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• Lucas Doyle

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Solución general delas ecuaciones diferenciales lineales homogéneas Un formato general para denotar una ecuación diferencial como una ecuación diferencial homogénea es el que se indica a continuación, El nombre se mantiene así porque si colocamos los términos que contienen la función indefinida y los diferenciales de la función indefinida en un lado de la ecuación diferencial, entonces el otro lado de la ecuación es igual a cero. Esto puede verse claramente en la ecuación dada más arriba. Porestemotivo, se le conocecomohomogénea. La ecuación se llama lineal porque el diferencial de la función indefinida y la función indefinida en sí aparecen solos y no formando parte de alguna otra función compleja. Determinar la solución general de una ecuación diferencial lineal homogénea es una tarea bastante fácil que puede realizarse siguiendo unos pasossimples, uno tras otro. Es importante que entiendas el paso previo antes de pasar al siguiente para entender el procedimiento de solución de la ecuación diferencial homogénea lineal. Iniciamos con la ecuación diferencial de la forma, [ (y(t))/ t] + a(t) y(t) = 0 Ahora mueve todos los términos que contiene la función indefinida en un lado y los términos que contienen los diferenciales de la función indefinida en el otro lado de la ecuación diferencial. La ecuación diferencial transformadase verá de la siguiente forma, [ (y(t))/ t] = -[a(t) y(t)] Toma la función indefinida común en el lado derecho de la ecuación y muévela hacia el lado izquierdo de la ecuación. Esto hará que la ecuaciónluzca como, [ (y(t))/ t]/ [y(t)] = -a(t) Ahora, recuerda el diferencial de función lny aplicando la regla de la cadena tenemos, [ (y(t))/ t]/ [y(t)] = ( / t) ln (| y(t) |) Ahora, aplicando la fórmula de sustitución tenemos, ( / t) ln (| y(t) |) = -a(t) Haciéndolo de este modo, la ecuación diferencial original estará alteradade una forma como,

( / t) algunafunción de variable t = los términos restantes de la ecuación diferencial Ahora, integra la ecuación anterior como, ( /

t) ln (| y(t) |) dt =

-a(t) dt

Como sabemos,los procedimiento de diferenciación e integración son procedimientos inversos. Por lo tanto, la relación anterior puede reescribirsehacia la forma de, ln (| y(t) |) = -a(t) dt + c¬1¬ En la ecuación anterior, c¬1¬es una constante arbitraria de integración, que es el resultado de la integración de la parte izquierda de la ecuación, la cual luego fue trasladada a la parte derecha de la ecuación. Esto nos da una ecuación logarítmica y sabemos que sóloes posible resolver una ecuación logarítmica mediante tomar el exponencial de los dos ladosde la ecuación dada. Porconsiguiente, tenemos la relación, | y(t) | = exp ( -a(t) dt + c¬1¬¬) = | y(t) | = exp ( -a(t)) dt + exp (c¬1¬¬) Como sabemos el término exp(c¬1¬¬) es un término constante y, por lo tanto, puede ser sustituido por otro término constante. En consecuencia, mantenemosc¬2¬ = exp (c¬1¬¬) y la ecuación se convierte en, | y(t) | = exp ( -a(t) dt) . c¬2¬ Ahora imagina que, A(t) = -a(t) dt donde ( / t) A(t) = a(t).Por tanto, la ecuación se convierte en, | y(t) | = exp (-A(t)).c¬2¬ | y(t) | = exp ( -a(t) dt) Esto se conoce como la solución general de una ecuación diferencial lineal homogénea. Ahora, demos un vistazo a un ejemplo ilustrativo. ( / t) y(t) = y/2 ( / t) y(t) = (1/2) y ( / t) y(t) - (1/2) y = 0

a(t) = -(1/2) y(t) = exp(- -(1/2) dt) y(t) = exp((1/2) t + c) y(t) = exp((1/2) t).c

Reducción del orden de una ecuación diferencial lineal de segundo orden a primer orden, construcción de una segunda solución a partir de otra ya conocida Resolver una ecuación diferencial de orden enésimo puede ser, en ocasiones, un poco engañoso. En consecuencia, sería mucho mejor si tuviéramos una ecuación diferencial lineal de primer orden o un sistema de ecuaciones lineales diferenciales de primer orden para sustituir la ecuación diferencial de orden enésimo. Esto se puede hacer con la ayuda del método de reducción. Existen tres tipos específicos de ecuaciones diferenciales de segundo ordenque pueden ser reducidas a ecuaciones de primer orden: 1. Ecuación diferencial de segundo orden que no posea variable dependiente: Una ecuación diferencial de segundo orden cuya variable dependiente no existe es de la forma, O En las ecuaciones de este tipo, la variable dependiente no aparece de forma explícita en cualquier lugarde la ecuación. Las ecuaciones de este tipo pueden ser transformadas en una ecuación diferencial de primer orden, haciendo sustituciones como, Esto implica que, Realizar las sustituciones de la forma descrita transformaría la ecuación diferencial de entrada en una ecuación diferencial de primer orden para la variable w. Después de la determinación de la ecuación definida por w, debes integrarla para obtener el valor de y. 2. Ecuación diferencial no lineal de segundo orden que contiene las variables independientes: Una ecuación diferencial no lineal de segundo orden que contiene las variables independientes es de la forma, En las ecuaciones de este tipo, la variable no aparece de forma explícita en cualquier lugar de la ecuación. Las ecuaciones de este tipo pueden ser transformadas en una ecuación diferencial de primer orden, mediante primero sustituir,

