED entonces se propone:
y p x.A.Sen(b.x) B.Cos(b.x). Veamos entonces si f(x) es solución de la ED: la derivamos dos veces a f(x) y la colocamos en la ED:
en la ED :
5 x f ' ( x) .Sen 2 2
^
5 x f ' ' ( x) .Cos 4 2
5 x x x x 4. .Cos 5.Cos( ) - 5.Cos( ) 5.Cos( ) 0 2 2 2 2 4
por lo que f(x) es solución de la ED (es decir: es linealmente dependiente con
y H ); entonces, se propone como estructura de solución (para m=1): x x y p x.A.Sen(b.x) B.Cos(b.x) x. A.Sen B.Cos ① 2 2 UTN
Fac ult ad Reg io na l Cór doba
528
P r of . I ng . M i g ue l Á n g e l R a m a d á n
expresión que se deriva dos veces y se inserta luego en la ED buscándose la mínima expresión resultante:
A x x x B x y' p A.Sen B.Cos x. .Cos .Sen 2 2 2 2 2 2 y' ' p
②
A A x B x A x B x x B x .Cos .Sen .Cos .Sen x. .Sen .Cos 2 2 2 2 2 2 2 2 2 4 2 4 A x x x B x A.Cos B.Sen x. .Sen .Cos 2 2 2 4 2 4
③
Luego, con ① y ③ en la ED:
A x x x B x 4. A.Cos B.Sen x. .Sen .Cos 2 2 2 4 2 4
x x x x. A.Cos B.Sen 5.Cos 2 2 2
x x x 4. A.Cos 4.B.Sen 5.Cos 2 2 2
o sea: término:
4. A 5 A
5 4
- 4.B 0
B0
que, comparando término a
5 x y p . x.Sen 4 2
Entonces, la solución general de la ED es:
x x 5 x yG yH y p C1.Sen C2 .Cos .x.Sen 2 2 4 2 * * * * * Si se quiere comprobar si y G es la solución de la ED, se debe verificar si la satisface, es decir, si a través de ella se llega a una identidad. Para ello se la deriva dos veces y se la inserta, respetando la estructura, en la ED:
yG '
C1 x C x 5 x 5 x .Cos 2 .Sen Sen x Cos 2 2 2 2 4 2 8 2
yG ' '
C1 x C x 5 x 5 x .Sen 2 .Cos Cos x Sen 4 2 4 2 8 2 16 2
y en la ED:
C x C x 5 x 5 x x x 4 1 .Sen 2 .Cos Cos x Sen C1 Sen C 2 Cos 2 4 2 8 2 16 2 2 2 4
5 x x x x Sen 5 Cos f ( x) 5 Cos 4 2 2 2
Como se logra una identidad, y G es efectivamente solución de la ED. Observación: vimos que f(x) es solución de la ED y por ello se propuso a ① UTN
Fac ult ad Reg io na l Cór doba
529
P r of . I ng . M i g ue l Á n g e l R a m a d á n
como componente de la solución general. También podemos observar que f(x) puede estructurarse así:
x f ( x) 5 Cos e .x k1 Sen x k2 Cos( x 2 pero:
si 0 k1 0 k2 5
e .x k1 Sen x k2 Cos( x e .x [ A1 e .x.i A2 e .x.i ]
1 2
por Euler
donde y son los coeficientes de las raíces complejas conjugadas de la ecuación característica. Entonces, es fácil deducir que si estos coeficientes están presentes en f(x), al tener la ec de la ED dos raíces complejas conjugadas, corresponde adopt ar a ① como solución part icular de la solución general, teniéndose así dos criterios de selección de est e
tipo de función particular, componente, o
complementaria: a)
o verificamos si f(x) es solución de la ED,
b)
o verificamos si la ED tiene un par de raíces compl ejas conjugadas.
Obviamente, si no se verifica a) o b), se adopta la estructura ① pero sin el factor dado por la potencia 1 de la variable ( x, en este caso). * 536.-
*
*
*
*
*
*
y' '2 y'5 y 3Cos( x) Planteo, desarrollo y solución
yH :
r 2 2r 5 0
La ec es:
entonces:
donde: r1 ; r2
2 4 4.5 1 2.i 1 2 2
y H e .x . A1 .e .x.i A2 .e .x.i e .x .C1 .Sen( .x) C2 .Cos( .x e x .C1 .Sen(2.x) C2 .Cos(2.x
yp :
Como
f ( x) 3.Cos( x) 3Cos(b.x) , donde:
0; b 1
por lo que f(x)
no contiene el par de raíces co mplejas conjugadas de la ec, por lo que (para m=0) se opta por la estructura:
y p A.Sen(b.x) B.Cos(b.x) A.Sen(1.x) B.Cos(1.x) A.Sen( x) B.Cos( x) (también podríamos verificar que f(x) no es solución de la ED). Para explicitar los valores de las constantes A y B, derivamos hasta 2 veces la soluci ón propuesta, las insertamos en la ED, obt enemos la mínima expresión de ésta, y comparamos término a término con f(x):
y p ' A.Sen( x) B.Cos( x) UTN
Fac ult ad Reg io na l Cór doba
y p ' ' A.Cos( x) B.Sen( x) 530
P r of . I ng . M i g ue l Á n g e l R a m a d á n
Luego, en la ED:
A.Cos( x) B.Sen( x) 2. A.Sen( x) B.Cos( x) 5.A.Sen( x) B.Cos( x) 3.Cos( x) 4B 2A 0 2A 4B 0 4B 2A Sen( x) 4 A 2 B Cos( x) 3.Cos( x) 4A - 2B 3 4A - 2B 3
0 3 3 6 A A ^ B B 3 5 10
2 4 0 4 2 20 A 12 B 4 -2 3 -2 4
por lo que:
3 3 y p .Sen( x) .Cos( x) 5 10
y la solución general:
3 3 yG y H y p e x C1 Sen (2. x ) C2 Cos(2. x ) Cos( x ) Sen ( x ) 5 10 * 537.-
*
*
*
*
*
*
y' '2 y'5 y 3Sen(2 x) Planteo, desarrollo y solución
yH :
La ec es la misma del ejercicio anterior, por lo que:
y H e x .C1 .Sen(2.x) C2 .Cos(2.x Como la ec tiene un par de raíces complejas conjugadas, con =1 y
yp :
=2, investigamos si f(x) posee tales valores y obtenemos: =0 y =2=b, por lo que no coinciden, por lo que m=0 y la solución componente a adoptar es:
y p x m ex [ A Sen(b.x) B Cos(b.x)] A.Sen(2.x) B.Cos(2.x) (también es fácil comprobar que f(x) no es solución de la ED) Derivamos la solución propuest a:
y p ' 2 A.Cos(2.x) 2 B.Sen(2.x)
y p ' ' 4 A.Sen(2.x) 4 B.Cos(2.x)
Insertamos en la ED y obtenemos:
A 4 B.Sen(2.x) B 4 A.Cos(2.x) 3.Sen(2 x) Comparamos término a término:
1 A 4B 3 -4 4 A B 0
Entonces :
4 1
17 A
A
3
4
0
1
3 ; B
1
3
-4
0
12
A 3 12 B B 17 17
Con lo que la componente de la solución general es:
yp
3 12 .Sen(2.x) .Cos(2.x) 17 17
Y la solución general de la ED es:
yG e x .C1 Cos(2 x) C 2 Sen(2 x) UTN
Fac ult ad Reg io na l Cór doba
531
3 12 .Sen(2.x) .Cos(2.x) 17 17 P r of . I ng . M i g ue l Á n g e l R a m a d á n
Si insertamos en la ED esta solución general y sus dos primeras derivadas, comprobaremos que se llega a la identidad 3Sen(2 x) 3Sen(2 x) , o bien: 0=0, lo que nos indica que la solución general hallada es correcta. * 538.-
*
*
*
*
*
y' ' y' 2 x 3 ; b) Hallar la solución
a) Hallar la solución general de la ED:
particular si y(0) 2
y
*
y' (0) 2 Planteo, Desarrollo, Respuesta:
a)
y yH y p
La solución general (SG) es:
