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• Santiago Ospina Rivas

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CAPÍTULO 11

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Vectores y la geometría del espacio

11.6 Superficies en el espacio n n n

Reconocer y dar las ecuaciones de superficies cilíndricas. Reconocer y dar las ecuaciones de superficies cuádricas. Reconocer y dar las ecuaciones de superficies de revolución.

Superficies cilíndricas z

Las primeras cinco secciones de este capítulo contienen la parte vectorial de los conocimientos preliminares necesarios para el estudio del cálculo vectorial y del cálculo en el espacio. En ésta y en la próxima sección, se estudian superficies en el espacio y sistemas alternativos de coordenadas para el espacio. Ya se han estudiado dos tipos especiales de superficies. y

x

1. Esferas: sx 2 x0d2 1 s y 2 y0d2 1 sz 2 z0d2 5 r 2 2. Planos: ax 1 by 1 cz 1 d 5 0

Sección 11.2. Sección 11.5.

Un tercer tipo de superficie en el espacio son las llamadas superficies cilíndricas, o simplemente cilindros. Para definir un cilindro, considerar el familiar cilindro circular recto mostrado en la figura 11.56. Se puede imaginar que este cilindro es generado por una recta vertical que se mueve alrededor del círculo x2 1 y 2 5 a2 que se encuentra en el plano xy. A este círculo se le llama curva directriz (o curva generadora).

Cilindro circular recto: x2 + y2 = a2

Las rectas generatrices son paralelas al eje z Figura 11.56

DEFINICIÓN DE UN CILINDRO Sea C una curva en un plano y sea L una recta no paralela a ese plano. Al conjunto de todas las rectas paralelas a L que cortan a C se le llama un cilindro. A C se le llama la curva generadora (o la directriz) del cilindro y a las rectas paralelas se les llama rectas generatrices.

Recta generatriz que corta a C

z

Curva directriz C

NOTA Sin pérdida de generalidad, se puede suponer que C se encuentra en uno de los tres planos coordenados. En este texto se restringe la discusión a cilindros rectos, es decir, a cilindros cuyas (rectas) generatrices son perpendiculares al plano coordenado que contiene a C, como se muestra en la figura 11.57. n

La ecuación de la (curva) directriz del cilindro circular recto mostrado en la figura 11.56 es x y

Cilindro: las rectas generatrices cortan a C y son paralelas a la recta dada Figura 11.57

x2 1 y 2 5 a2.

Ecuación de la curva directriz en el plano xy.

Para encontrar una ecuación del cilindro, hay que observar que se puede generar cualquiera de las (rectas) generatrices fijando los valores de x y y y dejando que z tome todos los valores reales. En este caso, el valor de z es arbitrario y, por consiguiente, no está incluido en la ecuación. En otras palabras, la ecuación de este cilindro simplemente es la ecuación de su curva generadora o directriz. x2 1 y 2 5 a2

Ecuación de un cilindro en el espacio.

ECUACIÓN DE UN CILINDRO La ecuación de un cilindro cuyas rectas generatrices son paralelas a uno de los ejes coordenados contiene sólo las variables correspondientes a los otros dos ejes.

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SECCIÓN 11.6

EJEMPLO 1

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Superficies en el espacio

Trazado de cilindros

Trazar la superficie representada por cada una de las ecuaciones. a) z 5 y 2

b) z 5 sen x, 0 ≤ x ≤ 2p

Solución a) La gráfica es un cilindro cuya directriz, z 5 y 2, es una parábola en el plano yz. Las generatrices del cilindro son paralelas al eje x, como se muestra en la figura 11.58a. b) La gráfica es un cilindro generado por la curva del seno en el plano xz. Las generatrices son paralelas al eje y, como se muestra en la figura 11.58b.

La directriz C está en el plano yz

La directriz C está en el plano xz

z

z 1

y π

y x x

Cilindro: z = y2 a) Las generatrices son paralelas al eje x

Cilindro: z = sen x b) Las generatrices son paralelas al eje y

Figura 11.58

Superficies cuádricas AYUDA DE ESTUDIO En la tabla de las páginas 814 y 815 se muestra sólo una de las varias orientaciones posibles de cada superficie cuádrica. Si la superficie está orientada a lo largo de un eje diferente, su ecuación estándar cambiará consecuentemente, como se ilustra en los ejemplos 2 y 3. El hecho de que los dos tipos de paraboloides tengan una variable elevada a la primera potencia puede ser útil al clasificar las superficies cuádricas. Los otros cuatro tipos de superficies cuádricas básicas tienen ecuaciones que son de segundo grado en las tres variables.

