• Author / Uploaded
• Isela J

Citation preview

Contenido

SEGUNDO EXAMEN PARCIAL MAT 103 II/2007 .............................................................................. 1 SEGUNDO EXAMEN PARCIAL MAT 103 I/2008 ............................................................................... 6 SEGUNDO EXAMEN PARCIAL MAT 103 II/2008 ............................................................................ 10 SEGUNDO EXAMEN PARCIAL MAT 103 I/2009 ............................................................................. 14 SEGUNDO EXAMEN PARCIAL MAT 103 II/2009 ............................................................................ 20 SEGUNDO EXAMEN PARCIAL MAT 103 I/2010 ............................................................................. 25 SEGUNDO EXAMEN PARCIAL MAT 103 II/2010 ............................................................................ 29

AUX. UNIV. CRUZ MUÑOZ JHONNY

UNIVERSIDAD MAYOR DE SAN ANDRES FACULTAD DE INGENIERIA CURSO BASICO

SEGUNDO EXAMEN PARCIAL MAT 103 II/2007 Dados los subespacios S y T en el espacio vectorial P2 definidos por: y T  ax 2  bx  c  3a  2b  c  0 S  ax 2  bx  c  a  3b  2c  0 Se pide hallar S T y demostrar que también es un subespacio en P 2. 1









Solución: Para hallar S T interceptamos las características de los subespacios:

a  1 3  2   0  3 2 1  b   0 trabajando en la matriz aumentada:   c      ac 0 1 3  2 0 1 3  2 0 1 3  2 0 1 0 1 0 3 2 1 0 = 0  7 7 0 = 0 1  1 0 = 0 1  1 0  bc  0          1  3 f1  f 2  f 2  3 f 2  f1  f1    f2  f2  7 a  3b  2c  0  3a  2b  c  0

Entonces el subespacio será:





S  T  ax 2  bx  c  a  c  0  b  c  0

Para demostrar que es un subespacio hallemos dos polinomios que pertenezcan al conjunto: De las condiciones:

qx   ex 2  ex  e

a  c y b  c , los polinomios serán:

px   cx 2  cx  c ;

Verificando los axiomas: i) Clausura para la suma:

ii) Clausura para el producto:

px  qx S  T px   qx    cx 2  cx  c    ex 2  ex  e px   qx    cx 2  ex 2   cx  ex   c  e px   qx   c  ex 2  c  ex  c  e Sea: u  c  e  cumple el primer axioma px   qx   ux 2  ux  u  S T ; k  px S  T k K 2 k  px   k   cx  cx  c  k  px   k  cx 2  k  cx  k  c k  px   vx2  vx  v  S T

 S T es un subespacio en P2 1

Sea:

v  k c

 cumple el segundo axioma

UNIVERSIDAD MAYOR DE SAN ANDRES FACULTAD DE INGENIERIA CURSO BASICO 2 Para el conjunto de funciones de la forma f x   ae x  b cos x  c sen x se pide hallar los valores de la constante “k” para que el conjunto:





B  2k  1e x  2 cos x  2 sen x;2e x  2k  1cos x  2 sen x;2e x  2 cos x  2k  1sen x sea:

a) Linealmente independiente ; b) Linealmente dependiente

Solución: Sea:

B   f1 x ; f 2 x ; f 3 x  , planteamos la siguiente ecuación:

  f1 x     f 2 x     f 3 x   0e x  0 cos x  0 sen x

 2k  1e x  2 cos x  2 sen x    2e x  2k  1cos x  2 sen x    2e x  2 cos x  2k  1sen x   0e x  0 cos x  0 sen x

2k  1  2  2 e x  2  2k  1  2 cos x  2  2  2k  1 sen x  0e x  0 cos x  0 sen x Igualando coeficientes tenemos un sistema de ecuaciones:

2k  1  2  2  0 2  2k  1  2  0  2  2  2k  1  0

2 2    0  2k  1  2 2k  1 2     0   2 2 2k  1   0

Analizamos el determinante de la matriz de coeficientes por el método de chio:

2k  1 A 

2

2k  1

2

2

0 1  2k

2

2

0 2k  1 1  2k = 0 2k  1 2 2 2 2k  1 2  2k  1    f 3  f1  f1  f3  f 2  f 2  2  2 2   2k  1 2k  1 31 1  2k 2 = 22k  1 1  2k 2  A  2 1 2 2 1 2k  1 1  2k 1 2k  1 2 = 2 2k  1

2 2

  



A = 22k  1  11  2k   1 2 





2k  12

2 1  2k 2k  1

2k  12   = 22k  1 2k  1   4  4k 2  4k  1  



2

 

 



 



2

A  2k 1 4k  2  4  4k 2  4k  1  2k 1 4k 2  8k  5  2k 12k 12k  5 Igualado a cero el determinante tenemos los valores críticos a analizar:

k

 

5 1  k 2 2

a) Para que el conjunto sea linealmente independiente debe existir solución trivial al sistema asociado para lo cual debe existir inversa para la matriz de coeficientes, entonces el determinante debe ser diferente de cero:

k

1 2



k

5 2

B será L.I.

b) Por consecuencia de lo citado anteriormente el conjunto será linealmente dependiente si el determinante es igual a cero: 2

UNIVERSIDAD MAYOR DE SAN ANDRES FACULTAD DE INGENIERIA CURSO BASICO k

1 2



k

5 2

B será L.D.

 2  1  1  3   ;  1  2   4  2 

3 Hallar una base y dimensión para el subespacio ortogonal a las matrices  utilice el producto interior definido por:

a b   e  c d ;  g   

f h 

 2ae  bf  cg  2dh

x y   un vector que pertenece al subespacio pedido, como es ortogonal debe  z w

Solución: Sea  cumplir:

 x y  2  1   z w; 1  2     4 x  y  z  4w  0 ;

0 ;

 x y  1  3   z w; 4  2    

2 x  3 y  4 z  4w  0

 0 según el producto inteior:

con estas dos condiciones hallamos el subespacio

x     4  1 1  4   y  0  4 x  y  z  4 w  0   2  3 4  4  z   0 despejemos de la matriz aumentada: 2 x  3 y  4 z  4 w  0        w 4  1 1  4 2  3 4  4   3 f1  f 2  f 2

0  4  1 1  4 0  14  1 0  12 0  14 1 0 12 0 = = = 0  10 0 1 8 0  10 0 1 8 0  10 0 1 8 0 1 f1  f1  f 2  f1  f1

