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• vicomarshall

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SOLUCIONARIO ECUACIONES DIFERENCIALES NO. 3

1. Primero, se debe observar que la ecuación diferencial dada es de segundo grado, donde {

, luego,

determinamos el tipo de ecuación yc que vamos a utilizar utilizando el discriminante √ analizamos:

donde

  

Si el discriminante es + utilizamos la ecuación de la forma Si el discriminante es 0 utilizamos la ecuación de la forma Si el discriminante es - utilizamos la ecuación de la forma

Dado el discriminante √

= 0 por lo tanto utilizaremos la ecuación de la forma

Utilizando la fórmula general hallamos los el valor de : √

√

Por lo tanto

solución.

Comprobación De la solución de la ecuación diferencial hallamos su primera, segunda o terceras y cuartas derivadas según el grado de la ecuación diferencial inicial donde luego reemplazaremos posteriormente los valores de las derivadas obtenidas:

Reemplazando estas expresiones en la ecuación diferencial inicial

: se tiene:

0=0

2.

Primero, se debe observar que la ecuación diferencial dada es de segundo grado, donde { luego, determinamos el tipo de ecuación yc que vamos a utilizar utilizando el discriminante √ donde analizamos:   

Si el discriminante es + utilizamos la ecuación de la forma Si el discriminante es 0 utilizamos la ecuación de la forma Si el discriminante es - utilizamos la ecuación de la forma

,

Dado el discriminante √

Hallamos los valores de ;

= - 6 por lo tanto utilizaremos la ecuación de la forma

y : √|

|

|

√|

Por lo tanto;

solución.

Comprobación De la solución de la ecuación diferencial hallamos su primera, segunda o terceras y cuartas derivadas según el grado de la ecuación diferencial inicial donde luego reemplazaremos posteriormente los valores de las derivadas obtenidas:

Reemplazando estas expresiones en la ecuación diferencial inicial

se tiene: {

}

{

}

0=0

3. Primero analizamos que es una ECUACION DIFERENCIAL NO HOMOGENEA para ello debemos hallar una solución homogénea yc y la parte que no es una derivada o función una solución particular yp; donde: La primera parte se debe observar que la ecuación diferencial dada es de segundo grado, donde { luego, determinamos el tipo de ecuación yc que vamos a utilizar utilizando el discriminante √ donde analizamos:   

Si el discriminante es + utilizamos la ecuación de la forma Si el discriminante es 0 utilizamos la ecuación de la forma Si el discriminante es - utilizamos la ecuación de la forma

Dado el discriminante √

Hallamos los valores de ;

= - 4 por lo tanto utilizaremos la ecuación de la forma

y : √|

Por lo tanto la solución homogénea es

|

√|

|

,

Como nos dan parámetros, las condiciones de esa ecuación diferencial homogénea reemplazamos valores: Sacamos su primera derivada para reemplazar las condiciones y armar un sistema de ecuaciones y hallar los valores de y respectivamente.

Remplazando valores obtenemos: ; De ahí obtenemos nuestra solución homogénea La segunda parte debemos analizar la parte que no es homogénea y se observa que es de la forma Hallamos la primera, segunda o terceras y cuartas derivadas de esa solución particular dependiendo del grado de la ecuación para luego reemplazar los valores en la Ec. Diferencial inicial y poder hallar los coeficientes que acompañan a esa solución particular.

Remplazamos en la Ec. Diferencial inicial

Por lo tanto;

Finalmente, la solución de la ecuación diferencial dada es:

Solución. Comprobación De la solución de la ecuación diferencial hallamos su primera, segunda o terceras y cuartas derivadas según el grado de la ecuación diferencial inicial donde luego reemplazaremos posteriormente los valores de las derivadas obtenidas:

Reemplazando estas expresiones en la ecuación diferencial inicial

se tiene:

4.

Primero, se debe observar que la ecuación diferencial dada es de segundo grado, donde {

,

luego, determinamos el tipo de ecuación yc que vamos a utilizar utilizando el discriminante √ donde analizamos:   

Si el discriminante es + utilizamos la ecuación de la forma Si el discriminante es 0 utilizamos la ecuación de la forma Si el discriminante es - utilizamos la ecuación de la forma

Dado el discriminante √

= 0 por lo tanto utilizaremos la ecuación de la forma

Utilizando la fórmula general hallamos los el valor de : √

√

Por lo tanto Como nos dan parámetros, las condiciones de esa ecuación diferencial homogénea reemplazamos valores:

Sacamos su primera derivada para reemplazar las condiciones y armar un sistema de ecuaciones y hallar los valores de y respectivamente.

Reemplazando las condiciones en sus respectivas derivadas hallamos: ; De ahí obtenemos nuestra solución homogénea y

Solución.

Comprobación De la solución de la ecuación diferencial hallamos su primera, segunda o terceras y cuartas derivadas según el grado de la ecuación diferencial inicial donde luego reemplazaremos posteriormente los valores de las derivadas obtenidas:

Reemplazando estas expresiones en la ecuación diferencial inicial (

)

(

)

(

se tiene: )

5.