El cuarto tipo básico de superficies en el espacio son las superficies cuádricas. Éstas son los análogos tridimensionales de las secciones cónicas.

SUPERFICIES CUÁDRICAS La ecuación de una superficie cuádrica en el espacio es una ecuación de segundo grado en tres variables. La forma general de la ecuación es Ax2 1 By2 1 Cz2 1 Dxy 1 Exz 1 Fyz 1 Gx 1 Hy 1 Iz 1 J 5 0. Hay seis tipos básicos de superficies cuádricas: elipsoide, hiperboloide de una hoja, hiperboloide de dos hojas, cono elíptico, paraboloide elíptico y paraboloide hiperbólico.

A la intersección de una superficie con un plano se le llama la traza de la superficie en el plano. Para visualizar una superficie en el espacio, es útil determinar sus trazas en algunos planos elegidos inteligentemente. Las trazas de las superficies cuádricas son cónicas. Estas trazas, junto con la forma canónica o estándar de la ecuación de cada superficie cuádrica, se muestran en la tabla de las páginas 814 y 815.

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CAPÍTULO 11

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Vectores y la geometría del espacio

Elipsoide

z

z

Traza

y x

Traza yz

Traza xz

x2 y2 z2 1 21 251 2 a b c Plano

Elipse Paralelo al plano xy Elipse Paralelo al plano xz Elipse Paralelo al plano yz La superficie es una esfera si a 5 b 5 c Þ 0.

y x

Traza xy

Hiperboloide de una hoja z

z

x2 y2 z2 1 22 251 2 a b c Traza

Plano

Elipse Hipérbola Hipérbola

Paralelo al plano xy Paralelo al plano xz Paralelo al plano yz

El eje del hiperboloide corresponde a la variable cuyo coeficiente es negativo.

y x

Traza xy

y

x

Traza yz

Traza xz

Hiperboloide de dos hojas z

x

Traza yz

z2 x2 y2 2 22 251 2 c a b

y

Traza

Plano

Elipse Hipérbola Hipérbola

Paralelo al plano xy Paralelo al plano xz Paralelo al plano yz

El eje del hiperboloide corresponde a la variable cuyo coeficiente es positivo. No hay traza en el plano coordenado perpendicular a este eje.

x

Paralela al plano xy

z

Traza xz

No hay traza xy y

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Página 815

SECCIÓN 11.6

Cono elíptico

z 2

2

z

Traza xz

2

x y z ⫹ ⫺ ⫽0 a2 b2 c2

y x

Traza

Plano

Elipse Hipérbola Hipérbola

Paralelo al plano xy Paralelo al plano xz Paralelo al plano yz

El eje del cono corresponde a la variable cuyo coeficiente es negativo. Las trazas en los planos coordenados paralelos a este eje son rectas que se cortan.

815

Superficies en el espacio

Traza xy (un punto) y x

Paralelo al plano xy

Traza yz

Paraboloide elíptico z

z⫽

x2 y2 2 ⫹ 2 a b

Traza

Plano

Elipse Parábola Parábola

Paralelo al plano xy Paralelo al plano xz Paralelo al plano yz

El eje del paraboloide corresponde a la variable elevada a la primera potencia.

z

Paralelo al plano xy

y

x

Traza xz

Traza yz

Traza xy (un punto)

x

y

Paraboloide hiperbólica z

z⫽

y x

y2 x2 ⫺ 2 2 b a

Traza

Plano

Hipérbola Parábola Parábola

Paralelo al plano xy Paralelo al plano xz Paralelo al plano yz

z

Traza yz

y x

El eje del paraboloide corresponde a la variable elevada a la primera potencia. Paralelo al plano xy Traza xz

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CAPÍTULO 11

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Vectores y la geometría del espacio

Para clasificar una superficie cuádrica, se empieza por escribir la superficie en la forma canónica o estándar. Después, se determinan varias trazas en los planos coordenados o en planos paralelos a los planos coordenados. EJEMPLO 2

Trazado de una superficie cuádrica

Clasificar y dibujar la superficie dada por 4x 2 2 3y 2 1 12z2 1 12 5 0. Solución

Se empieza por escribir la ecuación en forma canónica o estándar.