Búsqueda de y H :
y' ' y' 0
hacemos
r2 r 0
resulta la ecuación característica: que las raíces son:
r1 0
y erx
y proponemos
como solución,
r (r 1) 0
de donde
con lo
r2 1
y
En consecuencia, la solución homogénea es: yH C1.er1 . x C2 .er2 . x C1 C2 .e x
Búsqueda de y p :
f ( x; y ) 2 x 3 ,
como
r 1 =0
aplicando el método de selección
y p ( A.x A1 ).x m
y comparación, se propone: Como
yH C1 C2 .e x
o sea :
en la ecuación característica de la solución homogénea
de la solución general, el exponent e
m debe ser 1, por lo que la solución
complementaria a proponer tiene como estructura:
y p ( A.x A1 ).x A.x 2 A1.x y 'p' y 'p 2.x 3
por lo tanto:
2. A.x (2. A A1 ) 2 x 3 2. A 2
de donde:
2 A1 3
de A:
y 'p' 2. A
y
2. A 2. A.x A1 2 x 3
es decir:
y
A 1
por lo que
y también:
A1 3 2 1
2. A A1 3
o sea:
2. A.x 2 x
y comparando por términos semejantes:
y con el valor
con lo que finalmente:
y p x2 x
y C1 C2 .e x x 2 x
Entonces, la solución general e s: b)
y 'p 2. A.x A1
y entonces:
La solución particular ( SP) se obtiene desde la general y mediante la
2 C1 C2
aplicación de las condiciones iniciales: luego:
2 C2 1
y entonces:
de donde:
y
y ' C2 .e x 2 x 1
C2 1
C1 2 C2 2 (1) 2 1 3
De este modo, la solución particular (SP) para las condiciones iniciales (CI) dadas, es:
y 3 e x x 2 x
Comprobación:
derivando la solución particular:
UTN
Fac ult ad Reg io na l Cór doba
532
y ' e x 2 x 1
P r of . I ng . M i g ue l Á n g e l R a m a d á n
y '' e x 2
y derivando nuevamente:
e x 2 e x 2.x 1 2 x 3
2x 2x
luego:
y reemplazando en la ED dada:
2x 3 2x 3
y finalmente:
22
con lo que:
00
y
que es una identidad, con lo que se comprueba que la solución encontrada es correcta. * 539.-
*
*
*
*
y(0) 1
*
y' '2 y'3 y 2e3 x
a) Hallar la solución general de la ED:
b) Hallar la solución particular si
*
y' (0) 0
y
Planteo, Desarrollo, Respuesta
y yH y p
a) Solución general: Búsqueda de y H : hacemos
y' '2 y'3 y 0
r 2 2r 3 0
ecuación característica:
r1 3
las raíces son:
y erx
y proponemos
como solución, resulta la
de donde, resolviendo la cuadrática,
r2 1
y
En consecuencia, la solución homogénea es: yH C1.er1. x C2 .er2 . x C1.e3. x C2 .e x
Búsqueda de y p :
como
f ( x; y ) 2.e3. x y p A.e3. x .x m
comparación, se propone: Como en
la
aplicando el método de selección y
ecuación característica de la solución homogénea de la
solución general, r1 3 , el exponente m debe ser 1, por lo que la solución
y p A.e3. x .x
complementaria a proponer tiene como estructura:
y 'p A.3.e3. x .x A.e3. x
y entonces:
y 'p' A.9.e3. x .x A.3.e3. x A.3.e3. x A.9.e3. x .x A.6.e3. x
y
y 'p' 2 y 'p 3 y p 2e3 x
entonces: es decir:
A.9.e3.x .x A.6.e3.x A.6.e3.x .x 2.A.e3.x 3.A.e3.x .x 2.e3.x e3. x .(9. A.x 6. A 6. A.x 2. A 3. A.x) 2.e3. x
o sea: es decir:
4. A.e3. x 2.e3. x
de donde
con lo que finalmente:
4. A 2
y p A.e3. x .x
y
A
1 2
1 3. x e x 0,5.e3. x x 2
y yH y p C1.e3. x C2 .e x 0,5.e3. x x
Entonces, la solución general es: b) solución particular (SP):
Aplicando las condiciones iniciales a la solución general, se obtiene: UTN
Fac ult ad Reg io na l Cór doba
533
1 C1 C2
P r of . I ng . M i g ue l Á n g e l R a m a d á n
y ' 3.C1.e3. x C2 .e x 0,5.3.e3. x x 0,5.e3. x
y derivando la SG:
0 3.C1 C2 . 0,5
y en consecuencia:
0,5 3.C1 C2
o sea:
1 6.C1 2.C2
o lo que es lo mismo:
Resolviendo por determinantes el sistema de dos ecuaciones con dos
C1
incógnitas que conform an las constantes, se tiene: Con lo que la solución particular es: * 540.-
*
*
1 8
y
C1
7 8
1 7 1 y .e3. x .e x .e3. x x 8 8 2
*
*
*
*
y' '6 y'9 y 25.e x .Sen( x)
a) Hallar la solución general de la ED: b) Hallar la solución particular si y(0) 0
y ' (0) 0
y
Planteo, Desarrollo, Respuesta
y yH y p
a) Solución general: Búsqueda de y H : hacemos
y' '6 y'9 y 0
r 2 6.r 9 0
resulta la ecuación característica: cuadrática, las raíces son:
r1 3
y proponemos
y
r2 3
y erx
como solución,
de donde, resolviendo la 2RRI
En consecuencia, la solución homogénea es:
y H (C1 C2 .x).e 3. x
Búsqueda de y p : f ( x) 25.e x .Sen( x)
Como propone:
aplicando el método de selección y comparación, se
y p x m .[ A.Cos( x) B.Sen( x)].e x
Como en la ecuaci ón característica de la solución homogénea de la solución general, r 3 , y el exponente de la exponencial no contiene tal valor, y como tales raíces iguales no constituyen un par de raíces complejas conjugadas con b, o β , igual a 1 (argumento de la senoidal), m debe ser 0, por lo que la solución complementaria a proponer tiene como estruct ura:
y p [ A.Cos( x) B.Sen( x)].e x y entonces:
y 'p [ A.Sen( x) B.Cos( x)].e x [ A.Cos( x) B.Sen( x)].e x y 'p' [ A.Cos( x) B.Sen( x)].e x [ A.Sen( x) B.Cos( x)].e x [ A.Sen( x) B.Cos( x)].e x
y:
[ A.Cos( x) B.Sen( x)].e x 2.[ B.Cos( x) A.Sen( x)].e x
Luego, sustituimos en la ED:
y 'p' 6. y 'p 9. y p 25.e x .Sen( x) es decir:
UTN
Fac ult ad Reg io na l Cór doba
534
P r of . I ng . M i g ue l Á n g e l R a m a d á n
2.[ B.Cos( x) A.Sen( x)].e x 6.{[ A.Sen( x) B.Cos( x)].e x [ A.Cos( x) B.Sen( x)]}.e x 9.[ A.Cos( x) B.Sen( x)].e x 25.e x .Sen( x)
Operando ahora hacia la mínima expresión , obtenemos:
(4 A 3B).Sen( x) (3 A 4B).Cos( x) 25.Sen( x) 3 - 4 3. A 4.B 0 3.3 4.(4) 9 16 25 4. A 3.B 25 4 3
Comparando:
y los determinantes substitutos y los valores de A y B, son:
0 -4 100 A 25 3
B
y
3 0 4 25
75 A
A 100 75 4 B 3 25 25
Con lo que la solución complementaria, de la solución general de la
y p [4.Cos( x) 3.Sen( x)].e x
ecuación diferencial, será:
En consecuencia, la solución general (S G) es: y (C1 C2 .x).e3. x [4.Cos( x) 3.Sen( x)].e x
Solución particular (SP): Por condiciones iniciales, cuando
x=0
es y=0
e
y’=0.