Interpretando el sistema tenemos:

 14 x  y  12w  0   10 x  z  8w  0



y  14 x  12w z  10 x  8w

, remplacemos en el vector dado:

x y  x y   z w   z w es el vector perteneciente al subespacio     x 14 x  12w  x 14 x   0  12w x y     , para hallar una base escribimos  z w  10 x  8w   w w      10 x 0   8w como combinación lineal de tal manera que genere a todos los vectores del subespacio:

x y   1 14  0  12  z w  x 10 0   w 8 1        3

UNIVERSIDAD MAYOR DE SAN ANDRES FACULTAD DE INGENIERIA CURSO BASICO

 1 14  0  12  B   ;   10 0   8 1  

La base será:

4

;

dim B  2

Dado el producto interior definido en IR 3 por: U ,V  u1v1  3u2v2  u3v3 , donde

U  u1 , u2 , u3  ; V  v1 , v2 , v3  . Se pide ortonormalizar la base para el subespacio en IR 3

generado por el conjunto de vectores

1,2,2; 1,1,1; 0,1,3

Solución: Hallemos el subespacio generado por el conjunto de vectores, sea x, y, z  un vector que pertenece al subespacio, este se puede escribir como combinación lineal de el conjunto generador:

 1,2,2   1,1,1   0,1,3  x, y, z 

    ,2     ,2    3   x, y, z   1 1 0    x       x       2      y   2  1 1     y  ;escalonemos la matriz aumentada para hallar el subespacio 2    3  z  2 1 3    z  

x x   1 1 0  1 1 0 x   1 1 0   2  1 1 y  =  0 1 1 y  2 x =  0 1 1 y  2 x        2 1 3 z   0 3 3 z  2 x   0 0 0 z  4 x  3 y   3 f 2  f3  f3 2 f1  f 2  f 2 2 f1  f 3  f 3 z  4x  3y  0



Inconsistencia, debe ser igual a cero

z  4 x  3 y ; reemplazando en el vector x, y, z 

x, y, z = x, y,4x  3 y = x,0,4x  0, y,3 y x, y, z = x1,0,4  y0,1,3

, al escribir como combinación lineal hallaremos un base:

, la base será: B  1,0,4; 0,1,3

Ortonormalicemos esta base por el proceso de Gram – Schmidt y el producto interior indicado: Sea: B  u1;u2  y la base ortonormal: B'  v1; v2 

v1 

u1 u1



u1 

u1 , u1 

u1 

11  300  44  4

17

4   1 ,0,  17   17

 v1  

UNIVERSIDAD MAYOR DE SAN ANDRES FACULTAD DE INGENIERIA CURSO BASICO

v2 

u2  u2 , v1 v1 u2  u2 , v1 v1

12   17  v2  0,1,3  12  17 

0,1,3 

v2 

 1   4  12 u2 , v1  0   310  3  17  17   17 



1 ,0, 17 1 ,0, 17

4   17   4   17 

0,1,3   12 ,0, 48 

 12 3    ,1,   17 17    17 17   12 3  0,1,3   12 ,0, 48    ,1,   17 17   17 17 

 12 3   12 3    ,1,    ,1,  17  12 3  17 17   17 17      ,1,  60  17 17  60  12  12   3  3        311     17  17  17   17  17 

 12 17 3  v2    , ,   1020 60 1020 

 4  12 17 3   1  B'   ,0, , , ;    17   1020 60 1020    17 

5

UNIVERSIDAD MAYOR DE SAN ANDRES FACULTAD DE INGENIERIA CURSO BASICO

SEGUNDO EXAMEN PARCIAL MAT 103 I/2008 1

Analice si W 

 x, y, z  : x  y  0  x  z  0 es subespacio de IR

3

. Encuentre una base y

su dimensión. Solución: Para demostrar que es un subespacio hallemos dos vectores que pertenezcan al conjunto: De las condiciones: y   x y

z  x , los vectores serán: a   x,  x, x  ; b   m, m, m 

Verificando los axiomas:

i) Clausura para la suma:

ii) Clausura para el producto:

a  b W a  b   x,  x, x    m, m, m 

a  b   x  m,  x  m, x  m 

Sea: u  x  m

a  b   u, u, u   W

cumple el primer axioma



; k K k  a W k  a  k   x,  x, x 

k  a   k  x,  k  x , k  x  k  a   v, v, v 

W

Sea:



v kx

cumple el segundo axioma

 W es un subespacio de IR 3

Para hallar una base trabajamos con todos los vectores

 x, y, z  del subespacio W :

 x, y, z    x, x, x   x, y, z   x  1, 1,1 El vector 1, 1,1 genera a todos los vectores del subespacio W por lo tanto la base será:

Base W   1, 1,1

6

;

dimBase W   1

UNIVERSIDAD MAYOR DE SAN ANDRES FACULTAD DE INGENIERIA CURSO BASICO 2 Para que valores de  el siguiente conjunto de vectores es una base del espacio vectorial IR 3

C  1  , 4, 4 ;  4,1  , 4  ;  4, 4,1    Solución: Para ser base debe ser linealmente independiente y generador. Planteamos la siguiente ecuación:

  1  , 4, 4     4,1  , 4     4, 4,1      0,0,0 

1     4  4 , 4  1      4 , 4  4  1       0,0,0 Igualando coeficientes tenemos un sistema de ecuaciones:

1      4  4 4  1      4 4  4  1    

0

4 4    0 1    4 1  4      0   4 4 1      0



0 0

Analizamos el determinante de la matriz de coeficientes por el método de chio:

1  A 

4 4

4

1  4 = 4 1 

 f3  f 2  f 2

A  4  1

1 

4

31

0 4

0

4

2

4

 3 3 = 0  3 4 4 4 1 

3 1 

 1     f3  f1  f1  4 

1    3 4  3

4

1    3 4

2

4

3

1    3 4 = 4    3 4 1

1





 

 

A = 4    3   1 3     1  4 

1   

2

4

2

   3    5       = 4    3   1 3       4   

5  2 2 A  4    3  1       3  9    4   Igualado a cero el determinante tenemos los valores críticos a analizar:

  3    9

Para que el conjunto sea linealmente independiente debe existir solución trivial al sistema asociado para lo cual debe existir inversa para la matriz de coeficientes, entonces el determinante debe ser diferente de cero:

 3 7



  9

UNIVERSIDAD MAYOR DE SAN ANDRES FACULTAD DE INGENIERIA CURSO BASICO

 1 0   y sea ortogonal a  2 2 a b   x y   c d  ;  z u   ax  by  cz  du    

3 Hallar todas las matrices en IR 22 que formen 60º con la matriz A= 

 2 1  tome el producto interior definido por: 2 0 

la matriz B= 

x y   los vectores que pertenece al subespacio pedido, debe cumplir:  z w  x y   1 0 x y   1 0   x y   2 1 ;  z w ;  2 0   0  z w ;  2 2  cos  60º   z w   2 2            

Solución: Sean X= 

Según el producto interior:

 x  2 z  2w 

2x  y  2z  0

1 2 3 2 x  y 2  z 2  w2  1  4  4  x  y 2  z 2  w2 2 2

Sea una característica del subespacio: x 2  y 2  z 2  w2  1 , es decir vectores unitarios por producto interior canonico:

 x  2 z  2w 

2x  y  2z  0

3 2

 

3 2 y  6 z  4w  3 x  2 z  2w 

 x

y  3 / x  2 z  2w  , y  6 z  4w  3 , x 2  y 2  z 2  w2  1  2   z w 

Todas las matrices serán: V  

Para averiguar si es un subespacio sean los vectores unitarios:

3   6 p  4q  3  m n   2 p  2q  B   ; 2  p q     p q  

3   6 z  4w  3  x y   2 z  2w  A  2    z w  z w   Verificando los axiomas: i) Clausura para la suma:

A  B V

3 3     2 z  2w  6 z  4w  3  2 p  2q  6 p  4q  3  AB  2 2     z w p q     2  z  p   2  w  q   3 6  z  p   4  w  q   6 AB    z  p w  q   Sean u  z  p , v  w  q



 2u  2v  3 6u  4v  6  AB   u v  

NO cumple el axioma ya que no tiene la misma característica del espacio en las constantes. 8

UNIVERSIDAD MAYOR DE SAN ANDRES FACULTAD DE INGENIERIA CURSO BASICO  No existe un subespacio de IR 22

4

Encontrar una base ortonormal para el subespacio en IR 3 generado por el plano 3x  2 y  z  0

Solución: Hallando una base para el plano. Despejando z :

3x  2 y  z  0



z  3x  2 y ; reemplazando en el vector del subespacio x, y, z 

x, y, z =  x, y, 3x  2 y  =  x,0, 3x    0, y, 2 y 

, al escribir como combinación lineal hallaremos una





base: x, y, z = x 1,0, 3  y  0,1, 2 , la base será: B  1,0, 3 ;  0,1, 2

Ortonormalicemos esta base por el proceso de Gram – Schmidt y el producto interior canónico: Sea: B  u1;u2  y la base ortonormal: B'  v1; v2 

v1 

v2 

u1 u1

 u1 

u2  u2 , v1 v1 u2  u2 , v1 v1 6   10  6   0,1, 2    10 

 0,1, 2   v2 

u1 , u1 

u1 

11   0 0   3 3 

10



 1   3  6 u2 , v1   0     1 0    2    10  10   10 

1 , 0, 10 1 , 0, 10

3   10  3   10 



6 18  , 0,  10   10 6 18  0,1, 2    , 0,  10   10

 0,1, 2   



2 2 6  6  ,1,   ,1,  5 6 2 10 10   10 10  v2     ,1,  7  10 10  7  6  6   2  2       11      5  10   10   10   10 

9

3   1 , 0,  10   10

 v1  

2  6  ,1,   10 10  2  6  ,1,   10 10 

UNIVERSIDAD MAYOR DE SAN ANDRES FACULTAD DE INGENIERIA CURSO BASICO  1 3  5  6 2   B '   , 0, ; ,1,    10  7  10 10    10

SEGUNDO EXAMEN PARCIAL MAT 103 II/2008 1

Sean los subespacios IR 3 en definidos de la siguiente forma:

S   x, y, z  / 3x   a  5 y  2 z  0

T   x, y, z  / x  2t ; y  3t ; z  3t Hallar el valor de “ a ” para que S T sea un subespacio IR 3 . Luego hallar una base y dimensión para S T . Solución: Para T que es un subespacio descrito por una recta, hallamos los planos que la generan:

3x  6t  x  2t    3x  2 y  0 , sumando las dos ecuaciones  2 y  6t  y  3t  y  3t , sumando las dos ecuaciones  y  z  0  T   x, y, z  / 3x  2 y  0  y  z  0   z  3t Para hallar S T interceptamos las características de los subespacios: 3 x   a  5  y  2 z  0 3 a  5 2  x  0   3 2 0   y   0  AX  0 3 x  2 y  0 y  z  0 0 1 1   z  0  Trabajando en el determinante de la matriz de coeficientes:



A  27  3a

i) Primer caso: Si

a9 

A 0



 A 1 

 x, y, z    0,0,0

Entonces se tiene: S  T   0,0,0 , el origen no es un subespacio, por lo tanto: Si ii) Segundo caso: Si a  9 

a  9 , S T no es un subespacio A 0



escalonamos la matriz aumentada:

3 4 2 0 3 4 2 0 3 4 2 0 3 2 0 0  3 2 0 0    3 4 2 0   0 0 0 0   0 0 0 0          0 1 1 0  0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0  f1  f 2  f 2 2 f3  f1  f1 2 f3  f 2  f 2



3x  2 y  0 yz 0

Las ecuaciones encontradas son características del subespacio T por lo tanto:

S T  T

10

Si a  9 ,

UNIVERSIDAD MAYOR DE SAN ANDRES FACULTAD DE INGENIERIA CURSO BASICO Hallamos base y dimensión para : T 

 x, y, z  / x  2t ; y  3t ; z  3t

Todos los vectores del suespacio se pueden escribir como la siguiente combinación lineal:

 x, y, z    2t, 3t,3t   t   2, 3,3 Base T    2, 3,3

;

dimBase T   1

2 En el espacio vectorial de todas las funciones de la forma f  x   ae x  b cos  2 x   c sen  2 x  ,





se tiene el conjunto: B  4e x  5cos  2 x   3sen  2 x  ; 3e  x  5cos  2 x   4sen  2 x  ; f  x  Encontrar al menos una función f  x  tal que el conjunto sea linealmente independiente.