4x 2 2 3y 2 1 12z 2 1 12 5 0 x2 23 y2 z2 − =1 4 1

1

y2 4

Escribir la ecuación original.

2 z2 2 1 5 0

Dividir entre 212.

y 2 x 2 z2 2 2 51 4 3 1

z

y2 x2 − =1 4 3

3

Forma canónica o estándar.

De la tabla en las páginas 814 y 815 se puede concluir que la superficie es un hiperboloide de dos hojas con el eje y como su eje. Para esbozar la gráfica de esta superficie, conviene hallar las trazas en los planos coordenados.

2 1

4 x

3

2

1

2

y

Traza xy sz 5 0d:

y2 x2 2 51 4 3

Hipérbola.

Traza xz s y 5 0d:

x2 z2 1 5 21 3 1

No hay traza.

Traza yx sx 5 0d:

y2 z2 2 51 4 1

Hipérbola.

Hiperboloide de dos hojas: y2 x2 − − z2 = 1 4 3

Figura 11.59

La gráfica se muestra en la figura 11.59. EJEMPLO 3

Trazado de una superficie cuádrica

Clasificar y dibujar la superficie dada por x 2 y 2 2 4z 2 5 0. Paraboloide elíptico: x = y2 + 4z2

z

Solución Como x está elevada sólo a la primera potencia, la superficie es un paraboloide. El eje del paraboloide es el eje x. En la forma canónica o estándar, la ecuación es

2 −4

x = y2 2

4

y

x 5 y2 1 4z2.

Forma canónica o estándar.

Algunas trazas útiles son las siguientes. y2 + z2 = 1 4 1

10 x

x = 4z2

Figura 11.60

Traza xy s z 5 0d:

x 5 y2

Parábola.

Traza xz s y 5 0d:

x5

Parábola.

Paralelo al plano yz sx 5 4d:

y2 4

4z2

1

z2 1

51

Elipse.

La superficie es un paraboloide elíptico, como se muestra en la figura 11.60. Algunas ecuaciones de segundo grado en x, y y z no representan ninguno de los tipos básicos de superficies cuádricas. He aquí dos ejemplos. x2 1 y2 1 z2 5 0 x2 1 y2 5 1

Un único punto. Cilindro recto circular.

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SECCIÓN 11.6

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Superficies en el espacio

En el caso de una superficie cuádrica no centrada en el origen, se puede formar la ecuación estándar completando cuadrados, como se muestra en el ejemplo 4. (x − 2)2 (y + 1)2 (z − 1)2 + + =1 4 2 4

EJEMPLO 4

Una superficie cuádrica no centrada en el origen

z

Clasificar y dibujar la superficie dada por 3

x 2 1 2y 2 1 z2 2 4x 1 4y 2 2z 1 3 5 0. Solución

(2, −1, 1)

1

Al completar el cuadrado de cada variable se obtiene:

sx2 2 4x 1 d 1 2s y 2 1 2y 1 d 1 sz2 2 2z 1 d 5 23 sx2 2 4x 1 4d 1 2s y 2 1 2y 1 1d 1 sz2 2 2z 1 1d 5 23 1 4 1 2 1 1 sx 2 2d2 1 2s y 1 1d2 1 sz 2 1d2 5 4 sx 2 2d2 s y 1 1d2 sz 2 1d2 1 1 51 4 2 4

y

−1 5 x

Un elipsoide centrado en s2, 2 1, 1d Figura 11.61

En esta ecuación se puede ver que la superficie cuádrica es un elipsoide centrado en el punto (2, 21, 1). Su gráfica se muestra en la figura 11.61. Un sistema algebraico por computadora puede ayudar a visualizar una superficie en el espacio.* La mayoría de estos sistemas algebraicos por computadora crean ilusiones tridimensionales dibujando varias trazas de la superficie y aplicando una rutina de “línea oculta” que borra las porciones de la superficie situadas detrás de otras. Abajo se muestran dos ejemplos de figuras que se generaron con Mathematica.