Entonces, tomando la SG y reemplazando las variables por las CI: 0 (C1 C2 .0).e3.0 [4.Cos(0) 3.Sen(0)].e0
0 C1 4.Cos(0) C1 4
Es decir:
C1 4
o sea:
Ahora, derivando la SG: y ' C2 .e3. x 3.(C1 C2 .x).e3. x [4.Cos( x) 3.Sen( x)].e x [4.Sen( x) 3.Cos( x)].e x
y aplicando las condiciones iniciales: 0 C2 .e3.0 3.(C1 C2 .0).e3.0 [4.Cos(0) 3.Sen(0)].e0 [4.Sen(0) 3.Cos(0)].e0
C2 3.C1 4 3 3.C1 C2 7 C2 3.C1 7 3.(4) 7 5
y entonces:
Luego, la solución particular es: y (4 5.x).e3. x [4.Cos( x) 3.Sen( x)].e x (5.x 4).e3. x [4.Cos( x) 3.Sen( x)].e x
SP:
* 541.-
*
*
*
*
a) Hallar la solución general de la ED:
*
*
y' ' y 5 Sen(2 x) x
b) Hallar la solución particular si y(0) 0 e y' (0) 1 Planteo, Desarrollo, Respuesta a) Solución general (S G):
y yH y p
Búsqueda de y H : Hacemos UTN
y' ' y 0
con lo que la ecuación caract erística ( ec) es:
Fac ult ad Reg io na l Cór doba
535
P r of . I ng . M i g ue l Á n g e l R a m a d á n
r2 1 0
de donde, las raíces son:
r1 1
y
r2 1
es decir, dos
raíces reales y distintas, por lo que la solución toma el formato:
yH C1 e
r1 x
C2 e
r2 x
C1 e1.x C2 e1.x C1 e x C2 e x
Búsqueda de y p :
f ( x) 5 Sen(2 x) x f1 ( x) f 2 ( x)
como
aplicamos
el
teorema
de
superposición, por lo que la solución particular será:
y p ya yb
donde ya es la componente de la solución particular para
f1 ( x) 5 Sen(2 x)
yb es la componente de
la
e
f 2 ( x) x tomándose como solución
y p para
particular la combinación linea l de ambas componentes: búsqueda de ya : por el método de selección y comparación, en la combinación general como producto (siguiendo la teoría), se tiene:
f1 ( x) 5 Sen(2 x) ehx [ P( x) p Cos(2 x) Q( x)q Sen(2 x)] donde, como f1 (x) no tiene factor expo nencial, corresponde tomar h 0 , y como
P( x) p 0 y Q( x)q 5 , o sea, ambos
el factor 5 es una constante, se toma polinomios de grado cero; ent onces:
f1 ( x) 5 Sen(2 x) 0 Cos(2 x) 5 Sen(2 x) 5 Sen(2 x) ya x m [ R( x)t Cos(2 x) T ( x)t Sen(2 x)]
por lo que se propone:
y como no hay raíces características complejas conjugadas, polinomios
m 0 , y los
R( x)t y T ( x)t son de grado t 0 , con lo que la propuest a será, ya A Cos(2 x) B Sen(2 x)
finalmente:
T erminada la selección de la propuest a, preparamos para la comparación, derivando dos veces: y'a 2 A Sen(2 x) 2 B Cos(2 x)]
y' 'a 4 A Cos(2 x) 4 B Sen(2 x)]
y llevando al primer miembro de la ED: y' 'a ya 4 A Cos(2 x) 4 B Sen(2 x) A Cos(2 x) B Sen(2 x) 5 A Cos(2 x) 5 B Sen(2 x) y
comparando con f ( x) 5 Sen(2 x) :
5 A Cos(2 x) 5 B Sen(2 x) 5 Sen(2 x)
5 A 0 A 0 5 B 5 B 1
Entonces:
ya Sen(2 x)
búsqueda de yb : si f 2 ( x) x , entonces se propone como yb :
yb x m (C x D)
y como
ninguna raíz característica es nula, se toma m 0 , por lo que se selecciona la UTN
Fac ult ad Reg io na l Cór doba
536
P r of . I ng . M i g ue l Á n g e l R a m a d á n
yb C x D
estructura:
Para la comparación, se deriva dos veces y se inserta en el primer
y'b C
miembro de la ED: y' 'b yb 0 C x D
y' 'b 0
y
y comparando
y entonces: C 1 C 1 es: D 0 D 0
C x D x
yb x
con lo que la solución componente es:
La solución particular (o no homogénea) es, ento nces:
y p ya yb Sen(2 x) x
y la solución general de la ED, es:
y yH y p C1 e x C2 e x Sen(2 x) x Aplicando las condiciones iniciales a esta solución general obtendremos la solución particular ( SP):
4 C1 C2
que se lleva a:
y' C1 e x C2 e x 2 Cos(2 x) 1
y por otro lado: 0 C1 C2 ; resolviendo el sistema:
-4 1 0 1 4 C1 1 2 -1 1 2 1 1
-1 - 4 1 1 5 5 C2 1 -1 1 2 2 1 1
y
y 2 e x
entonces, la SP es:
1 C1 C2 3
5 x e Sen(2 x) x 2
Comprobación de la SP:
y' 2 e x
5 x e 2 Cos(2 x) 1 2
y' ' 2 e x
5 x e 4 Sen(2 x) 2
entonces:
y' ' y 2 e x
5 x 5 e 4 Sen(2 x) [2 e x e x Sen(2 x) x] 5 Sen(2 x) x 5 Sen(2 x) x 2 2
lográndose la identidad buscada, por lo tanto, la SP es correcta. Observación: Ya
que
este
ejercicio
presenta
una
estructura
funcional
simple,
el
desarrollo de resolución es más directo que la aplicación paso a paso de lo visto en el desarrollo según la teoría de más arriba, si bien es clara la necesidad de aplicar la superposición de soluciones: como siempre buscamos la solución homogénea: ecuación característica ( ec) es: r 2 1 0
r1 1
y
r2 1
y' ' y 0
con lo que la
de donde, las raíces son:
es decir, dos raíces reales y distintas, por lo que la
solución toma el formato:
yH C1 e UTN
r1 x
C2 e
r2 x
C1 e1.x C2 e1.x C1 e x C2 e x
Fac ult ad Reg io na l Cór doba
537
P r of . I ng . M i g ue l Á n g e l R a m a d á n
Búsqueda de y p :
f ( x) 5 Sen(2 x) x f1 ( x) f 2 ( x)
como
aplicamos
el
teorema
de
superposición, por lo que la solución particular será:
y p ya yb
donde ya es la componente de la solución particu lar para
f1 ( x) 5 Sen(2 x)
la
e yb es la componente de y p para f 2 ( x) x tomándose como solución particular la combinación lineal de ambas componentes , entonces: búsqueda de ya :
(por el método de selección y comparación )
como el factor de la trigonométrica es una constante (o sea un polinomio de
f1 ( x) 5 Sen(2 x) 0 Cos(2 x) 5 Sen(2 x)]
grado cero), se tiene:
ya x m .[ A Cos(2 x) B Sen(2 x)]
luego, se propone:
y como no hay raíces características com plejas conjugadas, m 0 , con lo que la ya A Cos(2 x) B Sen(2 x)
propuesta será, finalmente:
T erminada la selección de la propuest a, preparamos para la comparación, derivando dos veces: y'a 2 A Sen(2 x) 2 B Cos(2 x)
y' 'a 4 A Cos(2 x) 4 B Sen(2 x)
y llevando al primer miembro de la ED: y' 'a ya 4 A Cos(2 x) 4 B Sen(2 x) A Cos(2 x) B Sen(2 x) 5 A Cos(2 x) 5 B Sen(2 x)
y comparando con f ( x) 5 Sen(2 x) :
5 A Cos(2 x) 5 B Sen(2 x) 5 Sen(2 x)
5 A 0 A 0 5 B 5 B 1
ya Sen(2 x)
Entonces:
búsqueda de yb : si f 2 ( x) x , entonces se propone como yb :
yb x m (C x D)
y
como
ninguna raíz característica es nula, se toma m 0 , por lo que se selecciona la yb C x D
estructura:
Para la comparación, se deriva dos veces y se inserta en el primer miembro de la ED: y' 'b yb 0 C x D
y'b C
y
y comparando
y' 'b 0
y entonces:
C x D x
C 1 C 1 es: D 0 D 0
yb x
con lo que la so lución componente es:
La solución particular (o no homogénea) es, entonces:
y p ya yb Sen(2 x) x
y yH y p C1 e x C2 e x Sen(2 x) x
Y la solución general de la ED, es: UTN
Fac ult ad Reg io na l Cór doba
538
P r of . I ng . M i g ue l Á n g e l R a m a d á n
y' '3 y'2 y 2 e2 x ( x 9)
542.-
Planteo, Desarrollo, Respues ta
y yH y p
a) Solución general (SG): Búsqueda de y H :
y' '3 y'2 y 0
r 2 3.r 2 0
luego, la ec es:
donde:
(r1; r2 )
3 32 4.2 (1;2) 2
yH C1.e x C2 .e2 x
por lo que: Búsqueda de y p :
Selección: dado que f ( x) 2 e2 x ( x 9) donde
h1
se propone:
y p x h e2 x ( A.x B)
porque una de las raíces de la ecuación característica coincide
y p x e2 x ( A.x B) e2 x ( A.x 2 B x)
con el exponente 2; entonces: Comparación:
para aplicarla, derivamos dos ve ces y sustituimos en la
ED:
y 'p e2 x [2 A x 2 2 ( A B) x B]
y 'p' e2 x [4 A x 2 (8 A 4 B) x (2 A 4 B)]
y
entonces:
y' '3 y'2 y e2 x [4 A x 2 (8 A 4 B) x (2 A 4 B)] 3.e2 x [2 A x 2 2 ( A B) x B] 2.e2 x ( A.x 2 B x) e2 x [2 A x 2 A B] 2 e2 x ( x 9)
2 A x 2 A B 2 ( x 9)
2 A x 2 A B 2 x 18
2 A 2 A 1 2 A B 18 2.1 B 18 B 16
de donde:
y p e2 x ( x 2 16 x)
con lo que: y la solución general:
y C1.e x C2 .e2 x e2 x ( x2 16 x)
y e x [C1 e x .(C2 x 2 16 x)]
o *
y C1.e x e2 x .(C2 x 2 16 x)
o
*
*
*
*
*
*
En el siguiente grupo de ecuaciones dife renciales exploremos cómo actúan diferentes formatos del primer miembro frente a funciones f (x) del segundo miembro de los tres tipos básicos: polinomios, exponenciales, trigonométricas. * 543.-
*
*
*
*
*
*
2 y' '2 y'4 y 3 x Planteo, Desarrollo, Re spuesta
a) Solución general (SG): UTN
y yH y p
Fac ult ad Reg io na l Cór doba
539
P r of . I ng . M i g ue l Á n g e l R a m a d á n
Búsqueda de y H :
2 y' '2 y'4 y 0
luego, la ec es:
2r 2 2.r 4 0
(r1; r2 )
y:
2 2 2 4.2.4 (1;2) 2.2
T ambién podríamos haber utilizado una equivalente de la ec, al dividir por r r 20 2
2:
1 12 4.2 (r1; r2 ) (1;2) 2
y
yH C1.e x C2 .e2 x
Búsqueda de y p :
f ( x) 3 x
Selección: como
se propone:
y p x m .( A.x B)
pues la ec no tiene raíces nulas; entonces la propuesta es:
donde
m0
y p A.x B
¿Por qué es válida la propuesta, para m 0 ?, porque, como se vio en el teórico, las componentes yH y y p no deben ser propo rcionales, por un lado; y por el otro, como en este caso
f (x) es un polinomio de grado uno, se debe
investigar si dicho polinomio es ya solución de la ED. Si lo es, ello implica que es linealmente dependiente con alguna de las componentes de yH , y en tal caso, se propone un polinomio general del mismo grado del de f (x) , multiplicado por un factor x m , con m 1 , para agregarle un grado a la propuesta. Si esta nueva propuesta también es solución, se le eleva el grado haciendo m 2 . Si la
f (x) inicial no es solución de la ED, o sea, no es linealmente
dependiente con
yH , entonces no es necesario a umentar el grado de la
propuesta, por lo que m 0 . Comparación:
para ello, se obtienen las dos primeras derivadas de la
y 'p A
propuesta y se sustituye en la ED:
y
y 'p' 0
entonces:
2.0 2. A 4.( A.x B) 3 x
(2. A 4.B) 4. A.x 3 x
de donde:
3 4. A 3 A 4 (2. A 4.B) 0 (2.( 3 ) 4.B) 0 B 3 4 8
luego:
particular es:
3 3 yp x 4 8
y finalmente, la solución general, es:
y yH y p C1.e x C2 .e2 x * UTN
*
con lo que la solución
*
Fac ult ad Reg io na l Cór doba
*
* 540
3 3 x 4 8 *
*
P r of . I ng . M i g ue l Á n g e l R a m a d á n
y' ' y' 3 x
544.-
Planteo, Desarrollo, Respuesta Observemos que f ( x) 3 x , como en el ejercicio anterior.