Primero analizamos que es una ECUACION DIFERENCIAL NO HOMOGENEA para ello debemos hallar una solución homogénea yc y la parte que no es una derivada o función una solución particular yp; donde: La primera parte se debe observar que la ecuación diferencial dada es de segundo grado, donde {

,

luego, determinamos el tipo de ecuación yc que vamos a utilizar utilizando el discriminante √ donde analizamos:   

Si el discriminante es + utilizamos la ecuación de la forma Si el discriminante es 0 utilizamos la ecuación de la forma Si el discriminante es - utilizamos la ecuación de la forma

Dado el discriminante √

Hallamos los valores de ;

= -2 por lo tanto utilizaremos la ecuación de la forma

y : √|

|

√|

|

Por lo tanto la solución homogénea es Como nos dan parámetros, las condiciones de esa ecuación diferencial homogénea reemplazamos valores: Sacamos su primera derivada para reemplazar las condiciones y armar un sistema de ecuaciones y hallar los valores de y respectivamente.

Remplazando valores obtenemos: ; De ahí obtenemos nuestra solución homogénea La segunda parte debemos analizar la parte que no es homogénea y se observa que es de la forma Hallamos la primera, segunda o terceras y cuartas derivadas de esa solución particular dependiendo del grado de la ecuación para luego reemplazar los valores en la Ec. Diferencial inicial y poder hallar los coeficientes que acompañan a esa solución particular.

Remplazamos en la Ec. Diferencial inicial

Hallamos los valores de A y B de la siguiente manera: : :

Por lo tanto;

Finalmente, la solución de la ecuación diferencial dada es:

Solución. Comprobación De la solución de la ecuación diferencial hallamos su primera, segunda o terceras y cuartas derivadas según el grado de la ecuación diferencial inicial donde luego reemplazaremos posteriormente los valores de las derivadas obtenidas:

Reemplazando estas expresiones en la ecuación diferencial inicial

se tiene:

6.

Primero analizamos que es una ECUACION DIFERENCIAL NO HOMOGENEA para ello debemos hallar una solución homogénea yc y la parte que no es una derivada o función una solución particular yp; donde: La primera parte se debe observar que la ecuación diferencial dada es de segundo grado, donde { luego, determinamos el tipo de ecuación yc que vamos a utilizar utilizando el discriminante √ donde analizamos:   

Si el discriminante es + utilizamos la ecuación de la forma Si el discriminante es 0 utilizamos la ecuación de la forma Si el discriminante es - utilizamos la ecuación de la forma

Dado el discriminante √

Hallamos los valores de ;

= -20 por lo tanto utilizaremos la ecuación de la forma

y : √|

Por lo tanto la solución homogénea es

|

√|

|

√

√ √

√

La segunda parte debemos analizar la parte que no es homogénea y se observa que es de la forma Hallamos la primera, segunda o terceras y cuartas derivadas de esa solución particular dependiendo del grado de la ecuación para luego reemplazar los valores en la Ec. Diferencial inicial y poder hallar los coeficientes que acompañan a esa solución particular.

,

Remplazamos en la Ec. Diferencial inicial

Hallamos los valores de A y B de la siguiente manera: : : cte:

9

Por lo tanto;

Finalmente, la solución de la ecuación diferencial dada es:

(√

)

(√

)

Solución.

Comprobación De la solución de la ecuación diferencial hallamos su primera, segunda o terceras y cuartas derivadas según el grado de la ecuación diferencial inicial donde luego reemplazaremos posteriormente los valores de las derivadas obtenidas: (√

)

(√

(

(√

)

(√

))

(

(√

)

(√

))

( √

(√

)

( √

(√

( √

(√

√

)

))

)

(√

(

(√

√

)

(√

(√

√ )

(√

Reemplazando estas expresiones en la ecuación diferencial inicial (

(√

( √ (

(

(

(√

)

(√

(√

)

(√

)

))

( √ (√

√ (√

)

(√

))

)) )

(√ (

( √

)

√

(√

)

(√

)

))

)) ))

se tiene: (√

√

)) (√

))

(√

))

)

)

7. Al no ser una Ec. Diferencial de segundo orden aplicamos una división sintética para disminuir el grado el grado de la Ec. Diferencial. 1 1

6 -1 5

11 -5 6

6 -6

-1

De ahí me queda una Ec. Diferencial de grado 2:

Otra manera de resolver sin utilizar la formula cuadrática es FACTORIZANDO solo si se puede factorar:

La solución nos quedaría como son raíces REALES: Solución.

Comprobación De la solución de la ecuación diferencial hallamos su primera, segunda o terceras y cuartas derivadas según el grado de la ecuación diferencial inicial donde luego reemplazaremos posteriormente los valores de las derivadas obtenidas:

Reemplazando estas expresiones en la ecuación diferencial inicial

se tiene:

8.

