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68 2.5 SUPERFICIES

Definición 2.5.1: Se denomina superficie al conjunto de puntos, y solamente de aquellos puntos, cuyas coordenadas satisfacen una sola ecuación de la forma F(x, y, z)= 0 (1). La definición establece que, si una ecuación F(x, y, z)= 0 representa un lugar geométrico. Análogamente una superficie puede representarse analíticamente, tal representación es una sola de la forma (1). Aunque la ecuación F(x, y, z)= 0

contiene tres variables, la ecuación de una

superficie puede contener solamente una o dos variables. Por ejemplo una ecuación de la forma x 2 + y 2 = 16

considerada en el espacio, representa un cilindro circular recto.

Toda ecuación dela forma F(x, y, z)= 0 superficie. Por ejemplo, la ecuación

no representa necesariamente una

x 2 + y 2 + 4 z 2 + 7 = 0 no representa un lugar

geométrico (no tiene solución en R ). Podemos notar también que la ecuación x2 + y2 + 4z2 = 0 tiene una solución real el origen.

Definición 2.5.2: Se dice que dos puntos son simétricos con respecto a una recta si la recta es perpendicular al segmento que las contienen en su punto medio.

Nota: La recta con respecto a la cual son simétricos los dos puntos se denomina eje simétrico. Los puntos A y B son simétrico con respecto al eje simétrico l, si la recta l es perpendicular al segmento AB en su punto medio.(ver figura)

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Definición 2.5.3: Una superficie es simétrica con respecto a una recta cuando para cada punto de la superficie existe otro punto en la superficie, tal que estos puntos son simétricos con respecto a la recta.

Definición 2.5.4: Dos puntos diferentes son simétricos con respecto a un plano δ si el plano es perpendicular al segmento que los une en su punto medio. Al plano δ se le denomina plano de simetría.

Definición 2.5.5: Una superficie es simétrica con respecto a un plano de simetría δ si el simétrico de cada punto de la superficie, respecto al plano δ, es también un punto de la superficie.

70 Definición 2.5.6: Si la ecuación de una superficie no se altera cuando, se les cambia el signo a una de las variables, la superficie es simétrica con respecto al plano coordenada asociada a las variables cuyos signos no se cambia y recíprocamente.

Definición 2.5.7: Si la ecuación de una superficie no se altera cuando, se les cambia el signo a dos de sus variables, la superficie es simétrica con respecto al eje coordenada asociada a la variable cuyo signo no se cambia y recíprocamente.

Definición 2.5.8: Si la ecuación de una superficie no se altera cuando, se les cambia el signo a sus tres variables, la superficie es simétrica con respecto al origen y recíprocamente. Resumiendo. Si la ecuación no se altera cuando las La superficie es simétrica con respecto al: variables son reemplazadas por: -x, y, z

Plano yz

x, -y, z

Plano xz

x, y, -z

Plano xy

-x, -y, z

Eje z

x, -y, -z

Eje x

-x, y, -z

Eje y

-x, -y, -z

Origen

71 Definición 2.5.9: Se denomina sección transversal o traza de una superficie S sobre un plano π, a la intersección de π con S. Ejemplo:

Discusión de la ecuación de una superficie. Es ventajoso discutir la ecuación de una superficie antes de construirla. Limitaremos nuestra discusión a los cinco pasos siguientes: 1. Intersecciones con los ejes coordenadas. 2. Trazas sobre los planos coordenados. 3. Simetría con respecto a los planos coordenadas, ejes coordenadas y el origen. 4. Secciones por planos paralelos a los planos coordenados. 5. Extensión de la superficie. Nota: Con el término extensión de la superficie queremos expresar la determinación de los intervalos para los cuales los valores de x, y, z son reales. Esta información es útil para la localización general de la superficie en el espacio R3; También indica si la superficie es cerrada o indefinida en extensión. Este estudio lo podemos hacer al despejar una de las variables en función de las otras dos.

72 2.6 SUPERFICIE CUADRÁTICA.