Y el segundo diferencial no se sustituye directamente, como en la ecuación diferencial de segundo orden de tipo 1 descrita anteriormente. En cambio, el segundo diferencial de la variable dependiente se describe en términos del primer diferencial de la variable dependiente. Esto puede hacerse mediante el uso de la regla de la cadena como se muestra a continuación, Esto nos da el valor del segundo diferencial de la variable como, Realizar las sustituciones de la forma descrita transformaría la ecuación diferencial de entrada en una ecuación diferencial de primer orden para la variable w. Después de la determinación de la ecuación definida por w, debes integrarla para obtener el valor de y. 3. Ecuación diferencial lineal homogénea desegundo ordencuya única solución es conocida: Sea la ecuación de entradadiferencial lineal homogénea de segundo orden cuya única solución es conocida denotada por, Es posible determinar la otra solución con la ayuda del método de identidadde Abel para las ecuaciones diferenciales. La segunda solución se obtiene como, En la relación anterior, W es el Wronskiano de la ecuación dada como, Integra la relación anterior como, = ln [W(x)/ W(a)] = - P(x’) dx’ Ahora, solucionando la variable W(x) nos da la relación, W(x) = W(a) exp [- P(x’) dx’] Sin embargo, sabemos que, W = y¬1¬y¬2¬’ – y¬1¬’y¬2¬ = (y¬1¬¬)2 d/ dx(y¬2¬/ y¬¬1¬) Ahora, utilizando la relación anterior, la ecuación anterior puede transformase como, d/ dx(y¬2¬/ y¬¬1¬) = W(a) [exp [- P(x’) dx’]/ (y¬1¬¬)2] y¬2¬(x) = y¬¬1¬(x) W(a) [exp [- P(x’) dx’]/ (y¬1¬¬¬(x’))2] dx’ En la relación anterior W(a) puede descartase porque es una constante de multiplicación, y las constantes a y b también nos dan la relación, y¬2¬(x) = y¬¬1¬(x) [exp [- P(x’) dx’]/ (y¬1¬¬¬(x’))2] dx’

Principio de Superposición El principio de superposición se ocupa principalmente de la ecuación diferencial lineal homogénea. El nombre de esta teoría se mantiene así por su similitud con el principio de superposición aplicado en física y otras áreas de la ciencia, en el cual se estudia; si existen dos estímulos en un sistema lineal, entonces el resultado neto de su fuerza en algún momento y en algún lugar será equivalente a la sumatoria de las fuerzas de estos dos estímulos tomados independientemente. De manera similar, para una ecuación diferencial linealhomogénea, de cualquier orden (con o sin coeficientes constantes), el principio de superposición establece que, “Si tenemos y¬1¬(x) e y¬2¬(x) como el resultado de alguna ecuación diferencial lineal homogénea, entonces la sumatoria de estos resultados deberán producir una nueva ecuación, la cualpertenecerátambién al conjunto de resultados de la ecuación diferencial dada”. Esto puede denotarse como, Esto es verdadero porque sabemos por las propiedades de un sistema lineal que cualquier sistema lineal es de naturaleza aditiva. También tenemos una prueba del teorema mencionado anteriormente. Sea una ecuación diferencial lineal homogénea de la forma, Ahora bien, sabemos que y¬1¬(x) es una de las soluciones a la ecuación diferencial dada. Esto implica que (x) es una de las soluciones a la ecuación diferencial dada. Esto implica que y¬1¬ satisface la ecuación anterior. Por lo tanto, podemos hacer un reemplazo de y = y¬1¬. Esto deja la ecuación en la forma de, a (d2y¬1/ dx2) + b (dy¬1/ dx) + cy¬1¬ = 0 (i) De la misma forma, podemos construir una ecuación más mediante sustituiry¬2¬ en el lugar de y. Por lo tanto, esta tercera ecuación puede darse como, a (d2y¬2/ dx2) + b (dy¬2/ dx) + cy¬2 = 0 (ii) Como sabemos,siempre es posible añadirdos ecuaciones para obtener la tercera ecuación. Por lo tanto, vamos a añadir la ecuación (i) y la ecuación (ii). Estonos da la ecuación, a (d2y¬1/ dx2 + d2y¬2/ dx2) + b (dy¬1/ dx + dy¬2/ dx) + c(y¬1¬ + y¬2¬) = 0 Ahora, a partir de las propiedades de la diferenciación sabemos que si la aplicación consecutiva de dos operaciones como la adición y la diferenciación de dos cifras nos da el mismo resultado, entonces debemos primero diferenciar los dos números y luego sumarlos. Por consiguiente, podemos transformar la ecuación anterior para los segundo diferenciales de y¬1¬ e y¬2¬ como,

a [(d2y¬1+ d2y¬2¬)/ dx2] + b (dy¬1/ dx + dy¬2/ dx) + c(y¬1¬ + y¬2¬) = 0 Aplicando la misma regla para los primeros diferenciales y¬1¬ e y¬2¬, obtenemos la ecuación como, a [(d2y¬1+ d2y¬2¬)/ dx2] + b [(dy¬1 + dy¬2¬)/ dx] + c(y¬1¬ + y¬2¬) = 0 Ahora, supongamos que la suma de los dos números y¬1¬ e y¬2¬ nos da el tercer número el cual es y¬3¬. Entonces la ecuación puede ser reescrita como a (d2y¬3/ dx2) + b (dy¬3/ dx) + cy¬3¬ = 0 De manera similar, esto también puede ser probado en ecuaciones diferenciales de cualquier orden. En consecuencia, hemos llegado a la conclusión de que el teorema establecido anteriormente es verdadero para todas las ecuaciones diferenciales.