Solución: Escribimos el conjunto como combinación lineal igualada a cero

1  4e x  5cos  2 x   3sen  2 x     2  3e  x  5cos  2 x   4sen  2 x     3  f  x    0 Donde el cero es de la forma del espacio: 0  0e x  0cos  2 x   0sen  2 x  Sea un vector que pertenece al espacio f  x   k  e x , y analizamos la independencia lineal:

 41  32  k3  e x  51  52  cos  2x    31  42  sen  2x  0  0e x  0cos  2x   0sen  2x  Igualando los coeficientes:

41  3 2  k 3  0



51  5 2  0 31  4 2  0

 4 3 k  1  0  5 5 0     0   2    3 4 0   3  0



AX  0

Analizamos A :

4 A 

3

k

5 5 0  k    5   4    5  3   5  k 3 4 0

Igualando a cero: A  5  k  0 

k 0

Para que la solución sea 1   2   3  0 , es decir solución trivial el determinante debe ser diferente

11

UNIVERSIDAD MAYOR DE SAN ANDRES FACULTAD DE INGENIERIA CURSO BASICO de cero y en consecuencia k  0 Se puede elegir cualquier valor de k excepto cero, entoces sea k  1

 f  x   e x NOTA: Existen varias soluciones

3





Sea el conjunto C  3t 2  4t  2;  t 2  3t  5; 2t 2  t  3 generador de un subespacio en P2 . Encontrar la proyección del polinomio r  t   t 2  1 sobre una de las bases del subespacio generado por C . Asumir el producto interior definido por:

 p, q  p  0 q  0  p 1 q 1  p  1 q  1

2 Solución: Sean at  bt  c todos los vectores que pertenezca al subespacio, lo generamos:

   3t 2  4t  2      t 2  3t  5      2t 2  t  3  at 2  bt  c

3    2  t 2   4  3    t   2  5  3   at 2  bt  c Igualando las componentes de los vectores:

3    2  a 4  3    b 2  5  3  c



 3 1 2     a   4 3 1     b        2 5 3     c 



AX  B

Escalonamos la matriz aumentada:

0 a  2b   3 1 2 a   70 70 0 14a  28b   5 5  4 3 1 b    4 3 1   3 1 b b    4      2 5 3 c   70 70 0 5c  15b  14 14 0 c  3b  2 f 2  f1  f1

3 f 2  f3  f3

14  f1  f1  5  f 3  f 3

14a  28b   70 70 0  4 3 1  b    0 0 0 14a  13b  5c 

f1  f3  f3

inconsistencia debe ser igual a cero  c  

14 13 a b 5 5

Todos los vectores que pertenezca al subespacio serán:

13  14   13  a b  14  at 2  bt  c  at 2  bt    a  b   a  t 2    b  t     5t 2  14    t  13 5  5  5 5 5  5  2 Una base es: B  5t  14; t  13   f  t  ; g  t  , realizamos la proyección de r  t  sobre esta base:

12

UNIVERSIDAD MAYOR DE SAN ANDRES FACULTAD DE INGENIERIA CURSO BASICO Proy f  t   r  t   

 r t  , f t   f t 

2

f t  

r  0  f  0   r 1 f 1  r  1 f  1 f t  f 2  0   f 2 1  f 2  1

Proy f t   r  t    

Proy g t   r  t   

 r t  , g t   g t 

2

g t  

25  5t 2  14  179

r  0  g  0   r 1 g 1  r  1 g  1 g t  g 2  0   g 2 1  g 2  1

Proy g  t   r  t    

4

65  t  13 509

Encontrar una base ortonormal del subespacio ortogonal a los vectores en IR 4 : u   2, 1, 2, 1 y v  1, 1,0, 2 . Utilice el producto interior:   a, b, c, d  ;  x, y, z, u   ax  bz  cy  du

Solución: La formula dada no es un producto interior canonico, asi que verificamos que sea valida: Sean: a   a, b, c, d  , x   x, y, z, u  y m   m, n, p, q  i) Axioma de simetría:

a , x  ax  bz  cy  du a , x  xa  zb  yc  ud a , x  xa  yc  zb  ud



a, x  x , a ii) Axioma de aditividad:

cumple el axioma

a  x, m   a  x  m  b  y  p   c  z  n   d  u  q a  x , m  am  xm  bp  yp  cn  zn  dq  uq a  x , m   am  bp  cn  dq    xm  yp  zn  uq 

a  x , m  a, m  x , m



cumple el axioma

iii) Axioma de homogeneidad:

k  a , x  k  ax  k  bz  k  cy  k  du k  a , x  k   ax  bz  cy  du 



k  a, x  k  a, x iv) Axioma de positividad:

a, a  a  a  b  c  c  b  d  d a, a  a 2  b  c  b  c  d 2 a , a  a 2  2b  c  d 2 13

cumple el axioma

UNIVERSIDAD MAYOR DE SAN ANDRES FACULTAD DE INGENIERIA CURSO BASICO 2 2 No se puede asegurar que a  2b  c  d  0 por lo tanto el axioma no se cumple, entonces la formula dada no es producto interior.

 El subespacio ortogonal a los vectores u   2, 1, 2, 1 y v  1, 1,0, 2 no puede hallarse

5

2 2 OPTATIVA.- Sea F : IR  IR la función dada por: F  x, y    2 x  y,3x  y  . Demuestre que

F es transformación lineal y verifique el teorema de la dimensión. Problema con conceptos del tercer parcial, resuelto en el TOMO III.

SEGUNDO EXAMEN PARCIAL MAT 103 I/2009 1

 x, y, z  / 3x  y  2z  2k 1 y el subespacio T generado por el conjunto  3, 2, 1 ; 1, 4,5 ;  4, 2, 4  . Hallar el valor de “ k ” para que En IR 3 se definen los subespacios: S 

S T sea un subespacio IR 3 . Luego hallar una base y dimensión para S , T , y S T . Solución: Generamos el subespacio T , sean x, y, z  los vectores del subespacio:

  3, 2, 1   1, 4,5    4, 2, 4   x, y, z 



 3 1 4     x   2 4 2      y        1 5 4      z 

Escalonamos la matriz aumentada:

 3 1 4 x  7 7 0 x  2 y   21 21 0 3x  6 y   2 4 2 y    2 4 2 y    2 4 2 y      1 5 4 z   3 3 0 z  2 y   21 21 0 7 z  14 y  2 f 2  f1  f1