TECNOLOGÍA

z

z

y y x

x Creado con Mathematica

Paraboloide elíptico y2 z2 x5 1 2 2

Creado con Mathematica

Paraboloide hiperbólico y2 x2 z5 2 16 16

Usar una herramienta de graficación para representar una superficie en el espacio requiere práctica. En primer lugar, se debe saber lo suficiente sobre la superficie en cuestión para poder especificar que dé una vista representativa de la superficie. También, a menudo se puede mejorar la vista de una superficie girando los ejes. Por ejemplo, se observa que el paraboloide elíptico de la figura se ve desde un punto más “alto” que el utilizado para ver el paraboloide hiperbólico.

* Algunas graficadoras 3-D requieren que se den las superficies mediante ecuaciones paramétricas. Para un análisis de esta técnica, ver la sección 15.5.

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CAPÍTULO 11

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Vectores y la geometría del espacio

Superficies de revolución Sección circular

z

El quinto tipo especial de superficie que se estudiará se llama superficie de revolución. En la sección 7.4 se estudió un método para encontrar el área de tales superficies. Ahora se verá un procedimiento para hallar su ecuación. Considerar la gráfica de la función radio

Curva generadora o directriz y = r(z) (0, 0, z) (0, r(z), z)

(x, y, z)

y 5 r szd

Curva generadora o directriz.

r (z)

y

en el plano yz. Si esta gráfica se gira sobre el eje z, forma una superficie de revolución, como se muestra en la figura 11.62. La traza de la superficie en el plano z 5 z 0 es un círculo cuyo radio es r sz0d y cuya ecuación es x 2 1 y 2 5 fr sz 0dg 2.

Traza circular en el plano: z 5 z 0.

x

Sustituyendo z 0 por z se obtiene una ecuación que es válida para todos los valores de z. De manera similar, se pueden obtener ecuaciones de superficies de revolución para los otros dos ejes, y los resultados se resumen como sigue.

Figura 11.62

SUPERFICIE DE REVOLUCIÓN Si la gráfica de una función radio r se gira sobre uno de los ejes coordenados, la ecuación de la superficie de revolución resultante tiene una de las formas siguientes. 1. Girada sobre el eje x: y 2 1 z2 5 frsxdg 2 2. Girada sobre el eje y: x 2 1 z2 5 frs ydg 2 3. Girada sobre el eje z: x 2 1 y 2 5 fr szdg 2

EJEMPLO 5

Hallar una ecuación para una superficie de revolución

a) Una ecuación para la superficie de revolución generada al girar la gráfica de y5

1 z

Función radio.

en torno al eje z es x2 1 y2 5 fr szdg 2

z

Superficie: x2 + z2 = 1 y3 9

x2 1 y2 5

11z 2 .

Girada en torno al eje z.

2

Sustituir r(z) para 1/z.

b) Para encontrar una ecuación para la superficie generada al girar la gráfica de 9x2 5 y3 en torno al eje y, se despeja x en términos de y. Así se obtiene y x

x 5 13 y 3y2 5 r s yd.

Función radio.

Por tanto, la ecuación para esta superficie es

Curva generadora o directriz 9x2 = y3

Figura 11.63

x2 1 z2 5 fr s ydg 2

Girada en torno al eje y.

x2 1 z2 5 s

Sustituir 13 y 3y2 para r syd.

d

1 3y2 2 3y

x2 1 z2 5 19 y 3.

Ecuación de la superficie.

La gráfica se muestra en la figura 11.63.

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SECCIÓN 11.6

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Superficies en el espacio

La curva generadora o directriz de una superficie de revolución no es única. Por ejemplo, la superficie x2 1 z2 5 e22y puede generarse al girar la gráfica de x 5 e2y en torno al eje y o la gráfica de z 5 e2y sobre el eje y, como se muestra en la figura 11.64. z

z

Superficie: x2 + z2 = e−2y

Curva generadora o directriz en el plano yz z = e−y

y x

y x

Curva generadora o directriz en el plano xy x = e−y

Figura 11.64

EJEMPLO 6

Hallar una directriz para una superficie de revolución

Hallar una directriz y el eje de revolución de la superficie dada por x2 1 3y2 1 z2 5 9. Directriz en el plano xy x=

9 − 3y2

z

Directriz en el plano yz z=

Solución

9 − 3y2

Se sabe ahora que la ecuación tiene una de las formas siguientes.

x2 1 y2 5 fr szdg 2 y2 1 z2 5 fr sxdg 2 x2 1 z2 5 fr s ydg 2

Girada en torno al eje z. Girada en torno al eje x. Girada en torno al eje y.