Definición 2.6.1: La gráfica de una ecuación de segundo grado en tres dimensiones (x,y,z) es Ax2 +By2 +Cz2+ Dxy + Exz + Fyz + Gx + Hy + Iz + J = 0 (1), es una superficie cuadrática ( excepto posiblemente en los casos donde la ecuación no tiene representación geométrica). De la ecuación general (1), si D=E=F=G=H=I= 0 y

j < 0

se tiene que

A x2+B y2+C z2+J=0 ⇒ Ax2+By2+C z2= - J. Si A=M;B=N;C=P y - J=R .Se tiene MX2+NY2+PZ2 = R

( I ) y se obtiene en forma similar a MX2+NY2 = SZ

( II )

La de tipo ( I ) tienen centro simétrico, el origen, por lo tanto se denominan cuadráticas con centro. Las de tipo ( II ) no tienen centro simétrico y se llaman cuadrática sin centro. Nota: se denomina centro simétrico cuando es simétrico con los eje coordenados, con los planos

CUADRÁTICAS CON CENTRO. Pueden ser escritas de la siguiente forma:

x2 y2 z 2 ± ± =1 y a 2 b2 c2

x2 y2 z 2 ± ± =0 a 2 b2 c 2

Definición 2.6.2 (Elipsoide). La gráfica de cualquier ecuación de la forma

x2 y2 z 2 + + = 1 (a > 0, b > 0, c > 0) a 2 b2 c2

Es un Elipsoide y su nombre se debe a que al realizar los cortes transversales (traza) obtenemos ecuaciones de elipses.

73 INTERSECCIONES CON LOS EJES COORDENADOS. Si y = z = 0 eje x

tenemos P1(a,0,0) y P2(-a,0,0) son los puntos de cortes

Si x = z = 0 eje y tenemos P3(0,b,0) y P4(0,-b,0) son los puntos de cortes Si x = y = 0 eje z

TRAZAS:

tenemos P5(0,0,c) y P6(0,0,-c) son los puntos de cortes

Las trazas del elipsoide en los tres planos coordenados se indican en la siguiente tabla:

TRAZA

z=0 Plano xy

ECUACIÓN

x2 y2 + =1 a2 b2

OBSERVACIONES

GRÁFICAS

Elipse

b>a

y=0 Plano xz

x2 z 2 + =1 a 2 c2

Elipse

c>a

x=0 Plano yz

y2 z2 + =1 b2 c2

Elipse

c>b

Para encontrar la traza en un plano arbitrario z = k paralelo al plano xy tenemos x2 y2 k2 + = 1− 2 a2 b2 c

c>k

74

Si

k > c ⇒ 1−

k2 0 y por lo tanto la traza en z = k es una elipse. c2

y no hay gráfica

Gráfico del Elipsoide

Grafico realizado con MAPLE V SIMETRÍA. Simétrica con todos los ejes coordenados. Simétrica con todos los planos coordenados. Simétrica con el origen.

EXTENSIÓN : Es limitada. Nota : El eje principal viene dado por el denominador mayor, en la gráfica anterior el eje principal es z porque c es mayor que a y b.

75 Elipsoide en el eje x

Elipsoide en el eje y

Gráficos realizados con MAPLE V Definición 2.6.3 (Hiperboloide Elíptico de un manto) Las gráficas de la ecuaciones de las formas

y

−

x2 y2 z2 x2 y2 z2 + − =1 ; 2 − 2 + 2 =1 a2 b2 c2 a b c

x2 y2 z 2 + + = 1 (con a >0 , b > 0 , c > 0 ) se llama Hiperboloide Elíptico de un a 2 b2 c2

manto y su nombre se debe que al realizar los cortes transversales ( trazas ) se obtienen Hipérbolas y Elipses. El eje principal es la variable con signo negativo.

x2 y2 z2 Estudiaremos a 2 + 2 − 2 = 1 ; Donde el eje principal es z. a b c

INTERSECCIÓN CON LOS EJES COORDENADOS. Si y = z = 0 eje x

tenemos que P1(a,0,0) y P2(-a,0,0) son los puntos de cortes.

Si x = z = 0 eje y tenemos P3(0,b,0) y P4(0,-b,0) son los puntos de cortes. En el eje z: no hay intersección.