2 f 2  f3  f3

 3  f1  f1  7   f3  f3

 f1  f3  f3

14

UNIVERSIDAD MAYOR DE SAN ANDRES FACULTAD DE INGENIERIA CURSO BASICO

3x  6 y   21 21 0  2 4 2  y    0 0 0 7 z  8 y  3x 

inconsistencia debe ser igual a cero  7 z  8 y  3x  0

 T   x, y, z  / 7 z  8 y  3x  0 

 x, y, z   

8 7  8  7  y  z , y, z   y   ,1, 0   z   , 0,1 3 3  3  3 

 8  7  Base T    ,1, 0  ,  , 0,1   3   3

;

dimBase T   2

Para hallar S T intersectamos las características de los subespacios:

3x  y  2 z  2k  1  3x  8 y  7 z  0



x   3 1 2    2k  1  3 8 7   y    0       z 

trabajando en la matriz aumentada:

2k  1   3 1 2 2k  1 3 1 2 2k  1 3 1 2  3 8 7 0  = 0 7 9 2k  1 = 0 1 9 / 7 2k  1 / 7  =         1 f1  f 2  f 2 f 2  f1  f1   f2  f2 7 Entonces se tiene: x  

23 8 z   2k  1 , 21 21

9 1 y   z   2k  1 7 7

x, y, z =   23 z  8  2k  1 ,  9 z  1  2k  1 , z   21

cumplirse:

21

7



7

8 1  2k  1  0 ,  2k  1  0 21 7

 3 0 23 / 7 8  2k  1 / 7    0 1 9 / 7  2k  1 / 7 



, para escribir como combinación lineal debe

k

15

1 2

UNIVERSIDAD MAYOR DE SAN ANDRES FACULTAD DE INGENIERIA CURSO BASICO

 x, y, z    

23 9   23 9  z ,  z , z   z   ,  ,1 7  21   21 7 

 23 9   Base  S  T     ,  ,1   21 7   Para hallar S usando k 

3x  y  2 z  0



;

dimBase  S  T   1

1 : 2

y  3x  2 z

x, y, z =  x,3x  2z, z    x,3x,0   0, 2z, z 

x, y, z   x 1,3,0  z  0, 2,1 Base  S   1,3,0 ,  0, 2,1

;

dimBase  S   2

2 Se conoce que el conjunto forma u, v, w es linealmente independiente en el espacio vectorial V hallar los valores de la constante “ k ” tal que el siguiente conjunto sea linealmente independiente

 k 1 u  2v  3w; 2u   k  2 v  6w; 2u  2v   k  6 w Solución: Escribimos el conjunto como combinación lineal igualada a cero

  k  1 u  2v  3w    2u   k  2 v  6w    2u  2v   k  6 w  0

 k 1  2  2  u   2   k  2   2  v  3  6   k  6   w  0 Como el conjunto u, v, w es linealmente independiente los escalares de la combinación lineal deben ser cero:

 k  1   2  2  0  2   k  2    2  0  3  6   k  6    0

2    0  k  1 2  2 k  2 2      0       3 6 k  6    0 16



AX  0

UNIVERSIDAD MAYOR DE SAN ANDRES FACULTAD DE INGENIERIA CURSO BASICO

Analizamos A :

k 1 A 

2 3

2

2

k  2 2   k  1 6 k 6

k  2 2 2 2 2 k  2   2    2  6 k 6 3 k 6 3 6

A   k  1 k  k  4  4  k  3  6  k  4  k 3  5k 2  6k  12 Igualando a cero: A  k 3  5k 2  6k  120  0 

Los valores de k ” para que sea

k  4, 25265

 k 1 u  2v  3w; 2u   k  2 v  6w; 2u  2v   k  6 w sea

linealmente independiente serán:

 k  IR / k  4, 25265

 2 4   y 3 2 

3 En IR 22 encontrar una base y dimensión del subespacio ortogonal a las matrices 

 2 3   1 1 . Utilice el producto interior definido por:  

a b   x y  c d  ;  z u     

x y   debe cumplirse que:  z w  x y   2 4  z w ;  3 2     

Solución: Sea X= 

 x y   2 3  z w ;  1 1    

 2 x  8 y  9 z  8w  0  2 x  6 y  3z  4w  0



x    2 8 9 8   y  0   2 6 3 4   z   0         w

Operando la matriz aumentada: 17

0

0

 ax  2by  3cz  4du

UNIVERSIDAD MAYOR DE SAN ANDRES FACULTAD DE INGENIERIA CURSO BASICO

 2 8 9 8 0   2 8 9 8 0  2 0 39 40 0   2 6 3 4 0  0 2 12 12 0   0 2 12 12 0       



39 z  20 w 2 y  6 z  6w

x

Todas la matrices pueden escribirse como:

 39   x y   z  20w 6 z  6w z 39 12  20 6     w  z w  2   2 2 0 0 1     z w   La ecuación hallada esta en combinación lineal generando a todos los vectores del subespacio por lo tanto:

39 12 20 6  Base   ;   2 0   0 1 

;

dimBase  2

4 Para el sistema de ecuaciones siguiente:

3x  2 y  4 z  u  0 4 x  3 y  5 z  2u  0 11x  4 y  6 z   a  3 u  0 7 x  y  z   a  1 u  0 Hallar el valor de ” a ” tal que la dimensión de su espacio solución sea igual a 2. Solución: Escribimos el sistema en forma matricial:

1   x  0  3 2 4  4 3 5 2   y  0    11 4 6 a  3  z  0        7 1 1 a  1  u  0  Escalonamos la matriz de coeficientes:

18



AX  0

UNIVERSIDAD MAYOR DE SAN ANDRES FACULTAD DE INGENIERIA CURSO BASICO 1   1 5 9 3   1 5 9 3   1 5 9 3   3 2 4  4 3 5     2   4 3 5 2   0 17 31 10   0 17 31 10   A    11 4 6 a  3 11 4 6 a  3  0 51 93 a  30   0 0 0 a         0 a  7 1 1 a  1  7 1 1 a  1  0 34 62 a  20   0 0

4 f1  f 2  f 2  f 2  f1  f1

3 f 2  f3  f3

11 f1  f3  f 3

2 f 2  f 4  f 4

7 f1  f 4  f 4

Para que la dimensión del espacio solución sea 2 el rango de la matriz debe ser igual a dos por lo tanto:

a0

19

UNIVERSIDAD MAYOR DE SAN ANDRES FACULTAD DE INGENIERIA CURSO BASICO

SEGUNDO EXAMEN PARCIAL MAT 103 II/2009 1

Dado el siguiente sistema hallar los valores de b y a de manera que el sistema sea: a) consistente, b) determinado, c)indeterminado e d) inconsistente.

x  y  4  b z  0

1  b  x  2 y  2 z  3 x   2  b y  z  a Problema con conceptos del primer parcial, resuelto en el TOMO I.