y yH y p
a) Solución general (SG): Búsqueda de y H :
y' ' y' 0
r2 r 0
luego, la ec es:
C2 .e x C2 .e x 0
r1 0 y r2 1
de donde:
yH C1 C2 .e x ' yH C2 .e x
Comprobemos yH :
r.(r 1) 0
y:
'' yH C2 .e x
entonces, en la ED:
lo que nos dice que yH es correcta.
Búsqueda de y p :
f ( x) 3 x
Selección: como
y p x m .( A.x B)
se propone:
donde
m1
pues la ec tiene una raí z nula; entonc es la propuesta es:
y p x.( A.x B) A.x 2 B.x Comparación:
se obtienen las dos primeras derivadas de la propuesta y se
y 'p 2. A.x B
sustituye en la ED:
2. A (2. A.x B) 3 x
de donde:
y 'p' 2. A
y
2.A 2.A.x B 3 x
o sea:
luego:
3 2 . A 3 A 2 2. A B 0 2.( 3 ) B 0 B 3 2
2. A B 2. A.x 3 x
con lo que la solución
3 y p x 2 3.x 2
particular es:
y 'p 3 x 3
Comprobemos la y p :
entonces:
y 'p' 3
entonces, en la ED:
3 (3.x 3) 3 3.x 3 3.x
con lo que se obtiene la identidad:
por lo que la y p es correcta, y finalmente, la solución general, es:
y yH y p C1 C2 .e x * 545.-
*
*
*
*
3 2 x 3.x 2 *
*
2 y' ' 3 x Planteo, Desarrollo, Respuesta Observemos que f ( x) 3 x , como en el ejercicio anterior.
a) Solución general (SG): UTN
y yH y p
Fac ult ad Reg io na l Cór doba
541
P r of . I ng . M i g ue l Á n g e l R a m a d á n
3.x 3.x
Búsqueda de y H :
r1 r2 0
la ecuación característica es:
2.r 2 0
por lo que se propone:
yH (C1 x.C2 ).er.x (C1 x.C2 ).e0.x C1 x.C2
por lo tanto:
2RRI
Búsqueda de y p :
f ( x) 3 x
Selección: como
y p x m .( A.x B)
se propone:
m2
donde
pues la ec tiene dos raíces nulas con lo que la propuesta es:
y p x 2 .( A.x B) A.x3 B.x 2 Comparación:
se obtienen las dos primeras der ivadas de la propuesta y se
y 'p 3. A.x 2 2.B.x
sustituye en la ED:
entonces:
2.(6. A.x 2.B) 12. A.x 4.B 3 x
yp
1 3 x 4
y C1 x.C2
1 3 x 4
3 2 x 4
y' '
Comprobación:
y ' C2
entonces, en la ED:
3 2. y ' ' 2 x 3.x 2
1 12. A 3 A 4 4.B 0 B 0
luego:
con lo que la solución particular es: En consecuencia, la SG es:
y 'p' 6. A.x 2.B
y
3 x 2
que es idéntico a f ( x) 3 x , por lo
que se obtiene la identidad 0=0, lo que nos indica que la s olución general hallada es correcta. * 546.-
*
*
*
*
*
*
y' ' y 3 x Planteo, Desarrollo, Respuesta Observemos que f ( x) 3 x , como en el ejercicio anterior.
y yh y p
a) Solución general (SG): Búsqueda de y H :
r2 1 0
la ecuación característica es:
por lo tanto:
r1; r2 j
2RCC con parte real nula, por lo que se propone:
yh C1.er1x C2 .er2 .x C1.e j.x C2 .e j.x e0.x .[k1.Cos(1.x) k2 .Sen(1.x)] k1.Cos( x) k2 .Sen( x) Búsqueda de y p : Selección: como
f ( x) 3 x
se propone:
y p x m .( A.x B)
pues la ec no tiene raíces nulas, con lo que la propuesta es: UTN
Fac ult ad Reg io na l Cór doba
542
m0
donde
y p A.x B
P r of . I ng . M i g ue l Á n g e l R a m a d á n
Comparación:
se obtienen las dos primeras derivadas de la propuesta:
y 'p A
y
y' ' y 0 A.x B 3 x
y 'p' 0
y se las sustituye en la ED:
entonces:
A.x B 3 x
A 3 B 0
luego:
y p 3.x
con lo que la solución particular es:
y k1.Cos( x) k2 .Sen( x) 3.x
En consecuencia, la SG es: Comprobación:
y' k1.Sen( x) k2 .Cos( x) 3
y' ' k1.Cos( x) k2 .Sen( x)
entonces, en la ED:
k1.Cos( x) k2 .Sen( x) k1.Cos( x) k2 .Sen( x) 3.x 3.x
que es
idéntico a f ( x) 3 x , por lo que se obtiene la identidad 0=0, lo que nos indica que la solución general hallada es correcta. * 547.-
*
*
*
*
*
*
2. y' '2. y'4. y 3.e2.x Planteo, Desarrollo, Respuesta
y yh y p
a) Solución general (SG): Búsqueda de y h :
por un ejercicio anterior sabemos que se propone:
yh C1.er1x C2 .er2 .x C1.e x C2 .e2.x Búsqueda de y p Selección: como
f ( x) 3.e2. x
se propone:
y p x m . A.e2. x
donde
m 1 pues la
ec tiene una raí z e 2. x , coincidente con una componente de f (x) , lo que a su vez significa que
f (x) y la componente y2 C2 .e 2. x son linealmente dependientes, y
ello significa que no puede tomarse y p A.e 2. x como solución particular pues una similar forma parte de la solución homogénea, con lo que la propuesta es:
y p x. A.e 2. x Comparación:
se obtienen las dos primeras derivadas de la propuesta:
y 'p A.e2.x x. A.2.e2.x A.e2.x .(1 2.x) y se las sustituye en la ED:
y
y 'p' 2. A.e2.x .(1 2.x) 2. A.e2.x 4. A.e2.x .(1 x)
8. A.e2.x .(1 x) 2. A.e2.x .(1 2.x) 4.x. A.e2.x 3.e2.x
y llevando a la mínima expresión al primer miembro, se tiene:
1 6. A 3 A 2
luego:
yp
1 x e2.x 2 UTN
6. A.e2.x 3.e2.x
con lo que la solución particular es:
En consecuencia, la SG es: Fac ult ad Reg io na l Cór doba
543
y C1.e x C2 .e2.x
1 x e2.x 2
P r of . I ng . M i g ue l Á n g e l R a m a d á n
548.-
y' ' y' 3.e2.x Planteo, Desarrollo, Respuesta
y yh y p
a) Solución general (SG): Búsqueda de y h :
yh C1 C2 .e x
por un ejercicio anterior sabemos que se propone: Búsqueda de y p f ( x) 3.e2. x
Selección: como
y p x m . A.e2. x
se propone:
donde
m 0 pues
la ec no tiene una raíz que coincida con el exponente de la exponencial de f (x) ,
y p A.e2.x
por lo que la propuesta es: Comparación:
se obtienen las dos primeras derivadas de la propuesta:
y 'p 2. A.e2.x 4. A.e2.x 2. A.e2.x 3.e2.x
y 'p' 4. A.e2.x
y
y se las sustituye en la ED:
2. A.e2.x 3.e2.x
luego:
yp
con lo que la solución particular es:
549.-
*
*
*
3 2. A 3 A 2
3 2.x e 2
y C1 C2 .e x
En consecuencia, la SG es: *
entonces:
*
3 2.x e 2
*
*
2. y' ' 3.e2.x Planteo, Desarrollo, Respuesta
y yh y p
a) Solución general (SG): Búsqueda de y h :
por un ejercicio anterior sabemos que se propone:
yh C1 x.C2
Búsqueda de y p : f ( x) 3.e2. x
Selección: como
y p x m . A.e2. x
se propone:
donde
m 0 pues
la ec no tiene una raíz que coincida con el exponente (2) de la exponencial de
y p A.e2.x
f (x) , por lo que la propuesta es: Comparación:
se obtienen las dos primeras derivadas de la propuesta:
y 'p 2. A.e2.x 2.4. A.e2.x 3.e2.x
y luego:
y 'p' 4. A.e2.x
8. A.e2.x 3.e2.x
con lo que la solución particular es: UTN
y se las sustituye en la ED:
Fac ult ad Reg io na l Cór doba
yp 544
entonces:
3 8. A 3 A 8
3 2.x e 8 P r of . I ng . M i g ue l Á n g e l R a m a d á n
y C1 x.C2
En consecuencia, la SG es: *
*
*
*
*
3 2.x e 8
*
*
y' ' y 3.e2.x
550.-
Planteo, Desarrollo, Respuesta
y yh y p
a) Solución general (SG): Búsqueda de y h :
yh k1.Cos( x) k2 .Sen( x)
por un ejercicio anterior sabemos que se propone: Búsqueda de y p Selección: como
f ( x) 3.e2. x
y p x m . A.e2. x
se propone:
donde
m 0 pues
la ec no tiene una raíz que coincida con el exponente (2) de la exponencial de
y p A.e2.x
f (x) , por lo que la propuesta es: Comparación:
se obtienen las dos primeras derivadas de la propuesta:
y 'p 2. A.e2.x
y 'p' 4. A.e2.x
y
4. A.e2.x A.e2.x 3.e2.x
y se las sustituye en la ED:
5. A.e2.x 3.e2.x
luego:
yp
con lo que la solución particular es:
entonces:
3 5. A 3 A 5
3 2.x e 5
En consecuencia, la SG es:
y k1.Cos( x) k2 .Sen( x)
3 2.x e 5
Como siempre: 1) podría comprobarse, como ya se explicó anteriormente, que la solución es correcta; 2) se puede obtener, a través de las CI, la SP de la ED. * 551.-
*
*
*
*
*
*
2. y' '2. y'4. y 2.Cos(2.x) Planteo, Desarrollo, Respuesta
a) Solución general (SG):
y yh y p
Búsqueda de y h : por un ejercicio anterior sabemos que se propone:
y h C1 .e x C 2 .e 2 x
Búsqueda de y p Selección: como Donde
m0
propuesta es: Comparación: UTN
f ( x) 2.Cos(2.x)
se propone:
y p x m .[ A.Cos(2.x) B.Sen(2.x)]
pues la ec no tiene raíces imaginarias conjugadas, por lo que la
y p A.Cos(2.x) B.Sen(2.x) se obtienen las dos primeras derivadas de la propuesta: Fac ult ad Reg io na l Cór doba
545
P r of . I ng . M i g ue l Á n g e l R a m a d á n
y 'p 2. A.Sen(2.x) 2.B.Cos(2.x)
y 'p' 4. A.Cos(2.x) 4.B.Sen(2.x)
y
y se las sustituye en la ED:
8. A.Cos(2.x) 8.B.Sen(2.x) 4. A.Sen(2.x) 4.B.Cos(2.x) 4. A.Cos(2.x) 4.B.Sen(2.x) 2.Cos(2.x) Cos(2.x).(8. A 4.B 4. A) Sen(2.x).(8.B 4. A 4.B) 2.Cos(2.x)
luego:
Cos(2.x).(12. A 4.B) Sen(2.x).(12.B 4. A) 2.Cos(2.x)
o sea:
entonces:
12. A 4.B 2 4. A 12.B 0 con lo que:
2 4 A
0 12 A 3 12 4 20 4 12
yp
con lo que la s olución particular es:
B
y
B 1 20
3 1 Cos(2.x) Sen(2.x) 20 20
En consecuencia, la SG es: y C1.e x C2 .e 2 x
3 1 Cos(2.x) Sen(2.x) 20 20
¿Será correcta esta SG?. Para saberlo, deberemos comprobarla:
y' C1.e x 2.C2 .e 2 x
3 1 Sen(2.x) Cos(2.x) 10 10
3 1 y' ' C1.e x 4.C2 .e 2 x Cos(2.x) Sen(2.x) 5 5 3 1 2.[C1.e x 4.C2 .e 2 x Cos(2.x) Sen(2.x)] 5 5
Entonces, en la ED:
2.[C1.e x 2.C2 .e 2 x 4.[C1.e x C2 .e 2 x
3 1 Sen(2.x) Cos(2.x)] 10 10
3 1 Cos(2.x) Sen(2.x)] 20 20
2.Cos(2.x) 6 1 3 C1.e x .(2 2 4) C2 .e 2 x .(8 4 4) Cos(2.x).( ) 5 5 5
o sea:
2 3 1 Sen(2.x).( ) 2.Cos(2.x) 5 5 5 por lo tanto:
2.Cos(2.x) 2.Cos(2.x)
que es una identidad que nos dice que la
solución encontrada es correcta. * 552.-
*
*
*
*
*
*
y' ' y' 2.Cos(2.x) UTN
Fac ult ad Reg io na l Cór doba
546
P r of . I ng . M i g ue l Á n g e l R a m a d á n
Planteo, Desarrollo, Respuesta
y yh y p
a) Solución general (SG): Búsqueda de y h :
yh C1 C2 .e x
por un ejercicio anterior sabemos que se propone: Búsqueda de y p
f ( x) 2.Cos(2.x)
Selección: como Donde
m0
y p x m .[ A.Cos(2.x) B.Sen(2.x)]
se propone:
pues la ec no tiene raíces imaginarias conjugadas, por lo que la
y p A.Cos(2.x) B.Sen(2.x)
propuesta es: Comparación:
se obtienen las dos primeras derivadas de la propuesta:
y 'p 2. A.Sen(2.x) 2.B.Cos(2.x) sustituye en la ED:
y 'p' 4. A.Cos(2.x) 4.B.Sen(2.x)
y
y se las
4. A.Cos(2.x) 4.B.Sen(2.x) 2. A.Sen(2.x) 2.B.Cos(2.x) 2.Cos(2.x)
Cos(2.x).(4. A 2.B) Sen(2.x).(4.B 2. A) 2.Cos(2.x)
luego:
entonces:
2 2
4. A 2.B 2 2. A 4.B 0
A
0 4 A 2 4 2 5 4 4
y
B
B 1 5
2 1 y p Cos(2.x) Sen(2.x) 5 5
con lo que la solución particular es:
2 1 En consecuencia, la SG es: y C1 C2 .e x Cos(2.x) Sen(2.x) 5 5 * 553.-
*
*
*
*
*
*
2. y' ' 2.Cos(2.x) Planteo, Desarrollo, Respuesta
y yh y p
a) Solución general (SG): Búsqueda de y h :
por un ejercicio anterior sabemos que se propone:
yh C1 x.C2
Búsqueda de y p Selección: razonando como en el ejercicio anterior, proponemos:
y p A.Cos(2.x) B.Sen(2.x) Comparación:
se obtienen las dos primeras derivadas de la propuesta:
y 'p 2. A.Sen(2.x) 2.B.Cos(2.x) sustituye en la ED:
UTN
y
y 'p' 4. A.Cos(2.x) 4.B.Sen(2.x)
y se
8. A.Cos(2.x) 8.B.Sen(2.x) 2.Cos(2.x)
Fac ult ad Reg io na l Cór doba
547
P r of . I ng . M i g ue l Á n g e l R a m a d á n
1 8. A 2 A 4 - 8.B 0 B 0
entonces:
1 y p Cos(2.x) 4
SP:
1 En consecuencia, la SG es: y C1 x.C2 Cos(2.x) 4 *
*
*
*
*
*
*
y' ' y 2.Cos(2.x)
554.-
Planteo, Desarrollo, Respuesta
y yh y p
a) Solución general (SG): Búsqueda de y h :
por un ejercicio anterior sabemos que se propo ne: yh C1.Cos( x) C2 .Sen( x) puesto que la ec tiene un par de raíces imaginarias conjugadas:
(r1; r2 ) j
Búsqueda de y p Selección: como
m0
donde
f ( x) 2.Cos(2.x)
y p x m .[ A.Cos(2.x) B.Sen(2.x)]
se propone:
pues, aunque la
ec
tiene
un
par de raíces imaginarias
conjugadas, el factor 2 del argumento del coseno del 2º miembro no está presente en tales raíces, por lo que la propuesta es:
y p A.Cos(2.x) B.Sen(2.x) Comparación:
se obtienen las dos primeras derivadas de la propuesta:
y 'p 2. A.Sen(2.x) 2.B.Cos(2.x)
y 'p' 4. A.Cos(2.x) 4.B.Sen(2.x)
y
y se sustituye en la ED:
4. A.Cos(2.x) 4.B.Sen(2.x) A.Cos(2.x) B.Sen(2.x) 2.Cos(2.x) entonces:
3. A.Cos(2.x) 3.B.Sen(2.x) 2.Cos(2.x)
con lo que: A
2 3
y
B0
2 y p .Cos(2.x) 3
y la SP es:
2 En consecuencia, la SG es: y C1 Cos( x) C2 Sen( x) Cos(2.x) 3 *
*
*
*
*
*
*
En los ejercicios siguientes, se aplica el método de la variación de parámetros, o de constantes variables, a algunos de los ejercicios anteriores. 555.-