Como los coeficientes de x2 y z2 son iguales, se debe elegir la tercera forma y escribir x2 1 z2 5 9 2 3y 2. y

El eje y es el eje de revolución. Se puede elegir una directriz de las trazas siguientes. x

x2 5 9 2 3y2 z2 5 9 2 3y 2

Traza en el plano xy. Traza en el plano yz.

Por ejemplo, usando la primer traza, la directriz es la semielipse dada por Superficie: x2 + 3y2 + z2 = 9

Figura 11.65

x 5 !9 2 3y2.

Directriz.

La gráfica de esta superficie se muestra en la figura 11.65.

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CAPÍTULO 11

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Vectores y la geometría del espacio

11.6 Ejercicios c)

En los ejercicios 1 a 6, asociar la ecuación con su gráfica. [Las gráficas están marcadas a), b), c), d), e) y f).] a)

b)

z

z y

6

3 2

4

x

2

3 x

56

4

y

y

4

x

−3

x

Figuras para 17 CAS

z

c)

z

d)

−5

4

b) s0, 10, 0d

2

c) s10, 10, 10d

2

4

5

x

y

z

e)

1.

3 2

21. 16x 2

y

4

5

−3

4

4

5. 4x 2 2 4y 1 z 2 5 0

11.

x2

13. 4x 2 15. z

y

0

12.

y2

y2

4

14. y 2

sen y

0

16. z

2 z2 z

25

ey

z

b)

z2 25 18y2

26. z

27. x 2

y2

z

0

28. 3z

32. 9x CAS

y2

x2

y

2

16z 2 9z

2

32x 54x

36y 4y

54z

35. z 2

0

2z 2

0 4

0

En los ejercicios 33 a 42, usar un sistema algebraico por computadora para representar gráficamente la superficie. (Sugerencia: Puede ser necesario despejar z y considerar dos ecuaciones al representar gráficamente la superficie.) 33. z

16

1

x2

2y 2

36

2

4y 2 y2

30. x 2

9

9y 2

2

x2

1 18z2

y2 4

x2

6

z2

17. Para pensar Las cuatro figuras son gráficas de la superficie cuádrica z 5 x 2 1 y 2. Asociar cada una de las cuatro gráficas con el punto en el espacio desde el cual se ve el paraboloide. Los cuatro puntos son (0, 0, 20), (0, 20, 0), (20, 0, 0) y (10, 10, 20). a)

24. z 2

1 0

31. 16x 2

10. x 2

9

z2

y2 25

8x2

22.

z2

4. y 2 5 4x 2 1 9z 2

8. z

z2

y2

4

x2 16

y

29. z 2

6. 4x 2 2 y 2 1 4z 5 0

5

16z 2

20.

25. x 2

2. 15x 2 2 4y 2 1 15z 2 5 24

En los ejercicios 7 a 16, describir y dibujar la superficie. 9. y 2

1

y

x

3. 4x 2 2 y 2 1 4z 2 5 4

z2 y2

23. 4x2

x2 y2 z2 1 1 51 9 16 9

7. y

y2 4

19. x 2

z

f)

2

x

En los ejercicios 19 a 32, identificar y dibujar la superficie cuádrica. Usar un sistema algebraico por computadora para confirmar su dibujo.

y

6

x

3 2 1

4

18. Usar un sistema algebraico por computadora para representar gráficamente el cilindro y 2 1 z 2 5 4 desde cada punto. a) s10, 0, 0d

4

3

z

d)

37. x 2 39. z 41. 6x2

2 cos x x2 y2 10 4y2

34. z

7.5y 2 2 z

x2

0.5y 2 x2

36. 3.25y

z2

2

38. x 2 40. z

xy 6z2

36

42. 9x 2

y2

8

e x x2

4y 2

z

y2 8z 2

72

z

En los ejercicios 43 a 46, dibujar la región limitada por las gráficas de las ecuaciones. 43. z 5 2!x 2 1 y 2, z 5 2 44. z 5 !4 2 x 2, y 5 !4 2 x 2, x 5 0, y 5 0, z 5 0 y

x

y

45. x 2 1 y 2 5 1, x 1 z 5 2, z 5 0 46. z 5 !4 2 x 2 2 y 2, y 5 2z, z 5 0

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SECCIÓN 11.6

En los ejercicios 47 a 52, hallar una ecuación para la superficie de revolución generada al girar la curva en el plano coordenado indicado sobre el eje dado. Ecuación de la curva Plano coordenado Eje de revolución 47. z 2 5 4y