2 Resolver el sistema de modo que la solución se presente como la suma de una solución particular mas una solución homogénea: X  X P  X H , ¿Forma la solución un subespacio de

IR 4 ?. Pruebe su respuesta.

x y z u  3 2x  y  2z  u  5  x  2 y  3z  u  7 Solución: Escribimos el sistema en su forma matricial

 x  1 1 1 1    3   2 1 2 1  y    5    z     1 2 3 1   7  u 

A  X  B , escalonamos la matriz aumentada

 1 1 1 1 3 1 1 1 1 3  1 1 1 1 3  1 1 1 0 6   2 1 2 1 5   0 3 4 1 1  0 3 4 1 1  0 3 4 0 8           1 2 3 1 7  0 3 4 2 10  0 0 0 1 9  0 0 0 1 9  f3  f 2  f 2 2 f1  f 2  f 2 f 2  f3  f3 3 f1  f1 f1  f3  f3  f3  f1  f1 3 3 3 0 18 3 0 1 0 10 0 3 4 0 8   0 3 4 0 8  , despejando las variables:     0 0 0 1 9  0 0 0 1 9  f 2  f1  f1

20

UNIVERSIDAD MAYOR DE SAN ANDRES FACULTAD DE INGENIERIA CURSO BASICO

10 1  z 3 3 8 4 y  z  3 3 u 9 x

3x  z  10





3y  4z  8 u 9

10 1  t 3 3 8 4 y  t 3 3 z t

x Sea

z t



u 9

 10 1   10   1    t   x  3 3   3   3  y  8 4   8   4     t    t  z  3 3   3  3         t   0  1 u      9   0  9



 10   1   3   3   x      y    XP  XH   8    4  t  3  3 z        0  1 u   9   0 

Para averiguar si es un subespacio sean los vectores del espacio solución:

 10   1   3   3      8  4  X=   t 3  3      0  1  9   0 

 10   1   3   3      8  4  Y=   k 3  3      0  1  9   0 

;

Verificando los axiomas: i) Clausura para la suma:

X  Y  subespacio

  10   1     10   1     3   3     3   3               8  4    8  4  X  Y=    t   k 3  3    3  3              0  1    0  1    9  0    9  0           

Sea: u  t  k



 20   1   3   3      16   4   X  Y=   t  k  3  3      0  1  18   0 



 20   1   3   3      16   4   X  Y=   u ; NO cumple el axioma ya que no tiene la misma 3  3      0  1  18   0 

característica del espacio solución en el vector constante. 21

UNIVERSIDAD MAYOR DE SAN ANDRES FACULTAD DE INGENIERIA CURSO BASICO  El espacio solución no es un subespacio de IR 4

3

Dados los subespacios W1 , W2 de IR 4 hallar la intersección de estos subespacios, probar que es un subespacio de IR 4 , determinar una base y dimensión de este subespacio.

W1   x, y, z , u   IR 4 /  x  y  z  2u  0

W2 esta generado por el conjunto de vectores S  1,0,0,0 ,  0, 4,1,0  ,  0, 3,0,1 Solución: Generamos el subespacio W2 , sean  x, y, z, u  todos los vectores del subespacio:

 1,0,0,0    0, 4,1,0    0, 3,0,1   x, y, z, u 

1 0 0 4  0 1  0 0 4 f3 

0 x  1 0 0 x  1   3 y  0 0 3 y  4 z  0   0 z  0 1 0 z  0     1 u  0 0 1 u  0 f2  f2 3 f4  f2  f2



 0 0 y  4 z  3u   1 0 z  0 1 u  0 0

1 0  0  0

0  x      4 3    y    1 0    z       0 1 u  0

x

inconsistencia debe ser cero

 W2   x, y, z, u   IR 4 / y  4 z  3u  0 Para hallar W1  W2 intersectamos las características de los subespacios:

 x  y  z  2u  0   y  4 z  3u  0



x     1 1 1 2   y  0   0 1 4 3   z   0        u  

 1 1 1 2 0  1 0 5 5 0   0 1 4 3 0   0 1 4 3 0       f 2  f1  f1 Entonces se tiene: x  5z  5u ,

y  4 z  3u 22

trabajando en la matriz aumentada:

UNIVERSIDAD MAYOR DE SAN ANDRES FACULTAD DE INGENIERIA CURSO BASICO



W1  W2   x, y, z , u   IR 4 / x  5 z  5u; y  4 z  3u

Para demostrar que es un subespacio hallemos dos vectores que pertenezcan a W1  W2 : Sean:

x   x, y, z, u    5z  5u, 4z  3u, z, u  ; y   m, n, p, q    5 p  5q, 4 p  3q, p, q 

Verificando los axiomas:

i) Clausura para la suma:

x  y W1  W2

x  y   5z  5u, 4 z  3u, z, u   5 p  5q, 4 p  3q, p, q  x  y   5  z  p   5 u  q  , 4  z  p   3 u  q  , z  p, u  q  Sean: c  z  p ; d  u  q

x  y   5c  5d , 4c  3d , c, d  W1 W2  cumple el primer axioma ii) Clausura para el producto: k  x W1  W2

k K

;

k  x  k   5z  5u, 4z  3u, z, u  k  x   5k  z  5k  u, 4k  z  3k  u, k  z, k  u  Sean: c  k  z ; d  k  u

k  x   5c  5d , 4c  3d , c, d  W1 W2  cumple el segundo axioma  W1  W2 es un subespacio en P IR 4

Para hallar una base escribimos todos los vectores del subespacio como combinación lineal:

 x, y, z, u   5z  5u, 4z  3u, z, u   x, y, z, u   5z, 4z, z,0   5u, 3u,0, u  23

UNIVERSIDAD MAYOR DE SAN ANDRES FACULTAD DE INGENIERIA CURSO BASICO

 x, y, z, u   z 5, 4,1,0  u  5, 3,0,1 Base W1 W2    5, 4,1,0 ;  5, 3,0,1

;

dimBase W1 W2   2

4 Probar que los conjuntos S y C generan el mismo espacio vectorial

S  e3t  2e2t  et ; e3t  2e 2t  3et ;3e3t  6e 2t  5et  ; C  e3t  2e2t  5et ; et  3t 2t t Solución: Sean todos los vectores del espacio vectorial: ae  be  ce

i)