2. y' '2. y'4. y 3.e2.x Planteo, Desarrollo, Respuesta
a) Solución general (SG):
y yh y p
Búsqueda de y h : UTN
Fac ult ad Reg io na l Cór doba
548
P r of . I ng . M i g ue l Á n g e l R a m a d á n
yh C1.e x C2 .e2.x
Se propone:
Búsqueda de y p : Primera condición:
aplicando
el
método
variación
parám etros,
y
y 'p U '.e x U .e x V '.e2.x 2.V .e2.x U '.e x V '.e2.x 0
junto con se propone que
Segunda condición:
de
y p U ( x) .e x V( x) .e2.x
proponemos que la solución particular sea: obtenemos su derivada primera:
de
lo que significa que las funciones U y V deben ser tales que satisfagan la , o dicho de otra manera, U y V son funciones condicionadas por la expresión ; de esta forma, la primera derivada de la función propuesta es: obteniéndose como segunda derivada:
y 'p U .e x 2.V .e2.x
y 'p' U '.e x U .e x 2.V '.e2.x 4.V .e2.x
Reemplazando la función propuesta, y sus dos primeras derivadas en la ecuación diferencial, se obtiene:
2.(U '.e x U .e x 2.V '.e2.x 4.V .e2.x ) 2.(U .e x 2.V .e2.x ) 4.(U ( x) .e x V( x) .e2.x ) 3.e2.x y que reducimos a la mínima expresión:
2.U '.e x 2.U .e x 4.V '.e2.x 8.V .e2.x 2.U .e x 4.V .e2.x 4.U ( x) .e x 4.V .e2.x 2.U '.e x 4.U .e x 4.V '.e2.x 8.V .e2.x 8.V .e2.x 4.U ( x) .e x 2.U '.e x 4.V '.e2.x 3.e2.x
Con las expresiones y constituimos el sistema de dos ecuaci ones con dos incógnitas: x 2. x e .U ' e .V ' 0 x 2. x 2. x 2.e .U '4.e .V ' 3.e
sistema desde el cual obtenemos las funciones U y V:
e 2.x
0
3.e 2.x 4.e 2.x u 3.(e 2.x ) 2 3.e4.x 3.e4.x 1 U ' x 2.x .e3.x x 2 . x x x x x 2 . x 2 e .4.e 2.e .e 4.e 2.e 6.e e e 2.e x
4.e 2.x U U '.dU
de donde:
1 3.x 1 .e .dx e3.x D 2 6
Y también:
e x V '
0
v 2.e x e x
3.e 2.x
2.e x
4.e 2.x
UTN
e 2.x
3.e 2.x .e x 3.e x 1 6.e x 6.e x 2
Fac ult ad Reg io na l Cór doba
549
1 1 V V '.dV .dx x E 2 2
P r of . I ng . M i g ue l Á n g e l R a m a d á n
dado que, por un lado, cada int egral, y , represent a a
T ercera condición:
una familia infinita de curvas (según D y E), y, por el otro, la solución y p es una
1 1 solución particular, podemos adoptar D E 0 , por lo que: U e3.x y V x . 6 2 En consecuencia, la solución particular , es:
1 1 1 1 y p e3.x .e x x.e2.x e2.x x.e2.x 6 2 6 2 por lo que la solución general de la ecuación diferencial dada es:
y C1.e x C2 .e2.x
1 2.x 1 1 1 e x.e2.x C1.e x (C2 ) e2.x x.e2.x 6 2 6 2
finalmente:
y C1.e x C3 e2.x
SG:
1 x.e2.x 2
Comprobación: Derivamos dos veces a la solución general y reemplazamos en la ED dada:
y' C1.e x 2.C3 .e2.x
1 2.x e x.e2.x 2
y
y' ' C1.e x 4.C3 .e2.x e2.x e2.x 2.x.e2.x
2.C1.e x 8.C3.e2.x 4.e2.x 4.x.e2.x 2.C1.e x 4.C3 .e2.x
entonces:
e2.x 2.x.e2.x 4.C1.e x 4.C3 .e2.x 2.x.e2.x 3.e2.x
3.e2.x 3.e2.x
luego:
identidad que verifica como correcta a la solución,
que, por otro lado, es igual a la obtenida en un ejercicio anterior mediante el método de selección y comparación, salvo un cambio de nombre de una constante. * 556.-
*
*
*
*
*
*
y' ' y' 3.e2.x Planteo, Desarrollo, Respuesta
a) Solución general (SG): Búsqueda de y h :
y yh y p
yh C1 C2 .e x
Sabemos que se propone:
Búsqueda de y p : Primera condición:
aplicando el método de variación de parámetros,
proponemos que la solución particular sea:
y obtenemos
y 'p U 'V '.e x V .e x
su derivada primera: Segunda condición:
y p U ( x) V( x) .e x
junto con se propone que
U 'V '.e x 0
lo que signif ica que las funciones U y V deben ser tales que satisfagan la , o dicho de otra manera, U y V son funciones condicionadas por la expresión ; de UTN
Fac ult ad Reg io na l Cór doba
550
P r of . I ng . M i g ue l Á n g e l R a m a d á n
y 'p V .e x
esta forma, la primera derivada de la función propuesta es: obteniéndose como se gunda derivada: y 'p' V '.e x V .e x
Reemplazando la función propuesta, y sus dos primeras derivadas en V '.e x V .e x V .e x 3.e2.x
la ecuación diferencial, se obtiene:
V '.e x 3.e2.x
y que reducimos a la mínima expresión:
Con las expresiones y constituimos el sistema de dos ecuaciones
U 'e x .V ' 0 0.U 'e x .V ' 3.e2.x
con dos incógnitas:
sistema desde el cual obtenemos las funciones U y V:
ex
0 U '
1
u 3.e 2.x e x 3.e 2.x x 1 e
v 0 3.e 2.x 3.e x x 1 e
V '
0 ex
0 ex
3 U 3 e2.x .dx e2.x D 2
de donde:
T ercera condición:
0
V 3.e x .dx 3.e x E
y
dado que, por un lado, cada int egral, y , represent a a
una familia infinita de curvas (según D y E), y por el otro, la solución y p es una
3 solución particular, podemos adoptar D E 0 , por lo que: U e2.x y V 3.e x 2 En consecuencia, la solución particular , es:
3 3 e2.x 6.e2.x 3 2.x y p e2.x 3 e2.x e 2 2 2 por lo que la solución general de la ecuación diferencial da da es:
y C1 C2 .e x * 557.-
*
*
3 2.x e 2
SG
*
*
*
*
2. y' ' 3.e2.x Planteo, Desarrollo, Respuesta
a) Solución general (SG): Búsqueda de y h :
y yh y p yh C1 x.C2
sabemos que se propone:
Búsqueda de y p : Primera condición:
aplicando
el
método
proponemos que la solución particular sea:
de
variación
y p U ( x) V( x) .x
de
parámetros, y obtenemos
su derivada primera: UTN
Fac ult ad Reg io na l Cór doba
551
P r of . I ng . M i g ue l Á n g e l R a m a d á n
y 'p U 'V '.x V
U 'V '.x 0
junto con se propone que
Segunda condición:
lo que significa que las funciones U y V deben ser tales que satisfagan la , o dicho de otra manera, U y V son funciones condicionadas por la expresión ; de esta forma, la primera derivada de la función propuesta es:
y 'p V
y
y 'p' V '
Reemplazando la función propuesta, y sus dos primeras derivadas en 2.V ' 3.e2.x
la ecuación diferencial, se obtiene:
Con las expresiones y constituimos el sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas:
U ' x.V ' 0 2. x 0.U '2.V ' 3.e
0 funciones U y V:
U '
sistema desde el cual obtenemos las
x
1
2. x 2 3.x.e 2.x u 3.e 1 x 2 0 2
2 .x v 0 3.e 3.e 2. x 1 x 2 0 2
V '
y
0
de donde:
3 x e 2.x 3 U .dx e 2.x (2.x 1) D 2 8 T ercera condición:
3.e2.x 3.e2.x V .dx E 2 4
y
dado que, por un lado, cada int egral, y , represent a a
una familia infinita de curvas (según D y E), y por el otro, la solución y p es una solución particular, podemos adoptar
D E 0 , por lo que:
3 U e2.x (2.x 1) 8
V
y
3.e 2.x 4
En consecuencia, la solución particular , es:
3 3 3 x e2.x 3.e2.x 3 x e2.x 3.e2.x y p e2.x (2.x 1) x e2.x 8 4 4 8 4 8 por lo que la solución general de la ecuación diferencial dada es:
y C1 x.C2 * 558.-
*
*
3 2.x e 8 *
SG *
*
*
Hallar la SG de y' ' y' x e x y la SP para y(0 ) 1 e y'(0) 1 . Planteo, Desarrollo, Respuesta
a) Solución general (SG):
y yh y p
Búsqueda de y h : la ec es: UTN
r2 r 0
r.(r 1) 0
Fac ult ad Reg io na l Cór doba
de donde: 552
r1 0
y
r2 1
P r of . I ng . M i g ue l Á n g e l R a m a d á n
yh C1.e r1 .x C2 .e r2 .x C1.e0.x C2 .e1.x C1 C2 .e x
por lo que: Búsqueda de y p :
y p x m .( A.x B) x n .C.e x
Se propone: ec una raí z nula; y
n1
donde:
m1
por tener la
por ser una de las raíces de la ec igual al coeficiente
del exponente de la exponencial; en consecuencia, la propuesta es:
y p x.( A.x B) x.C.e x A.x 2 B.x x.C.e x Para la comparación, derivamos dos veces y reemplazamos en la ED:
y 'p 2. A.x B C.e x x.C.e x
y 'p' 2. A C.e x C.e x x.C.e x 2. A 2.C.e x x.C.e x
y
el primer miembro de la ED, es: 2. A 2.C.e x x.C.e x (2. A.x B C.e x x.C.e x ) 2. A C.e x 2. A.x B [2. A B] 2. A.x C.e x
que compararemos con el segundo miembro:
1 2. A B 0 2.( ) B B 1 ; 2
1 2. A.x x A ; 2
1 y p A.x 2 B.x x.C.e x x 2 x x.e x 2
con lo que la solución particular es:
y C1 C2 .e x
y la SG es:
1 2 x x x.e x 2
1 C1 C2 .e0
particulares es:
que la solución particular es: * 559.-
para
y' C2 .e x x 2 1 e x x.e x
las
condiciones
y 2 ex
*
*
y con las CI:
C1 1 C2 1 (1) 2
y entonces: SP:
*
que
1 2 0 0 0.e0 C1 C2 2
mientras que la derivada de la S G es:
1 C2 1 1 0 C2
C.e x e x C 1
*
por
lo
1 2 x x x.e x 2 *
*
Resolver: y' '4. y'13. y 3.e2.x 26 Planteo, Desarrollo, Respuesta
y yh y p
a) Solución general (SG): y h: la ec es: por lo que:
r 2 4.r 13 0
(r1;r 2 )
4 4 2 4.1.13 4 16 52 4 j. 36 2 j.3 2.1 2 2
yh C1.er1.x C2 .er2 .x C1.e(2 j.3).x C2 .e(2 j.3).x e2.x .(C1.e j.3.x C2 .e j.3.x )
y como trigonométrica: Búsqueda de y p : UTN
yh e2.x .[k1.Cos(3.x) k2 .Sen(3.x)] Se selecciona:
Fac ult ad Reg io na l Cór doba
553
y p x m .( A.e2.x B)
donde
P r of . I ng . M i g ue l Á n g e l R a m a d á n
m=0
porque ninguna raíz de la ec es igual a 2 (exponente de la exponencial de f(x));
y p A.e2.x B
entonces:
y ' ' 4. A.e 2. x
y' 2. A.e2.x
Comparación:
4. A.e2.x 8. A.e2.x 13.( A.e2.x B) 9. A.e2.x 13.B
entonces, el primer miembro, es:
y pasamos a comparar con el segundo miembro:
1 A 9. A 3 3 13.B 26 B 2 Con lo que la solución particular es:
1 y e2.x .[k1.Cos(3.x) k2 .Sen(3.x)] .e2.x 2 3
Y la solución general es: * 560.-
1 y p .e2.x 2 3
*
*
*
*
*
*
Hallar, por el método de la variación de parámetros, la
y' '4. y' 12.x 2 2 cuando el problema establece que y(o) 1 y y '(o)
SP
de
31 . 8
Planteo, Desarrollo, Respuesta y yh y p
a) Solución general ( SG): y h:
la ec es: r 2 4r 0
r.(r 4) 0
r1 4
de donde:
y
r2 0
yh C1.er1.x C2 .er2 .x C1.e4.x C2 .e0.x C1.e4.x C2
por lo que: yp: Primera condición:
proponemos solución particular:
y p u( x) .e4.x v( x)
derivada primera:
y 'p u'.e4.x 4.u.e4.x v'
Segunda condición:
proponemos:
y
obtenemos
u'.e4.x v' 0
de esta forma, las dos primeras derivadas de la función propuesta son: y 'p 4.u.e4.x
En la ED:
y 'p' 4.u'.e4.x 16.u.e4.x
4.u'.e4.x 16.u.e4.x 4.(4.u.e4.x ) 12.x2 2 entonces:
4.u'.e4.x 16.u.e4.x 16.u.e4.x 12.x2 2
luego: Armamos:
y
4.u'.e4.x 12.x2 2
4. x e .u 'v' 0 4. x 2 4.e .u '0.v' 12.x 2
de donde: UTN
Fac ult ad Reg io na l Cór doba
554
P r of . I ng . M i g ue l Á n g e l R a m a d á n
su
0
1
u ' 12.x 2 - 2 0 - 12.x 2 2 1 6.x 2 4.x u' e 2 4.e 4.x e 4. x 1 4.e 4.x
e 4.x v'
0
0
v' 4.e 4.x 12.x 2 - 2 (12.x 2 2).e 4.x 6.x 2 1 2 4.e 4.x e 4.x 1 4.e 4.x
0
Cálculo de u y de v, considerando la tercera condición (de las ctes. de u
int.):
(1 6 x 2 ) e 4. x 3 3 1 .dx e 4. x .[ x 2 x ] 2 4 8 32
v
6.x 2 1 x .dx x3 2 2
En consecuencia, la solución particular, es: 3 3 1 x 3 1 1 y p u( x ) .e 4. x v( x ) e 4. x .[ x 2 x ].e 4. x x 3 x 3 x 2 x 4 8 32 2 4 8 32
por lo que la solución general S G de la ecuación diferencial dada es: 3 1 1 3. x 2 1 y C1 e 4. x C2 x 3 x 2 x C1 e 4. x C3 x 3 x 4 8 32 4 8
que derivaremos para poder aplicar las condiciones del problema: y' 4 C1 e4.x 3 x 2
3.x 1 2 8
2 1 4.0 3 3.0 C3 0 0 1 C1 e 4 8 31 4 C e 4.0 3 0 2 3.0 1 1 8 2 8
C1 C3 1 31 1 8 4 C1 8
1 1 4 0 1 4 C1 1 1 1 4 4 0
entonces:
561.-
Hallar,
por
* el
*
mét odo
y e4.x x3
* de
1 1 3 4 4 8 C3 2 1 1 4 4 0
y
con lo que la solución particular SP es: *
C1 C3 1 4 4 C1 0 C3
*
*
selección
3.x 2 1 x2 4 8
* y
comparación ,
y' '4. y' 12.x 2 2 cuando el problema establece que y(o) 1 y y '(o) UTN
Fac ult ad Reg io na l Cór doba
555
la
31 . 8
P r of . I ng . M i g ue l Á n g e l R a m a d á n
SP
de
Planteo, Desarrollo, Respuesta y yh y p
a) Solución general (SG): y h:
la ec es:
por lo que:
r 2 4r 0
r.(r 4) 0
r1 4
de donde:
r2 0
y
yh C1.er1.x C2 .er2 .x C1.e4.x C2 .e0.x C1.e4.x C2
yp: Selección: Como hay una raí z nula en la ec , es m=1, y proponemos: y p x m ( A.x 2 B.x C ) x ( A.x 2 B.x C ) A.x3 B.x 2 C.x
Comparación: y 'p 3. A.x 2 2.B.x C
y 'p' 6. A.x 2.B
y
luego, en la ED, sustituimos y llevamos a la mínima expresión el primer miembro:
6. A.x 2.B 4.(3. A.x2 2.B.x C ) 12. A.x 2 (6. A 8.B).x (2.B 4.C )
