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• Julio Cesar Tarqui

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SOLUCIONARIO SEGUNDO PARCIAL INVESTIGACIÓN OPERATIVA II PROBLEMA N° 1.- (20%) La biblioteca pública de Springdale recibe nuevos libros de acuerdo con una distribución de Poisson con media de 25 libros por día. Cada anaquel en la estantería contiene 100 libros. Determine la probabilidad de que se requieran más de 10 libreros cada mes, si un librero se compone de 5 anaqueles. Solución: 1 librero = 5 anaqueles ∗

𝜆 = 25

100 libros = 500 libros 1 anaquel

libros 30 días 1 librero libreros ∗ ∗ = 1,5 día 1 mes 500 libros mes

Entonces se calculará la probabilidad que haya mas de 10 libreros en el mes 1 considerando que se espera una media de 1,5 libreros por mes; el modelo de nacimientos puros indica lo siguiente:

Para nuestro problema λ=1,5 libreros/mes, t (meses), para el caso específico, t = 1 mes, con estos datos se procede a sustituir: 𝑝𝑛 (1) =

(1,5 ∗ 1)𝑛 ∗ 𝑒 −1,5∗1 𝑛!

Entonces lo que se quiere calcular es: 𝑝𝑛>10 (1) = 𝑝11 (1) + 𝑝12 (1) + 𝑝13 (1) + ⋯ = 1 − (𝑝0 (1) + 𝑝1 (1) + 𝑝2 (1) + ⋯ + 𝑝10 (1)) En la tabla siguiente están las probabilidades requeridas:

n

p0(0) p1(0) p2(0) p3(0) p4(0) p5(0) p6(0) p7(0) p8(0) p9(0) p10(0) 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 suma 0,223130 0,334695 0,251021 0,125511 0,047067 0,014120 0,003530 0,000756 0,000142 0,000024 0,000004 0,999999

Entonces

𝑝𝑛>10 (1) = 1 − 0,999999 = 0,000001

PROBLEMA N° 2.- (40%) El estacionamiento para visitantes en el Colegio Ozark se limita a sólo 3 espacios. Los autos que utilizan estos espacios llegan de acuerdo con una distribución de Poisson a razón de 4 por hora. El tiempo de estacionamiento está distribuido exponencialmente con una media de 20 minutos. Los visitantes que no pueden encontrar un espacio vacío pueden esperar temporalmente en el estacionamiento hasta que un auto estacionado salga. El espacio temporal tiene cabida sólo para 2 autos. Otros que no pueden estacionarse o encontrar un espacio de espera temporal deben irse a otra parte. Determine lo siguiente: (a) La probabilidad, pn, de que haya n autos en el sistema. (b) La tasa de llegadas efectiva de los autos que por lo general utilizan el estacionamiento. (c) El promedio de autos en el estacionamiento. (d) El tiempo promedio que un auto espera un espacio de estacionamiento. (e) El promedio de espacios de estacionamiento ocupados. (f) La utilización promedio del estacionamiento. Solución:

El modelo es un caso M/M/3/5, λ =4 autos/hora; μ = 1 auto/20 minutos = 3 autos/hora a)

La probabilidad, pn, de que haya n autos en el sistema.

Tomando en cuenta las relaciones del modelo M/M/c/N, se tiene lo siguiente:

Se sabe que ρ=λ/μ entonces ρ=4/3; entonces: 4 𝑛 ( ) 3 ∗𝑝 , 0≤𝑛