3t 2t t Generamos los vectores ae  be  ce con el conjunto S :

  e3t  2e2t  et     e3t  2e2t  3et     3e3t  6e2t  5et   ae3t  be 2t  cet      3  e3t   2  2  6  e2t    3  5  et  ae3t  be2t  cet

    3  a 2  2   6  b   3  5  c

1 1 3    a     2 2 6     b  , escalonamos la matriz aumentada 1 3 5   c   1 1 3 a  1 1 3 a   2 2 6 b    0 0 0 b  2a  inconsistencia debe ser cero  b  2a  0     1 3 5 c  1 3 5 c  a  2 f1  f 2  f 2  f1  f3  f3

 V  ae3t  be2t  cet / b  2a  0

ii)

3t 2t t Generamos los vectores ae  be  ce con el conjunto C :

  e3t  2e2t  5et     et   ae3t  be 2t  cet   e3t  2 e2t   5    et  ae3t  be2t  cet 

 a 2  b 5    c



1 0 a   2 0    b  , escalonamos la matriz aumentada       5 1    c 

24

UNIVERSIDAD MAYOR DE SAN ANDRES FACULTAD DE INGENIERIA CURSO BASICO

a   1 0 a  1 0  2 0 b    0 0 b  2a      5 1 c  0 1 c  5a  2 f1  f 2  f 2 5 f1  f3  f3

inconsistencia debe ser cero  b  2a  0

 W  ae3t  be 2t  cet / b  2a  0

 V  W  los conjuntos S y C generan el mismo espacio vectorial

SEGUNDO EXAMEN PARCIAL MAT 103 I/2010 1

 x, y, z, u  / 2x  y  2z  u  0 y T 1, 1, 1, 1 ;  1,1, 1, 1 ; 1, 1, 3, 3 ;  2, 2, 4, 4 se pide:

Sean los subespacios IR 4 , S 

generado por el conjunto

a) Hallar una base y dimensión para S  T y b) dim  S  T  Solución: a) Generamos T con el conjunto dado:

 1, 1, 1, 1    1,1, 1, 1   1, 1, 3, 3    2, 2, 4, 4    x, y, z, u   1 1 1 2     x   1 1 1 2      y          escalonamos la matriz aumentada:  1 1 3 4     z        1 1 3 4    u  1  1   1   1 f1  f1  f1 

1

x  1 1 1 2 x  1 1 1 2 x  1 1 2 y  0 0 0 0 y  x  0 0 0 0 y  x    deben ser cero 1 3 4 z  0 2 2 2 z  x  0 2 2 2 z  x       1 3 4 u  0 2 2 2 u  x  0 0 0 0 u  z  f2  f2  T   x, y, z, u  / x  y  0 ; u  z  0  f3  f 4  f 4 f3  f3 f4  f4 1

2

Para hallar S  T intersectamos las características de los subespacios:

2 x  y  2 z  u  0  x  y  0 u  z  0 



x   2 1 2 1   0  1 1 0 0   y   0    z     0 0 1 1    0  u 

25

escalonando la matriz de coeficientes:

UNIVERSIDAD MAYOR DE SAN ANDRES FACULTAD DE INGENIERIA CURSO BASICO

 2 1 2 1 3 0 2 1 3 0 2 1 3 0 2 1 1 0 0 1 1 1 0 0   1 1 0 0   1 1 0 0   1 1 0 0   1 1 0 0            0 0 1 1  0 0 1 1  3 0 3 0  1 0 1 0  1 0 1 0  f 2  f1  f1 f1  f3  f3  2 f3  f1  f1 1/ 3 f3  f3 Entonces se tiene: y   x, z  x, u  x ; todos los vectores de S  T pueden escribirse como:

 x, y, z, u    x, x, x, x   x 1, 1,1,1



Base  S  T   1, 1,1,1

;

dimBase  S  T   1

dim  S  T   dim  S   dim T   dim  S  T 

b)

dim  S  T   3  2 1 dim  S  T   4 2 En el espacio vectorial de todas las funciones de la forma f  x   ae x  b tan  x   c sec  x  , se identifica el conjunto de funciones:

C  2ae x  1  a  tan x  a sec x; 2ae x   2a  1 tan x   a  2  sec x; 2ae x  a tan x  a sec x Se encontrar los valores de “ a ” de tal forma que el conjunto C sea linealmente independiente.

Solución: Escribimos el conjunto como combinación lineal igualada a cero:

1  2ae x  1  a  tan x  a sec x    2  2ae x   2a  1 tan x   a  2  sec x    3  2ae x  a tan x  a sec x   0 Donde el cero es de la forma del espacio: 0  0e x  0 tan  x   0sec  x  Igualando los coeficientes de los vectores obtenemos el siguiente sistema de ecuaciones:



2a 2a  1  0  2a 1  a 2a  1 a     0   2   a  2 a   3  0  a



AX  0

Analizamos A :

2a

2a

A  1  a 2a  1 a a2

2a a a

4a 

1 a

4

0

3a  1 0  a a  2 a 26

4a 4 1 3a  1

UNIVERSIDAD MAYOR DE SAN ANDRES FACULTAD DE INGENIERIA CURSO BASICO

f3  f 2  f 2 2 f3  f1  f1 A  a  4a  3a  1  4   4a  3a 2  a  1





Igualando a cero: A  4a 3a 2  a  1 

a  0, a 

1  13 6

Para que la solución sea 1   2   3  0 , es decir solución trivial el determinante debe ser diferente de cero y en consecuencia :

C sea linealmente independiente si : a  0, a 

3

1  13 6

En el espacio vectorial de los polinomios P2 , se define el subespacio:

L  at 2  bt  c / 3a  2b  2c  0 se pide encontrar una base ortonormal para el mencionado

subbespacio . Utilice el producto interior:  p, q  p  0 q  0  p 1 q 1  p  1 q  1 2 Solución: Sean at  bt  c todos los vectores que pertenezca al subespacio por la condición:

3a  2b  2c  0

2 3

2 3

 a  b  c ; reemplazando en el vector at 2  bt  c 2  2 2   2  at 2  bt  c =  b  c  t 2  bt  c   t 2  t  b    t 2  1 c 3  3 3   3 

al escribir como combinación lineal hallamos un base:

at 2  bt  c 



b 2 c 2t  3t    2t 2  3  3 3



La base será: B  2t 2  3t ; 2t 2  3

Ortonormalicemos esta base por el proceso de Gram – Schmidt y el producto interior indicado: Sea: B  u1;u2  y la base ortonormal: B'  v1; v2  27