y ahora comparamos ambos miembros de la ED: 12. A.x 2 (6. A 8.B).x (2.B 4.C ) 12.x 2 2
A1
obteniendo:
B
y p x3
En consecuencia, la solución particular, es:
3 4
C
3. x 2 1 x 4 8
por lo que la solución general SG de la ecuación diferencial dada es: y C1 e4.x C2 x3
3.x 2 1 x 4 8
que derivaremos para poder apl icar las condiciones del problema: y' 4 C1 e4.x 3 x 2
3.x 1 2 8
3.0 2 1 4.0 C3 0 3 0 1 C1 e 4 8 31 4 C e 4.0 3 0 2 3.0 1 1 8 2 8
C1 C3 1 31 1 8 4 C1 8
1 1 4 0 1 4 C1 1 1 1 4 4 0
UTN
*
*
Fac ult ad Reg io na l Cór doba
1 1 3 4 4 8 C3 2 1 1 4 4 0
y
y e
con lo que la solución particular SP es: *
C1 C3 1 4 4 C1 0 C3
*
* 556
4. x
3.x 2 1 x x2 4 8 3
*
*
P r of . I ng . M i g ue l Á n g e l R a m a d á n
1 8
562.-
Hallar, por
el
método
de
selección
y
comparació n, la
SP
de
y' '2. y'3. y e2.x 3.x para CI tales que y(o) 1 y y '(o) 2 . Planteo, Desarrollo, Respuesta y yh y p
a) Solución general (SG): y h:
r 2 2.r 3 0
la ec es:
r1 1
y
r2 3
2 4 4.3 (1;3) 2
(r1; r2 )
de donde:
yh C1.er1.x C2 .er2 .x C1.e x C2 .e3.x
por lo que:
yp: Selección: Como no hay raíz nula en la ec, y tampoco una raíz igual a 2, es m=0, y es y p x n . A.e2.x x m .( B.x C ) A.e2.x B.x C
n=0, por lo que proponemos: Comparación:
y 'p 2. A.e2.x B
y 'p' 4. A.e2.x
y
luego, en la ED, sustituimos y llevamos a la mínima expresión el primer 4. A.e2.x 4. A.e2.x 2.B 3. A.e2.x 3.B.x 3.C 3. A.e2.x 3.B.x (2.B 3.C )
miembro:
y ahora comparamos ambos miembros de la ED: 3. A.e2.x 3.B.x (2.B 3.C ) e2.x 3.x
A
obteniendo:
2 1 , B 1 , C 3 3
yp
En consecuencia, la solución particular, es:
1 2. x 2 e x 3 3
1 2 y C1.e x C2 .e3.x e2.x x 3 3
luego, la SG es:
que derivaremos para poder aplicar las condicio nes del problema: 2 2.x e 1 3
y' C1 e x 3 C2 e3.x
2 3 C1 C2 11 C 3 C 1 2 3
1 0 2 0 0 1 C1 e C2 e 3 e 3 2 C e0 3 C e0 2 e0 1 1 2 3
C1
1 5 12
y
C2
con lo que la solución pa rticular SP es: y
*
UTN
*
5 x 13 3.x 1 2.x 2 .e .e e x 12 12 3 3
*
Fac ult ad Reg io na l Cór doba
*
*
557
*
*
P r of . I ng . M i g ue l Á n g e l R a m a d á n
2 13 12
U N IV E R S ID A D T E C N O L Ó G IC A N A C IO N A L
FACULTAD R E G IO N A L CÓRDOBA
Cuestionario
ANÁL I SI S MAT E MÁT I CO I I
P r o f . I ng . M i g u e l A ng e l R a m a d á n
1
¿ Q u é e s u n a e cua ci ó n di f er e n ci al ?
2
Co n ju n t o d e n so d e cu r va s: ¿ q u é e s?
3
¿ Q u é se a pli ca p ar a r e so l ve r un a EDO PO h o mo g é n e a d e g r a do ce r o?
4
L a EDO PO d e Be r n o ull í e s u n ti p o d e e cu a ci ó n di f er e n ci al li n eal . ¿ V/ F?
5
Co mb i n a ci ó n li n eal d e sol u cio n e s: ¿ qu é e s?
6
Pa r a r e sol v er u n a EDHº se u tili za l a p r o p u e sta d e sol u ció n y=U( x) . V( x) d o n d e u n a d e e ll a s ya e st á de t e r mi n a d a . ¿ V/ F ?
7
I n t e g r al d e u n a e cu a ci ó n di f e r en cial : ¿ q u é e s?
8
Ecu a ci ó n di f e r en cial a d eri va d a s pa r ci al e s: ¿ q u é e s?
9
EDO PO E xa ct a : ¿ p o r qu é se ll a ma e xa ct a ? ¿ A q u é ti p o d e e cu a ció n di f er e n ci al co r r e sp on d e ? :
10
x. y' y 2 x 0
¿ Es co r r e cto d e ci r q u e l a SG de u n a EDE t i e n e l a si g uie n t e e xp r e si ó n? : 11
U x; y P x; y x [Q x; y
P x ; y y
x ] dy C0
12
El W ro n ski a no : ¿q u é e s?
13
So l u ci ó n d e u n a e cu a ci ó n di f e r en cial : ¿ q u é e s?
14
Co n d i ci on e s i ni ci al e s de u n a EDO SO : ¿ q u é e s?
15
G r a d o de u n a e cu a ci ó n di fe r e n ci al : ¿q u é e s?
16
EDO PO : ¿ q u é e s?
17
¿ Cu á n d o la g r a fi ca d e un a SG d e un a ED e s d i scre t a ?
18
I n d iq u e el fo r ma t o t i p o d e u n a EDO SO n o h o mo g é n e a .
19
¿ Pa r a q ué si r ve el mé t o d o d e vari a ció n d e l a s con st a n t e s?
(y xy).dx ( xy x).dy
20
¿ A q u é ti p o d e e cu a ció n di f er e n ci al co r r e sp on d e ? :
21
I n d iq u e l o s fo r ma t o s co n ve ni d o s d e la s so lu cio n e s ge n e r ale s d e l a s EDO .
22
So l u ci ó n si ng ul a r d e u n a ED: ¿ q u é e s? .
23
I n d iq u e el fo r ma t o t i p o d e u n a EDO SO h o mo g é n e a .
24
Mé t o d o d e sel e cci ó n y co mp a r a ci ó n : e xp l i qu e .
25
SP d e u n a ED: ¿ q u é e s?
26
¿ Q u é se a pli ca p ar a r e so l ve r un a EDVS?
27
F o r ma t o P+Q : ¿ q u é e s?
28
En u n a EDO PO L i ne al l a s e str u ct ur a s d e P y d e Q son co n st an t e s: ¿ V/ F ?
29
Exp r e si o n e s li n e al me n t e i nd e p e nd ie nt e s: ¿ q ué si g ni fi ca ?
30
EDO PO L i n e al : ¿ p o r q u é e s lin e al ?
31
Mí n i ma e xp r e si ó n: ¿ q ué e s?
32
L a SG d e u n a EDO PO e s u n n ú me r o re a l : e xp li q u e .
33
Ecu a ci ó n ca r a ct er í sti ca : ¿ q u é e s?
34
EDO : ¿ q u é e s?
35
EDO SO : ¿ q u é e s?
36
T e o r e ma d e Ca u ch y so br e l a e xi st e n ci a de l a s EDO SO : ¿ q ué di ce ?
37
O r d e n de u n a ED: ¿ q u é e s? UTN
Fac ult ad Reg io na l Cór doba
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P r of . I ng . M i g ue l Á n g e l R a m a d á n
38 39
Co n d i ci on e s d e co n t o rn o , o d el p r oble ma : ¿ q u é e s? ¿ A q u é ti p o d e e cu a ció n di f er e n ci al co r r e sp on d e ? :
40 41
G r a fi q u e 3 SP d e la ED:
y' x2 . y'2 x y 2 x 2 x3 0
y' 2 x 2
¿ A q u é ti p o d e e cu a ció n di f er e n ci al co r r e sp on d e ? :
y' '2. y'3. y e2.x 3.x
y' '2. y' 3. y
¿ A q u é ti p o d e e cu a ció n di f er e n ci al co r r e sp on d e ? :
42
¿ A q u é ti p o d e e cu a ció n di f er e n ci al co r r e sp on d e ? : 2 2 x dx Sen(3. y ) 2 x x 2 y. 2 x 2 y2
43
*
*
*
*
*
*
.dy
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Recreo: el humor de Caloi.
UTN
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