Primero analizamos que es una ECUACION DIFERENCIAL NO HOMOGENEA para ello debemos hallar una solución homogénea yc y la parte que no es una derivada o función una solución particular yp; donde: La primera parte se debe observar que la ecuación diferencial dada es de segundo grado, donde { , luego, determinamos el tipo de ecuación yc que vamos a utilizar utilizando el discriminante √ donde analizamos:   

Si el discriminante es + utilizamos la ecuación de la forma Si el discriminante es 0 utilizamos la ecuación de la forma Si el discriminante es - utilizamos la ecuación de la forma

Dado el discriminante √

= 4 por lo tanto utilizaremos la ecuación de la forma

Utilizando la fórmula general hallamos los el valor de :

√

√

{

Por lo tanto Por lo tanto la solución homogénea es Como nos dan parámetros, las condiciones de esa ecuación diferencial homogénea reemplazamos valores: Sacamos su primera derivada para reemplazar las condiciones y armar un sistema de ecuaciones y hallar los valores de y respectivamente.

Remplazando valores obtenemos: ; De ahí obtenemos nuestra solución homogénea La segunda parte debemos analizar la parte que no es homogénea y se observa que es de la forma Hallamos la primera, segunda o terceras y cuartas derivadas de esa solución particular dependiendo del grado de la ecuación para luego reemplazar los valores en la Ec. Diferencial inicial y poder hallar los coeficientes que acompañan a esa solución particular.

Remplazamos en la Ec. Diferencial inicial

Hallamos los valores de A y B de la siguiente manera: : : : :

Por lo tanto;

Finalmente, la solución de la ecuación diferencial dada es:

Solución.

Comprobación

De la solución de la ecuación diferencial hallamos su primera, segunda o terceras y cuartas derivadas según el grado de la ecuación diferencial inicial donde luego reemplazaremos posteriormente los valores de las derivadas obtenidas:

Reemplazando estas expresiones en la ecuación diferencial inicial (

se tiene: )

9.

La primera parte se debe observar que la ecuación diferencial dada es de segundo grado, donde {

,

luego, determinamos el tipo de ecuación yc que vamos a utilizar utilizando el discriminante √ donde analizamos:   

Si el discriminante es + utilizamos la ecuación de la forma Si el discriminante es 0 utilizamos la ecuación de la forma Si el discriminante es - utilizamos la ecuación de la forma

Dado el discriminante √

= 0 por lo tanto utilizaremos la ecuación de la forma

Utilizando la fórmula general hallamos los el valor de : √

√

Por lo tanto Como nos dan parámetros, las condiciones de esa ecuación diferencial homogénea reemplazamos valores: Sacamos su primera derivada para reemplazar las condiciones y armar un sistema de ecuaciones y hallar los valores de y respectivamente.

Reemplazando las condiciones en sus respectivas derivadas hallamos: ; De ahí obtenemos nuestra solución homogénea y Solución. Comprobación

De la solución de la ecuación diferencial hallamos su primera, segunda o terceras y cuartas derivadas según el grado de la ecuación diferencial inicial donde luego reemplazaremos posteriormente los valores de las derivadas obtenidas:

Reemplazando estas expresiones en la ecuación diferencial inicial

se tiene:

0=0

10. La primera parte se debe observar que la ecuación diferencial dada es de segundo grado, donde { , luego, determinamos el tipo de ecuación yc que vamos a utilizar utilizando el discriminante √ donde analizamos:   

Si el discriminante es + utilizamos la ecuación de la forma Si el discriminante es 0 utilizamos la ecuación de la forma Si el discriminante es - utilizamos la ecuación de la forma

Dado el discriminante √

= 0 por lo tanto utilizaremos la ecuación de la forma

Utilizando la fórmula general hallamos los el valor de : √

√

Por lo tanto Como nos dan parámetros, las condiciones de esa ecuación diferencial homogénea reemplazamos valores: Sacamos su primera derivada para reemplazar las condiciones y armar un sistema de ecuaciones y hallar los valores de y respectivamente.

Reemplazando las condiciones en sus respectivas derivadas hallamos: ; De ahí obtenemos nuestra solución homogénea La segunda parte debemos analizar la parte que no es homogénea y se observa que es de la forma Hallamos la primera, segunda o terceras y cuartas derivadas de esa solución particular dependiendo del grado de la ecuación para luego reemplazar los valores en la Ec. Diferencial inicial y poder hallar los coeficientes que acompañan a esa solución particular.

Remplazamos en la Ec. Diferencial inicial

Hallamos los valores de A y B de la siguiente manera: : : : : :

Por lo tanto;

Finalmente, la solución de la ecuación diferencial dada es:

Solución.

Comprobación De la solución de la ecuación diferencial hallamos su primera, segunda o terceras y cuartas derivadas según el grado de la ecuación diferencial inicial donde luego reemplazaremos posteriormente los valores de las derivadas obtenidas:

Reemplazando estas expresiones en la ecuación diferencial inicial tiene: ( )

se