UNIVERSIDAD MAYOR DE SAN ANDRES FACULTAD DE INGENIERIA CURSO BASICO

v1 

u1 u1

 v1 

v2 



u1 , u1 

u1 

u2  u2 , v1 v1 u2  u2 , v1 v1



4   26  4   2t 2  3   26 

v2 



26

2 2 3 t  t 26 26

30 2 6 t  t 3 13 13 2

1  4  5   u2 , v1   3 0   1    1    26  26  26  

2 2 t  26 2 2 t  26

2t 2  3 

v2 

 0 0  55   1 1 

u1 

 3   15  32        13   13 

2



3  t 26  3  t 26 



30 2 6 t  t 3 13 13 30 2 6  t  t 3 13 13



30 2 6 39 t  t 1755 1755 1755

3 30 2 6 39   2 2 B'   t  t ;  t  t  26 1755 1755 1755   26

4

En el sistema de ecuaciones hallar los valores de a y b para que el sistema sea consistente determinado, consistente indeterminado e inconsistente.

3x  2 y  z  6 2 x  4 y  z  1 5 x  2 y   a 2  2  z  7  3b 3x  14 y   6  a 2  z  11  3b

28

UNIVERSIDAD MAYOR DE SAN ANDRES FACULTAD DE INGENIERIA CURSO BASICO

SEGUNDO EXAMEN PARCIAL MAT 103 II/2010 1

Para el sistema de ecuaciones siguiente:

x  y  z  m 1 x  my  z  1 mx  y   m  1 z  m Hallar el valor de

m para que el sistema sea: a) Determinado, b) Indeterminado, c) Inconsistente.

Problema con conceptos del primer parcial, resuelto en el TOMO I. 2

Hallar un vector x tal que los conjuntos de vectores de IR 3 generen el mismo subespacio vectorial 3 S   3, 2,1 ,  5,6,3 ,  8, 4, 4  ; T  1,10,1 , x









Solución: Generamos el subespacio con el conjunto S :

  3, 2,1    5,6,3    8, 4, 4   x, y, z  

 3 5 8    x   2 6 4       y        1 3 4     z 

Para el sistema de ecuaciones A  X  B , escalonamos la matriz aumentada:

x  3z   3 5 8 x   0 4 4 x  3z   0 4 4  2 6 4 y    0 12 12 y  2 z    0 0 0 y  3 x  7 z         1 3 4 z   1 3 4  z   1 3 4 z 2 f3  f 2  f 2 3 f1  f 2  f 2 3 f3  f1  f1 Esta es la característica del subespacio  V 

debe ser cero

 x, y, z  / y  3x  7 z  0

Los vectores que pertenecen a este subespacio serán:

 x, y, z    x,3x  7 z, z   x 1,3,0  z  0,7,1  x, y, z    1,3,0    0,7,1 La dimensión de este subespacio es 2, entonces el conjunto T  1,10,1 , x equivalente, de la ecuación:  x, y, z    1,3,0     0,7,1 1 0  x  3 7      y        0 1     z  Realizamos operaciones elementales en la matriz de coeficientes:

1 0  3 7    0 1 



 1 0 10 7     0 1 



 1 0 10 7      1 1  29

x   0,7,1

debe ser una base

UNIVERSIDAD MAYOR DE SAN ANDRES FACULTAD DE INGENIERIA CURSO BASICO 7 f1  f 2  f 2

f1  f3  f3

3 Para el producto interior

A, B  traza  Bt  A  , hallar:

1 1 1 1  y   1 1  0 1  1 1 b) El espacio ortogonal a    1 1 a) Angulo entre 

c) Una base ortonormal para el subespacio anterior Solución: a) Usando la formula del angulo entre vectores: cos   

A, B A

B

1 1 1 1 y B   0 1 1 1

Sean A  

 1 0  1 1  traza     traza  B  A  1 1  1 1   cos     t t  1 1 1 1   1 0  1 1  traza  A  A  traza  B  B  traza     traza        1 1 1 1   1 1  0 1  t

 1 1   traza    3 3 2 2      30º cos      2 4 3  2 2   1 1   traza     traza  1 2     2 2   x y  b) Sean X=   los vectores que pertenece al subespacio pedido, debe cumplir:  z w  x y   1 1  x  y  z  w  0  z w ;  1 1  0    

 x y   V   /  x  y  z  w  0    z w 

c)

x y   y  z  w y    z w   z w   

1 1   1 0 1 0  y z  w    0 0  1 0 0 1 

1 1  1 0 1 0   ,  1 0 , 0 1   0 0       

la base será: B  

Ortonormalicemos esta base por el proceso de Gram – Schmidt y el producto interior indicado: Sea: B  u1; u2 ; u3 y la base ortonormal: B '  v1; v2 ; v3

30

UNIVERSIDAD MAYOR DE SAN ANDRES FACULTAD DE INGENIERIA CURSO BASICO

v1 

v2 

v2 

v3 

u1 u1

 u1 

u2  u2 , v1 v1 u2  u2 , v1 v1  1 1   1 1 

0  0 0  0

 1 1 0  1 0  1  1 0  1 u2 , v1  traza  traza    1 0  1 0    2 2    2   1 0 



1 1 1  2 2 0 1 1 1  2 2 0

1 0 1 0

 1/ 2 1/ 2   1 0      1/ 2 1   1/ 2 1/ 2   traza     0     1/ 2 0   1



u3  u3 , v1 v1  u3 , v2 v2 u3  u3 , v1 v1  u3 , v2 v2

 u3 , v1  traza    u3 , v2  traza  

v3 

1 0  1 1  1 1 1 1 1  u1 , u1  traza   traza   2  v1        2 0 0 1 0  0 0  1 1

1 0  1 0 

0  1  0  1 

 1 0  1 1 1 0 1 0  1 traza   1 0 0 1     2 2 2    1 0    1 2  1 1 2 1 0  1 1 traza     1 0  0 1     6 6 6     1 0  1 1 1  2 2 0 1 1 1  2 2 0

1  0  1  0 

1 1  1  6 62 1 1  1  6 62

1 0  1 0 



1  2 2  6  2 6  1  2 2  6  2 6 

1  2 2 1  2 2 6  2 6  6  2 6  1  2 2 v3      48  2 6   1  2 2 1  2 2  1  8 8   traza    6  2 6   6 traza  8 40  6  2 6       

 1 1 1 1  1 1 1  2 2  B'    ;  ;    2 0 0 6  2 0 48  2 6  

31

v2 

1  1 1    6  2 0