76 TRAZAS. TRAZA

ECUACIÓN

OBSERVACIONES

x2 y2 + =1 a2 b2

Elipse

z=0 Plano xy

y=0 Plano xz

x2 z2 − =1 a2 c2

Hipérbola

x=0 Plano yz

y2 z2 − =1 b2 c2

Hipérbola

Para z = k paralelo al plano xy tiene la ecuación: x2 y2 k2 + = 1 + a2 b2 c2

Por lo tanto es una elipse.

GRAFICA

77 Gráfico del Hiperboloide Elíptico de un manto

Grafico realizado con MAPLE V SIMETRÍA. Simétrica con todos los ejes coordenados. Simétrica con todos los planos coordenados. Simétrica con el origen. EXTENSIÓN. Superficie no limitada que se extiende indefinidamente en el eje Z (eje coordenado correspondiente a la variable cuyo coeficiente en negativo).

78 Hiperboloide Elíptico de un manto Eje x

Eje y

Gráficos realizado con MAPLE V

Definición 2.6.4: (Hiperboloide Elíptico de dos manto) Las gráficas de la ecuaciones de las formas

x2 y2 z 2 x2 y2 z2 − − = 1 − + − =1 ; a 2 b2 c2 a2 b2 c2

x2 y2 z2 − 2 − 2 + 2 = 1 (con a >0 , b > 0 , c > 0 ) se llama Hiperboloide Elíptico de dos a b c mantos y su nombre se debe que al realizar los cortes transversales ( trazas ) se obtienen Hipérbolas y Elipses. El eje principal es la variable con signo positivo.

Estudiaremos a −

x2 y2 z2 + − = 1 ; Donde el eje principal es y. a2 b2 c2

79 INTERSECCION. Eje x: no hay intersección. Eje y: P1(0,b,0) y P2(0,-b,0). Eje z: no hay intersección.

TRAZAS:

Las trazas en los planos coordenados son los siguientes:

TRAZA

ECUACIÓN

OBSERVACIONES

GRAFICA

z=0 Plano xy

−

x2 y2 + =1 a2 c2

−

x2 z2 − =1 a2 c2

Hipérbola

y=0 Plano xz

x=0 Plano yz

y2 z2 − =1 b2 c2

No hay gráfica

Hipérbola

x2 k 2 z 2 x2 z2 k 2 Traza en un plano y = k, se obtiene − 2 + 2 − 2 = 1 ⇒ 2 + 2 = 2 − 1 . Si k < b a b c a c b

80 No hay intersección del plano y = k con la superficie, por lo tanto no hay puntos de la superficie entre los planos y = - b e y = b. Si k = b la intersección del plano y = k con la superficie es el punto (,0,b,0). Cuando k > b la secciones transversales de la superficie son elipses

Gráfica del Hiperboloide Elíptico de dos manto

Grafico realizado con MAPLE V SIMETRÍA. Simétrica con respecto a los ejes coordenados. Simétrica con respecto a los planos coordenados. Simétrica con respecto al origen . EXTENSIÓN. Para –b< k < b, y = k

no corta la superficie por lo tanto no es limitada, está

compuesta por dos hojas que se extienden indefinidamente.

81

Hiperboloide Elíptico de dos manto Eje x

Eje y

Gráficos realizado con MAPLE V

Definición 2.6.5: (Cono). x2 y2 z 2 x2 y 2 z 2 La gráfica de una ecuación de la forma 2 + 2 − 2 = 0 ; 2 − 2 + 2 = 0 y a b c a b c −

x2 y 2 z2 + + =0 a2 b2 c2

se llama Cono Elíptico (o Circular, a = b ) .Un cono (dos mantos)

puede considerarse como un hiperboloide degenerativo que se obtiene al sustituir al 1 por el 0. Estudiaremos a la ecuación

x2 y2 z 2 + − =0 a 2 b2 c2

82 TRAZAS. TRAZA

ECUACIÓN

OBSERVACIONES

GRAFICA y

z=0 Plano xy

x2 y 2 + =0 a 2 b2

x

Origen

z y=0 Plano xz

x2 z 2 − =0 a2 c2

Las rectas c z=± x a

x

z x=0 Plano yz

y2 z2 − =0 a2 c2

Las rectas c z=± y a

La traza z = k paralelo al plano xy tiene la ecuación una elipse.

y

x2 y2 k 2 + = , Por lo tanto es a2 b2 c2

83 Grafica del Cono

SUPERFICIE CUADRÁTICA SIN CENTRO.

