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UNIVERSIDAD MAYOR DE SAN ANDRES FACULTAD DE INGENIERÍA INGENIERÍA MEC-ELM-MTR 17 de Mayo del 2018

MEC 221 – MECÁNICA DE MATERIALES SEGUNDO PARCIAL-SOL. _______________________________________________________________________________________________________________ _____________________

Ap. Paterno

Ap. Materno

Nombres

CI

Carrera

Docente

Firma

1. (20%) PROBLEMA DE DISEÑO. Un árbol macizo de un tren de laminación tiene que transmitir una potencia de 20 kW a 2 Hz. Determinar si diámetro de manera que el esfuerzo cortante máximo no exceda de 40MN/m2 y que el ángulo de torsión no exceda, en una longitud de 3m, sea cómo máximo de 6°. EL módulo de elasticidad a cortante del árbol es igual 83 GPa R.- El momento torsionante al que estará sometido el eje será: 𝑃 20000 𝑇= = = 1590 𝑁𝑚 2𝜋𝑓 2𝜋2 El diámetro basado en el esfuerzo cortante máximo será: 𝑇𝑑 3 16 ∗ 1590 3 𝑇𝑟 16𝑇 𝜏𝑀𝐴𝑋 = = 𝜋2 → 𝑑 = √ =√ = 58,7𝑚𝑚 𝐽 𝜋 ∗ 𝜏𝑀𝐴𝑋 𝜋 ∗ 40 ∗ 106 𝑑4 32 El diámetro basado en el ángulo de torsión máximo será: 𝑇𝐿 𝑇𝐿 32 ∗ 1590 ∗ 3 4 = 𝜋 →𝑑= √ = 48,6 𝑚𝑚 𝜋 𝐺𝐽 𝐺 𝑑 4 𝜋 ∗ 6° ∗ 83 ∗ 109 32 180° Se puede demostrar que el diámetro mayor satisface las dos condiciones d = 58,7 mm 𝜑=

2. (20%) Para el eje de sección circular linealmente variable como la de un cono truncado está restringido por los soportes fijos en sus extremos. Si se aplica un par de torsión 𝑀 a la mitad de su longitud, determine las reacciones en los soportes así también determine el ángulo de giro máximo experimentado

Dónde: 𝑠𝑐1: 0 < 𝑥 ≤ 𝐿 → 𝑀1(𝑥) = 𝑀𝐴 También: 𝐼𝑝 =

𝜋𝑟(𝑥) 4 2

dónde: 𝑟(𝑥) = 𝐴𝑥 + 𝐵 ; {

2𝐿 𝑀(𝑥) ∗𝑑𝑥

Por tanto:∫ 𝑑∅ = ∫0

𝐺𝐼𝑝

𝑟(0) = 𝑏 𝑏 → 𝑟(𝑥) = 𝑥 + 𝑏 2𝐿 𝑟(2𝐿) = 2𝑏

𝐿 𝑀1(𝑥) 𝑑𝑥

→ ∅ 𝑇 = ∫0

; 𝑠𝑐2: 𝐿 ≤ 𝑥 < 2𝐿 → 𝑀2(𝑥) = 𝑀𝐴 − 𝑀

𝐺𝐼𝑝

2𝐿 𝑀2(𝑥) 𝑑𝑥

+ ∫𝐿

𝐺𝐼𝑝

…….... (∗) MMC

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Pero la deformación angular total a causa de la torsión y empotramientos de ambos extremos es ∅ 𝑇 = 0 Reemplazando en (∗) se tiene 𝑀𝐴 =

37 𝑀 189

Por equilibrio del sistema: ∑ 𝑀𝑥 = 0; → −𝑀𝐴 + 𝑀 − 𝑀𝐵 = 0 → 𝑀𝐵 =

152 𝑀 189 𝐿 𝑀1(𝑥) 𝑑𝑥

El ángulo de giro máximo se presenta en:𝑥 = 𝐿 además: ∅𝑚𝑎𝑥 = ∅(𝑥=𝐿) = ∫0 𝐿

→ ∅𝑚𝑎𝑥 = ∫ 0

𝐺𝐼𝑝

𝑀𝐴 𝑑𝑥 2812 𝑀𝐿 = ∗ 4 𝜋 𝑏 𝐺 ( 𝑥 + 𝑏)4 15309 𝐺𝜋𝑏 2 2𝐿

3. (20%) Para la viga mostrada sometida a una carga distribuida de intensidad linealmente variable, determinar la magnitud que debe de tener una carga puntual 𝑃 aplicada en el punto 𝐵 para que en dicho punto el valor de la deflexión sea cero. Asumir 𝐸𝐼 conocidas. De tablas: La deflexión a causa de una carga distribuida de intensidad linealmente variable en 𝑥 = 𝐿/3 es: 𝑣(𝑥=𝐿/3) = −

4𝑞𝑜 𝐿4 = 𝑣1 729𝐸𝐼

La deflexión a causa de una carga puntual positiva en 𝑥 = 𝐿/3 es: 𝑣2 =

4𝑃𝐿3 243𝐸𝐼

Por condición del problema: 𝑣𝐵 = 𝑣1 + 𝑣2 = 0 Reemplazando: → 𝑷 =

𝒒𝒐 𝑳 𝟑

4. (20%) La carga concentrada P se aplica al extremo superior de una tubería de largo de 1 m, como se muestra en la Fig. El diámetro exterior de la tubería es D = 114 mm y el diámetro interior es d = 102 mm. Si el esfuerzo cortante permisible para la forma del tubo es de 75 MPa, determine la carga máxima P que se puede aplicar a la viga en voladizo. 𝐷 𝜋 2

𝑄 = ∫ 𝑦𝑑𝐴 = ∫ ∫ 𝑟𝑠𝑒𝑛𝜃𝑟𝑑𝑟𝑑𝜃 = 0 𝑑 2

1 (𝐷 3 − 𝑑 3 ) = 35028 𝑚𝑚3 12

𝜋 (𝐷 4 − 𝑑 4 ) = 2977287 𝑚𝑚4 64 𝑉𝑄 114 − 102 𝜏= = 75 → 𝑉 = 75 ∗ 2977287 ∗ = 76,5 𝑘𝑁 𝐼𝑏 35028 𝐼=

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5. (20%) Una viga es cargada cómo se muestra en la figura. Determine la reacción en el apoyo móvil A.

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