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• Ismael Suarez

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Superficies

Cálculo Vectorial 3360

Ing. Juan Miguel Morales O

Tema Cilindros, superficies cuadráticas y superficies de revolución.

Objetivo: Identificar y graficar superficies cilíndricas, cuadráticas y de revolución.

Revisitando las Cónicas

Círculo

Definición geométrica de la circunferencia

• Es el lugar geométrico de los puntos cuya distancia a un punto fijo llamado centro es un valor constante que llamamos radio

Ecuación cartesiana de lacircunferencia

(x-a)2+(y-b)2=r2

Elipse

Definición geométrica de la elipse

• Es el lugar geométrico de los puntos del plano tales que la suma de sus distancias a dos puntos fijos llamados focos es constante

Ecuación cartesiana de la elipse

2

2

x + y =1 a 2 b2

Hipérbola

Definición geométrica de la hipérbola

• Es el lugar geométrico de los puntos del plano tales que la diferencia a dos puntos fijos llamados focos es constante

Ecuación cartesiana del hipérbola

2

2

x − y =1 a 2 b2

Parábola

Definición geométrica de la parábola

• Es el lugar geométrico de los puntos del plano tales que la distancia a un punto fijo llamado foco es igual a la distancia a una recta fija llamada directriz

Ecuación cartesiana de la parábola x2 = 4cy

Superficies Curvas en plano

Superficies en el espacio

Cónicas

¿Cuáles?

f ( x,y )=0

f ( x,y,z )=0

Algunos tipos de superficies en el espacio: Esfera Plano Superficies cilíndricas o cilindros Superficies cuadráticas Superficies de Revolución

Esfera Una esfera con centro en (x0, y0, z0) y radio r se define como el conjunto de puntos (x,y,z) cuya distancia a (x0, y0, z0) es r. La ecuación canónica de una esfera es: (x-x0)2 + (y-y0)2 + (z-z0)2 = r2.

Plano Un plano que contiene el punto P(x1, y1, z1) es el conjunto de todos los puntos Q(x, y, z) para los que el vector PQ es perpendicular a un vector n = (a, b, c) La ecuación de un plano en el espacio es: a (x-x1) + b (y-y1) + c (z-z1) = 0 (forma canónica o escalar)

a x + by + cz + d = 0 (ecuación lineal o general)

¿Qué son las Trazas? La Intercepción de una superficie S con un plano P. En particular las trazas de S con los planos coordenados. XY(z=0), XZ(y=0), YZ(x=0) z

y

x z x y z

x

y y+z-1=0 /{00) Hipérbola

az c

z2  2 k c

y 

bz c

y2 z2  2  2 k b c

Paraboloide Elíptico

x2 y2  2 z 0 2 a b Trazas xy: (z=0) Punto (z>0) Elipse

x2 y2  2 k 2 a b

xz: Parábola

x2 z  2 a

yz: Parábola

y2 z  2 b

Paraboloide Hiperbólico

y2 x2  2 z 0 2 b a

Trazas b y  x a

xy: (z=0) Recta (|z|>0) Hipérbola xz: Parábola yz: Parábola

y2 x2  2 k 2 b a

x2 z  2 a y2 z  2 b

Superficies de Revolución Si la gráfica de una curva con radio r gira en torno a uno de los ejes de coordenadas, la ecuación de la superficie resultante tiene una de las siguientes formas: 1. En torno al eje x: 2. En torno al eje y: 3. En torno al eje z:

y2 + z2 = [r(x)]2 x2 + z2 = [r(y)]2 x2 + y2 = [r(z)]2

Ejemplo de Superficies de Revolución

Al girar la gráfica de la función f(x) = x2+1 en torno al eje x

radio

se genera la gráfica de la función y2 + z2 = (x2 + 1)2

Resumen de superficies

Conos: El cono es el lugar geométrico de todos los puntos que satisfacen una relación de la forma x2 a2

+

y2 b2

-

z2 c2

= 0,

x2 a2

-

y2 b2

+

z2 c2

= 0,

-

x2 a2

+

y2 b2

+

z2 c2

=0

z

x y

Cono Elíptico

Paraboloide Eliptico El Paraboloide elíptico es el lugar geometrico de todos los puntos que satisfacen una relación de la forma. x2 y2 2 + = c z, 2 2 a b

2 2 x2 z2 y z 2 2 + = b y , + = a x 2 2 2 2 a c b c

z

x y

La ecuación general del Paraboloide elíptico en el espacio tiene la forma: ( x – h )2 a2

+

( y – k )2

= c2 ( z – j )

b2

Si a = b , se tiene un paraboloide de revolución, que se obtiene haciendo girar la traza xz alrededor del eje z.

Paraboloide Hiperbólico El Paraboloide Hiperbólico es el lugar geométrico de todos los puntos que satisfacen una relación de la forma. x2 y2 2 = c z, 2 2 a b

x2 z2 2 = b y, 2 2 a c

z

y x

y2 z2 2 = a x 2 2 b c

La ecuación general del Paraboloide Hiperbólico en el espacio tiene la forma ( x – h )2 a2

-

( y – k )2 b2

=

c2 ( z – j )

Hiperboloide de una Hoja El Hiperboloide de una Hoja es el lugar geométrico de todos los puntos que satisfacen una relación de la forma x2 y2 z2 + 2 - 2 2 a b c

= 1,

x2 y2 z2 - 2+ 2 = 1 2 a b c

z

y x

x2 y2 z2 - 2 + 2 + 2 a b c

=1

La ecuación general del Hiperboloide de una Hoja en el espacio es ( x – h )2

+

a2

( y – k )2

-

b2

(z – j)2

=

1

c2

Si a = b se tiene una superficie de revolución, haciendo girar la traza xz alrededor del eje z.

( x – h )2 a2

-

( y – k )2 b2

+

(z – j)2 c2

= 1

Hiperboloide de dos Hojas La ecuación general Hiperboloide de una Hoja en el espacio es ( x – h )2

-

a2

( y – k )2

-

(z – j)2

b2

=

1

c2

Si b = c se tiene una superficie de revolución, haciendo girar la traza xz alrededor del eje z. z

y x

El Hiperboloide de dos Hojas es el lugar geométrico de todos los puntos que satisfacen una relación de la forma x2 y2 z2 x2 y2 z2 x2 y2 z2 - 2 - 2 = 1, - 2 + 2 - 2 = 1, - 2 - 2 + 2 = 1 2 a b c a b c a b c

Ejemplo de como graficar superficies cuádricas utilizando trazas

2

2

x + y − z2=1 5 5

Procedimiento: 1-Identificar el tipo de superficie con las trazas con los planos coordenados. 2-Identificar el eje principal de la superficie 3-Obtener otras puntos trazas con planos perpendicular al eje principal (z=0,Z=2,z=-2) 3-Unir los puntos obtenidas con curvas según nos indique las trazas correspondientes 4-Un toque de sombra

Taller #1: Graficar las trazas de cada una de las superficies dadas con un plano que la corte (a)-Obtener las trazas e identificar el tipo (b)-Describir la forma de cada una de las trazas (cónicas) (c)-Graficar la superficie y la traza indicada, manualmente y utilizando una herramienta informática (d)Informe por escrito con resultados Entrega 50% (atrasado -25%) Calidad del trabajo 10% Respuesta correcta 40% Entrega: quinta semana

http://web.monroecc.edu/manila/webfiles/calcnsf/javacode/calcplot3d.htm