En esta parte se considera las cuadráticas sin centro representada por la ecuación Mx2+Ny2=Sz en donde todos los coeficientes son diferentes de cero. Se puede entonces

escribir esta ecuación en la forma

±

x2 y2 ± = cz (1) llamada forma ordinaria de una a 2 b2

superficie cuadrática sin centro. De la ecuación (1) se deduce que las cuadráticas sin centro tiene dos planos de simetría (los planos yz y xz ) llamados planos principales y un eje simétrico ( el eje z ) llamado eje principal, pero ningún centro de simetría. Con las diversas combinaciones posibles de signo en la ecuación ( 1 ) , se deduce que hay dos tipos de superficies ( el Paraboloide Elíptico y el Paraboloide Hiperbólico ).

84 Definición 2.6.6: ( Paraboloide Elíptico ) Las graficas de las ecuaciones de las formas:

x2 y2 + = cz ; a2 b2

x2 z 2 + = by a2 c2

y

y2 z2 + = ax se llaman Paraboloide Elíptico y su nombre se debe a que al realizar los b2 c 2

cortes trasversales se obtienen Parábolas y Elipses. Además, los coeficientes de los términos de segundo grado son del mismo signo. x2 y2 Estudiaremos la ecuación 2 + 2 = cz a b

INTERSECCION: La superficie pasa por el origen. No hay otras intercepciones con los ejes coordenados. TRAZAS. TRAZA

ECUACIÓN

OBSERVACIONES

GRAFICA y

z=0 Plano xy

x2 y 2 + =0 a 2 b2

Origen

x2 = cz a2

Parábola

y=0 Plano xz

x

85

x=0 y2 = cz b2

Plano yz

Para z = k tenemos

Parábola

x2 y2 + = ck es una elipse. Si ck > 0 a2 b2

SIMETRÍA: Simétrica con respecto a los planos yz y xz

y el eje principal es z.

EXTENSIÓN: Si c>0 se extiende sobre el plano xy (abre hacia arriba). Si c with(plots):# Se encuentra cargado la libreria Warning, the name changecoords has been redefined

> implicitplot3d(36*x^2+9*y^2+4*z^2=36,x=-2..2,y=-3..3,z=-

4..4);

93 > implicitplot3d(y^2/16-x^2/4=z/9,x=-2..2,y=-4..4,z=-3..3);

Ahora con a traza z=2 e y=1 > implicitplot3d({y^2/16-x^2/4=z/9,z=2,y=1},x=-2..2,y=-

4..4,z=-3..3);

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EJERCICIOS PROPUESTOS 1.- Identifique y trace a grafica de las siguientes superficies cuadráticas: a) 9 x 2 + 36 y 2 + 4 z 2 = 36

Resp: Elipsoide.

b) x 2 + y 2 − z 2 = −4

Resp: Hiperboloide de dos Mantos.

c) 36 x 2 − y 2 + 9 z 2 = 144

Resp: Hiperboloide de un Manto.

d) − 9 x 2 + 16 y 2 = 144 z

Resp: Paraboloide Hiperbólico.

e) z = 3 + x 2 + y 2

Resp: Paraboloide circular fuera del origen

f) x 2 + y 2 − z 2 − 8 x − 12 y + 7 = 0

Resp: Hiperboloide de un Manto fuera del origen

g) x 2 + 16 z 2 = 4 y 2 − 16

Resp: Hiperboloide de dos mantos.

h) x 2 / 36 − z 2 / 25 = 9 y

Resp: Silla de montar.

i) x 2 = y 2 − z 2

Resp: Cono.

2.- Encontrar los elementos de la grafica que se obtiene al graficar x 2 / 9 − y 2 / 4 = z / 9 con la traza y = 2. 3.- Encontrar el área de la sección plana formada por la intersección del plano y = 3 con la superficie cuadrática x 2 / 9 + y 2 / 4 = z / 9 . 4.- Realice los ejercicios del 1 al 3 con el software MAPLE V.