Plano yz

Eje y

48. z 5 3y

Plano yz

Eje y

49. z 5 2y

Plano yz

Eje z

50. 2z 5 !4 2 x 2

Plano xz

Eje x

51. xy 5 2

Plano xy

Eje x

52. z 5 ln y

Plano yz

Eje z

Superficies en el espacio

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64. El conjunto de todos los puntos equidistantes del punto (0, 0, 4) y del plano xy. 65. Geografía Debido a las fuerzas causadas por su rotación, la Tierra es un elipsoide oblongo y no una esfera. El radio ecuatorial es de 3 963 millas y el radio polar es de 3 950 millas. Hallar una ecuación del elipsoide. (Suponer que el centro de la Tierra está en el origen y que la traza formada por el plano z 5 0 corresponde al ecuador.) 66. Diseño de máquinas La parte superior de un buje de caucho, diseñado para absorber las vibraciones en un automóvil, es la superficie de revolución generada al girar la curva z 5 12 y2 1 1 s0 ≤ y ≤ 2d en el plano yz en torno al eje z. a) Hallar una ecuación de la superficie de revolución.

En los ejercicios 53 y 54, hallar una ecuación de una directriz dada la ecuación de su superficie de revolución. 53. x 2 1 y 2 2 2z 5 0

54. x 2 1 z 2 5 cos2 y

Desarrollo de conceptos 55. Dar la definición de un cilindro. 56. ¿Qué es la traza de una superficie? ¿Cómo encuentra una traza? 57. Identificar las seis superficies cuádricas y dar la forma estándar de cada una.

Para discusión 58. ¿Qué representa la ecuación z 5 x 2 en el plano xz? ¿Qué representa en el espacio?

b) Todas las medidas están en centímetros y el buje es fijo en el plano xy. Usar el método de capas para encontrar su volumen. c) El buje tiene un orificio de 1 centímetro de diámetro que pasa por su centro y en paralelo al eje de revolución. Hallar el volumen del buje de caucho.

67. Determinar la intersección del paraboloide hiperbólico z = y2yb2 – x2ya2 con el plano bx 1 ay 2 z 5 0. (Suponer a, b > 0.)

68. Explicar por qué la curva de intersección de las superficies x 2 1 3y 2 2 2z 2 1 2y 5 4 y 2x 2 1 6y 2 2 4z 2 2 3x 5 2 se encuentra en un plano. ¿Verdadero o falso? En los ejercicios 69 a 72, determinar si la declaración es verdadera o falsa. Si es falsa, explicar por qué o dar un ejemplo que pruebe su falsedad. 69. Una esfera es un elipsoide.

En los ejercicios 59 y 60, usar el método de las capas para encontrar el volumen del sólido que se encuentra debajo de la superficie de revolución y sobre el plano xy. 59. La curva z 5 4x 2 x 2 en el plano xz se gira en torno al eje z. 60. La curva z 5 sen sin y s0 ≤ y ≤ pd en el plano yz se gira en torno al eje z. En los ejercicios 61 y 62, analizar la traza cuando la superficie

70. La directriz de una superficie de revolución es única. 71. Todas las trazas de un elipsoide son elipses. 72. Todas las trazas de un hiperboloide de una hoja son hiperboloides. 73. Para pensar Abajo se muestran tres tipos de superficies “topológicas” clásicas. La esfera y el toro tienen “interior” y “exterior”. ¿Tiene la botella de Klein interior y exterior? Explicar.

z 5 12 x 2 1 14 y 2 se corta con los planos indicados. 61. Hallar las longitudes de los ejes mayor y menor y las coordenadas del foco de la elipse generada cuando la superficie es cortada por los planos dados por a) z 5 2 y b) z 5 8.

Esfera

Toro

62. Hallar las coordenadas del foco de la parábola formada cuando la superficie se corta con los planos dados por a) y 5 4

y

b) x 5 2.

En los ejercicios 63 y 64, hallar una ecuación de la superficie que satisface las condiciones e identificar la superficie. 63. El conjunto de todos los puntos equidistantes del punto (0, 2, 0) y del plano y 5 22.

Botella de Klein

Botella de Klein